信號(hào)與系統(tǒng)公式大總結(jié)

第一章緒論i連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)時(shí)間區(qū)間(T,T)(,)(N,N)(,)瞬時(shí)功率f(t)2能量TE f(t)2dtTT E f(t)2TT f(t)2dtNEx(n)2nNEx(n)2n平均功率P1T ft)2t2TTPm1T ft)2tT2TT1 N 2P2N1x(n)nN1 N 2Plim2N1x(n)N nN周期信號(hào)f(t)f) m2,x(n)x(nmn)m0,1,2,ee(t) T0 0線性 f(ty(t) 次性 性 則af(t)ay(t) y(t)yx(t)yf(t) 線性系統(tǒng) 若(t)(t)，f2(t)y2(t) 性 y(n)y0(n)yn(n)可性f(t)f(t)y(t)y(t) 1 2 1 2判斷方法：先線性運(yùn)算，后經(jīng)系統(tǒng)的結(jié)果=先經(jīng)系統(tǒng)，后線性運(yùn)算的結(jié)果時(shí)不變性若f(t)yf(t)，則f(tt0)yf(tt0)若x(n)y(n)，則x(nn0)y(nn0)系統(tǒng)時(shí)不性：1電分析元件的數(shù)值否隨間而化 2方程析：數(shù)是隨間而變3輸入輸出分析：輸入激勵(lì)信號(hào)有時(shí)移，輸出響應(yīng)信號(hào)也同樣有時(shí)移。時(shí)域分析時(shí)域分析功率信號(hào)：0PE系統(tǒng)模型輸入輸出系統(tǒng)模型換域分析頻域狀態(tài)變量系統(tǒng)模型變復(fù)頻域Z域能量信號(hào)：0EP第二、三章.連續(xù)時(shí)間信號(hào)、離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域分析第二、三章.連續(xù)時(shí)間信號(hào)、離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域分析一．普通信號(hào)普通信號(hào)f(t)Kest ，s直流信號(hào)0,0f(t)K t實(shí)指數(shù)信號(hào)0,0f(t)Ket t時(shí)間常數(shù)：1虛指數(shù)信號(hào),00ft)etKstKnt0 0正弦信號(hào)f(t)Kejm[et][eet]Kt)0復(fù)指數(shù)信號(hào),00f(t)KetcostjKetsint t0 0二、沖激信號(hào)沖激信號(hào)A(t)(t)0 t0義(t) t0 義t)tA:tt)t)A(t)是偶函數(shù)篩選特性f(t)(tt0)f(t0)(tt0)特別：f(t)(t)f(t0)(t)取樣特性ftt0tf0)特別：ftttf)展縮特性(atb)1b)a a 1 a.a0 .a0 3.gt(t)tgt)atb)t階躍信號(hào)Au(t)：Au(t)A t00 t0t0處可以定義為0,1,1(個(gè)別點(diǎn)數(shù)值差別不會(huì)導(dǎo)致能量的改變)2性質(zhì)1. Au(t) 2.)d[Au(t)]t 斜坡信號(hào)Ar(t)Ar(t)At t00 t0性質(zhì)1. Au(t)dtAr(t) 2.Au(t)d[Ar(t)]t 高階沖激信號(hào)(n)(t) n義: f(n)(t)dt[d f(t)] dtnt0沖激偶信號(hào)'(t)義: f'(t)dt[df(t)] f'(0) dt t0說(shuō)明：1.'(t)量綱是s2 強(qiáng)度A的單位是Vs23.'(t)是奇函數(shù)篩選特性f(t)'(tt)f(t)'(tt)f'(t)(tt)0 0 0 0 0t時(shí) f'(t)f'(t)f'(t)證明：對(duì)f(t)(tt0)f(t0)(tt0)兩端微分取樣特性 f'(tt)dtf') 0 0證明：關(guān)鍵利用篩選特性展開展縮特性'(atb)1'(tb) a0a2 a'(atb)1'(tb) a0a2 aa時(shí)'(t'(t)'(t)是奇函數(shù)三.卷積連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)卷積定義1t)f2t)1)f2tx1(n)x2(n)x1(k)x2(nk)k交換率f1(t)f2(t)f2(t)f1(t)x1(n)x2(n)x2(n)x1(n)分配率f1(t)[f2(t)f3(t)]f1(t)f2(t)f1(t)f3(t)x1(n)[x2(n)x3(n)]x1(n)x2(n)x1(n)x3(n)結(jié)合率[f1(t)f2(t)]f3(t)f1(t)[f2(t)f3(t)][x1(n)x2(n)]x3(n)x1(n)[x2(n)x3(n)]奇異信號(hào)卷積特性單位樣值信號(hào)卷積特性單位元特性f(t)(t)f(t)x(n)(n)x(n)延時(shí)特性f(t)(tt0)f(tt0)f(tt1)g(tt2)f(t)g(t)(tt1t2)x(n)(n1)x(n1)x(n)(nk)x(nk)積分特性tut積分特性tut)ft)f)tn1 ut)ft)tt (n)fdt f (t)(n1)! x(k)x(n)u(n)k沖激偶卷積'(t)f(t)f'(t)(n)(t)f(t)f(n)(t)元件名稱電路符號(hào)時(shí) 域電路符號(hào)頻 域電路符號(hào)復(fù) 域u i關(guān)系運(yùn)算模型運(yùn)算模型運(yùn)算模型電阻u(t)Ri(t)u(t)Ri(t)R(t)IR(t)R(s)RIR(s)電容u(t)1ti(t)dtCu(t)1i(t) pCUC(t)1IC(t) U(s)1I(s)1u(0)C CsC sCIC(s)(s)Cu(0)C電感u(t)Ldi(t)dtu(t)pLi(t)UC(t)jLIC(t)UL(s)LsIL(s)Li(0)LI(s)1U(s)1i(0)L Ls L sL五.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析系統(tǒng)建立微分方程py(tNpf(t)

系統(tǒng)的特征方程：D()D(p)p0 根 程D(p)yx(t)0 y (t)f(t) y

t0

求全響應(yīng)

微分方程法求沖激響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)

N(

N(p)

y(t)y(t)

(t)

系統(tǒng)的描述方法傳輸算子法

(t) f (t) x f f六.系統(tǒng)的特征方程

D(

Df(p)

