《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》(韓旭里)課后習地題目詳解

?概率論與數(shù)理統(tǒng)計?(韓旭里)課后習地題目詳解?概率論與數(shù)理統(tǒng)計?(韓旭里)課后習地題目詳解?概率論與數(shù)理統(tǒng)計?(韓旭里)課后習地題目詳解適用標準文檔概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案習題一.賜教材習題參照答案.設(shè)A，B，C為三個事件，試用A，B，C1〕A發(fā)生，B，C都不發(fā)生；2〕A與B發(fā)生，C3〕A，B，C都發(fā)生；4〕A，B，C5〕A，B，C都不發(fā)生；6〕A，B，C7〕A，B，C至多有2個發(fā)生；8〕A，B，C最罕有2個發(fā)生.【解】〔1〕ABC〔2〕ABC〔3〕ABC4〕A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC(5)ABC=ABC(6)ABC優(yōu)異文案適用標準文檔ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪CAB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC3..4.設(shè)，為隨機事件，且〔〕=0.7,(，求〔AB〕.ABPAPABP【解】P〔AB〕=1P〔AB〕=1[P(A)P(AB)]=15.設(shè)，是兩事件，且〔〕=0.6,()=0.7,ABPAPB1〕在什么條件下P〔AB2〕在什么條件下P〔AB【解】〔1〕當AB=A時，P〔AB〕取到最大值為0.6.〔2〕當A∪B=Ω時，P〔AB〕取到最小值為0.3.6.設(shè)A，B，C為三事件，且P〔A〕=P〔B〕=1/4，P〔C〕=1/3且P〔AB〕=P〔BC〕=0P〔AC〕=1/12，求A，B，C最罕有一事件發(fā)生的概率.【解】P〔A∪B∪C〕=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=1+1+11=344312452張撲克牌中任意拿出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？【解】p=C135C133C133C132/C13528.〔1〕求五個人的誕辰都在禮拜日的概率；〔2〕求五個人的誕辰都不在禮拜日的概率；優(yōu)異文案適用標準文檔〔3〕求五個人的誕辰不都在禮拜日的概率.【解】〔1〕設(shè)A1={五個人的誕辰都在禮拜日}，根本事件總數(shù)為75，有益事件僅1個，故P〔A〕=11〕5〔亦可用獨立性求解，下同〕1〔2〕設(shè)A2={五個人誕辰都不在禮拜日}，有益事件數(shù)為65，故P〔A〕=656)52(3)設(shè)3={五個人的誕辰不都在禮拜日}AP〔A3〕=1P(A1)=1(1)579..賜教材習題參照答案.10.一批產(chǎn)品共N件，此中M件正品.從中隨機地拿出n件〔n<N〕.試求此中恰有m件〔m≤M〕正品〔記為A〕的概率.1〕n件是同時拿出的；2〕n3〕n件是有放回逐件拿出的.【解】〔1〕P〔A〕=CmMCnNmM/CnN(2)因為是無放回逐件拿出，可用擺列法計算.樣本點總數(shù)有PNn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為Cnm種.對于固定的一種正品與次品的抽取序次，從件正品中取件的擺列數(shù)有m種，從件次品中取件的擺列數(shù)為nm種，故MmPMNMnmPNMmmnmP〔A〕=CnPMPNMPNn因為無放回漸漸抽取也可以看作一次拿出，故上述概率也可寫成優(yōu)異文案適用標準文檔P〔A〕=CmMCnNmMCnN可以看出，用第二種方法簡單得多.〔3〕因為是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為Cnm種，對于固定的一種正、次品的抽取序次，m次獲得正品，都有mm次獲得次品，每次都有NM種取法，共有〔NnmM種取法，共有M種取法，nM〕種取法，故P(A)CnmMm(NM)nm/Nn本題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗，每次獲得正品的概率為M，那么獲得m件正品的概率為NmnmP(A)CnmM1MNN11..賜教材習題參照答案.12.50只鉚釘隨機地取來用在10個零件上，此中有3個鉚釘強度太弱.每個零件用3只鉚釘.假定將3只強度太弱的鉚釘都裝在一個零件上，那么這個零件強度就太弱.求發(fā)生一個零件強度太弱的概率是多少？【解】設(shè)A={發(fā)生一個零件強度太弱}P(A)C101C33/C5031196013.7個球，此中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算最罕有兩個是白球的概率.【解】設(shè)Ai={恰有i個白球}〔i=2,3〕，明顯A2與A3互斥.P(A)C42C1318,P(A)C4342C37353C7335優(yōu)異文案適用標準文檔P(A222故A3)P(A2)P(A3)3514.和0.7，在兩批種子中各隨機取一粒，求：1〕兩粒都萌芽的概率；2〕最罕有一粒萌芽的概率；3〕恰有一粒萌芽的概率.【解】設(shè)Ai={第i批種子中的一粒萌芽}，〔i=1,2〕(1)P(A1A2)P(A1)P(A2)(2)P(A1A2)(3)P(A1AA1A2)215.3次正面才停止.〔1〕問正幸虧第6次停止的概率；〔2〕問正幸虧第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.【解】〔1〕p1C52(1)2(1)3C14(1)(1)3115(2)p22422223225/32516.及0.6，每人各投了3次，求二人進球數(shù)相等的概率.【解】設(shè)Ai={甲進i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙進i球},i=0,1,2,3,那么3AiBi3)(0.3)3(0.4)3C130.7(0.3)2C130.6(0.4)2P(i0C32(0.7)232(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3優(yōu)異文案適用標準文檔175雙不一樣樣的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中最罕有兩只鞋子配成一雙的概率.【解】p1C54C12C12C12C1213C4211018.0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：〔1〕在下雨條件下下雪的概率；〔2〕這日下雨或下雪的概率.【解】設(shè)A={下雨}，B={下雪}.P(AB)〔1〕p(BA)P(A)〔2〕p(AB)P(A)P(B)P(AB)19.3個少兒，且此中一個為女孩，求最罕有一個男孩的概率〔少兒為男為女是等可能的〕.【解】設(shè)={此中一個為女孩}，={最罕有一個男孩}，樣本點總數(shù)為23=8，故ABP(BA)P(AB)6/86P(A)7/87或在減少樣本空間中求，此時樣本點總數(shù)為7.6P(BA)720.5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機地精選一人，這人恰為色盲，問這人是男人的概率〔假定男人和女人各占人數(shù)的一半〕.【解】設(shè)A={這人是男人}，B={這人是色盲}，那么由貝葉斯公式P(AB)P(A)P(BA)P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(B)優(yōu)異文案適用標準文檔202121.9∶00~10∶00在公園見面，求一人要等另一人半小時以上的概率.題21圖題22圖【解】設(shè)兩人抵達時辰為x,y,那么0≤,≤60.事件“一人要等另一人半小時以上〞等價于|x|>30.如圖暗影局部所示.xyy3021P0，1〕中隨機地取兩個數(shù)，求：

