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文檔簡介
*歐陽光明*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.07*歐陽光明*歐陽光明*創(chuàng)編2021.03.072014年考研數(shù)學(xué)二真題與解析歐陽光明(2021.03.07)一、選擇題1—8小題.每小題4分,共32分.1x0ln(12x)cosx)x高階的無窮小,則的可能取值范圍是()1 1(A)(2,) (B)(C)(2
(D)(0,2)1(1cosx)~
1 2x 21【詳解】ln2x)~2x
,是階無窮小, 2 是 階121無窮小,由題意可知所以的可能取值范圍是(1,2),應(yīng)該選(B).2.下列曲線有漸近線的是(A)yxsinx (B)yx2sinx(C)
yx
1x (D)1yx2sinx
yx
limy1 lim(yx)limsin10【詳解】對于yx應(yīng)該選(C)
x,可知xx 且x
x x ,所3.設(shè)函數(shù)fx)具有二階導(dǎo)數(shù),gx)f(0)(1xfx,則在上()(A)當(dāng)f'(x)0時,f(x)g(x) (B)當(dāng)f'(x)0時,f(x)g(x)(C)fx)0fxgx)(D)fx)0f(x)g(x)【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法.【1】如果對曲線在區(qū)間[abgx)f(0)(1xfx就是聯(lián)接(0,f(0)),(1,f兩點的直線方程.fx)0時,曲線是凹的,也就是f(x)g(x),應(yīng)該選(D)【詳解2】如果對曲線在區(qū)間[a,b]上凹凸的定義不熟悉的話,可令Fx)fxgx)fxf(0)(1xfx,則F(0)F0,且Fx)fx)fx)0時,曲線是凹的,從而Fx)F(0)F0,即Fx)fxgx)0fx)gx,應(yīng)該選(D)xt27,曲線yt24t1上對應(yīng)于t1的點處的曲率半徑是()1010(A)501010
(B)100(C)10
(D)51010y"(11010y"(1y'2)3【詳解】曲線在點(x,f(x))處的曲率公式1
,曲率半徑RK.dx2t,dy
2t4
dy
2t
1
d2y
2 1t2本題中dt dt
dx
2t t,dx2 2t t3,K對應(yīng)于t1的點處y'3,y"1,所以1
1y"(y"(1y'2)31010,曲率半10R 1010徑 K .應(yīng)該選(C)
2x0f(x)arctanx,若f(x)xf'(),則limx2x0(A)1
2 1(B)3(C)2
1(D)3【詳解】注意(1 )
f'(x)
11x2 ,(2 )1x時,arctanxx3x3ox3.
f'() 1
f(x)arctanx由于f(x)xf'() .所以可知xarctanx
12
x x ,2
(arctanx)2,2lim
lim
xarxtanx
x(x
13x3)o(x3) 1x0x2
x0
x(arctanx)2 x0 x3 3.設(shè)ux,y在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù),在D的內(nèi)部具有二階連2u0 2u
2u0續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足xy 及x2
y2
,則( ).ux,yD的邊界上;ux,yD的內(nèi)部;ux,yDD的邊界上;ux,yDD界上.【詳解】ux,y)D上連續(xù),所以ux,yD內(nèi)必然有最大值和最小值.并且如果在內(nèi)部存在駐點 (x0,y0),也就是u u 2u 2u 2u 2uxy0
,在這個點處
Ax2
,C
y2
,Bxyyx
,由條件,顯ACB
0,顯然u(x,y)不是極值點,當(dāng)然也不是最值點,所以u(x,y)的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上.所以應(yīng)該選(A).0 a b 0a 0 0 b
0 c d 0c 0 0 d等于(Aa2d2b2c2
(adbc)2
(B)(adbc)2
(C)a2d
b2c
(D)【詳解】應(yīng)該選(B).1 2 3 1 設(shè),, 是三維向量,則對任意的常數(shù)k,l,向量k1 2 3 1 2 1 2 l線性無關(guān)是向量2 1 2 (A)必要而非充分條件 (B)充分而非必要條件(C)充分必要條件(D)非充分非必要條件1 2 【詳解】若向量,,1 2 1 0,
,0 1
,,)K( (
1 2 3
1 2 3(1 k 3,
2l 3)
k l
,對任意的常數(shù)1 3 2 k,l,矩陣K的秩都等于2,所以向量k, l1 3 2 關(guān).31 0 030,
1,
0 1
而當(dāng) 0 0 0
時,對任意的常數(shù)k,l,向量1
k 3,2 3 1 2 l線性無關(guān),但,,線性相關(guān);故選擇(A2 3 1 2 二、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)19.【
1dxx22x5 .詳 解 】1 1 1
dx 1 x1 1 dx
arctan ( )x22x5
(x1)24 2 2 24 2 8 .10fx為周期為4fxxxf(7).【詳解】當(dāng)x時,f(x) 2(xx22xC,由f(0)0可知C0 ,即f(x)x
2x ;f(x) 為周期為4 奇函數(shù),故f(7)f(1)f1.設(shè)zzx,y
e2yzxy2z
7 dz4確定的函數(shù),則
22.1,122. 【 詳 解 】 設(shè)
7F(x,y,z)e2yzxy2z4 ,F(xiàn) Fx
2ze2
2y,Fz
2ye2
11 ,當(dāng)xy2
時,z0 ,z F 1 xFF
z
1 dz|
1 1x F
2y F 2,所以
11,22,
2dx
2dy.z z (r,),Lr程為.