沖激響應(yīng)法連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零輸入響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零輸入響應(yīng)條 件yx(t)的表式y(tǒng)0(n)的表達(dá)式條件n個(gè)各不相同的實(shí)數(shù)12nyt)ketke2tkent t0x 1 2 n0)cncncn11 22 kkk個(gè)各不相同的實(shí)數(shù)12kr個(gè)重根0，n-1個(gè)單根121yx(t)kkknren-rtk 1 2 nr1k kt0nr2 n0)ccncnq1n1 2 q 1c ncncq1q1 kk1 1q個(gè)重根1，k-q個(gè)單根q1ki個(gè)成對(duì)的共軛復(fù)根11j1,22j2iijyx(t)t)k't)]1 1 1 1eit[kik't0iy0(n)c(rej)nc(rej)n1 2rn[c'cos(n)c'sin(n)]1 2系統(tǒng)含有共軛復(fù)根e,e七.系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和單位樣值響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)傳輸算子H(p)沖激響應(yīng)h(t)傳輸算子H(E)樣值響應(yīng)h(n)aa(t)1(n)apau(t)EEnu()1 paetut)E(E)2nu() 1 (pa)ntn1 eatu(t)(n1)!E2(E)2(nnu() b (pa)2b2ettut)E(E)mn(n)(nm)nmu()(m1)!pa(pa)2b2ettut)八.基本離散信號(hào)單位樣值信號(hào)(n)(n)01n0n0x(n)x(k)(nk)k單位階躍序列u(n)u(n)01nn(n)u(n)u(n1)斜變序列nu(n)nu(n)01nn矩形序列Gk(n)G(n)1k 00nk1其 它復(fù)指數(shù)序列x(n)zn, n, zj指數(shù)序列zr, x(n)rn虛指數(shù)序列r,, x()ej0nsjn0 0 0九.離散信號(hào)的性質(zhì)周期性sin0sin0(nN)sin(0n0N)當(dāng)N2k即N2k為整數(shù)時(shí)，sinn才是周期序列0 000為數(shù)字角頻率單位：弧度0為模擬角頻率單位：弧/秒 (,)序列的累加y(n)x(k)k序列的差分x(nx(n)x(nx(nx(n序列的移位單位超前算子：Ekx(n)x(nk)單位延遲算子：Ekx(n)x(nk)十.信號(hào)的分解1直流分量與交流分量 2奇分量與偶分

f(t)1[f(t)f(t)]f(t)

fD

fA(t)

f(t)

f(t)f(t)e 2oof數(shù) 零

(t)o

[f(t)f(t)]2第四章.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)頻域分析第四章.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)頻域分析一.周期信號(hào)的頻譜分析y(t)

ejt簡(jiǎn)諧振蕩信號(hào)

