第20屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題參考解答

第20屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷試題參照解答第20屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷試題參照解答第20屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷試題參照解答第二十屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試題參照解答、評分標準一、參照解答令m表示質(zhì)子的質(zhì)量，v0和v分別表示質(zhì)子的初速度和抵達a球球面處的速度，e表示元電荷，由能量守恒可知1mv021mv2eU〔1〕22因為a不動，可取其球心O為原點，因為質(zhì)子所受的a球?qū)λ撵o電庫侖力老是經(jīng)過a球的球心，因此此力對原點的力矩一直為零，質(zhì)子對O點的角動量守恒。所求l的最大值對應(yīng)于質(zhì)子抵達a球表面處時其速度方向恰巧與該處球面相切〔見復(fù)解20-1-1〕。以lmax表示l的最大值，由角動量守恒有mv0lmaxmvR〔2〕由式〔1〕、〔2〕可得lmax1eU〔3〕2Rmv0/2代入數(shù)據(jù)，可得lmax2R〔4〕2假定把質(zhì)子換成電子，那么如圖復(fù)解20-1-2所示，此時式〔1〕中e改為e。同理可求得lmax6R〔5〕2評分標準：本題15分。式〔1〕、〔2〕各4分，式〔4〕2分，式〔5〕5分。第二十屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷參照解答第1頁二、參照解答在溫度為T1(27273)K=300K時，氣柱中的空氣的壓強和體積分別為p1p0h，〔1〕V1lSC〔2〕當氣柱中空氣的溫度高升時，氣柱雙側(cè)的水銀將被遲緩壓入A管和B管。設(shè)溫度高升到T2時，氣柱右邊水銀恰巧所有壓到B管中，使管中水銀高度增大hbSC〔3〕SB由此造成氣柱中空氣體積的增大批為VbSC〔4〕與此同時，氣柱左邊的水銀也有一局部進入A管，進入A管的水銀使A管中的水銀高度也應(yīng)增大h，使兩支管的壓強均衡，由此造成氣柱空氣體積增大批為VhSA〔5〕因此，當溫度為T2時空氣的體積和壓強分別為V2V1VV〔6〕p2p1h〔7〕由狀態(tài)方程知p1V1p2V2〔8〕T1T2由以上各式，代入數(shù)據(jù)可得T2347.7K〔9〕此值小于題給的最后溫度T273t370K，因此溫度將持續(xù)高升。從這時起，氣柱中的空氣作等壓變化。當溫度抵達T時，氣柱體積為VTV2〔10〕T2代入數(shù)據(jù)可得V0.72cm3〔11〕評分標準：本題15分。求得式〔6〕給6分，式〔7〕1分，式〔9〕2分，式〔10〕5分，式〔11〕1分。第二十屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷參照解答第2頁三、參照解答位于通道內(nèi)、質(zhì)量為m的物體距地心O為r時〔見圖復(fù)解20-3〕，它遇到地球的引力能夠表示為FGMm〔1〕r2，式中M是以地心O為球心、以r為半徑的球體所對應(yīng)的那局部地球的質(zhì)量，假定以表示地球的密度，此質(zhì)量能夠表示為M4r3〔2〕3于是，質(zhì)量為m的物體所受地球的引力能夠改寫為F4Gmr〔3〕3作用于質(zhì)量為m的物體的引力在通道方向的分力的大小為fFsin〔4〕sinx〔5〕r為r與通道的中垂線OC間的夾角，x為物體地點到通道中點C的距離，力的方向指向通道的中點C。在地面上物體的重力能夠表示為mgGM0m〔6〕R02式中M0是地球的質(zhì)量。