四邊形知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典總結(jié)

四邊形知識(shí)點(diǎn)：一、關(guān)系構(gòu)造圖：二、知識(shí)點(diǎn)解說(shuō)：1．平行四邊形的性質(zhì)（要點(diǎn)）：（1）兩組對(duì)邊分別平行；（2）兩組對(duì)邊分別相等；ABCD是平行四邊形?（3）兩組對(duì)角分別相等；（4）對(duì)角線相互均分；（5）鄰角互補(bǔ).平行四邊形的判斷（難點(diǎn)）：.矩形的性質(zhì)：（1）擁有平行四邊形的全部通性;由于ABCD是矩形?（2）四個(gè)角都是直角;（3）對(duì)角線相等.(4)是軸對(duì)稱(chēng)圖形.它有兩條對(duì)稱(chēng)軸．矩形的判斷：矩形的判斷方法：(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形；有三個(gè)角是直角的四邊形；對(duì)角線相等的平行四邊形；對(duì)角線相等且相互均分的四邊形．?四邊形ABCD是矩形.菱形的性質(zhì)：（1）擁有平行四邊形的全部通性；由于ABCD是菱形?（2）四個(gè)邊都相等；（3）對(duì)角線垂直且均分對(duì)角.菱形的判斷：（1）平行四邊形一組鄰邊等（2）四個(gè)邊都相等?四邊形四邊形ABCD是菱形.（3）對(duì)角線垂直的平行四邊形正方形的性質(zhì)：（1）擁有平行四邊形的全部通性；ABCD是正方形?（2）四個(gè)邊都相等，四個(gè)角都是直角；（3）對(duì)角線相等垂直且均分對(duì)角.正方形的判斷：（1）平行四邊形一組鄰邊等（2）菱形一個(gè)直角（3）矩形一組鄰邊等

一個(gè)直角

?四邊形

ABCD是正方形

.名定義性質(zhì)判斷面積稱(chēng)兩組對(duì)邊分①對(duì)邊平行；①定義；S=ah(a為一邊別平行的四②對(duì)邊相等；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊長(zhǎng).h為這條邊上平的高)邊形叫做平③對(duì)角相等；形；行行四邊形。④鄰角互補(bǔ)；③一組對(duì)邊平行且相等的四四⑤對(duì)角線相互均分；邊形；邊⑥是中心對(duì)稱(chēng)圖形④兩組對(duì)角分別相等的四邊形形；⑤對(duì)角線相互均分的四邊形。有一個(gè)角是除擁有平行四邊形的性質(zhì)外.還有：①有三個(gè)角是直角的四邊形S=ab(a為一邊矩直角的平行①四個(gè)角都是直角；②對(duì)角線相等；是矩形；②對(duì)角線相等的平行長(zhǎng).b為另一邊長(zhǎng))形四邊形叫做③既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖四邊形是矩形；③定義。矩形形。有一組鄰邊除擁有平行四邊形的性質(zhì)外.還有①①四條邊相等的四邊形是菱①S=ah(a為一邊相等的平行四邊形相等；②對(duì)角線相互垂直.且形；②對(duì)角線垂直的平行四邊長(zhǎng).h為這條邊上菱的高)；四邊形叫做每一條對(duì)角線均分一組對(duì)角；③既是形是菱形；③定義。形②(b、c為兩條對(duì)菱形。中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形。角線的長(zhǎng))有一組鄰邊擁有平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)：①有一組鄰邊相等的矩形是①(a為邊長(zhǎng))；正相等且有一①四個(gè)角是直角.四條邊相等；②對(duì)正方形；②有一個(gè)角是直角的②(b為對(duì)角線長(zhǎng))方個(gè)角是直角角線相等.相互垂直均分.每一條對(duì)菱形是正方形；③定義。形的平行四邊角線均分一組對(duì)角；③既是中心對(duì)稱(chēng)形叫做正方圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形。形三．精典例題解答：1．已知：如圖.E、F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn).AE=CF。求證：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。證明：（1）∵AE=CF∴AE+EF=CF+FE即AF=CE又ABCD是平行四邊形.∴AD=∥BC∴∠DAF=∠BCE在△ADF與△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS）（2）∵△ADF≌△CBE∴∠DFA=∠BEC∴DF∥EB例1圖