6024優(yōu)異文案適用標準文檔〔1〕兩個數(shù)之和小于6的概率；5〔2〕兩個數(shù)之積小于1的概率.4【解】設(shè)兩數(shù)為x,y，那么0<x,y<1.1〕x+y<6.514417p1125525(2)xy=<1.14p11111ln21dx1dy24244xP〔A〕=0.3,P(B)=0.4,P(AB，求P〔B｜A∪B〕【解】P(AB)P(A)P(AB)P(BAB)B)P(A)P(B)P(AB)P(A1424.15個乒乓球，此中有9個新球，在第一次競賽中任意拿出3個球，競賽后放回原盒中；第二次競賽相同任意拿出3個球，求第二次拿出的3個球均為新球的概率.【解】設(shè)Ai={第一次拿出的3個球中有i個新球}，i=0,1,2,3.B={第二次拿出的3球均為新球}由全概率公式，有優(yōu)異文案適用標準文檔3P(B)P(BAi)P(Ai)i0C63C93C91C62C83C92C16C73C93C63C153C153C153C153C153C153C153C15325.按過去概率論考試結(jié)果分析，努力學習的學生有90%的可能考試及格，不努力學習的學生有90%的可能考試不及格.據(jù)檢查，學生中有80%的人是努力學習的，試問：1〕考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人？2〕考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人？【解】設(shè)={被檢查學生是努力學習的}，那么A={被檢查學生是不努力學習的}.由題意知〔〕，〔A〕=0.2，又設(shè)={被檢查學生考試及格}.由APAPB題意知P〔B|A〕，P〔B|A〕，故由貝葉斯公式知P(AB)P(A)P(BA)〔1〕P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(B)137即考試及格的學生中不努力學習的學生僅占2.702%P(AB)P(A)P(BA)(2)P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)P(B)413即考試不及格的學生中努力學習的學生占30.77%.優(yōu)異文案適用標準文檔26.將兩信息分別編碼為A和B傳達出來，接收站收到時，A被誤收作B的概率為，而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳達的屢次程度為2∶假定接收站收到的信息是A，試問原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】設(shè)A={原發(fā)信息是A}，那么={原發(fā)信息是B}={收到信息是}，那么={收到信息是}CAB由貝葉斯公式，得P(A)P(CA)P(AC)P(A)P(CA)P(A)P(CA)2/327.【解】設(shè)A={箱中原有i個白球}〔i=0,1,2〕，由題設(shè)條件知P〔A〕=1又設(shè)B={抽出一球為白球}.由貝葉斯公式知ii3P(A1P(A1B)P(BA1)P(A1)B)2P(B)P(BAi)P(Ai)i02/31/311/31/32/31/311/3328.96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤以為是次品的概率為0.02，一個次品被誤以為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后以為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品}，B={產(chǎn)品被以為是合格品}由貝葉斯公式得優(yōu)異文案適用標準文檔P(AB)P(A)P(BA)P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)29..統(tǒng)計資料說明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)惹禍故的概率挨次為和0.30；假如“慎重的〞被保險人占20%，“一般的〞占50%，“莽撞的〞占30%，現(xiàn)知某被保險人在一年內(nèi)出了事故，那么他是“慎重的〞的概率是多少？【解】設(shè)A={該客戶是“慎重的〞}，B={該客戶是“一般的〞}，={該客戶是“莽撞的〞}，={該客戶在一年內(nèi)出了事故}CD那么由貝葉斯公式得P(A|D)P(AD)P(A)P(D|A)P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)30.，假定各道工序是互相獨立的，求加工出來的零件的次品率.【解】設(shè)Ai={第i道工序出次品}〔i=1,2,3,4〕.4P(Ai)1P(A1A2A3A4)i11P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)131.0.2，問最少必然進行多少次獨立射擊才能使最少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設(shè)必然進行n次獨立射擊.1(0.8)n優(yōu)異文案適用標準文檔即為(0.8)n故n≥11最少必然進行11次獨立射擊.32.P〔A｜B〕=P(A｜B)，那么A，B互相獨立.【證】P(A|B)P(A|B)即P(AB)P(AB)P(B)P(B)亦即P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)[1P(B)][P(A)P(AB)]P(B)所以P(AB)P(A)P(B)故A與B互相獨立.33.1，1，1，求將此密碼破譯出的概率.={第i人能破譯}〔=1,2,3534【解】設(shè)i〕，那么Ai3P(Ai)1P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3)i1423134534.0.4,0.5,0.7，假定只有一人擊中，那么飛機被擊落的概率為0.2；假定有兩人擊中，那么飛機被擊落的概率為0.6；假定三人都擊中，那么飛機必然被擊落，求：飛機被擊落的概率.【解】設(shè)={飛機被擊落}，i={恰有i人擊中飛機}，=0,1,2,3ABi優(yōu)異文案適用標準文檔由全概率公式，得3P(A)P(A|Bi)P(Bi)i0=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5××0.5×0.7)0.2+×0.5×0.3+0.4×0.5××0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×35.25%，為試驗一種新藥能否有效，把它給10個病人服用，且規(guī)定假定10個病人中最罕有四人治好那么以為這類藥有效，反之那么以為無效，求：〔1〕固然新藥有效，且把治愈率提升到35%，但經(jīng)過試驗被否定的概率.〔2〕新藥完滿無效，但經(jīng)過試驗被以為有效的概率.3【解】〔1〕p1C10k(0.35)k(0.65)10kk010(2)p2C10k(0.25)k(0.75)10kk436.6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求以下事件的概率：1〕A=“某指定的一層有兩位乘客走開〞；2〕B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層走開〞；3〕C=“恰有兩位乘客在同一層走開〞；4〕D=“最罕有兩位乘客在同一層走開〞.【解】因為每位乘客均可在10層樓中的任一層走開，故所有可能結(jié)果為106種.〔1〕C6294P(A)6，也可由6重貝努里模型：10優(yōu)異文案適用標準文檔21294P(A)C6()()〔2〕6個人在十層中任意六層走開，故6P10P(B)610〔3〕因為沒有規(guī)定在哪一層走開，故可在十層中的任一層走開，有C101種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層走開，有C62種走開方式.其余4人中不可以再有兩人同時走開的情況，所以可包括以下三種走開方式：①4人中有3個人在同一層走開，另一人在其余8層中任一層走開，共有C19C43C18種可能結(jié)果；②4人同時走開，有C19種可能結(jié)果；③4個人都不在同一層走開，有P94種可能結(jié)果，故P(C)C101C62(C91C34C18C91P94)/106〔4〕D=B.故6Pn個朋友隨機地環(huán)繞圓桌而坐，求以下事件的概率：1〕甲、乙兩人坐在一同，且乙坐在甲的左側(cè)的概率；2〕甲、乙、丙三人坐在一同的概率；〔3〕假如n個人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.【解】〔1〕p1

1n1優(yōu)異文案適用標準文檔(2)3!(n3)!,n3p21)!(n(3)(n1)!13!(n2)!p1;p2,n3n!nn!38.[0，a]【解】三段分x,y,axy.根本事件集由0<x<a,0<y<a,0<axy<a所組成的形，有益事件集由xyaxyx(axy)yy(axy)x組成的形，即0ax20ay2axya2如暗影局部所示，故所求概率1p.439.某人有n把匙，此中只有一把能開他的.他逐一將它去開〔抽是無放回的〕.明開k次〔k=1,2,?,n〕才能把打開的概率與k沒關(guān).【】Pnk111,np,k1,2,Pnkn優(yōu)異文案適用標準文檔40.把一個表面涂有顏色的立方體均分為一千個小立方體，在這些小立方體中，隨機地拿出一個，試求它有i面涂有顏色的概率P〔Ai〕〔i=0,1,2,3〕.【解】設(shè)A={小立方體有i面涂有顏色}，i=0,1,2,3.i在1千個小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的小立方體共有8個.只有位于原立方體的棱上〔除掉八個角外〕的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有12×8=96個.同理，原立方體的六個面上〔除掉棱〕的小立方體是一面涂色的，共有8×8×6=384個.其余1000〔8+96+384〕=512個內(nèi)部的小立方體是無色的，故所求概率為P(A0)5120.512,P(A1)38410000.384,1000P(A2)9680.096,P(A4)0.008.A，B，C1000100041.對任意的隨機事件〔〕+〔〕〔〕≤().PABPACPBCPA【證】P(A)P[A(BP(AB)P(AB)

