習(xí)題：變化率與導(dǎo)數(shù)

變化率與導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)的變化率定義實(shí)例平均變化率函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率為________________，簡(jiǎn)記作：eq\f(Δy,Δx).①平均速度；②曲線割線的斜率.瞬時(shí)變化率函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率在Δx→0時(shí)的極限，即_______________＝eq\f(Δy,Δx)①瞬時(shí)速度：物體在某一時(shí)刻的速度；②切線斜率.2．導(dǎo)數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是eq\f(Δy,Δx)＝____________，我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x＝x0處的，記為或即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)一、選擇題1．當(dāng)自變量從x0變到x1時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)()A．在[x0，x1]上的平均變化率B．在x0處的變化率C．在x1處的變化率D．以上都不對(duì)2．已知函數(shù)f(x)＝2x2－1的圖象上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1＋Δx，f(1＋Δx))，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．4B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x3．如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率是()A．1B．－1C．2D．－24．設(shè)f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，則eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)等于()A．－f′(x0)B．f′(－x0)C．f′(x0)D．2f′(x0)5．已知f(x)＝－x2＋10，則f(x)在x＝eq\f(3,2)處的瞬時(shí)變化率是()A．3B．－3C．2D．－26．一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s＝eq\f(1,2)at2(a為常數(shù))，則該物體在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度是()A．a(chǎn)t0B．－at0\f(1,2)at0D．2at0二、填空題7．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝時(shí)，Δy的值為________．8．過(guò)曲線y＝2x上兩點(diǎn)(0,1)，(1,2)的割線的斜率為________．9．已知物體運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間之間的關(guān)系是：v(t)＝t2＋2t＋2，則在時(shí)間間隔[1,1＋Δt]內(nèi)的平均加速度是________，在t＝1時(shí)的瞬時(shí)加速度是________．三、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間[－3，－1]，[2,4]上的平均變化率．11．用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(1,\r(x))在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．12．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，f′(0)>0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f(x)≥0，則eq\f(f1,f′0)的最小值為________．13．槍彈在槍筒中可以看作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，槍彈從槍口射出時(shí)所用的時(shí)間為×10－3s．求槍彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度．參考答案知識(shí)梳理1．eq\f(fx2－fx1,x2－x1)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)2．eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)導(dǎo)數(shù)f′(x0)y′|x＝x0eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)作業(yè)設(shè)計(jì)1．A2．B[∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝4＋2Δx.]3．B[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝eq\f(1－3,2)＝－1.]4．A[eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))－eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝－eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝－f′(x0)．]5．B[∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))),Δx)＝－Δx－3，∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝－3.]6．A[∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝eq\f(1,2)aΔt＋at0，∴eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝at0.]7．8．1解析由平均變化率的幾何意義知k＝eq\f(2－1,1－0)＝1.9．4＋Δt4解析在[1,1＋Δt]內(nèi)的平均加速度為eq\f(Δv,Δt)＝eq\f(v1＋Δt－v1,Δt)＝Δt＋4，t＝1時(shí)的瞬時(shí)加速度是lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δv,Δt)＝lieq\o(m,\s\do4(Δt→0))(Δt＋4)＝4.10．解函數(shù)f(x)在[－3，－1]上的平均變化率為：eq\f(f－1－f－3,－1－－3)＝eq\f([－12－2×－1]－[－32－2×－3],2)＝－6.函數(shù)f(x)在[2,4]上的平均變化率為：eq\f(f4－f2,4－2)＝eq\f(42－2×4－22－2×2,2)＝4.11．解∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx))－eq\f(1,\r(1))＝eq\f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq\f(－Δx,\r(1＋Δx)·1＋\r(1＋Δx))，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－1,\r(1＋Δx)·1＋\r(1＋Δx))，∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,\r(1＋Δx)·1＋\r(1＋Δx))＝eq\f(－1,\r(1＋0)·1＋\r(1＋0))＝－eq\f(1,2)，∴y′|x＝1＝f′(1)＝－eq\f(1,2).12．2解析由導(dǎo)數(shù)的定義，得f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[a·(Δx)＋b]＝b.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0,a>0))，∴ac≥eq\f(b2,4)，∴c>0.∴eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f(b＋2\r(ac),b)≥eq\f(2b,b)＝2.13．解運(yùn)動(dòng)方程為s＝eq\f(1,2)at2.因?yàn)棣＝eq\f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝at0Δt＋eq\f(1