L在點
2 2 xr()coscosy y )sin sin【詳解】先把曲線方程化為參數(shù)方程
,于是在2
x0,y2 ,
dy| dx2
sincossin
2| 2
,則L 在點(r,)
, 2 2 2 2 y (x0) y x . 處的切線方程為 2 ,即 213.一根長為1的細棒位于x軸的區(qū)間 上,(x)x22x1,則該細棒的質(zhì)心坐標(biāo)x.1x(x)dxx 0
1(x0
2x2
x)dx
1112 1151(xdx 1(x22xdx 20【詳解】質(zhì)心坐標(biāo) 0 0 3 .14.設(shè)二次型
f(x,
,x)x2x2
2axx
4x
的負(fù)慣性指數(shù)是1,1 2 3 1 2 1 3 2 3則a的取值范圍是.【詳解】由配方法可知由于負(fù)慣性指數(shù)為14a20a的取值范圍是2,2.三、解答題15.(本題滿分10分)lim
1x(t2(et1
t)dt1求極限
x
x2 )x .【分析】.先用等價無窮小代換簡化分母,然后利用洛必達法則求未定型極限.【詳解】16.(本題滿分10分)已知函數(shù)
yyx)x
y2y'1y',且y(2)0,求y(x)的極大值和極小值.【詳解】(1y2)dy1x2解:把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到 dx ,這是一個可分離變1 1 23y3yx3x3Cy(2)0得C3,1 1 2即3y3yx3x33.dy1x20
d2y
2y2)22x2)2令dx 1y2
x1dx2
y2)3 ;x1y1y"10y1;x1y0y"20y0.17.(10分) 設(shè)平面區(qū)域D(x,y)|1x2y24,x0.y xxsin( x2y2)
.計算xyD
dxdy【詳解】由對稱性可得18.(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(u) 具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),zf(excosy) 滿足2z 2z(4zexcosy)e2xx2 y2 f(0)0,f'(0)0f(u的表達式.【詳解】設(shè)uexcosy,則zf(u)f(excosy,zf'(u)excosy,x
2zx2
f"(u)e2xcos2yf'(u)excosy;zf'(u)exsiny,y
2y2
f"(u)e2xsin2yf'(u)excosy;2z
2z
(4zexcosy)e2x由條件x2 y2 ,可知這是一個二階常用系數(shù)線性非齊次方程.對應(yīng)齊次方程的通解為:1 1 f(u)Ce2uCe2u其中1 1 1對應(yīng)非齊次方程特解可求得為
y* u4 .故非齊次方程通解為
f(u)Ce2uC1
e2u1u4 .C 1,C 1將初始條件f(0)0,f'(0)0代入,可得1 16
2 16.f(u
f(u)
116e
1e2u16
1u4 .19.(本題滿分10分)fxgx在區(qū)間fx)單調(diào)增加,
0g(x)1,證明:0
xg(t)dtxa,xa,b(1)(2)
aabg(t)aa
;.f(xdxbf(x)g(xdx.a(chǎn)【詳解】證明:因為0g(x)1,所以x0dxxg(t)dtxb0xg(t)dtxa,xb
a a a .即 a .F(x)xf(u)g(uduaxg(t)dtf(udua,a令 aa,aF'(x)f(x)g(x)g(x)faxg(tdt則可知F(a0,且0xg(tdtxa,因為 a
a ,且f(x)單調(diào)增加,faxg(tdtf(axa)f(x)所以 a .從而F'(x)f(x)g(x)g(x)faxg(tdtf(x)g(x)g(x)f(x)0 a ,xa,b也是Fx在單調(diào)增加,則F(b)F(a)0,即得到abg(t)aa20.(本題滿分11分)f(x) x ,x
f(xdxbf(x)g(xdx.a(chǎn).設(shè)函數(shù)
1x ,定義函數(shù)列, f(x)f(x) f(x)f(f(x)) ,f(x)f(f (x)),, 1 2 1 n n1n設(shè)Sn是曲線yf(x),直線xy0所圍圖形的面積.求極限nlimnSn n.【詳解】f(x)
x ,
(x)
f(x)1
x 1x x11 1x 21
1
(x)
1 x
12x
(x)
x ,1x ,f(x) x .
13x ,利用數(shù)學(xué)歸納法可得n
1nxS 1
(xdx1
x dx
111
1)dx
1(1ln(1n))n 0 nlimnS lim1
01nx n0ln(1n)1
1nx n n ,n n n
n .21.(本題滿分11分)f2(y1)已知函數(shù)
f(x,y)滿足y ,
f(y,y)(y
(2ylny,求曲fx,y)0y1旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.【詳解】由于函數(shù)f(x,y)滿足
f2(y1)y ,所以
f(x,y)y
2yC(x)
,其中Cx為待定的連續(xù)函數(shù).又因為
fyyy1)2(2ylny,從而可知Cy1(2ylny,fxyy22yCxy22y1(2xlnx.1fxy0,可得y1)2(2xlnxy1x1
1,x2
2.fx,y)0y1旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為22.(本題滿分11分)1 2 3 4 A0 1 1 11 2 0 3設(shè) ,E為三階單位矩陣.AX0的一個基礎(chǔ)解系;(2)
求滿足ABE的所有矩陣.【詳解】(1)對系數(shù)矩陣A進行初等行變換如下:1123412341234100101110111011101021 2
0 3
0 4 3
0 0
1 3
0 0 1 3 ,
AX0
1 211 31AX0的一個基礎(chǔ)解系
.
x y z xB 2
1 1y z 2 2B矩陣是一個43矩陣,設(shè)對矩陣(AE)由方程組可得矩陣B對應(yīng)的三列分別為
x 3x4
y z3 3y4 z4x 2 1
y 6 1
z 1 1 1
1
1 x21
2
y23
2
z2
1c
2x 1 13 y 4
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