h(t) ej(tee 傅里葉變換：H(j) e點(diǎn)測(cè)法：

y(t)ejtH(j)傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換在時(shí)域內(nèi)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)在頻域內(nèi)非周期信號(hào)傅里葉變換周期信號(hào)傅里葉變換狄里赫勒（Dirichlet）條件（只要滿足這個(gè)條件信號(hào)就可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開）t0T01 ft)絕對(duì)可積，即t ft)t02 ft)3 ft)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)集的正交性三角形式ft)0(nstnint)n1 1 t0T0Tt ftt 0 2 t0Tn t ft)stdt T 0b2 t0f(t)sinn T0tT0 cossinmtdt0 mnt0Tt0T mnt ostostdt20 mn0Tt0Tsintsintdt2 mnt0 0 mn指數(shù)形式f(t)FnejntnF1 f(t)ejntdtn T00TetettT nmt0 0 nm波形對(duì)稱性與諧波特性的關(guān)系對(duì)稱性傅里葉級(jí)數(shù)中所含分量余弦分量系數(shù)an正弦分量系數(shù)bn偶函數(shù)f(t)f(t)只有余弦項(xiàng)，可能含直流4 TT2f(t)cos(nt)dt0bn0奇函數(shù)f(t)f(t)只有正弦項(xiàng)an04 TbnT2f(t)sin(nt)dt0（f(t)f(tT)2只有偶次諧波，可能含直流0 n4,a n 4 2ft)(t)t n,,,T00 n4,b n 4 2ft)i(t)t n,,,T0（f(t)f(tT)2只有奇次諧波0 n1,3,5,a n 4 2ft)(t)t n,,,T00 n1,3,5,b n 4 2ft)i(t)t n,,,T0周期矩形脈沖信號(hào)ft) a(etTn2內(nèi)瓣內(nèi)含1條譜線線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的響應(yīng)一般周期信號(hào)：f一般周期信號(hào)：f(t)Fejntnn系統(tǒng)的輸出 ：y系統(tǒng)的輸出 ：y(t)FH(jntnn二.非周期信號(hào)的傅里葉變換（備注）備注序號(hào)說(shuō)明內(nèi)容1證明：ft)1Fetd[feetd1 1 2 序 2 2 2 f[ e(t)det ftft)2求sgn(t)解：由etu(t)1 0) etu(t)etu(t)1 1 22etu(t) 1 0) sgn(t)lim[etu(t)etu(t)]20 022 3證明：ft)1Fetd 換ft)1Fef()Ftett ft)1Fetd4證明：ftt) fttett fe0)(令tt)0 0 0 e0 fe e 0F)5dn n1. f(t)(j)F()dtn2dft)1F[detdFetdF)dt dt 6用法：信號(hào)可以分解成兩個(gè)信號(hào)，其中之一的頻譜是沖激或沖激串使用71.注意：要避免出現(xiàn)(()及1(等不確定的的乘積關(guān)系，如求u(tu(t)不能用卷積定理，可先求出ju(tu(ttu(t)，再用頻域微分特性。2.證明： ff(t)u(t) 而u(t)()1t t F()則 f)df(t)u(t)F()[()1] F(0)() 備 注連續(xù)傅里葉變換性質(zhì)及其對(duì)偶關(guān)系連續(xù)傅里葉變換性質(zhì)及其對(duì)偶關(guān)系 傅氏變換：F)fte t傅氏反變換：f(t)1 F()ejtd連續(xù)傅里葉變換對(duì)相對(duì)偶的連續(xù)傅里葉變換對(duì)名稱連續(xù)時(shí)間函f(t)傅里葉變換F()備注名稱連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)傅里葉變換F()備注唯一性f1(t)f2(t)FT[f1(t)]FT[f2(t)]F()1線性f1(t)f2(t)F1()F2()尺度比例變換f(at),a01F()a a2對(duì)稱性F(jt)2f()3時(shí)移f(tt0)F()ejt04頻移fte0tF(0)時(shí)域微分性質(zhì)df(t)dtjF()5頻域微分性質(zhì)jtf(t)dF()d6時(shí)域積分性質(zhì)tf)F()F(0)()j頻域積分性質(zhì)f(t)f(t)jtF7時(shí)域卷積性質(zhì)f(t)*h(t)F()H()頻域卷積性質(zhì)f(t)p(t)1F()*P()2對(duì)稱性f(t)f*(t)f*(t)F()F*()F*()奇偶虛實(shí)性質(zhì)f(t)是實(shí)函數(shù)fo(t)f(t)fe(t)Evf(t)jImF()ReF()希爾伯特變換f(t)f(t)u(t)F()R()jI()R()I()*1時(shí) 域抽樣f(t)(tnT)n1Fk)Tk T頻域抽樣1ftn)0n 0F()k0)k帕什瓦爾公式 f(t)2dt1 F(2d F(2：能量譜密度、能量譜 中心縱坐標(biāo)F)ft)t （條件：mft)0）tf()1F) （條件：mF)0） 常用傅里葉變換對(duì)常用的連續(xù)傅里葉變換對(duì)及其對(duì)偶關(guān)系 F()f(t)ejtdt f(t) 1 F()ejtd 連續(xù)傅里葉變換對(duì)相對(duì)偶的連續(xù)傅里葉變換對(duì)重要連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)傅里葉變換F()連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)傅里葉變換F()重要√(t)112()√√d(t)dtjtj2d()d√u(t)1()j1(t)21j2tu()tu(t)jd()1d 2sgn(t)t0t021,t0F()j, 0 j, 0√(tt0)ejt0ej0t2(0)√cos0t[0)0)]t0)t0)2cost0sin0t0)0)]t0)t0)j2sint0√(t)0,ttSa()2WSa(Wt)F)WW√√t)1t,t ,tSa2()2WSa2(Wt)2F)1W,W W√eatu(t),Re{a}01aj1jt2eu(),eat,Re{a}02a2a2t22e0√eatcostu(t),Re{a}00aj(aj)220√eatsintu(t),Re{a}000(aj)220teatu(t),Re{a}01(aj)21 jt)22eu()tk1eat(k1)!u(t),Re{a}01(aj)k√T(t)(tlT)lk)Tk T√(t)2e2e(2)√ [u(t )u(t)]cos0t2 2 (0(0[Sa Sa ]2 2 2Fejk0tkk2Fk(k0)k四.