人教課標(biāo)版高中數(shù)學(xué)必修二《中心投影與平行投影》教案-

《中心投影與平行投影》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)通過(guò)觀察幾何體結(jié)構(gòu)特征，掌握棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺(tái)、圓臺(tái)、球的三視圖，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、分析、推理、論證的思維方法，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,感受數(shù)學(xué)就在身邊，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，培養(yǎng)學(xué)生大膽創(chuàng)新、勇于探索、互相合作的精神，并形成良好的思維習(xí)慣。（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)了解中心投影和平行投影的概念，理解并掌握三視圖的投影規(guī)律.能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（如長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖.能根據(jù)三視圖，運(yùn)用空間想象能力，識(shí)別并說(shuō)出它所表示的空間圖形（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)中心投影、平行投影、斜投影、正投影的概念、三視圖畫(huà)法規(guī)則.能力，進(jìn)行空間幾何體與其三視圖的相互轉(zhuǎn)化；（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)1．畫(huà)出空間幾何體的三視圖及掌握幾何體的三視圖的性質(zhì)二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第11頁(yè)至第14頁(yè)，填空.知識(shí)點(diǎn)一投影的概念及分類投影的定義由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影.其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影面.投影的分類當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投影線時(shí)，平行投影都具有下述性質(zhì)：①直線或線段的平行投影仍是直線或線段；②平行直線的平行投影是平行或重合的直線；③平行于投影面的線段，它的投影與這條線段平行且等長(zhǎng)；④與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形全等；⑤在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比.知識(shí)點(diǎn)二三視圖的概念及特征視圖寬度一樣.寬相等.思考：畫(huà)三視圖時(shí)一定要求光線與投影面垂直嗎？答:是.由畫(huà)三視圖的規(guī)則要求可知光線與投影面垂直.2．預(yù)習(xí)自測(cè)已知△ABC，若選定的投影面與△ABC所在平面平行，則經(jīng)過(guò)中心投影后所得三角形與△ABC( )全等B．相似C．不相似D【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】中心投影的概念和性質(zhì)【解題過(guò)程】如圖示，因?yàn)锳BC是ABC投影得到，所以AB

與△ABC所在的平面平11 1 11 1行，所以

AB SB BC SC AC ，所以AB

ABC .B.AB SB BC SC AC

11 111 1 1 1 1 1 1【思路點(diǎn)撥】本題是一道關(guān)于中心投影的題目，解答本題的關(guān)鍵熟練掌握中心投影的概念和性AB SB BC SC AC質(zhì)；由于選定的投影面與△ABCA

SB

B

SC

AC

，據(jù)此選出正確答案.下列命題正確的是( )A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．兩條相交直線的投影可能平