例2圖2．如圖.平行四邊形

ABCD的對(duì)角線

AC、BD訂交于點(diǎn)、F是直線

AC上的兩點(diǎn)

.而且

AE=CF.求證：四邊形

BFDE是平行四邊形。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形OA==OD又∵AE=CFOA+AE=OC+CF即OE=OF四邊形BFDE是平行四邊形3．如圖.在梯形紙片ABCD中.AD∥>CD.將紙片沿過(guò)點(diǎn)D的直線折疊.使點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)C’處.折痕DE交BC于點(diǎn)E.連結(jié)。求證：四邊形是菱形。證明：依據(jù)題意可知?jiǎng)t..∵AD∥BC∴∴∠CDE=∠CED∴CD=CE∴∴四邊形為菱形例3圖問(wèn)線段

4．把正方形ABCD繞著點(diǎn)A.按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)獲得正方形HG與線段HB相等嗎請(qǐng)先察看猜想.而后再證明你的猜想。

AEFG.邊

FG與

BC交于點(diǎn)

H（如圖）。試解：HG=HB。證法1：連結(jié)AH.∵四邊形都是正方形∴∠B=∠G=90°由題意知AG=AB.又AH=AH∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）∴HG=HB證法2：連結(jié)GB∵四邊形都是正方形∴∠ABC=∠AGF=90°由題意知AB=AG∴∠AGB=∠ABG∴∠ABC-∠ABG=∠AGF-∠AGB即∠HBG=∠HGBHG=HB5．如圖.正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°后獲得正方形AEFG.邊EF與CD交于點(diǎn)O。（1）以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段（正方形的對(duì)角線除外）.要求所連結(jié)的兩條線段相交且相互垂直.交說(shuō)明這兩條線段相互垂直的原因；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為2cm.重疊部分（四邊形AEOD）的面積為.求旋轉(zhuǎn)的角度n。解：（1）我連結(jié)的兩條訂交且相互垂直的線段是____AO____和____DE____。原因以下：∵在Rt△ADO與Rt△AEO中.AD==AO.Rt△ADO≌Rt△AEO∠DAO=∠OAE（即AO均分∠DAE）AO⊥DE（等腰三角形的三線合一）注：其余的結(jié)論也建立如GD⊥BE。2）∵四邊形AEOD的面積為三角形ADO的面積=AD=2∴∴∠DAO=30°∴∠EAB=30°即旋轉(zhuǎn)的角度是30°例5圖例6圖6．四邊形ABCD、DEFG都是正方形.連結(jié)AE、CG。1）求證：AE=CG；2）察看圖形.猜想AE與CG之間的地點(diǎn)關(guān)系.并證明你的猜想。證明：（1）如圖.AD==DG.∠ADC=∠GDE=90°又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE∴△ADE≌△CDGAE=CG2）猜想：AE⊥CG。證明：如圖.設(shè)AE與CG交點(diǎn)為與CG交點(diǎn)為N∵△ADE≌△CDG∴∠DAE=∠DCG又∵∠ANM=∠CND∴△AMN∽△CDN∴∠AMN=∠ADC=90°AE⊥CG7．已知：如圖.在△ABC中.AB=⊥BC.垂足為點(diǎn)是△ABC外角∠CAM的均分線.CE⊥AN.垂足為點(diǎn)E.1）求證：四邊形ADCE為矩形；2）當(dāng)△ABC知足什么條件時(shí).四邊形ADCE是一個(gè)正方形并給出證明。證明：（1）在△ABC中.AB=⊥BC∴∠BAD=∠DACAN是△ABC外角∠CAM的均分線∴∠MAE=∠CAE∴又∵AD⊥⊥AN∴∠ADC=∠CEA=90°∴四邊形ADCE為矩形2）當(dāng)時(shí)（答案不獨(dú)一）.四邊形ADCE是正方形。證明：∵AB=⊥BC于D∴又DC=AD由（1）四邊形ADCE為矩形∴矩形ADCE是正方形例8圖8．將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊.使點(diǎn)C與A重合.點(diǎn)D落各處.折痕為EF。1）求證：△ABE≌△AD′F；2）連結(jié)CF.