無(wú)失真?zhèn)鬏攆(tyf(t時(shí)域：yf(ttd)頻域：Yf()dF()無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)函數(shù)H()H)Yf)etdF()無(wú)失真?zhèn)鬏敐M足的兩個(gè)條件：1幅頻特性：H)k （k為非零常數(shù)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)為非常數(shù)2相頻特性：)td（td0）在整個(gè)頻率范圍內(nèi)是過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條斜率為負(fù)的直線3.信號(hào)的濾波：通過(guò)系統(tǒng)后1產(chǎn)生“預(yù)定”失真23單位沖擊響應(yīng)信號(hào)(t)是在t0時(shí)刻加入濾波器的，而輸出在t0時(shí)刻就有了，違反了因果律5.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的準(zhǔn)則時(shí)域特性： h(t)h(t)u(t)（因果條件）頻域特性： H()2d2H()佩利-：12d五.濾波濾波器名稱理想頻率響應(yīng)理想相幅特性實(shí)際電路圖實(shí)際頻率特性低通濾波器etdH()0cG )etd 2ccH() 11jRCH()11()2c()arctanc高通濾波器etdH()0c1G etd 2ccH()jRC1jRCH() RC12R2C2()1 )RC帶通濾波器H()H1()[(0)(0)]H()jRC LC(j)2RC(j)1備注低通濾波器的通頻帶（：H)212六.抽樣與抽樣恢復(fù)抽樣名稱系統(tǒng)統(tǒng)模型信號(hào)抽樣時(shí)頻表示沖激串抽樣時(shí)域：fs(t)f(t)T(t)f(t)(tnT)n=f(nT)(tnT)n時(shí)域抽樣定理：為了使抽樣信號(hào)fs(t)能恢復(fù)信號(hào)f(t)，必須滿足來(lái)那兩個(gè)條件：f(t或fm）抽樣頻率s或者抽樣間隔T 1 s 2f m m頻域：F()1FT[f(t)]FT[(t)]s T1F))1F) Tn脈沖串抽樣時(shí)域：fst)ft)Tt)頻域：F()1FT[f(t)]FT[P(t)]s T1F()Sa(n)(n)1F(n) n 2 TnSa()FnT 2時(shí)域抽樣定理 T恢復(fù)：fs(t)h(t)[f(nT)(tnT)]cSa(ct)nT cf(nT)Sa[c(tnT)](t)n恢復(fù)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)：h(t)()]t)2c c系統(tǒng)條件1H)T c0 c2mcm頻域抽樣定理(F((F(n時(shí)域：f(t1[F(h(t1f(tn) s s n n第五章.離散時(shí)間信號(hào)與時(shí)域分析第五章.離散時(shí)間信號(hào)與時(shí)域分析信號(hào)ej0n周期性：信號(hào)ej0n周期性：ej0(nN)ej0n0mN基波頻率：20N mNm)0信號(hào)e0t與ej0n之間的差別ej0tej0n0不同，信號(hào)不同頻率相差2，信號(hào)相同對(duì)于任何0值，都是周期的僅當(dāng)m時(shí)，才有周期性（(N),,）N基波頻率：0基波信號(hào)0m00 基波周期： o0 0 00 基波信號(hào)： o m( ) 0 0DFS系數(shù)x(DFS系數(shù)x(n)DFSX(k)X(k)x(n)eNjk(2)nNN x(n)WknNn0n0Sx(n)1Nn0Njk(2)nX(k)e N1NNn0XknN離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)線 性x3(nx1(nx2(n)X3(k)X1(kX2(k)移位時(shí)間移位若 x(n) X(k)，則x(nm) WknX(k)NDFS[x(nlNX(k)頻域移位若x(n) X(k)，則Wqnx(n) X(kq)N周期卷積時(shí)域移位N1x3(n(m)x2(nm)，則X3(k)X1(k)X2(k)m0頻域移位 (k)1NX(l)X(kl)若x3(n) x1(n)x2(n)，則X3 N 1 2l0二.離散時(shí)間傅里葉變換DTFT1非周期信號(hào)：x(1非周期信號(hào)：x(n)x(n)nN10nN1離散時(shí)間傅里葉變換x(n)1 X()ejnd12X()Nnx(n)ejn應(yīng)用條件：x(n)n2周期信號(hào)：X()ak(n2N1k)ak1jk(2)nNNnNx(n)e1離散時(shí)間傅里葉變換性質(zhì)周期性總是周期的，周期是2。線性若x1(n)X1()，x2(n)X2()則ax1(nbx2(naX1(bX2()對(duì)稱性X()X()Re[X()] 數(shù) X模 數(shù)Im[X()] 數(shù) X位 數(shù) 移位時(shí)移若x() X() 則x(nn) ej0nX)0頻移若x() X() 則ej0nx() X)0差分求和n x(m) 1 X()X(0)(k)m 1ej k 1 u(n) 1ej(k)k時(shí)間尺度若x(n) X則x(n) X()xn) x (n) k x (n)(k) (k)0 X(k)頻域微分nx(n) jdX()d帕塞瓦爾定理x(n)21 X(2d X(2：能量譜密度n 2序列一個(gè)周期的能量：1x(n2a2N knN nN卷積性質(zhì)若y(n)x(n)h(n) 則YX()H備 注連續(xù)信號(hào) 離散信號(hào)期散 期續(xù)續(xù)期 散 期第六章.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與時(shí)域系統(tǒng)分析第六章.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與時(shí)域系統(tǒng)分析1.不滿足絕對(duì)可積信號(hào)為什么不能用傅氏變換原因：信號(hào)衰減太慢或不衰減（1.不滿足絕對(duì)可積信號(hào)為什么不能用傅氏變換原因：信號(hào)衰減太慢或不衰減（f(t。拉氏變換的導(dǎo)出t