11 1 1 1

1 1 1D．一條線段中點(diǎn)的平行投影仍是這條線段投影的中點(diǎn)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】投影的概念及性質(zhì)【解題過(guò)程】矩形的平行投影可以是線段、矩形或平行四邊形，∴A錯(cuò).梯形的平行投影是梯形或線段，∴B不對(duì)；平行投影把平行直線投射成平行直線或一條直線，把相交直線投射成相交直線或一條直線，把線段中點(diǎn)投射成投影的中點(diǎn)，∴C錯(cuò)，D對(duì).故選D.【思路點(diǎn)撥】利用平行投影的定義，確定圖形平行投影的結(jié)論，即可得出結(jié)論．一個(gè)幾何體的某一方向的視圖是圓，則它不可能是( )A.球體 B.圓錐 C.圓柱 D.長(zhǎng)方【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖【解題過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)ABBCCDD為正確選項(xiàng).D.選項(xiàng)．根據(jù)下列三視圖，說(shuō)出立體圖形的形狀。 (1) (2) (3)（1）（2）（3）螺帽【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖（1）為梯形，則（1）（2）中俯視圖為正方形，且對(duì)角線為實(shí)線，正視圖與側(cè)視圖為三角形，那么（2）（3）中俯視圖為正六邊形，由側(cè)視圖與正視圖中的實(shí)線和虛線的位置關(guān)系，可判斷其為螺帽.【思路點(diǎn)撥】由三視圖想象出立體圖(二)課堂設(shè)計(jì)知識(shí)回顧用自己語(yǔ)言描述投影的概念；回顧初中學(xué)習(xí)三視圖的定義.問(wèn)題探究探究一認(rèn)識(shí)中心投影與平行投影物體在燈光或日光的照射下，就會(huì)在墻壁或地面上產(chǎn)生影子.如圖，產(chǎn)生影子有什么不同嗎？2的投影過(guò)程，它們的投影過(guò)程有什么不同？圖22（23）都是平行投影，它們有什么區(qū)別？觀察圖3，與投影面平行的平面圖形，分別在平行投影和中心投影下的影子和原圖形的形狀、大小有什么區(qū)別？圖3活動(dòng)：①?gòu)耐队暗男纬蛇^(guò)程來(lái)定義.②從投影方向上來(lái)區(qū)別這三種投影.③根據(jù)投影線與投影面是否垂直來(lái)區(qū)別.④觀察圖3并歸納總結(jié)它們各自的特點(diǎn)討論結(jié)果：①這種現(xiàn)象我們把它稱為是投影.②由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影.其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影幕.和（3）的投影線平行，我們把在一束平行光線照射下形成投影稱為平行投影.2（2）2（3）正對(duì)著投影面，這種平行投影稱為斜投影.心投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子和原平面圖形是相似的平面圖形.通過(guò)對(duì)比，我們總結(jié)中心投影與平行投影的定義，歸納出兩種投影的區(qū)別.【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)比中心投影與平行投影培養(yǎng)對(duì)知識(shí)的歸納整理能力．探究二認(rèn)識(shí)三視圖并總結(jié)三視圖的相關(guān)特征★請(qǐng)同學(xué)們回憶一下初中三視圖的定義？答：把從幾何體前面、側(cè)面、上面看到的圖形分別叫做幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖.這是直觀定義，它的數(shù)字特征又是什么？以長(zhǎng)方體為例，借助與學(xué)習(xí)的正投影來(lái)觀察一下.問(wèn)題：在三視圖中標(biāo)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。投影規(guī)則：側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度.度一樣，即正、俯視圖——長(zhǎng)對(duì)正；主、側(cè)視圖——高平齊；俯、側(cè)視圖——寬相等.強(qiáng)調(diào)擺放順序：側(cè)視圖放在正視圖的右邊，俯視圖放在正視圖的下邊.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)物觀察，直覺(jué)感知，易于接受，形象生動(dòng)地刻畫(huà)了三視圖的形成，避免學(xué)生抽象地去想象．通過(guò)學(xué)生自己思考操作來(lái)尋求三視圖中的量的關(guān)系，真正實(shí)踐發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理念．引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三視圖的內(nèi)在規(guī)律．這是本節(jié)課教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵點(diǎn)!活動(dòng)①回顧舊知，理解提升畫(huà)出下列簡(jiǎn)單幾何體的三視圖.球圓柱圓錐.常見(jiàn)幾何體正視圖側(cè)視圖俯視圖長(zhǎng)方體矩形矩形矩形正方體正方形正方形正方形圓柱矩形矩形圓圓錐等腰三角形等腰三角形圓+點(diǎn)圓臺(tái)等腰梯形等腰梯形同心圓球圓圓圓【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手，熟悉常見(jiàn)幾何體的三視圖，并對(duì)三視圖的規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正高平齊；寬相等進(jìn)一步掌握.活動(dòng)②動(dòng)手實(shí)踐、合作交流問(wèn)題：下列三視圖對(duì)應(yīng)的是哪個(gè)幾何體？(1) (2)（1）2）是圓錐.（2）下列三視圖表示的是哪個(gè)幾何體？ BAC DBA答：D.通過(guò)此題，強(qiáng)調(diào)在三視圖中，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，不可見(jiàn)輪廓線，用虛線畫(huà)出.活動(dòng)③鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1 下列說(shuō)法中：①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)；②空間圖形經(jīng)過(guò)中心投影后直線還是直線但平行線可能變成了相交的直線兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線.其中正確的個(gè)數(shù)為( )A.0 B.1 C.2 D.3【知識(shí)點(diǎn)】平行投影和中心投影的定義和性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】的平行投影是兩條相交直線或一條直線，③不正確.【思路點(diǎn)撥】準(zhǔn)確理解平行投影和中心投影定義，結(jié)合生活中的實(shí)例加以解決．【答案】B同類訓(xùn)練判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)矩形的平行投影一定是矩形．( )平行四邊形的平行投影可能是正方形．( )兩條相交直線的平行投影可能平行．( )如果一個(gè)三角形的投影仍是三角形，那么它的中位線的平行投影，一定是這個(gè)三角形的行投影的中位線．( )【知識(shí)點(diǎn)】平行投影的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】利用平行投影的概念和性質(zhì)進(jìn)行判斷【思路點(diǎn)撥】準(zhǔn)確平行投影性質(zhì)【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)√例2 如圖點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方體的面ADDA1 1