由上式能夠獲得4gGR0〔7〕3由以上各式能夠求得mgfx〔8〕R0可見，f與彈簧的彈力有相同的性質(zhì)，相應(yīng)的“勁度系數(shù)〞為kmg〔9〕R0物體將以C為均衡地點作簡諧振動，振動周期為T2R0/g。取x0處為“彈性勢能〞的零點，設(shè)位于通道出口處的質(zhì)量為m的靜止物體抵達x0處的速度為v0，那么依據(jù)能量守恒，有1mv021h2)〔10〕2k(R022式中h表示地心到通道的距離。解以上相關(guān)各式，得第二十屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷參照解答第3頁v02R02h2g〔11〕R0可見，抵達通道中點C的速度與物體的質(zhì)量沒關(guān)。假想讓質(zhì)量為M的物體靜止于出口A處，質(zhì)量為m的物體靜止于出口B處，現(xiàn)將它們同時開釋，因為它們的振動周期相同，故它們將同時抵達通道中點C處，并發(fā)生彈性碰撞。碰撞前，兩物體速度的大小都是v0，方向相反，剛碰撞后，質(zhì)量為M的物體的速度為V，質(zhì)量為m的物體的速度為v，假定規(guī)定速度方向由A向B為正，那么有Mv0mv0MVmv，〔12〕1Mv021mv021MV21mv2〔13〕2222解式〔12〕和式〔13〕，得v3MmMv0m質(zhì)量為m的物體是待發(fā)射的衛(wèi)星，令它回到通道出口B處時的速度為1k(R02h2)1mu21mv2222由式〔14〕、〔15〕、〔16〕和式〔9〕解得8M(Mm)R02h2u(Mm)2R0g

〔14〕，那么有15〕16〕u的方向沿著通道。依據(jù)題意，衛(wèi)星上的裝置可使u的方向改變?yōu)檠氐厍駼處的切線方向，如果u的大小恰能使小衛(wèi)星繞地球作圓周運動，那么有M0mu2〔17〕GmR2R00由式〔16〕、〔17〕并注意到式〔6〕，能夠獲得R07M210Mmm2〔18〕h2M(Mm)2M20m，那么得05920km〔19〕評分標準：本題20分。求得式〔11〕給7分，求得式〔16〕給6分，式〔17〕2分，式〔18〕3分，式〔19〕2分。四、參照解答圖復(fù)解20-4-1中畫出的是進入玻璃半球的任一光芒的光路〔圖中暗影處是無光芒進入的地區(qū)〕，光芒在球面上的入射角和折射角分別為i和i，折射光芒與坐標軸的交點在P。令軸上OP的距離為x，MP的距離為l，依據(jù)折射定律，有sini〔1〕nsini第二十屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷參照解答第4頁在OMP中l(wèi)x〔2〕sinisinil2R2x22Rxcosi〔3〕由式〔1〕和式〔2〕得xnl再由式〔3〕得x2n2(R2x22Rxcosi)設(shè)M點到Ox的距離為h，有hRsiniRcosiR2R2sin2iR2h2得x2R2x22x2h2n2Rx2(112)2xR2h2R20〔4〕n解式〔4〕可得xn2R2h2nR2n2h2〔〕n215為清除上式中應(yīng)舍棄的解，令h0，那么x處應(yīng)為玻璃半球在光軸Ox上的傍軸焦點，由上式xn(n1)RnR或nRn21n1n1由圖可知，應(yīng)有xR，故式〔5〕中應(yīng)清除±號中的負號，因此x應(yīng)表示為xn2R2h2nR2n2h2〔6〕n21上式給出x隨h變化的關(guān)系。因為半球平表面中心有涂黑的面積，因此進入玻璃半球的光芒都有hh0，此中折射光芒與Ox軸交點最遠處的坐標為第二十屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷參照解答第5頁n2R2h2nR2n2h2x0n21〔7〕在軸上xx0處，無光芒經(jīng)過。隨h增大，球面上入射角i增大，當i大于臨界角iC時，即會發(fā)生全反射，沒有折射光芒。與臨界角iC相應(yīng)的光芒有hCRsiniC1Rn這光芒的折射線與軸線的交點處于n2R11nRxC2n2〔8〕n1n21在軸Ox上RxxC處沒有折射光芒經(jīng)過。