C)]P(ABAC)P(AC)P(ABC)P(AC)P(BC)42.3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率.【解】設(shè)Ai={杯中球的最大個數(shù)為i},i=1,2,3.將3個球隨機放入4個杯子中，所有可能放法有43種，杯中球的最大個數(shù)為1時，每個杯中最多放一球，故C433!3P(A1)843而杯中球的最大個數(shù)為3，即三個球全放入一個杯中，故優(yōu)異文案適用標準文檔C141P(A3)1643所以P(A2)1P(A1)P(A3)131981616或C14C32C139P(A2)164343.2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A={正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={正面次數(shù)少于反面次數(shù)}，C={正面次數(shù)等于反面次數(shù)}，A，B，C兩兩互斥.可用對稱性來解決.因為硬幣是均勻的，故〔〕=〔〕.所以PAPB1P(C)P(A)2由2n重貝努里試驗中正面出現(xiàn)n次的概率為n1n1nP(C)C2n()()故1n1P(A)2[1C2n22n]n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】設(shè)A={出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)}，B={出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù)}，由對稱性知P〔A〕=P〔B〕〔1〕當n為奇數(shù)時，正、反面次數(shù)不會相等.由〔〕+〔〕=1得〔〕=〔〕PAPBPAPB當n為偶數(shù)時，由上題知nP(A)1[1Cn2(1)n]2245.+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率.n優(yōu)異文案適用標準文檔【解】令甲正=甲出的正面次數(shù)，甲反=甲出的反面次數(shù).乙正=乙出的正面次數(shù)，乙反=乙出的反面次數(shù).然有〔甲乙〕=〔甲≤乙〕=〔n+1甲≤n乙〕正正反反=〔甲反≥1+乙反〕=〔甲反>乙反〕由稱性知P〔甲正>乙正〕=P〔甲反>乙反〕所以P(甲正>乙正)=1246.Surething〕：假定P〔A|C〕≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，P〔A〕≥P(B).【】由P〔A|C〕≥P(B|C),得P(AC)P(BC),P(C)P(C)即有P(AC)P(BC)同原由P(A|C)P(B|C),得P(AC)P(BC),故P(A)P(AC)P(AC)P(BC)P(BC)P(B)47.一列火共有n，有k(k≥n)個游客上火并任意地.求每一內(nèi)最罕有一個游客的概率.【解】Ai={第i是空的}，〔i=1,?,n〕,優(yōu)異文案適用標準文檔P(Ai)(n1)k(11)knknP(AiAj)(12)knP(AiAi2Ai)(1n1)k1n1n此中i1,i2,?,in1是1，2，?，n中的任n1個.然n全空的概率是零，于是n1)kC1n(11)kS1P(Ai)n(1i1nnS2P(AiAj)Cn2(12)k1ijnnSP(AAA)Cn1(1n1)kn1i1iinn1i1i2in1nSn0n(1)n1SnP(Ai)S1S2S3i1C1n(11)kCn2(12)k(1)nCnn1(1n1)knnn故所求概率優(yōu)異文案適用標準文檔n1)kCn2(12)i(1)n1Cnn1(1n1)k1P(Ai)1C1n(1i1nnn48.設(shè)隨機試驗中，某一事件A出現(xiàn)的概率為ε>0.試證明：不論ε>0怎樣小，只需不停地獨立地重復做此試驗，那么A早晚會出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗中，A最少出現(xiàn)一次的概率為1(1)n1(n)49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣〔次品硬幣的兩面均印有國徽〕.在袋中任取一只，將它扔擲r次，每次都獲得國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設(shè)A={扔擲硬幣r次都獲得國徽}B={這只硬幣為正品}由題知P(B)m,P(B)nnmnm1r,P(A|B)1P(A|B)2那么由貝葉斯公式知P(AB)P(B)P(A|B)P(B|A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(A)m1mmn2rm1n1m2rnmn2rmn50.巴拿赫〔Banach〕火柴盒問題：某數(shù)學家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他初次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時〔不是發(fā)現(xiàn)空〕而另一盒恰有r優(yōu)異文案適用標準文檔【解】以1、2記火柴取自不一樣樣兩盒的事件，那么有P(B1)P(B2)1r根，說明已取了2n1BB.〔1〕發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r次，設(shè)n次取自B盒〔已空〕，nr次取自B盒，第2n22nr次火柴視作2nr重貝努里試驗，那么所求概率為r+1次拿起B(yǎng)，發(fā)現(xiàn)已空。把取21n1n1nr1n1p12C2nr(2)(2)2Cnr22rr式中2反應(yīng)B1與B2盒的對稱性〔即也可以是B2盒先取空〕.〔2〕前2nr1次取火柴，有n1次取自B盒，nr次取自B盒，第2nr次取自B盒，故概率為121p22C2nn1r1(1)n1(1)nr1C2nn1r1(1)2nr12222n重貝努里試驗中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】設(shè)在一次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.那么由(qp)nCn0p0qnC1npqn1Cn2p2qn2Cnnpnq01(qp)nCn0p0qnC1npqn1Cn2p2qn2(1)nCnnpnq0以上兩式相減得所求概率為p1C1npqn1Cn3p3qn31[1(qp)n]21[1(12p)n]2假定要求在n重貝努里試驗中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，那么只需將兩式相加，即得p21[1(12p)n].252.設(shè)，是任意兩個隨機事件，求{〔A+〕〔+〕〔A+B〕〔+B〕}的值.ABPBABA優(yōu)異文案適用標準文檔【解】因為〔A∪B〕∩〔A∪B〕=AB∪AB〔A∪B〕∩〔A∪B〕=AB∪AB所求(AB)(AB)(AB)(AB)[(ABAB)(ABAB)]故所求值為0.設(shè)兩兩互相獨立的三事件，A，B和CABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且P〔A∪B∪C〕=9/16，求P〔A〕.【解】由P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)3P(A)3[P(A)]2916故P(A)1或3,按題設(shè)P〔A〕<1,故P〔A〕=1.44AB24ABBA54.設(shè)兩個互相獨立的事件和都不發(fā)生的概率為1/9，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等，求〔〕.PA【解】P(AB)P(AB)1P(AB)1①9P(AB)P(AB)②故P(A)P(AB)P(B)P(AB)故P(A)P(B)③優(yōu)異文案適用標準文檔由A,B的獨立性，及①、③式有11P(A)P(B)P(A)P(B)912P(A)[P(A)]2[1P(A)]2故11P(A)3故P(A)24或P(A)〔舍去〕33即P〔A〕=2.355.隨機地向半圓0<<2axx2(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點，點落在半圓內(nèi)任何地域的概率與地域的面積成正比，那么原點和該點的連線與x軸的夾角小于y/4【解】利用幾何概率來求，圖中半圓面積為1πa2.暗影局部面積為21πa2a242故所求概率為πa21a21p421122π2πa56.10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.優(yōu)異文案適用標準文檔【解】設(shè)A={兩件中最罕有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}C42P(B|A)P(AB)C1021P(A)-C6251C10257.設(shè)有來自三個地域的各10名、15名和25名考生的報名表，此中女生的報名表分別為3份、7份和5份.隨機地取一個地域的報名表，從中先后抽出兩份.〔1〕求先抽到的一份是女生表的概率p〔2〕后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.【解】設(shè)Ai={報名表是取自第i區(qū)的考生}，i=1,2,3.B={第j次拿出的是女生表}，j=1,2.j那么P(Ai)1,i1,2,333,P(B1|A2)7,P(B15P(B1|A1)|A3)10152531(375)29(1)pP(B1)P(B1|Ai)i1310152590(2)qP(B1|B2)P(B1B2)P(B2)3而P(B2)P(B2|Ai)P(Ai)i1優(yōu)異文案適用標準文檔1(7820)613101525903P(B1B2)P(B1B2|Ai)P(Ai)i11(3778520)23109151425249P(B1B)220故q29P(B2)61619058.設(shè)A，B為隨機事件，且P〔B〕>0,P(A|B)=1,試比較P(A∪B)與P(A)的大小.(2006研考)解：因為P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(B)所以P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A).優(yōu)異文案適用標準文檔習題二1.一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在此中同時取3只，以X表示拿出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的散布律.【解】X3,4,5P(X3)1C53P(X4)3C53P(X5)C42C53故所求散布律為X345P優(yōu)異文案適用標準文檔2.設(shè)在15只同種類零件中有2只為次品，在此中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示拿出的次品個數(shù)，求：1〕X的散布律；2〕X的散布函數(shù)并作圖；(3)P{X1},P{1X3},P{1X3},P{1X2}.222【解】X0,1,2.P(X0)C13322C153.35P(X1)C12C13212.C15335P(X2)C1311.C33515故X的散布律為X012P22121353535〔2〕當x<0時，F(xiàn)〔x〕=P〔X≤x〕=0當0≤x<1時，F(xiàn)〔x〕=P〔X≤x〕=P(X=0)=