t

()tFT[f(t)e令s

]ftj

e tfte t則：象函數(shù)：F(s)T[ft

f(t)estdt原函數(shù)：ft)T[F(s1F(sets拉氏變換的收斂域F(s)存在的條件：

2jf(t)estdt

jlimf(t)et0（充分條件）t信號(hào)特點(diǎn)收斂域特點(diǎn)有始有終，能量有限坐標(biāo)軸落于，全部s平面都屬于收斂區(qū)幅度即不增長(zhǎng)也不衰減而等于穩(wěn)定值，或隨時(shí)間t,tn成比例增長(zhǎng)的信號(hào)收斂坐標(biāo)落于原點(diǎn)，s平面右半平面屬于收斂區(qū)按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)的信號(hào)et，只有當(dāng)時(shí)才收斂，所以收斂坐標(biāo)為0右邊信號(hào)收斂域在收斂軸以右的s平面，即左邊信號(hào)收斂域在收斂軸以左的s平面，即雙邊信號(hào)收斂域?yàn)閟平面的帶狀區(qū)域，即二.拉氏反變換部分分式展開法F(s) p F(s)1 (ss)p (ss)(ss) 1 1 1K (ss)pF(s)11 1 1 ss1K d[(ss)pF(s)]12 ds 1 1 ss11 di1 p1i)!dsi1(s1)1(ss1留數(shù)法sp一階級(jí)點(diǎn)的留數(shù) s[F(s)est][(sp)F(s)est]i i sst 1 dksts是k階極點(diǎn) Res[F(s)e](k[dsk(s)F(s)e]sp! i注意：留數(shù)法中的F(s)應(yīng)是真分式，若不是應(yīng)用長(zhǎng)除法變成真分式后再用留數(shù)法。連續(xù)拉普拉斯變換性質(zhì)及其對(duì)偶關(guān)系拉氏變換：F(連續(xù)拉普拉斯變換性質(zhì)及其對(duì)偶關(guān)系拉氏變換：F(s)f(t)e t傅氏反變換：f(t)1 jF(s)estds連續(xù)拉普拉斯變換對(duì)相對(duì)偶的連續(xù)拉普拉斯變換對(duì)名稱連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)拉氏變換F(s)備注名稱連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)拉氏變換F(s)備注線性f1(t)f2(t)F1(s)F2(s)收斂域1,2收斂域?yàn)楹瘮?shù)收斂域重疊部分尺度比例變換f(at),a01F(s)a a1收斂域：ca0c時(shí)移f(tt0)u(tt0)F(se02復(fù)頻移ft)e0tF(s)收斂域：c收斂域：c收斂域：c收斂域：0c時(shí)域微分性質(zhì)df(t)dtsF(s)f(0)3s域微分性質(zhì)tf(t)dF(s)ds4時(shí)域積分性質(zhì)tf)F(s)fs1(0)s5s域積分性質(zhì)f(t)tsF(11其中f(1) 0(0)ftt時(shí)域卷積性質(zhì)f(t)*h(t)F(s)H(s)s域卷積性質(zhì)f(t)p(t)12jF(s)*P(s)初值定理f(0)limf(t)limsF(s)t0 s6終值定理f()f(t)sF(s)t s06拉氏變換的性質(zhì)備注備注序號(hào)備注內(nèi)容11 s st既有時(shí)移又有尺度變換：f(att)u(att) F()ea0,0 0 a a c既有時(shí)移又有復(fù)頻移：e0(t0)fttutt)etF(ss)0 0 00 0 t 0證明：Te0(t0)fttutt] e0(t0)fttett0 0 0 0 0 0 0令：xtt,xt 則：Te0(t0)fttutt] e0xf(xexe0te0 f(xe(s0)xte0F(ss)2注意：時(shí)移特性只適于求f(tt0)u(tt0)的拉式變換右邊信號(hào)可寫作f(t)f0(tnT)u(tnT)，其中f0(t)u(t)u(tt0)n03dnf(t)n n2 ' (n1) dtn sF(s) s f(0) s f(0) f (0)4n dnF(s)1.(t)f(t)dsn st st d st st2證明： F(s)0fte t F(s)0fte t0ft[se t0[fte tT[ft]5t 0 t t 0 t證明： f(xxf(xx0f(xx T[f(xx]T[f(xx]T[0f(xx]0 1 (1) t t st 1T[f(xx]sf (0) T[0f(xx]0[0f(xxe t0sF(s)LT[ f(x)dx]1F(s)1f(1)(0)t s s注意：T[tf(xx]1F(s) t1tn1f(xt t1F(s)0 s 00 0 n1 1 sn6注意1F(s(s)初值定理是f(x在t0df(t)st 0df(t)st df(t)st證明：F(s)f(0)0 t e t0 t e t0 t e t在區(qū)間(0,0),t0,est 1t0sF(s)f(0)f(t)0 df(t)estdtf(0)f(0) df(t)estdt 0 0 dt 0 dt令s，則f(0)limsF(s)s7F(ss平面或在s0df(t)證明：sF(s)f(0) estdt 令s00 df(t)limsF(s)f(0)lim estdtf()f(0) f()sF(s)s0 s00 dt s0雙邊拉氏變換limf(t)et0 11.收斂條件：t 則拉氏變換在區(qū)域上存。limf(t)et0 1 2t2相同的雙邊拉式變換式，當(dāng)取不同的收斂域時(shí)，其f(t)是各異的。2.雙邊拉式變換的求法f(t)f1(t)f2(t)f(t)u(t)f(t)u(t)對(duì)上進(jìn)行雙邊拉氏變換F(s) f(t)u(t)estdt f(t)u(t)estdtF (s)F (s)F(s)F(s) 0 B 0 1 2 1 2 1 22 13.雙邊拉氏反變換1 [F(s)et, t0留數(shù)法f(t) F(s)estds Bj [F(s)et], t0B注意：F(s)應(yīng)該是真分?jǐn)?shù)雙邊拉氏變換對(duì)與雙邊Z變換對(duì)雙邊拉氏變換對(duì)與雙邊Z變換對(duì)的類比關(guān)系 st nF(s)ft)e t F(z)f[n]zn雙邊拉氏變換對(duì)雙邊Z變換對(duì)重要連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)像函數(shù)F(s)和收斂域離散時(shí)間序列f[n]像函數(shù)F(z和收斂域重要√(t)1,整個(gè)s平面[n]1，整個(gè)Z平面√（t)sk，有限s平面k[n](1z1)k，z0√u(t)1s，Re{s}0u[n]1(1z1)，z1√√tu(t)1s2，Re{s}0(n1)u[n]1(1z1)2，z1√u(t)tu(t)，Re{s}0u[n1]1(1z1)，z1tu(t)1s2，Re{s}0(n1(1z1)2，z1 tku(t)(k1)!1,Re{s}0sk(nk1)!u[n1]n!(k1)!1(1z1)k，z1√eatu(t)1 ,Re(a)saanu[n]1(1az1)，za√√teatu(t)1,Re{s}Re(a)(sa)2(n1)anu[n]1(1az1)2，zatk1eatu(t)(k1)!1 ,Re(a)(sa)k(nk1)!anu[n]n!(k1)!1(1az1)k，zaeatu(t)1 ,Re(a)saanu[n1]1(1az1), za√costu(t)0s ，0s220cosnu[n]01(cos)z1 0 1(2cos)z1z20√√sintu(t)0 0 ，0s220sinnu[n]0(sin)z1 0 1(2cos)z1z20√√eatcostu(t)0s ，a(sa)220ancosnu[n]01(acos)z1 0 1(2acos)z1z20√eatsintu(t)0 ，a 0 (sa)220ansinnu[n]0(asin)z1 0 1(2acos)z1z20eat，Re{a}02a}}}saan，a1(aa)z，az1a1z1az)eatt)}02s }}}saansgn[n]，a11z，az1a1z1az)復(fù)頻域分析1拉氏變換及求解微分方程的三步法：2電路系統(tǒng)的分析電源拉氏變換和傅氏變換的關(guān)系12.單邊拉氏變換和傅氏變換的關(guān)系 stF(s)0ft)e t c F)ft)e t1c0時(shí)，傅氏變換不存在，F(xiàn))和F(s)2c0時(shí)，F(xiàn))F(s)s3c0F(s)在j軸上有單值極點(diǎn)F(s)A(s)F(s)N K F(s) a i a B(s) i1sNs i iF()F(s) K)總結(jié)：任何有傅氏函數(shù)變換的有始信號(hào)，必然存在拉氏變換存在拉氏變換的任何有時(shí)信號(hào)，不一定有傅氏變換總結(jié)：任何有傅氏函數(shù)變換的有始信號(hào)，必然存在拉氏變換存在拉氏變換的任何有時(shí)信號(hào)，不一定有傅氏變換Z變換nn[x(n)en]ejnjzx(n)znX(z)nX(z)x(n)znn二.Z變換和傅氏變換及拉氏變換的關(guān)系1.拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系X(z) X(ej)X()zej2.Z變換與拉氏變換的關(guān)系Xs(s)s1nzX(z) TX(z)zeTXs(s)Z平面與s平面的映射關(guān)系0 r11 s平面的原點(diǎn)0，影射z平面1，即z 2不同取值的z s平面影射系s平面000為常數(shù)：左半平面虛軸右半平面從左向右移z平面r1r1r1r為常數(shù)：0單位圓內(nèi)單位圓上單位圓外半徑擴(kuò)大時(shí)域序列和z變換收斂域的對(duì)應(yīng)關(guān)系：時(shí)域序列z變換收斂域n0不包括z0，但包括n0包括z0，但包括n1n時(shí)域序列z變換收斂域n0不包括z0，但包括n0包括z0，但包括n1nn2不包括z0和z 4z H(z)

