行列式計算技巧方法計劃

隊列式計算技巧及方法計劃隊列式計算技巧及方法計劃PAGEPAGE36隊列式計算技巧及方法計劃PAGE隊列式的假定干計算技巧與方法

內(nèi)容綱要

隊列式的性質(zhì)

隊列式計算的幾種常有技巧和方法定義法

利用隊列式的性質(zhì)降階法

升階法〔加邊法〕數(shù)學概括法

遞推法

隊列式計算的幾種特別技巧和方法拆行〔列〕法

結(jié)構(gòu)法

特色值法

幾類特別隊列式的計算技巧和方法三角形隊列式“爪〞字型隊列式“么〞字型隊列式“兩線〞型隊列式“三對角〞型隊列式

范德蒙品德列式

隊列式的計算方法的綜合運用

降階法和遞推法

逐行相加減和套用范德蒙品德列式

結(jié)構(gòu)法和套用范德蒙品德列式隊列式的性質(zhì)

性質(zhì)1隊列交換，隊列式不變．即

a11a12a1na11a21an1a21a22a2na12a22an2.

an1an2anna1na2nann

性質(zhì)2一個數(shù)乘隊列式的一行〔或列〕，等于用這個數(shù)乘此隊列式．即

a11a12a1na11a12a1n

kai1kai2kainkai1ai2ain.

an1an2annan1an2ann

性質(zhì)3假如隊列式的某一行〔或列〕是兩組數(shù)的和，那么該隊列式就等于兩個隊列式的和，且這兩個隊列式除掉該行〔或列〕之外的各行〔或列〕全與本來隊列式的對應(yīng)的行〔或列〕同樣．即a11a12Ka1na11a12Ka1na11a12Ka1nMMMMMMMMMMMMb1c1b2c2Kbncnb1b2Kbnc1c2Kcn.MMMMMMMMMMMMan1an2Kannan1an2Kannan1an2Kann性質(zhì)4假如隊列式中有兩行〔或列〕對應(yīng)元素同樣或成比率，那么隊列式為零．即a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainai1ai2aink=0.kai1kai2kainai1ai2ainan1an2annan1an2ann性質(zhì)5把一行的倍數(shù)加到另一行，隊列式不變．即a11a12a1na11a12a1nai1cak1ai2cak2aincaknai1ai2ain.ak1ak2aknak1ak2aknan1an2annan1an2ann性質(zhì)6對調(diào)隊列式中兩行的地點，隊列式反號.即a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainak1ak2aknak1ak2akn=-ai1ai2ain.an1an2annan1an2ann性質(zhì)7隊列式一行〔或列〕元素全為零，那么隊列式為零．即a11a12a1,n-1a1n00000.an1an2an,n-1ann2、隊列式的幾種常有計算技巧和方法定義法合用于任何種類隊列式的計算，但當階數(shù)許多、數(shù)字較大時，計算量大，有必定的限制性．0001例10020計算隊列式30.004000分析：這是一個四級隊列式，在睜開式中應(yīng)當有4！24項，但因為出現(xiàn)好多的零，所以不等于零的項數(shù)就大大減少．詳細的說，睜開式中的項的一般形式是a1j1a2j2a3j3a4j4．明顯，如果j14，那么a1j10，進而個就等于零．所以只考j14的，同理只考j23,j32,j41的些，就是，隊列式中不零的只有a14a23a32a41，而43216，所以此取正號．故00010020=14321a14a23a32a4124.03004000利用隊列式的性即把隊列式通隊列式的性化上三角形或下三角形.方法合用于低隊列式．化三角形法上、下三角形隊列式的形式及其分以下：a11a12a13a1na110000a22a23a2na21a220000a33a3na11a22ann，a31a32a330a11a22ann.000annan1an2an3ann1a1a2an例21a1b1a2an算隊列式Dn1.1a1a2anbn分析：察隊列式的特色，主角下方的元素與第一行元素同樣，故用第一行的1倍加到下邊各行即可使主角下方的元素所有零．即：化上三角形．解：將隊列式第一行的1倍分加到第2,3?〔n1〕行上去，可得1a1a2KanDn10b1000b1b2Kbn.MMMOM000Kbn加法隊列式的特色是隊列式某行〔或列〕加上其余各行〔或列〕后，使行〔或列〕元素均相等或出多零，進而化隊列式的算．算隊列式的方法稱加法．3解：