2235當1≤x<2時，F(xiàn)〔x〕=P〔X≤x〕=P(X=0)+P(X=1)=3435優(yōu)異文案適用標準文檔當x≥2時，F(xiàn)〔x〕=P〔X≤x〕=1故X的散布函數(shù)0,x022,0x1F(x)3534,1x2351,x2(3)1122P(X)F(),2235P(1X3)F(3)22P(1X3)P(X2P(1X2)F(2)

F(1)3434035351)P(1X3)12235F(1)P(X2)13410.35353.射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標的次數(shù)的散布律及散布函數(shù)，并求3次射擊中最少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標的次數(shù).那么X=0，1，2，3.優(yōu)異文案適用標準文檔P(X0)(0.2)3P(X1)C130.8(0.2)2P(X2)C32(0.8)2P(X3)(0.8)3故X的散布律X0123P散布函數(shù)0,x00.008,0x1F(x)0.104,1x20.488,2x31,x3P(X2)P(X2)P(X4.〔1〕隨機量X的散布律kP{X=k}=a，k!此中k=0，1，2，?，λ＞0常數(shù)，確立常數(shù)a.〔2〕隨機量X的散布律P{X=k}=a/N，k=1，2，?，N，確立常數(shù)a.【解】〔1〕由散布律的性知優(yōu)異文案適用標準文檔k1P(Xk)aaek0k0k!故ae由散布律的性質(zhì)知NN1P(Xk)k1k1

aN

a即a1.5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求：1〕兩人投中次數(shù)相等的概率;2〕甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，那么X~b〔3，〕,Y~b(3,0.7)(1)P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2)P(X3,Y3)(0.4)3(0.3)3C130.6(0.4)2C310.7(0.3)2+C32(0.6)232(0.7)2(0.6)3(0.7)3(2)P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0)優(yōu)異文案適用標準文檔P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X3,Y2)C130.6(0.4)2(0.3)3C32(0.6)20.4(0.3)3(0.6)3(0.3)3C32(0.6)2130.7(0.3)2(0.6)3C310.7(0.3)2(0.6)3C32(0.7)26.設(shè)某機場每日有200架飛機在此下降，任一飛機在某一時辰下降的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機下降是互相獨立的.試問該機場需裝備多少條跑道，才能保證某一時辰飛機需立刻下降而沒有安閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只好贊成一架飛機下降)？【解】設(shè)X為某一時辰需立刻下降的飛機數(shù)，那么X~b(200,0.02)，設(shè)機場需裝備N條跑道，那么有P(XN)200C200k(0.02)k(0.98)200k即kN1利用泊松近似np2000.024.e44kP(XN)kN1k!查表得N≥9.故機場最少應(yīng)裝備9條跑道.7.有一忙碌的汽車站，每日有大批汽車經(jīng)過，設(shè)每輛車在一天的某時段失事故的概率為0.0001,在某天的該時段內(nèi)有1000輛汽車經(jīng)過，問失事故的次數(shù)不小于2的概率是多少〔利用泊松定理〕？優(yōu)異文案適用標準文檔【解】設(shè)X表示失事故的次數(shù)，那么X~b〔1000，〕P(X2)1P(X0)P(X1)e0.1e在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X知足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】設(shè)在每次試驗中成功的概率為p，那么C15p(1p)4C25p2(1p)3故1p3所以P(X4)C54(1)4210.33243設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為，當A發(fā)生好多于3次時，指示燈發(fā)出信號，〔1〕進行了5次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率；〔2〕進行了7次獨立試驗，試求指示燈發(fā)出信號的概率.【解】〔1〕設(shè)X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，那么X~6〔5，〕5P(X3)C5k(0.3)k(0.7)5kk3(2)令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，那么〔7，0.3〕Y~b7P(Y3)C7k(0.3)k(0.7)7kk310.某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊迫呼救的次數(shù)X遵照參數(shù)為〔1/2〕t的泊松散布，而與時間間隔起點沒關(guān)〔時間以小時計〕.〔1〕求某一天正午12時至下午3時充公到呼救的概率；優(yōu)異文案適用標準文檔〔2〕求某一天正午12時至下午5時最少收到1次呼救的概率.35【解】〔1〕P(X0)e2(2)P(X1)1P(X0)1e211.設(shè){=}=kk(1p)2kPXkC2p,k=0,1,2P{Y=m}=mpm(1p)4m,=0,1,2,3,44m分別為隨機變量X，Y的概率散布，假如P{X≥1}=5，試求P{Y≥1}.9【解】因為P(X1)54，故P(X1).99而P(X1)P(X0)(1p)2故得(1p)24,9即p1.365進而P(Y1)1P(Y0)1(1p)48112.某教科書第一版了2000冊，因裝訂等原由造成錯誤的概率為0.001，試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，那么(2000,0.001).利用泊松近似計算,X~bnp20002得P(X5)e2255!優(yōu)異文案適用標準文檔13.進行某種試驗，成功的概率為3，失敗的概率為1.以X表示試驗初次成功所需試驗的次數(shù)，試寫出X的散布律，并計算X取偶數(shù)的概率.44【解】X1,2,,k,P(Xk)(1)k1344P(X2)P(X4)P(X2k)13(1)33(1)2k13444444311441(1)25414.有2500名同一年紀和同社會階層的人參加了保險企業(yè)的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家眷可從保險企業(yè)領(lǐng)取2000元補償金.求：〔1〕保險企業(yè)賠本的概率;〔2〕保險企業(yè)盈余分別好多于10000元、20000元的概率.【解】以“年〞為單位來考慮.〔1〕在1月1日，保險企業(yè)總收入為2500×12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為，那么(2500,0.002)，那么所求概率為XX~bP(2000X30000)P(X15)1P(X14)因為n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有P(X14e55k15)1k0k!優(yōu)異文案適用標準文檔P(保險企業(yè)盈余好多于10000)P(300002000X10000)P(X10)e55kk0k!即保險企業(yè)盈余好多于10000元的概率在98%〔保險企業(yè)盈余好多于20000〕P(300002000X20000)P(X5)P5e55kk!k0即保險企業(yè)盈余好多于20000元的概率約為62%15.隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ae|x|,∞<x<+∞,求：〔1〕A值；〔2〕{0<<1};(3)().PXFx【解】〔1〕由f(x)dx1得1Ae|x|dx2Aexdx2A0故1A.2(2)p(0X1)11xdx1e1)2e(10121(3)當x<0時，F(xiàn)(x)xxexedx22優(yōu)異文案適用標準文檔x1|x|01xx1exdx當x≥0時，F(xiàn)(x)edxedx222011ex21ex,x0故F(x)21ex1x0216.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只相同的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為100f(x)=x2,x100,0,x100.求：〔1〕在開始150小時內(nèi)沒有電子管破壞的概率；2〕在這段時間內(nèi)有一只電子管破壞的概率；3〕F〔x〕.【解】〔1〕P(X150)1501001x2dx.1003p1[P(X150)]3(2)381124327(2)2p2C33(3)9當x<100時F〔x〕=0當x≥100時()x()dxfttF優(yōu)異文案適用標準文檔100xf(t)dtf(t)dt100x100dt1100100t2xF(x)1100,x100故x0,x017.在區(qū)間［0，］上任意扔擲一個質(zhì)點，以X表示這質(zhì)點的坐標，設(shè)這質(zhì)點落在［0，］中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比率，試求X的分aa布函數(shù).【解】由題意知~∪[0,]，密度函數(shù)為Xa1,0xaf(x)a0,其余故當x<0時〔〕=0Fxxf(t)dtxx1x當0≤x≤a時F(x)f(t)dtdt00aa當x>a時，F(xiàn)〔x〕=1即散布函數(shù)0,x0F(x)x,0xaa1,xa18.設(shè)隨機變量X在[2，5]上遵照均勻散布.現(xiàn)對X進行三次獨立察看，求最罕有兩次的察看值大于3的概率.優(yōu)異文案適用標準文檔【解】X~U[2,5]，即f(x)1,2x530,其余P(X3)51dx2333故所求概率為pC32(2)21C33(2)3203332719.設(shè)顧客在某銀行的窗口等候效力的時間〔以分鐘計〕遵照指數(shù)散布1假定超出10分鐘他就走開.他一個月要到銀行5次，5以Y表示一個月內(nèi)他未等到效力而走開窗口的次數(shù)，試寫出Y的散布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知X~E(1)，即其密度函數(shù)為5x1e5,x0f(x)5x00,該顧客未等到效力而走開的概率為1xP(X10)e5dxe25Y~b(5,e2),即其散布律為優(yōu)異文案適用標準文檔P(Yk)C5k(e2)k(1e2)5k,k0,1,2,3,4,5P(Y1)1P(Y0)1(1e2)520.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條行程較短但交通擁堵，所需時間X遵照〔40，102〕；第二條行程較長，但擁堵少，所需時間X服N從N〔50，42〕.1〕假定出發(fā)時離火車開車只有1小時，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的掌握大些？2〕又假定離火車開車時間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路追上火車掌握大些？【解】〔1〕假定走第一條路，X~N〔40，102〕，那么406040P(X60)P1010假定走第二條路，X~N〔50，42〕，那么P(X60)PX506050(2.5)0.9938++44故走第二條路乘上火車的掌握大些.2〔2〕假定X~N〔40，10〕，那么P(X45)PX4045401010假定X~N〔50，42〕，那么P(X45)PX504550(1.25)441(1.25)優(yōu)異文案適用標準文檔故走第一條路乘上火車的掌握大些.設(shè)X~N〔3，22〕，1〕求P{2<X≤5}，P{4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};2〕確立c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】〔1〕P(2X5)P