判斷四邊形AECF是什么特別四邊形證明你的結(jié)論。證明：（1）由折疊可知：..∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠B=∠=CD.∠C=∠BAD∴∠B=∠D′.AB=AD′D′AE=∠BAD.即∠1+∠2=∠2+∠3∴∠1=∠3∴△ABE≌△AD′F2）四邊形AECF是菱形。由折疊可知：AE=EC.∠4=∠5∵四邊形ABCD是平行四邊形AD∥BC∠5=∠6∠4=∠6AF=AEAE=ECAF=EC又∵AF∥EC∴四邊形AECF是平行四邊形AF=AE∴四邊形AECF是菱形。9．以下列圖.已知P正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合).PE⊥BC于點(diǎn)⊥CD于點(diǎn)F．1）求證：BP=DP；2）若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中能否總有BP=DP假如.請(qǐng)賜予證明；若不是.請(qǐng)用反例加以說(shuō)明；3）試選用正方形ABCD的兩個(gè)極點(diǎn).分別與四邊形PECF的兩個(gè)極點(diǎn)連結(jié).使獲得的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度一直相等.并證明你的結(jié)論．思路剖析：（1）解法一：在△ABP與△ADP中.利用全等可得BP=DP．解法二：利用正方形的軸對(duì)稱(chēng)性.可得BP=DP．（2）不是總建立．當(dāng)四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí)DP>DC>BP此.時(shí)BP=DP不建立．說(shuō)明：未用舉反例的方法說(shuō)理的不得分．3）連結(jié)BE、DF.則BE與DF一直相等．在圖中.可證四邊形PECF為正方形.在△BEC與△DFC中.可證△BEC≌△DFC．進(jìn)而有BE=DF10．為創(chuàng)立綠色校園.學(xué)校決定對(duì)一塊正方形的空地進(jìn)行栽種花草.現(xiàn)向?qū)W生搜集設(shè)計(jì)圖案．圖案要求只好用圓弧在正方形內(nèi)加以設(shè)計(jì).使正方形和所畫(huà)的圖弧組成的圖案.既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．栽種花草部分用暗影表示．請(qǐng)你在圖③、圖④、圖⑤中畫(huà)出三種不一樣的的設(shè)計(jì)圖案．提示：在兩個(gè)圖案中.只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種.比如：圖①、圖②只好算一種．解：以下為不一樣情況下的部分正確畫(huà)法.答案不獨(dú)一．11．如圖.等腰梯形ABCD中.AB==20.∠C=30°。點(diǎn)M、N同時(shí)以同樣速度分別從點(diǎn)A、點(diǎn)D開(kāi)始在AB、AD（包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)。1）設(shè)ND的長(zhǎng)為x.用x表示出點(diǎn)N到AB的距離.并寫(xiě)出x的取值范圍。2）設(shè).用t表示△AMN的面積。3）求△AMN的面積的最大值.并判斷取最大值時(shí)△AMN的形狀。解：（1）過(guò)點(diǎn)N作BA的垂線NP.交BA的延伸線于點(diǎn)P。由已知：.?！咚倪呅蜛BCD是等腰梯形.AB∥CD.∠D=∠C=30°.∴∠PAN=∠D=30°。在Rt△APN中..即點(diǎn)N到AB的距離為?！唿c(diǎn)N在AD上..點(diǎn)M在AB上..x的取值范圍是。2）依據(jù)（1）.。3）∵.∴當(dāng)t=0時(shí).即x=10時(shí).有最大值25。當(dāng)x=10時(shí).即ND=AM==AD-ND=10即.AM=AN。此時(shí).△AMN為等腰三角形。12．（08通州22改編）如圖.在ABCD中.AB==6cm.∠DAB=60°.點(diǎn)M是邊AD上一點(diǎn).且DM=2cm點(diǎn).E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn).EM、CD的延伸線交于交AD于O.設(shè)AE=CF=x.1）試用含x的代數(shù)式表示△