BCCB1 1

的中心，則四邊形BFDE在該正方1體的面上的正投影可能是圖中的 ．(要求把可能的序號(hào)都填上)【知識(shí)點(diǎn)】正投影的概念．【數(shù)學(xué)思想】由一般到特殊【解題過(guò)程】利用點(diǎn)BF、D1

，E在正方體各面上的正投影的位置來(lái)判斷．其中(2)可以是四BFDEABCDABC

上的投影．1 1 1 1 1(3)BFDEBCC

上的投影．1 1 11.畫(huà)一個(gè)圖形在一個(gè)投影面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)(等)及這些關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次連接就可得到圖形在投影面上的投影．問(wèn)題時(shí)，常借助于正方體模型尋求解題方法．【答案】(2)(3)同類訓(xùn)練1．如圖，在正方體ABCDA′B′C′D′中，E、F分別是A′A、C′C的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是 ．①四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影是正方形；BFD′EA′D′D內(nèi)的投影是菱形；BFD′EA′D′DABB′A【知識(shí)點(diǎn)】正投影的概念．【數(shù)學(xué)思想】由一般到特殊BFD′EABCDBCDA2，則AE＝1，取GA′D′DAGD′AE∥D′AE＝D′AGD′EAE＝1，D′＝5，AGD′E就可得到圖形在投影面上的投影即可.【答案】①③●活動(dòng)④強(qiáng)化提升、靈活應(yīng)用例3如圖是按不同方式放置的同一個(gè)圓柱，陰影面為正面，畫(huà)出其三視圖.【知識(shí)點(diǎn)】三視圖的作法.【數(shù)學(xué)思想】由一般到特殊，多角度看待問(wèn)題.【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】(1)務(wù)必做到“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”.三視圖的排列方法是正視圖與側(cè)視圖在同一水平位置，且正視圖在左，側(cè)視圖在右，俯畫(huà)完三視圖草圖后，要再對(duì)照實(shí)物圖來(lái)驗(yàn)證其正確性.在三視圖中，要注意同一個(gè)幾何題位置不同所得三視圖是不一樣的.【答案】三視圖分別如圖所示.同類訓(xùn)練1.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（ ）A.①② B.①③ C.①④ D.②④【知識(shí)點(diǎn)】常見(jiàn)幾何體的三視圖【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】正方體的三視圖都是正方形，所以①不符合題意，排除A、B、C.【思路點(diǎn)撥】常見(jiàn)幾何體的三視圖熟練掌握【答案】D.3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理化而變化，所以其投影不能反映物體的實(shí)形.平行投影：在一束平行光線照射下形成的投影，分正投影、斜投影正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影側(cè)視圖（從左向右）俯視圖（從上到下）重難點(diǎn)歸納中心投影和平行投影的性質(zhì).三視圖的作法規(guī)律．（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破一條直線在平面上的正投影是( A．直線C．線段