23X353222(1)1(1)11221P(4X10)P43X31032227722P(|X|2)P(X2)P(X2)PX323PX323222211511522221優(yōu)異文案適用標準文檔P(X3)P(X33-322(2)c=322.由某機器生產(chǎn)的螺栓長度〔cm〕~〔2〕,規(guī)定長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.XN【解】P(|X10.05|0.12)P1(2)(2)2[1(2)]23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命〔小時〕遵照正態(tài)散布〔160，2〕，假定要求{120＜≤200}≥0.8，贊成σ最大不超出多少？XNσPX【解】P(120X200)P120160X1602001604040402140故設(shè)隨機變量X散布函數(shù)為〔x〕=ABext,x0,0,x0.1〕求常數(shù)A，B；2〕求P{X≤2}，P{X＞3}；3〕求散布密度f〔x〕.優(yōu)異文案適用標準文檔limF(x)1A1【解】〔1〕由x得limF(x)limF(x)B1x0x0〔2〕P(X2)F(2)1e2P(X3)1F(3)1(1e3)e3(3)f(x)F(x)ex,x00,x0設(shè)隨機變量X的概率密度為x,0x1,f〔x〕=2x,1x2,0,其余.求X的散布函數(shù)F〔x〕，并畫出f〔x〕及F〔x〕.【解】當x<0時F〔x〕=0當0≤x<1時F(x)x0xf(t)dtf(t)dtf(t)dt0x2tdt2()x)d(t當1≤x<2時優(yōu)異文案適用標準文檔01xf(t)dtf(t)dtf(t)dt011xt)dttdt(21x232x22x22x12當x≥2時F(x)xf(t)dt10,x0x2,0x1故F(x)2x21,1x22x1,2x2設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為〔1〕f(x)=ae|x|,λ>0;bx,0x1,(2)f(x)=12,1x2,x0,其余.試確立常數(shù)a,b，并求其散布函數(shù)F〔x〕.【解】〔1〕由f(x)dx1知1ae|x|dx2aexdx2a0優(yōu)異文案適用標準文檔故即密度函數(shù)為當x≤0時F(x)xf(x)dx當x>0時F(x)xf(x)dx11ex2故其散布函數(shù)

a2ex,x0f(x)2exx02x1exexdx220xexdxexdx202F(x)

11ex,x021ex,x02(2)由1121b1f(x)dxbxdx2dx201x2得b=1即X的密度函數(shù)為優(yōu)異文案適用標準文檔f(x)當x≤0時F〔x〕=0當0<x<1時F(x)x0xf(x)dxf(x)dxf(x)dx0x2xdx2當1≤x<2時F(x)x01x1dxf(x)dx0dxxdxx23101x當x≥2時F〔x〕=1故其散布函數(shù)為

x,0x11,1x20,其余0,x0x2,0x1F(x)231,1x22x1,x227.求標準正態(tài)散布的上分位點，〔1〕=0.01，求z;優(yōu)異文案適用標準文檔2〕=0.003，求z，z/2.【解】〔1〕P(Xz)即1即故z〔2〕由P(X得1(z)即(z)查表得z由P(Xz/2)0.0015得1(z/2)即(z/2查表得z/2優(yōu)異文案適用標準文檔隨機量X的散布律X21013k1/51/61/51/1511/30P求Y=X2的散布律.【解】Y可取的0，1，4，9P(Y0)P(X10)5P(Y1)P(X1171)P(X1)15306P(Y4)P(X12)5P(Y9)P(X113)30故Y的散布律Y0149k1/57/301/511/30P29.P{X=k}=(1)k,k=1,2,?,令21,當X取偶數(shù)時Y1,當X取奇數(shù)時.求隨機量X的函數(shù)Y的散布律.【解】P(Y1)P(X2)P(X4)P(X2k)優(yōu)異文案適用標準文檔(1)2(1)4(1)2k222(1)/(11)1443P(Y21)1P(Y1)3設(shè)X~N〔0，1〕.1〕求Y=eX的概率密度；2〕求Y=2X2+1的概率密度；3〕求Y=｜X｜的概率密度.【解】〔1〕當y≤0時，()()0yPYyFY>0FY(y)()P(exy)(Xlny)當y時，lnyfX(x)dx故fY(y)dFY(y)1fx(lny)11eln2y/2,y0dyyy2π(2)P(Y2X211)1當y≤1時()()0FYyPYy當y>1時F(y)P(Yy)P(2X21y)Y優(yōu)異文案適用標準文檔PX2y1Py1Xy1222(y1)/2fX(x)dx(y1)/2dFY(y)12fXy1fXy1故fY(y)4y22dy1121e(y1)/4,y12y12π(3)P(Y0)1當y≤0時FY(y)P(Yy)0當y>0時FY(y)P(|X|y)P(yXy)yfX(x)dxy故fY(y)dFY(y)fX(y)fX(y)dy2ey2/2,y02π31.設(shè)隨機變量~〔0,1〕，試求：XU優(yōu)異文案適用標準文檔X〔1〕Y=e的散布函數(shù)及密度函數(shù)；〔2〕Z=2lnX的散布函數(shù)及密度函數(shù).【解】〔1〕P(0X1)1故P(1YeX當y1時FY(y)當1<y<e時FY(y)當y≥e時FY(y)即散布函數(shù)

e)1P(Yy)0P(eXy)P(Xlny)lnydxlny0P(eXy)10,y1FY(y)lny,1ye1,ye故Y的密度函數(shù)為11yefY(y)y,0,其余〔2〕由P〔0<X<1〕=1知P(Z0)1優(yōu)異文案適用標準文檔當z≤0時，F(xiàn)Z(z)P(Zz)0當z>0時，F(xiàn)Z()(Z)(2lnX)zPzPzP(lnXz)P(Xez/2)21dx1ez/2ez/2即散布函數(shù)FZ0,z0(z)z01-e-z/2,故Z的密度函數(shù)為fZ(z)1ez/2,z0200,z設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為2x0xπ,f(x)=2,π0,其余.試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】P(0Y1)1當y≤0時，()()0yPYyFY優(yōu)異文案適用標準文檔()()(sin)當0<y<1時，PYyPXyFYyP(0Xarcsiny)P(πarcsinyXπ)arcsiny2xdxπ2xdx02πarcsiny2ππ1212〔arcsiny〕1-〔π-arcsiny〕22ππ2arcsinyπ當y≥1時，F(xiàn)Y(y)1故Y的密度函數(shù)為21,0y1fY(y)π1y20,其余設(shè)隨機變量X的散布函數(shù)以下：1,x(1),F(x)1x2(2),x(3).試填上(1),(2),(3)項.【解】由limF(x)1知②填1。x優(yōu)異文案適用標準文檔由右連續(xù)性lim+F(x)F(x0)1知x00，故①為0。xx0進而③亦為0。即1F(x)1x2,x01,x034.同時擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止，求扔擲次數(shù)X的散布律.【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點}。〔i=1,2〕,P(Ai)=1.且A1與A2互相獨立。再設(shè)C={每次扔擲出現(xiàn)6點}。那么6P(C)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)111111666636故扔擲次數(shù)X遵照參數(shù)為11的幾何散布。3635.隨機數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0最少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包括n個數(shù)字，那么(,0.1)X~bnP(X1)1P(X0)1C0n(0.1)0(0.9)n即(0.9)n得n≥22即隨機數(shù)字序列最少要有22個數(shù)字。36.優(yōu)異文案適用標準文檔0,x0,〔〕=x10x1221,x1.2那么F〔x〕是〔〕隨機變量的散布函數(shù).〔A〕連續(xù)型；〔B〕失散型；〔C〕非連續(xù)亦非失散型.【解】因為F〔x〕在〔∞,+∞〕上單一不減右連續(xù)，且limF(x)0xlimF(x)1,所以F〔x〕是一個散布函數(shù)。x可是F〔x〕在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F〔x〕是非連續(xù)亦非失散型隨機變量的散布函數(shù)。選〔C〕37.設(shè)在區(qū)間[,b]上，隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在[,]外，f(x)=0，那么區(qū)間[,]等于〔〕aabab(A)[0,π/2];(B)[0,π];()[π/2,0];(D)[0,3π].C【解】在[0,π上]2在[0,π]上