H(e

其中T22ze

s s5傅氏變換、拉氏變換和z圍線積分與極點(diǎn)留數(shù)法x(n)圍線積分與極點(diǎn)留數(shù)法x(n)12jcX(z)z dzn1圍線c是在X(z)的收斂域內(nèi)環(huán)繞z平面原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一條封閉曲線x(n)[X(z)zn1在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)上的留數(shù)]z0是一階極點(diǎn)：X(z)z ][X(z)z ](zz0)n1n1zz0z0是s階極點(diǎn)：ReX(z)z ]n11ds1s(s1)!dzs1[X(z)z (zz1)]n1zz1n0時(shí)，x(n)12jc'X(1)pn1dpp四.由零極點(diǎn)圖確定傅氏變換的幾何求值法M(zqr)X(zr1 當(dāng)z1zej時(shí)N(zzk)k1M(ejq) j r e qAerX(ej)r=X(ej)e() 令 r rN j (ejz) e zkkekkk1MM N于是X(ej)r1 ()N r kB r1 kkk1注意：1在z0處加入或除去零點(diǎn)，不會(huì)使幅度特性發(fā)生變化，而只影響相位變化。2當(dāng)ej點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某極點(diǎn)z附近時(shí)，如果矢量長(zhǎng)度B變短，則頻率特性在該點(diǎn)處可能出現(xiàn)峰值。若極點(diǎn)i izi愈靠近單位圓，Bi愈短，則頻率特性在峰值附近愈尖銳，如果落在單位圓上，則頻率特性的峰值趨近于無(wú)窮大五.系統(tǒng)函數(shù)H(z)的應(yīng)用1.根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)零、極點(diǎn)分布情況，可分析單位樣值響應(yīng)h(n)的變化規(guī)律2.系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性系統(tǒng)特征 H(z)的收斂域因果的 收斂域位于最外面極點(diǎn)外邊穩(wěn)定的 收斂域一定包括單位圓因果、穩(wěn)定的 全部極點(diǎn)位于單位圓以極點(diǎn)位臵h(n)的特點(diǎn)單位圓上等幅0時(shí)，z1u(n) zz1單位圓內(nèi)減幅單位圓外增幅六．?dāng)?shù)字濾波器按單位樣值響應(yīng)h(n)的時(shí)間特性分類無(wú)限沖激響應(yīng)IIR有限沖激響應(yīng)FIRZ變換性質(zhì)及其對(duì)偶關(guān)系ZZ變換性質(zhì)及其對(duì)偶關(guān)系ZX(z)x(n)znn1 傅氏反變換：x(n)jcX(z)z zz變換對(duì)相對(duì)偶的z變換對(duì)名稱離散時(shí)間函數(shù)x(n)z變換F(z)備注名稱離散時(shí)間函數(shù)z變換F(z)備注線性ax(n)by(n)aX(z)bY(z)1z1 2收斂域z1 2收斂域z,)1 2,)1 2尺度比例變換anx(n)X(Z)a2Z域尺度變換收斂域：z1 2z收斂域：a1 2時(shí)移x(nn0)z0X(z)3Z頻移ej0nx(n)X(ej0z)4收斂域：rxzrx1 2收斂域：rxzrx1 2收斂域：rxzrx1 2收斂域：rxzrx1 2時(shí)域微分性質(zhì)Z域微分性質(zhì)nx(n)zdX(z)dz5時(shí)域卷積性質(zhì)x(n)*h(n)X(z)H(z)Z域卷積性質(zhì)x(n)h(n)1 z 1 cX()H(v)vvj 1 v初值定理若x(n)是因果序列，則x(0)limx(n)limX(z)n0 z終值定理x(n是因果序列，且其Zz1處有一階極點(diǎn)外其它極點(diǎn)都在單位圓z1以內(nèi)，則x()limx(n)lim[(z1)X(z)]n Z變換性質(zhì)備注備注序號(hào)備注內(nèi)容1注意：只有Z變換有零、極點(diǎn)被抵消，收斂域一定擴(kuò)大2anx()ZX(z, rzrx2()nx()ZX(z, rzr()nx(n)ZX(1, r1rz z x23單邊時(shí)移：若x(u()ZX(z)m1則x(nu(n)Zzm[X(z)x(k)zk]k01x(nu(n)Zzm[X(z)x(k)zk]kmZT[x(n1)u(n)]zX(z)zx(0)ZT[x(n2)u(n)]zX(z)z2x(0)zx(1)ZT[x(n1)u(n)]z1X(z)x(1)ZT[x(n2)u(n)]z2X(z)z1x(1)x(2)4znx(n)ZX(z, zrzzr0 z 00x2052 Z 2d2X(z) dX(z)nx(n)z zdz2 dznmx(n)Z[dmX(z)dz第八章.系統(tǒng)函數(shù)與狀態(tài)變量分析第八章.系統(tǒng)函數(shù)與狀態(tài)變量分析一.零極點(diǎn)和系統(tǒng)穩(wěn)定性、因果性H(s)、H(z收斂域及系統(tǒng)特點(diǎn)H(s)的特點(diǎn)H(z)的特點(diǎn)極點(diǎn)收斂域內(nèi)無(wú)H(s)的任何極點(diǎn)收斂域內(nèi)無(wú)H(z)的任何極點(diǎn)收斂域收斂域是一些平行于虛軸的帶狀區(qū)域，該區(qū)域以極點(diǎn)為限收斂域是在Z該圓環(huán)以極點(diǎn)為限因果系統(tǒng)H(s)的收斂域在S平面內(nèi)最右邊極點(diǎn)的右半開平面H(z)的收斂域在Z平面內(nèi)的最外面極點(diǎn)的外邊穩(wěn)定系統(tǒng)H(s)的收斂域包含虛軸H(z)的收斂域包含單位圓因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(s)的極點(diǎn)全部位于S平面的左半面H(z)的極點(diǎn)全部位于單位圓內(nèi)注意：極點(diǎn)確定了h(t)的時(shí)域波形，對(duì)h(t)的幅度和相位也有影響零點(diǎn)只影響h(t)的幅度和相位，對(duì)h(t)的時(shí)域波形無(wú)影響系統(tǒng)穩(wěn)定性定義：若輸入