由以上剖析可知，在軸Ox上玻璃半球以右xCxx0〔9〕的一段為有光芒段，其余各點屬于無光芒段。x0與xC就是所要求的分界點，如圖復(fù)解20-4-2所示評分標準：本題20分。求得式〔7〕并指出在Ox軸上xx0處無光芒經(jīng)過，給10分；求得式〔8〕并指出在Ox軸上xx0處無光芒經(jīng)過，給6分；獲得式〔9〕并指出Ox上有光芒段的地點，給4分。五、參照解答放上圓柱B后，圓柱B有向下運動的偏向，對圓柱A和墻面有壓力。圓柱A偏向于向左運動，對墻面沒有壓力。均衡是靠各接觸點的摩擦力保持的?，F(xiàn)設(shè)系統(tǒng)處于均衡狀態(tài)，取圓柱A受地面的正壓力為N1，水平摩擦力為F1；圓柱B受墻面的正壓力為N2，豎直摩擦力為F2，圓柱A受圓柱B的正壓力為N3，切向摩擦力為F3；第二十屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷參照解答第6頁圓柱B受圓柱A的正壓力為N3，切向摩擦力為F，如圖復(fù)解20-5所示。各力以圖示方向為3正方向。圓柱A與地面的摩擦系數(shù)1＝，兩圓柱間的摩擦系數(shù)3＝。設(shè)圓柱B與墻面的摩擦系數(shù)為2，過兩圓柱中軸的平面與地面的交角為。設(shè)兩圓柱的質(zhì)量均為M，為了求出N1、N2、N3以及為保持均衡所需的F1、F2、F3之值，下邊列出兩圓柱所受力和力矩的均衡方程：圓柱A：MgN1N3sinF3cos0〔1〕F1N3cosF3sin0〔2〕F1RF3R〔3〕圓柱B：MgF2N3sinF3cos0〔4〕N2N3cosF3sin0〔5〕F3rF2r〔6〕因為FF，因此得33F1F2F3F3F〔7〕式中F代表F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3和F的大小。又因N3N3，于是式〔1〕、〔2〕、〔4〕和〔5〕四式3成為：MgNNsinFcos0〔〕138FN3cosFsin0〔9〕MgFN3sinFcos0〔10〕N2N3cosFsin0〔11〕以上四式是N1，N2，N3和F的聯(lián)立方程，解這聯(lián)立方程可得N2F〔12〕1sinMg〔13〕N31cossin第二十屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷參照解答第7頁N2FcosMg〔14〕cos1sinN12cos2sin〔15〕1cosMgsin式〔12〕、〔13〕、〔14〕和〔15〕是均衡時所需要的力，N1，N2，N3沒有問題，但F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3三個力能不可以抵達所需要的數(shù)值F，即式〔12〕、〔14〕要受那邊的摩擦系數(shù)的限制。三個力中只需有一個不可以抵達所需的F值，在那一點就要發(fā)生滑動而不可以保持均衡。第一議論圓柱B與墻面的接觸點。接觸點不發(fā)生滑動要求F22N2由式〔12〕，得F21N2因此21〔〕16再議論圓柱A與地面的接觸點的情況。按題設(shè)此處的摩擦系數(shù)為1＝，依據(jù)摩擦定律fN，假定上邊求得的接地址保持均衡所需的水平力F1知足F11N1，那么圓柱在地面上不滑動；假定F11N1，這一點將要發(fā)生滑動。圓柱A在地面上不發(fā)生滑動的條件是F1cos〔17〕12cos2sinN1由圖復(fù)解20-5可知cosRr〔18〕Rrsin1cos22Rr〔19〕Rr由式〔17〕、〔18〕和式〔19〕以及1＝，能夠求得r1R〔20〕9即只有當r1R時，圓柱A在地面上才能不滑動。9最后議論兩圓柱的接觸點。接觸點不發(fā)生滑動要求第二十屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷參照解答第8頁3F3cos〔21〕N31sin由式〔18〕、〔19〕以及3＝，可解得72rR〔22〕13明顯，在均衡時，r的上限為R?？