2sinx≥0，且π/2sinxdx1.故f(x)是密度函數(shù)。0πsinxdx21.故f(x)不是密度函數(shù)。0在[π,0]上sinx0，故f(x)不是密度函數(shù)。2優(yōu)異文案適用標準文檔在[0,3π]上，當πx3π時，sinx<0，f(x)也不是密度函數(shù)。22應(yīng)選〔A〕。設(shè)隨機變量X~N〔0，σ2〕，問：當σ取何值時，X落入?yún)^(qū)間〔1，3〕的概率最大？【解】因為X~N(0,2),P(1X3)P(1X3)(3)(1)令g()利用微積分中求極值的方法，有2得0又故0故當

g()(3)3112()2()31e9/22111/22222e21令2e1/22[13e8/22]0242,那么0ln3ln3g(0)02為極大值點且唯一。ln32時X落入?yún)^(qū)間〔1，3〕的概率最大。ln3優(yōu)異文案適用標準文檔39.設(shè)在一段時間內(nèi)進入某一商鋪的顧客人數(shù)X遵照泊松散布P〔λ〕，每個顧客購買某種物件的概率為p，而且各個顧客能否購買該種物件互相獨立，求進入商鋪的顧客購買這類物件的人數(shù)Y的散布律.em【解】P(X,m0,1,2,m)m!設(shè)購買某種物件的人數(shù)為Y，在進入商鋪的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即P(Yk|Xm)Cmkpk(1p)mk,k0,1,,m由全概率公式有P(Yk)P(Xm)P(Yk|Xm)mkemCmkpk(1p)mkmkm!mpk(1p)mkemkk!(mk)!e(p)k[(1p)]mkk!(mk)!mk(p)kee(1p)k!(p)kep,k0,1,2,k!本題說明：進入商鋪的人數(shù)遵照參數(shù)為λ的泊松散布，購買這類物件的人數(shù)仍遵照泊松散布，但參數(shù)改變成λp.40.設(shè)隨機變量X遵照參數(shù)為2的指數(shù)散布.證明：=1e2X在區(qū)間〔0，1〕上遵照均勻散布.Y優(yōu)異文案適用標準文檔【證】X的密度函數(shù)為2e2x,x0fX(x)x00,因為P〔X>0〕=1，故0<1e2X<1，即P〔0<Y<1〕=1當y≤0時，F(xiàn)Y〔y〕=0當y≥1時，F(xiàn)Y〔y〕=1當0<y<1時，F(xiàn)(y)P(Yy)P(e2x1y)YP(X1ln(1y))12y)ln(12x22edxy0即Y的密度函數(shù)為1,0y1fY(y)0,其余即Y~U〔0，1〕設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為1,0x1,32f(x)=,3x6,0,其余.假定k使得{≥}=2/3，求k的取值范圍.(2000研考)PXk優(yōu)異文案適用標準文檔【解】由P〔X≥k〕=2知P〔X<k〕=133假定k<0,P(X<k)=0k1k1假定0≤k≤1,P(X<k)=dx3303當k=1時〔<〕=1PXk3111k0dx假定1≤k≤3時P〔X<k〕=dx303111k2211假定3<k≤6，那么P〔X<k〕=dxdx9k303393假定k>6,那么P〔X<k〕=12故只有當1≤k≤3時知足P〔X≥k〕=.設(shè)隨機變量X的散布函數(shù)為0,x1,0.4,1x1,F(x)=1x3,0.8,1,x3.求X的概率散布.〔1991研考〕【解】由失散型隨機變量X散布律與散布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率散布為X113P43.設(shè)三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等.假定A最少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗中出現(xiàn)的概率.優(yōu)異文案適用標準文檔【解】令X為三次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，假定設(shè)P〔A〕=p,那么X~b(3,p)由P〔X≥1〕=19知P〔X=0〕=〔1p〕3=82727故p=13y2+Xy+1=0有實根的概率是多少？44.假定隨機變量X在〔1，6〕上遵照均勻散布，那么方程【解】11x6f(x),50,其余P(X240)P(X2)P(X2)P(X2)45假定隨機變量X~N〔2，σ2〕，且P{2<X，那么{<0}=.PX【解】0.3P(2X4)P(22X242)2)(0)(2()故(2)所以P(X0)P(X202)(2)1(2)優(yōu)異文案適用標準文檔46.假定一廠家生產(chǎn)的每臺儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進一步伐試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不可以出廠.現(xiàn)該廠重生產(chǎn)了n(n≥2)臺儀器〔假定各臺儀器的生產(chǎn)過程互相獨立〕.求1〕所有能出廠的概率α；2〕此中恰巧有兩臺不可以出廠的概率β；3〕此中最罕有兩臺不可以出廠的概率θ.【解】設(shè)A={需進一步伐試}，B={儀器能出廠}，那么A={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}由題意知B=A∪AB，且P(A)P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A)P(AB)令X為重生產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù)，那么X~6〔n，〕,故P(Xn)(0.94)nP(Xn2)Cn2(0.94)n2(0.06)2P(Xn2)1P(Xn1)P(Xn)1n(0.94)n1(0.94)n47.某地抽樣檢查結(jié)果說明，考生的外語成績〔百分制〕近似遵照正態(tài)散布，均勻成績?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語成績，那么X~N〔72，σ2〕優(yōu)異文案適用標準文檔X729672240.023P(X96)P1()故24查表知242,即σ=12進而X~N〔72，122〕故P(60X84)P

6072X728472121212(1)2(1)148.在電源電壓不超出200V、200V~240V和超出240V三種情況下，某種電子元件破壞的概率分別為0.1，0.001和0.2〔假定電源電壓X遵照正態(tài)散布N220，252〕〕.試求：1〕該電子元件破壞的概率α;(2)該電子元件破壞時，電源電壓在200~240V的概率β【解】設(shè)1={電壓不超出200V}，2={電壓在200~240V}，AAA={電壓超出240V}，B={元件破壞}。3由~〔220，225〕知XNP(A1)P(X200)優(yōu)異文案適用標準文檔PX2202002202525(0.8)1(0.8)P(A2)P(200X240)P200220X220240220252525(0.8)(0.8)P(A3)P(X240)1由全概率公式有3P(B)P(Ai)P(B|Ai)i1由貝葉斯公式有P(A2|B)P(A2)P(B|A2)P(B)49.設(shè)隨機變量X在區(qū)間〔1，2〕上遵照均勻散布，試求隨機變量2Xf(y).=e的概率密度Y【解】fX(x)1,1x20,其余因為P〔1<X<2〕=1,故P〔e2<Y<e4〕=1當y≤e2時FY〔y〕=P(Y≤y)=0.優(yōu)異文案適用標準文檔當e2<y<e4時，F(xiàn)Y(y)P(Yy)P(e2Xy)P(1X1lny)21lny12dx11lny2當y≥e4時，F(xiàn)Y(y)(Y)1Py0,ye2即FY(y)1lny1,e2ye42e41,yfY(y)1,e2ye4故2y0,其余設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為fX(x)=