f(t)MtMf

y(t)My，t，Mf為有限常數(shù)一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，若它的單位沖激響應(yīng)是絕對(duì)可積的，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。系統(tǒng)特征方程為snasn11sn20第1行anan2an4AAi1Bi2Ai2Bi1i Ai1Bi i1CAi1Di2Ai2Di1i Ai1（負(fù)當(dāng)陣列的第一列元素1用一個(gè)無(wú)窮小量代替零2把特征方程中的s換成1s第2行an1an3an5第3行A2B2C2第4行A3B3C3Mason公式：TMason公式：T1Tnk kk—稱為流圖的特征行列式=1-（所有不同環(huán)路的增益之和）+（每?jī)蓚€(gè)互不接觸環(huán)路增益乘積之和）-（每三個(gè)互不接觸環(huán)路增益乘積之和）+k—表示有源點(diǎn)到阱點(diǎn)之間第k條前向通路的標(biāo)號(hào)gkkk—它是除去與第k3.勞斯—霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)三.系統(tǒng)模擬連接形式系統(tǒng)函數(shù)流圖表達(dá)直聯(lián)形式串聯(lián)形式 np ps1) 2 s1s2)H(s)k 0k 1kk1s1)k1 s1s2)k 0k 1k并聯(lián)形式 np p 2 s1 s2H(s)A k 0k 1k k1s1) k11 s1s2k 0k 1k四.連續(xù)系統(tǒng)離散化1脈沖響應(yīng)不變法hc(t)：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)hd(n)：離散時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)hd(n)hc(nT)H(ej)1H(j(k))d T c T Tk2向后差分近似法dy(t)y(n)y(n1)dt Td2y(t)y(n)2y(n1)y(n2)dt2 T2系統(tǒng)中有幾個(gè)獨(dú)立記憶元件，就有幾個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量狀態(tài)方程x'系統(tǒng)中有幾個(gè)獨(dú)立記憶元件，就有幾個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量狀態(tài)方程x'輸出方程yx'(t)1x(t)' 201001000x(t)1x(t)1x(t)122x '(t)0001f(t)x(t)2y(t)00f(t)xn1(t)n10 0xn1(t) n ' n1x(t) 0aa1a2a x(t) n n n x(t)六.狀態(tài)方程的建立1從電路系統(tǒng)求狀態(tài)方程12對(duì)包含有電感的回路列回路壓方，其中然包含LLt) 接由容的點(diǎn)列結(jié)電流程，必包含，對(duì)連dtC(t) 程左邊，注意只能將此項(xiàng)放在方dt34k2從信號(hào)流圖建立狀態(tài)方程方法：從最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)開始依次向前取x1,x2,x3,七.狀態(tài)方程和輸出方程的解法連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域形式x(t)A)1B]1F(s)x(n)LT1[(zIA)1z]x(0)LT1[(sIA)1B]LT1F(s)y(t)CeAtx(0)[CeAtBD(t)]f(t)解 解y(n)LT1[C(zIA)1z]x(0)LT1[C(zIA)1BD]LT1F(s)解 解變換域形式X(s)(sIA)1x(0)(sIA)1BF(s)X(z)(zIA)1zx(0)(sIA)1BF(s)Y(s)(sIA)1x(0)[C(sIA)1BD]F(s)解 解Y(z)C(zIA)1zx(0)[C(zIA)1BD]F(s)解 解H(s)C(sIA)1BDH(s)C(sIA)1BD備注狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)eAtLT1[(sIA)1](t)的主要性質(zhì)：1(0)I 2(t2t0)(t2t0) 3(t1t2)(t1)(t2)4(nt)[(t)]n 5(t)1(t) 6'(tt)t)(tt)A '(0)0 0 0八.狀態(tài)方程判斷和系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性、可測(cè)性1.穩(wěn)定性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)H(s)C(sIA)1BDH(s)C(sIA)1BD穩(wěn)定性sIA0的根位于s平面的右半平面時(shí)穩(wěn)定zIA0的全部根位于Z平面的單位圓內(nèi)時(shí)穩(wěn)定可控性可控性條件：W(B,A2B, ,W是滿秩的，即W的行列式為零3.可測(cè)性1定義：能否通過(guò)觀測(cè)輸入量來(lái)確定系統(tǒng)的初態(tài)問(wèn)題 C CA2.可測(cè)性條件：s s是滿秩的 CAn1 目錄第一章卷積積分與卷積和 1一、卷積積分在信號(hào)和系統(tǒng)理論中占有重要地位 1二、卷積積分及其性質(zhì) 2三、卷積和 4四、系統(tǒng) 5五、卷積積分表和卷積和表 7六、有關(guān)奇異函數(shù)卷積積分及卷積和的證明 8第二章傅里葉變換 11一、周期函數(shù) 11二、傅里葉級(jí)數(shù)的定義 12三、傅里葉變換 14周期信號(hào)的的傅里葉變換 14非周期信號(hào)的傅里葉變換（頻譜函數(shù)） 14傅里葉變換的性質(zhì) 15典型非周期信號(hào)的傅里葉變換 17第三章拉普拉斯變換 18一、最常用的拉普拉斯變換 18二、拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 18三、拉普拉斯變換的幾個(gè)重要性質(zhì)的證明 18四、常見(jiàn)信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換 19五、常見(jiàn)函數(shù)拉普拉斯變換的證明 20六、常見(jiàn)的單邊拉普拉斯逆變換 21第四章激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系 23第五章Z變換 24一、雙邊Z變換 24從拉普拉斯變換到Z變換 24Z變換 25收斂域 25二、Z變換的主要性質(zhì) 25三、典型離散時(shí)間序列的單邊Z變換 26附錄一常用傅里葉變換的證明 28附錄二部分分式展開法 33一、特征根為普通單根 34二、特征根為共軛單根 34三、特征根為重根 35附錄三逆Z變換的求法 36一、冪級(jí)數(shù)展開法 36二、部分分式展開法 37特征根為普通單根 37特征根為共軛單根 38特征根為重根 38特征根為共軛二重根 39三、留數(shù)法（反演積分法） 39PAGE4140頁(yè)第一章卷積積分與卷積和一、卷積積分在信號(hào)和系統(tǒng)理論中占有重要地位1-111（1ntnt系統(tǒng)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)為hn(t),1-1-1所示：n220x(0)=0n220LTILTI系統(tǒng)n 1-1-1窄脈沖及其零狀態(tài)響應(yīng)圖n顯然由于δ(t)=limp(t)nn→∞nhlimh(t)nn→∞

（1-1-1）（1-1-2）現(xiàn)在考慮任意激勵(lì)信號(hào)f(t)，為方便，可令?τ=2，把f(t)分解成為許多寬度為?τ的窄脈沖，如圖1-1-2所示：

f) n0圖1-1-2

tf(t)分解為窄脈沖其強(qiáng)度（脈沖下的面積）為f(k?τ)??τ于是可以將f(t)近似看作由一系列強(qiáng)度不同，接入時(shí)刻不同的窄脈沖組成，所有這些窄脈沖的和近似地等于ff

∞∞∑f(k?τ)pn(t?k?τ)?τ，式中k為整數(shù)。k=?∞與響應(yīng)的時(shí)不變性，

pn(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為hn(t)，那么根據(jù)LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)線性和激勵(lì)線性：T[?1f1(?)+?2f2(?)]=?1T[f1(?)]+?2T[f2(?)]時(shí)不變性：T[{0},?f(?)]=yf(?)在以上一系列窄脈沖的作用下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)近似為yf(?)≈