點(diǎn)D【知識(shí)點(diǎn)】正投影的定義．【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，其正投影為點(diǎn)，其他位置時(shí)其正投影均為直線．【思路點(diǎn)撥】直線的不同位置影響投影．【答案】D．若一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓，則這個(gè)幾何體能是( )A.圓柱 B.三棱柱 C.圓錐 D.球體【知識(shí)點(diǎn)】常見(jiàn)幾何體的三視圖．【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】由圓錐的三視圖可知這個(gè)幾何體可能是圓錐.【思路點(diǎn)撥】熟悉常見(jiàn)幾何體的性質(zhì)【答案】C．一物體及其正視圖如圖：① ② ③ ④則它的側(cè)視圖與俯視圖分別是圖形中的 ．【知識(shí)點(diǎn)】三視圖的作法．【數(shù)學(xué)思想】方向，應(yīng)選②.【思路點(diǎn)撥】分別從左面看，從上面看得到圖形即可.【答案】③②圖①和圖②為兩個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這兩個(gè)幾何體分別為 、 ．【知識(shí)點(diǎn)】常見(jiàn)幾何體的三視圖．【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】根據(jù)三視圖的形狀聯(lián)想幾何體的結(jié)構(gòu)．【思路點(diǎn)撥】熟悉常見(jiàn)幾何體的性質(zhì)【答案】圓臺(tái)四棱錐將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為( )【知識(shí)點(diǎn)】三視圖的作法．【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】圖從左往右看，主體的輪廓是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方體的對(duì)角線可以看見(jiàn)，且該對(duì)角線是從左下角往右上角傾斜的.【思路點(diǎn)撥】熟悉常見(jiàn)幾何體的性質(zhì)【答案】D6【知識(shí)點(diǎn)】三視圖的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】畫(huà)一個(gè)物體的三視圖，不僅要確定其形狀，而且要確定線段的長(zhǎng)短關(guān)系．長(zhǎng)方體和圓柱的正確三視圖如圖所示：【思路點(diǎn)撥】長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等.【答案】均不正確.能力型師生共研7．兩條相交直線的平行投影是（）A.兩條相交直線B.一條直線C.兩條平行直線【知識(shí)點(diǎn)】平行投影的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】D.兩條相交直線或一條直線【解題過(guò)程】借助于長(zhǎng)方體模型來(lái)判斷，如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD ABC

中，一束平行1 1 1 1光線從正上方向下照射.則相交直線CD1

DC1

ABCD交直線CD1

BD1

在面ABCD上的平行投影是兩條相交直線CD和BD.【思路點(diǎn)撥】借助于長(zhǎng)方體使抽象問(wèn)題形象化．【答案】D．一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體俯視圖為( )【知識(shí)點(diǎn)】三視圖的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】正視圖中小長(zhǎng)方形在左上方，對(duì)應(yīng)俯視圖應(yīng)該在左側(cè)，排除B、D，側(cè)視圖中小長(zhǎng)方形在右上方，排除A，故選C.【思路點(diǎn)撥】長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等【答案】C.探究型多維突破一幾何體的直觀圖如圖所示，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是( )【知識(shí)點(diǎn)】三視圖的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過(guò)程】幾何體俯視圖的輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見(jiàn)線段，所以C，D不正確；幾何體的最上面的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確.【思路點(diǎn)撥】由一般到特殊【答案】B．10中的字母表示在該位置的小立方體的個(gè)數(shù).你能確定哪些字母表示的數(shù)？該幾何體可能有多少種不同的形狀？【知識(shí)點(diǎn)】正方體的三視圖．【數(shù)學(xué)思想】構(gòu)造【解題過(guò)程】(1)面對(duì)數(shù)個(gè)小立方體組成的幾何體，根據(jù)正視圖與俯視圖的觀察我們可以得出下列結(jié)論：①a=3,b=1,c=1;②d,e,f中的最大值為2.a=3,b=1,c=1.(2)d,e,f23d,e,f23種不同的形狀；當(dāng)d,e,f都是2時(shí)，有一種形狀.所以該幾何體可能有7種不同的形狀.【思路點(diǎn)撥】解決本題的關(guān)鍵在于觀察正視圖、俯視圖，利用三視圖規(guī)則中的“每個(gè)視圖都反映物體兩個(gè)方向的尺寸.正視圖反映物體的上下和左右尺寸，俯視圖反映物體的前后和左右尺寸，側(cè)視圖反映物體的前后和上下尺寸”.又“正視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正,正視圖與側(cè)視圖高平齊,俯視圖與側(cè)視圖寬相等”,a=3,b=1,c=1,d,e,f2．【答案】7．自助餐下列實(shí)例中，不是中心投影的是 (填序號(hào))．①工程圖紙；②小孔成像；③相片；④人的視覺(jué)．【知識(shí)點(diǎn)】中心投影和平行投影的定義．【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】由中心投影和平行投影的定義知，小孔成像、相片、人的視覺(jué)為中心投影，工程圖紙為平行投影．【思路點(diǎn)撥】【答案】①．若一個(gè)正三棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)正三棱柱的高和底面邊長(zhǎng)分別為 、 ．【知識(shí)點(diǎn)】三視圖的性質(zhì)．【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】從左視圖中得到高為2，