ex,x0,0,x0.求隨機變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y).(1995研考)【解】P〔Y≥1〕=1當y≤1時，F(xiàn)Y(y)(y)0PY優(yōu)異文案適用標準文檔當y>1時，F(xiàn)Y(y)()(eXy)(lny)PYyPPXlnyexdx110yFY(y)11,y>1即y0,y11y>1故fY(y)y2,0,y1設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=1,X求Y3x的密度函數(shù)fY=1(y).【解】FY(y)P(Yy)P(13Xy)P(X(1y)3)1dx13π(12)arctgx(1y)3(1y)xππarctg(1y)32優(yōu)異文案適用標準文檔fY3(1y)2故(y)π1(1y)652.假定一大型設(shè)施在任何長為t的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)〔〕遵照參數(shù)為λt的泊松散布.Nt〔1〕求接踵兩次故障之間時間間隔T的概率散布；〔2〕求在設(shè)施已經(jīng)無故障工作8小時的情況下，再無故障運轉(zhuǎn)8小時的概率Q.〔1993研考〕【解】〔1〕當t<0時，F(xiàn)T(t)P(Tt)0當t≥0時，事件{>}與{()=0}等價，有TtNtFT(t)P(Tt)1P(Tt)1P(N(t)0)1et即FT(t)1et,t00,t0即間隔時間T遵照參數(shù)為λ的指數(shù)散布?！?〕eQP(T16|T8)P(T16)/P(T8)e

16e853.設(shè)隨機變量X的絕對值不大于1，{=1}=1/8，{=1}=1/4.在事件{1<<1}出現(xiàn)的條件下，X在{1，1}內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子PXPXX區(qū)間長度成正比，試求X的散布函數(shù)F〔x〕=P{X≤x}.(1997研考)【解】明顯當x<1時〔〕=0；而x≥1時〔〕=1FxFx由題知P(1X1)1115848x1當1<x<1時，P(Xx|1X1)2此時F(x)P(Xx)優(yōu)異文案適用標準文檔P(X,1X1)P(Xx,X1)P(Xx,X1)P(Xx,1X1)P(Xx,x1)P(Xx|1X1)P(1X1)P(X1)x1515(x1)1288168當x=1時，F(xiàn)(x)P(Xx)P(X1)18故X的散布函數(shù)0,x1F(x)51-1x<1(x1),1681,x12聽從正態(tài)散布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，試比較σ1與σ2的大小.54.設(shè)隨機變量X聽從正態(tài)分N〔μ1,σ1),Y(2006研考)解：依題意X1N(0,1)，Y2N(0,1)，那么12P{X1P{Y2

1}P{X11}，111}P{Y21}.22優(yōu)異文案適用標準文檔因為P{X11}P{Y21}，即P{X11}P{Y11

1}，22所以有11，即12.12習題三1.將一硬幣扔擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的結(jié)合散布律.【解】X和Y的結(jié)合散布律如表：X0123Y優(yōu)異文案適用標準文檔101111321110C32228C32223/831001111822282.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在此中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的結(jié)合散布律.【解】X和Y的結(jié)合散布律如表：X0123Y000C32C223C33C122C7435C743510C13C12C226C32C12C1212C33C122C7435C7435C74352P(0黑,2紅,2白)=C13C22C126C32C2230C22C22/C741C7435C7435353.設(shè)二維隨機變量〔X，Y〕的結(jié)合散布函數(shù)為ππF〔x，y〕=sinxsiny,0x2,0y20,其余.優(yōu)異文案適用標準文檔求二維隨機變量〔X，Y〕在長方形域πππ內(nèi)的概率.0x,y346【解】如圖P{0Xπππ,Y}公式(3.2)463ππππππF(,)F(,)F(0,)F(0,)434636ππππππsinsinsinsin6sin0sinsin0sin43436(31).4題3圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。設(shè)隨機變量〔X，Y〕的散布密度Ae(3x4y),x0,y0,f〔x，y〕=其余.0,求：〔1〕常數(shù)A；優(yōu)異文案適用標準文檔2〕隨機變量〔X，Y〕的散布函數(shù)；3〕P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】〔1〕由f(x,y)dxdyAe-(3x4y)dxdy00得A=12〔2〕由定義，有(,yx(,)ddFxy)fuvuvyy4v)dudv(1e3x)(1012e(3u00,(3)P{0X1,0Y2}

A112e4y)y0,x0,0,其余P{0X1,0Y2}12(3x4y)dxdy(1e3)(1e8)0.9499.12e0設(shè)隨機變量〔X，Y〕的概率密度為f〔x，y〕=1〕確立常數(shù)k；2〕求P{X＜1，Y＜3}；3〕求P{X<1.5}；4〕求P{X+Y≤4}.【解】〔1〕由性質(zhì)有

k(6xy),0x2,2y4,0,其余.優(yōu)異文案適用標準文檔24f(x,y)dxdyk(6xy)dydx8k1,02故1R8〔2〕P{X1,Y3}13f(x,y)dydx1313k(6xy)dydx0288(3)P{X1.5}f(x,y)dxdy如圖af(x,y)dxdyD141y)dy27dx(6x.02832(4)P{XY4}f(x,y)dxdy如圖bf(x,y)dxdyXY4D224xdx02

1(6xy)dy2.83題5圖6.設(shè)X和Y是兩個互相獨立的隨機變量，X在〔0，〕上遵照均勻散布，Y的密度函數(shù)為優(yōu)異文案適用標準文檔fY〔y〕=求：〔1〕X與Y的結(jié)合散布密度；〔2〕P{Y≤X}.

5e5y,y0,0,其余.題6圖【解】〔1〕因X在〔0，0.2〕上遵照均勻散布，所以X的密度函數(shù)為10x0.2,,fX0,其余.而fY(y)所以f(x,y)X,Y獨立fX(x)fY(y)

5e5y,y0,0,其余.優(yōu)異文案適用標準文檔15e5y25e5y,且0,0x0.2y0,其余.0,(2)P(YX)f(x,y)dxdy如圖25e5ydxdyyxDdxx25e-5ydy(5e5x5)dx000=e-10.3679.7.設(shè)二維隨機變量〔X，Y〕的結(jié)合散布函數(shù)為〔，〕=(1e4x)(1e2y),x0,y0,Fxy0,其余.求〔，〕的結(jié)合散布密度.XY【解】f(x,y)2F(x,y)8e(4x2y),x0,y0,xy0,其余.8.設(shè)二維隨機變量〔X，Y〕的概率密度為f〔x，y〕=4.8y(2x),0x1,0yx,0,其余.求邊沿概率密度.【解】()(,)dfXxfxyy優(yōu)異文案適用標準文檔x2(2x),0x1,=4.8y(2x)dy00,其余.0,fY(y)f(x,y)dx14.8y(2x)dx2.4y(34yy2),0y1,=y0,其余.0,題8圖題9圖9.設(shè)二維隨機變量〔X，Y〕的概率密度為ey,0xy,f〔x，y〕=其余.0,求邊沿概率密度.【解】()(,)dfXxfxyy優(yōu)異文案適用標準文檔=eydyex,x0,x0,其余.0,fY(y)f(x,y)dxyydxyex,y0,=e00,其余.0,題10圖10.設(shè)二維隨機變量〔X，Y〕的概率密度為cx2y,x2y1,f〔x，y〕=其余.0,1〕試確立常數(shù)c；2〕求邊沿概率密度.【解】〔1〕f(x,y)dxdy如圖f(x,y)dxdyD112ydy4c1.=dxx2cx-121優(yōu)異文案適用標準文檔c21.4fX(x)f(,y)dy(2)1212ydy212(1x4),1x1,2xxx480,0,其余.fY(y)f(x,y)dxy21x2ydx7y52,0y1,0,y420,其余.設(shè)隨機變量〔X，Y〕的概率密度為1,yx,0x1,f〔x，y〕=其余.0,求條件概率密度fY｜X〔y｜x〕，fX｜Y〔x｜y〕.優(yōu)異文案適用標準文檔題11圖【解】fX(x)f(,)dyxyx1dy2x,0x1,x0,其余.11y,1y0,1dxyfY(y)f(x,y)dx11y,0y1,1dxy0,其余.所以f(x,y)1|y|x1,fY|X(y|x),fX(x)2x0,其余.1,yx1,1yfX|Y(x|y)f(x,y)1,yx1,fY(y)1y0,其余.12.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y.〔1〕求X與Y的結(jié)合概率散布；優(yōu)異文案適用標準文檔2〕X與Y能否互相獨立？【解】〔1〕X與Y的結(jié)合散布律以下表Y345X1112233C5310C5310C5310201122C5310C531030011C5210P{Yyi}136101010(2)因P{X61611,Y3},1}P{Y3}10100P{X1010故X與Y設(shè)二維隨機變量〔X，Y〕的結(jié)合散布律為X258Y〔1〕求對于X和對于Y的邊沿散布；