偨Y(jié)式〔20〕和式〔22〕，獲得r知足的條件為〔23〕評分標準：本題22分。求得式〔7〕、〔12〕、〔13〕、〔14〕、〔15〕各2分，式〔16〕3分，求得式〔23〕9分。六、參照解答在點電荷形成的電場中一點的電勢與走開該點電荷的距離成反比。因為取無窮遠處為電勢的零點，故正電荷在空間各點的電勢為正；負電荷在空間各點的電勢為負?，F(xiàn)xx0處的電勢為零，故可知這兩個點電荷必然是一正一負。依據(jù)所供給的電勢的曲線，當觀察點離坐標原點很近時，電勢為正，且隨x的減小而很快趨勢無窮大，故正的點電荷必然位于原點O處，以Q1表示該點電荷的電量。當x從0增大時，電勢沒有出現(xiàn)負無窮大，即沒有經(jīng)過負的點電荷，這說明負的點電荷必然在原點的左邊。設(shè)它到原點的距離為a，當x很大時，電勢一定為負，且趨勢于零，這說明負的點電荷的電量的數(shù)值Q2應(yīng)大于Q1。即產(chǎn)生題目所給的電勢的兩個點電荷，一個是位于原點的正電荷，電量為Q1；另一個是位于負x軸上離原點距離a處的負電荷，電量的大小為Q2，且Q2＞Q1。按題目所給的條件有kQ1kQ2a0〔1〕x0x0kQ1kQ2U0〔2〕ax0ax0a因xax0時，電勢為極小值，故任一電量為q的正檢測電荷位于xax0處的電勢能也為極小值，這說明該點是檢測電荷的均衡地點，位于該點的檢測電荷遇到的電場力等于零，因此有kQ1kQ20〔3〕(ax0)2(ax0a)2由式〔1〕、〔2〕和〔3〕可解得aa(a2)x0〔4〕第二十屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷參照解答第9頁ax0U0〔5〕Q1ka2a(a1)2U0x0〔6〕Q22ka式中k靜力常量。分準：本23分。式〔1〕、〔2〕各4分，式〔3〕6分，式〔4〕、〔5〕、〔6〕各3分。七、參照解答物在A1點第一次與地面碰撞，碰撞前水平速度仍v0，直速度u02gh〔1〕碰撞后物的直速度u1，依據(jù)意，有u1eu0〔2〕物的量m，碰撞t，因碰撞極短，物與地面沿直方向的作使勁比重力大得多，可忽視重力的作用，，物地面的正力的大小N1mu0mu1〔3〕t水平方向量的化是水平摩擦力的沖量作用的果，水平方向速度v1，有mv1mv0N1t〔4〕由以上各式得v1v0(1e)u0〔5〕同理，在落地址A2，A3，?，An其碰撞后的直分速度分u2e2u0u3e3u0????unenu0〔6〕其水平速度分v2v0(1e)(1e)u0v3v(1e)(1ee2)u00????第二十屆全國中學(xué)生物理比賽復(fù)賽試卷參照解答第10頁vnv0(1e)(1ee2en1)u0〔7〕由式〔6〕可知，只有當碰撞次數(shù)n時，碰地后豎直方向的分速度un才趨勢于零，但物塊對地面的正壓力的最小值不小于mg。地面作用于物塊的摩擦力的最小值不小于mg，因次，物塊沿水平方向的分速度必定經(jīng)歷有限次數(shù)碰撞后即變?yōu)榱?，且不會反向。設(shè)經(jīng)過nn0次碰撞，物塊沿水平方向的分速度已經(jīng)足夠小，再經(jīng)過一次碰撞，即在nn01次碰撞結(jié)束后，水平方向的分速度恰巧變?yōu)榱恪Ｒ騰10，由式〔7〕n0v0(1e)(1ee2en0)u00(1e)(1en01)u00v01en11(1ev)0e0(1e)u0兩邊取對數(shù)n011lg1(1e)v0〔8〕lge(1e)u0令11(1e)v0〔9〕Blg(1e)u0lge假定B恰為整數(shù)，這表示此次碰撞中，經(jīng)過整個碰撞時間t，水平速度變?yōu)榱?，那么碰撞次?shù)n01B有n0B1〔10〕B不是整數(shù)，此種狀況對應(yīng)于在nn01次碰撞結(jié)束前，即在小于碰撞時間內(nèi)，水平速度變?yōu)榱?。那么碰撞次?shù)n01B1有n0B〔11〕表示B的整數(shù)局部。因為經(jīng)過n01次碰撞，物塊沿水平