∞∞∑f(k?τ)hn(t?k?τ)?τk=?∞在?τ→0（即n）的極限情況下，將?τ寫作dτ，它是時(shí)間變量，同時(shí)求和符號(hào)改積分符號(hào)用式1-1-1和1-1-2可將f(t)和yf(t)寫為∞ ∞f(t)=lim∑f(k?τ)pn(t?k?τ)?τ=∫

f(τ)δ(t?τ)dτ

式1-1-3n?τ→0k=?∞ n∞ ∞yft)=m∑fk?τnt?k?τ)?τ=?∞fτht?τdτ

式1-1-4n?τ→0kn1-1-4分。

yf

f(t)與沖激響應(yīng)h(t)的卷積積一般而言，如有兩個(gè)函數(shù)

f(t)和f?)，積分f(t)= f(τ)f(t?τ)稱為函數(shù)f(t)和

(t)的卷∞∞1 2 ?∞1 2 1 2∞∞積積分，簡(jiǎn)稱卷積，簡(jiǎn)記

f(t)=

f1(t)?f2

(t)，即：

f(t)=

f1(t)?f2

(t)def

?∞

f1(τ)f2(t?τ)dτ二、卷積積分及其性質(zhì)1、定義：

rt)=et)?ht)def→∫∞eτht?τdτef→∫∞hτe(t?τ)τ?∞ 2、卷積積分的性質(zhì)： 設(shè)已?∞

f(t)=

f1(t)?f2(t)=

f2(t)?f1(t)

f1)?f2)

f2(t)?f1(t)證明 f1t)?f2(t)=

f1(τ)f2(t?τ)dττ=tη→

f(t?η)f

(η)d(?η) (t

τ η)η=t?τ

+∞1 2∞=?∞f2η)f1t?ηdη)=f2t)?f1t)

f1)?[f2(t)

f3(t)]=

f1(t)?f2(t)+

f1(t)?f3(t)證明：由定義導(dǎo)出f1?[f2(t

f3(t=?∞1τ

f2(t?τ)+

f3(t?τ)]dτ∞∞ =?∞f1τ)f2(t?τ)τ+?∞fτ)f(t?τ)∞∞ =f1(t)?f2(t)+f1(t)?f3(t)2.3代數(shù)運(yùn)算結(jié)合律：[f1(t)?f2(t)]?f3(t)=f1(t)?[f2(t)?f3(t)]證明：

[f1t)?f2(t]?3(t)=-∞[-∞1τ)f2η?ττ]3t?ηη∞ 交換上式積分次序，并令x=η?∞ ∞∞ =-∞f1τ[-∞f2x)f3t?τ?xdx∞∞ =-∞f1τ)f3t?τdτ=f1(t)?[f2(t)?f3(t)]∞ ∞式中f3(t?τ=?∞f2(xf3t?τ?xx，亦即f3(t?τ)=?∞f2(xf3t?τ?xxf2t?f3t)

f(t)?δ(t)=f(t)∞f(t)?δ(t-t0)=f(t?t0)∞

1-2-1式1-2-2舉一例證明之：

f(t)?δ(t-t)= δ?

)f(t?τ)τητ?t0

δ(η)f(t?t?η)dη=f(t?t)∞0 -∞ 0∞

τ=η+t0

-∞ 0 0另外有：

f1(t?t1)?f2(t?t2)=[f1(t)?δ(t?t1)]?[f2(t)?δ(t?t2)]=f)?[δ?t1)?δ=f(t?t1?t2)

2=f)?δ

?t1?t2)[1-2-2

f(t)=δ(t?t2)，立得δ(t?t1)?δ(t?t2)=δ(t

?t1?t2)，注意區(qū)分與式：f1(t?t1)*δ(t?t2)=f1(t?t1?t2)的不同意義。]

f(1)(t)

f(-1)(t)分別表達(dá)任意可微與可積函數(shù)的微分和積分即： f(1)(t)def→ft)dt

式1-2-3f(?)t)ef→∫

f

式1-2-41-2-4

f(?1(∞0f(t)

f(t)?f(t)=f(t)?f(t)則：f(1)(t)=

f(1)(t)?f(t)=f(t)?f

1 2 2 1(1)(t)1 2 1 21 f)1

f)?f)

f(t)?f(?1)(t)證明：先證明微分

f(1)(t)=d[∞

f)

(t?τ)dτ]

∞f(τ)[d

f(t?τ)]dτ=

f(t)

f(1)(t)1 dt?∞1 1

?∞1

dt2 1 2第一支交換

f1(t)和f2(t)可證。再證明積分

f(?1))

?∞t∞∞t∞

[?∞

f)ft

(x?τ)dτ]dx=?∞f1τ[?∞f2(x?τxd

交換積分次序∞ t-τ=?∞f1τ[

f2(x?τ)d(x-τ)]dτ1 =f(t)?f(?1)(t1 第一支交換

f1(t)和f2(t)可證。)=1?

(t)=

f(t)?df2(t)2 1 --∞ ?∞ t-t-

f)dτ=∫[f)?f)]dτ=f)?[∫ f2(τ)dτ]=f2(t)

f1(τ)dτ]微積分

f1(t)?f2

(t)=df1(t)?[dt

?∞

f2(τ)dτ]微(分

f(t)*δ(n)(t)=

f(n)(t);f(t)*δ(n)(t?t)=f(n)(t?t)0 ∞t積累性(與u(t)的卷積)：f(t)?u(t)=∫ f(τ)t?τ)=0 ∞t

f(τ)dτ-∞歸納為：f(t與δ)

-∞f(t與δ)卷積等于自身，fu(t卷積相當(dāng)于積分。三、卷積和統(tǒng)的響應(yīng)。把這些序列相加就得到系統(tǒng)對(duì)于該激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)，這個(gè)相加的過(guò)程表現(xiàn)為求卷積和。任意離散時(shí)間序列

f(k)(k=……-2-1012……可以表示為：f(k)=……+f(-2)δ(k++f(-1)δ(k+

f(0)δ(

f(1)δ(k?+……

f(m)δ(k?m)+……∞∞=∑m=?∞

f(m)δ(k?m)

式1-3-1如果LTI系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h(k),那么由線性系統(tǒng)的齊次性和時(shí)不變系統(tǒng)的移不變性可知，系統(tǒng)對(duì)f(m)δ?m)

的響應(yīng)為

f(m)h(k?m)。根據(jù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)線性性質(zhì)，由式1-3-1的序列f(k)作用于系統(tǒng)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)

yf(k)應(yīng)為：yf(k)=……+f++f++

f

f(1)h(k?1)+……f(m)h(k?m)+……∞∞=∑m=?∞

f?m)

式1-3-21-3-2

f(k)與h(k)的卷積和，它表明LTI系統(tǒng)對(duì)于任意激勵(lì)f(k)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)與系統(tǒng)單位序列響應(yīng)h(k)的卷積和。∞1 2 ∑1 2 1 2∞一般而言，若有兩個(gè)序列

f(k)和f?(k)，和式f(k)= f(m)f(k?稱為序列f(k)和m=?∞

(k)的卷∞ef→

f(k)=f1(k)?f2(k)∑m=?∞

f1(m)f2(k?

式1-3-3如果序列

f1(k)是因果序列（即k<0時(shí)，f1(k)=0）則式1-3-3中求和下限可改寫為零。即：∞∞f1(k)?f2(k)=∑