P{Xxi}610310110優(yōu)異文案適用標準文檔2〕X與Y能否互相獨立？【解】〔1〕X和YX258{i}PY=yYP{Xxi}(2)因P{X2}P{Y0.4}P(X2,Y0.4),故X與Y不獨立.14.設(shè)X和Y是兩個互相獨立的隨機變量，X在〔0，1〕上遵照均勻散布，Y的概率密度為fY〔y〕=1ey/2,y0,2其余.0,〔1〕求X和Y的結(jié)合概率密度；〔2〕設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實根的概率.1,0x1,1yy1,fY(y)e2,【解】〔1〕因fX(x)其余;20,0,其余.故f(x,y)X,Y獨立fX(x)fY(y)1ey/20x1,y0,20,其余.優(yōu)異文案適用標準文檔題14圖(2)方程a22XaY0有實根的條件是(2X)24Y0故X2≥Y，進而方程有實根的概率為：P{X2Y}f(x,y)dxdyx2y1x21y/2dydxe00212[(1)(0)]0.1445.15.設(shè)X和Y分別表示兩個不一樣樣電子器件的壽命〔以小時計〕，并設(shè)X和Y互相獨立，且遵照同一散布，其概率密度為f〔x〕=10002,x1000,x其余.0,優(yōu)異文案適用標準文檔求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的散布函數(shù)FZ(z)P{Zz}P{Xz}Y(1)當z≤0時，F(xiàn)Z(z)02〕當0<z<1時，〔這時當x=1000時,y=1000〕(如圖a)zFZ(z)1062dxdy103dyyz106x2y103x2y2dxxzyz=103106z103zy3dyzy22題15圖(3)當z≥1時，〔這時當y=103時，x=103z〕〔如圖b〕1062dxdy3dyzy106FZ(z)2y3x2y2dxxx1010yz優(yōu)異文案適用標準文檔1031061=103y2zy3dy12z11,z1,2z即fZ(z)z,0z1,20,其余.12,z1,2z故fZ(z)1,0z1,20,其余.16.設(shè)某種型號的電子管的壽命〔以小時計〕近似地遵照N〔160，2只，求此中沒有一只壽命小于180的概率.20〕散布.隨機地采納4【解】設(shè)這四只壽命為i(i=1,2,3,4)，那么i~〔160，202〕，XXN進而P{min(X1,X2,X3,X4)180}Xi之間獨立P{X1180}P{X2180}P{X3180}P{X4180}[1P{X1180}][1P{X2180}][1P{X3180}][1P{X4180}]優(yōu)異文案適用標準文檔4[1P{X1180}]4118016020[1(1)]4(0.158)40.00063.X，Y是互相獨立的隨機量，其散布律分P{X=k}=p〔k〕，k=0，1，2，?，P{Y=r}=q〔r〕，r=0，1，2，?.明隨機量Z=X+Y的散布律i{=}=，，，，?p(k)q(ik).i=012k0【明】因X和Y所有可能都是非整數(shù)，所以{Zi}{XYi}{X0,Yi}{X1,Yi1}{Xi,Y0}于是iiP{Zi}P{Xk,Yik}X,Y互相獨立P{Xk}P{Yik}k0k0ip(k)q(ik)0X，Y是互相獨立的隨機量，它都遵照參數(shù)n，p的二散布.明Z=X+Y遵照參數(shù)2n，p的二散布.【明】方法一：X+Y可能取0，1，2，?，2n.優(yōu)異文案適用標準文檔kP{XYk}P{Xi,Yki}i0kP(Xi)P{Yki}i0knininkinkipqpqki0iiknnpkq2nkikii02npkq2nkk方法二：μ1,μ2,?,μn;μ1′,μ2′,?，μn′均遵照兩點散布〔參數(shù)p〕，X=μ1+μ2+?+μn，Y=μ1′+μ2′+?+μn′,XYμ1+μ2+?+μn+μμ2′+?+μn′,+=1′+所以，X+Y遵照參數(shù)〔2n,p)的二散布.隨機量〔X，Y〕的散布律X012345Y00123求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；2〕求V=max〔X，Y〕的散布律；優(yōu)異文案適用標準文檔3〕求U=min〔X，Y〕的散布律；4〕求W=X+Y的散布律.【解】〔1〕P{X2|YP{X2,Y2}2}P{Y2}P{X2,Y2}15,P{Xi,Y2}2i0P{Y3|XP{Y3,X0}0}P{X0}P{X0,Y3}13;P{X0,Yj}3j0〔2〕P{Vi}P{max(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}i1ii0,1,2,3,4,5P{Xi,Yk}P{Xk,Yi},k0k0所以V的散布律為V=max(X,Y012345)P0優(yōu)異文案適用標準文檔(3)P{Ui}P{min(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}35i0,1,2,3,P{Xi,Yk}P{Xk,Yi}kiki1于是U=min(X,Y)0123P近似上述過程，有W=X+Y012345678P0雷達的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標出現(xiàn)點〔X，Y〕在屏幕上遵照均勻散布.1〕求P{Y＞0｜Y＞X}；〔2〕設(shè)M=max{X，Y}，求P{M＞0}.題20圖【解】因〔X，Y〕的結(jié)合概率密度為優(yōu)異文案適用標準文檔f(x,y)P{Y0,YX}〔1〕P{Y0|YX}P{YX}f(x,y)d0yxf(x,y)dyxπR1d2rdrπRπ/405πR12rdr4dπRπ/403/83;1/24

12,x2y2R2,πR0,其余.(2)P{M0}P{max(X,Y)0}1P{max(X,Y)0}1P{X0,Y0}1f(x,y)d113.x044y021.設(shè)平面地域D由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機變量〔X，Y〕在地域D上遵照均勻散布，求〔X，Y〕對于X的邊沿概率密度在x=2處的值為多少？優(yōu)異文案適用標準文檔【解】地域D的面積為S0e221dxlnx1e1x

題21圖〔X,Y〕的結(jié)合密度函數(shù)為f(x,y)1,1xe2,0y1,2x0,其余.〔X，Y〕對于X的邊沿密度函數(shù)為1/x111x2fX(x)dy,e,022x0,其余.所以fX1(2).XY4XY22.設(shè)隨機變量和互相獨立，下表列出了二維隨機變量〔，〕結(jié)合散布律及對于和的邊沿散布律中的局部數(shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白XY處.Yy1y2y3P{X=xi}=piXx11/8x21/8優(yōu)異文案適用標準文檔P{Y=y}=p1/61jj2【解】因P{Yyj}PjP{Xxi,Yyj},i1故P{Yy}P{Xx,Yy}P{Xx,Yy},11121進而P{Xx1,Yy1}11168.24而X與Y獨立，故{}{}{,},PXxiPYyjPXxiYyi進而P{Xx1}1P{Xx1,Yy1}1.624即：P{Xx1}1/11.2464又P{Xx}P{Xx,Yy}P{Xx,Yy}P{Xx,Yy},1111213即111P{Xx1,Yy3},42481.進而P{Xx1,Yy3}1,123同理P{Yy2}P{Xx2,Yy2}283P{Yyj}1,故P{Yy3}1111又62