x1mx2xn計算隊列式Dnx1x2mxn.x1x2xnmnximx2xni1nDnximx2mxni1nximx2xnmi11x2xn1x2xnn1x2mxnn0m0ximximi1i11x2xnm00mmn1nxim.i1轉(zhuǎn)動消去法當隊列式每兩行的值比較靠近時，可采納讓鄰行中的某一行減或許加上另一行的假定干倍，這類方法叫轉(zhuǎn)動消去法．123n1n212n2n1例4計算隊列式Dn321n3n2n2.nn1n221解：從最后一行開始每行減去上一行，有123n1n123n1n1111120002Dn11111220021111111111123n1n1100001n1n12n2.2n21100011110逐行相加減關(guān)于有些隊列式，固然前n行的和全同樣，但卻為零．用連加法明顯不可以，這是我們能夠試試用逐行相加減的方法．a(chǎn)1a10000a2a200例5計算隊列式D00a300.000anan11111解：將第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類推，得：a100000a2000D00a300000an0123nn112n21nn1aaan1nn1aaa.1212n降階法將高階隊列式化為低階隊列式再求解．按某一行〔或列〕睜開x10000x100例600x00解隊列式Dn.000x1anan1an2a2a1解：按最后一行睜開，得Dna1xn1a2xn2an1xan.按拉普拉斯公式睜開拉普拉斯定理以下：設(shè)在隊列式D中隨意選定了k1kn-1個行.由這k行元素所構(gòu)成的全部k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于隊列式D.即DM1A1M2A2MnAn，此中Ai是子式Mi對應(yīng)的代數(shù)余子式．即Ann0Ann?Bnn，CnnBnnAnnCnnAnn?Bnn.0Bnnaaaab例7解隊列式Dnb.b解：從第三行開始，每行都減去上一行；再從第三列開始，每列都加到第二列，得a

a

a

abDn

0

0

00000n1aaaabn200000000n1a00n2n1abn2bn?200.升階法就是把n階隊列式增添一行一列變?yōu)閚+1階隊列式，再經(jīng)過性質(zhì)化簡算出結(jié)果，這類計算隊列式的方法叫做升階法或加邊法．升階法的最大特色就是要找每行或每列同樣的因子,那么升階以后，就能夠利用隊列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為0，這樣就抵達簡化計算的成效．此中，增添行與列的方式一般有五種：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般隊列的地點．0111110111例811011解隊列式D=.1110111110解：使隊列式D變?yōu)閚1階隊列式，即111110011101011.D0110101110再將第一行的1倍加到其余各行，得：111111100010100D=.1001010001從第二列開始，每列乘以1加到第一列，得：〔n1)111101000D0010000010000011n1n1.數(shù)學概括法有些隊列式，可經(jīng)過計算低階隊列式的值發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，而后提出假定，再利用數(shù)學概括法去證明．關(guān)于高階隊列式的證明問題，數(shù)學概括法是常用的方法．cos100012cos100例9計算隊列式Dn012cos00.0002cos100012cos解:用數(shù)學概括法證明.當n1時，D1cos.當ncos12cos21cos2.2時，D212cos猜想，Dncosn.由上可知，當n1，n2時，結(jié)論建立．假定當nk時，結(jié)論建立．即：Dkcosk.現(xiàn)證當nk1時，結(jié)論也建立．cos100012cos100當nk012cos001時，Dk1.0002cos100012cos將Dk1按最后一行睜開，得cos10012cos10Dk11k1k1?2cos012cos00002coscos1001k1k12cos10012cos000012cosDkDk1.因為Dkcosk，Dk1cosk1coskcoskcossinksin，所以Dk1

2cos

Dk

Dk12coscoskcosk

coskcos1.

coskcossinksin

sink

sin這就證了然當

n

k

1時也建立，進而由數(shù)學概括法可知，對全部的自然數(shù)，結(jié)論都建立．即：Dncosn.遞推法技巧剖析：假定n階隊列式D知足關(guān)系式aDnbDn1cDn20.那么作特色方程ax2bxc0.①假定0，那么特色方程有兩個不等根，那么DnAx1n1Bx2n1．②假定0，那么特色方程有重根x1x2，那么DnAnBx1n1．在①②中，A，B均為待定系數(shù)，可令n1,n2求出．950000049500000495000例10計算隊列式Dn.00004950000049解：按第一列睜開，得Dn9Dn120Dn2.即Dn9Dn120Dn20．作特色方程x29x200.解得x14,x25.那么DnA?4n1B?5n1.當n1時，9AB；當n2時，614A5B.解得A16,B25，所以Dn5n14n1.3、隊列式的幾種特別計算技巧和方法拆行〔列〕法觀點及計算方法拆行〔列〕法〔或稱分裂隊列式法〕，就是將所給的隊列式拆成兩個或假定干個隊列式之和，而后再求隊列式的值．拆行〔列〕法有兩種狀況，一是隊列式中有某行〔列〕是兩項之和，可直接利用性質(zhì)拆項；二是所給隊列式中行〔列〕沒有兩項之和，這時需保持隊列式之值不變，使其化為兩項和．例題分析1a1a200011a2a300例11011a300計算隊列式Dn.0001an1an00011an解：把第一列的元素當作兩項的和進行拆列，得1a1a2000101a2a3000011a300Dn00001an1an000011an1a200011a2a300011a3000001an1an00011ana1a200001a2a300011a300.0001an1an00011an上邊第一個隊列式的值為1，所以1a2a3001a300Dn1a1001an1an0011ana1Dn1.這個式子在關(guān)于任何nn2都建立，所以有Dn1a1Dn11a11a2Dn21a1a1a21n1a1a2annii11aj.i1j1結(jié)構(gòu)法觀點及計算方法有些隊列式經(jīng)過直接求解比較麻煩，這時可同時結(jié)構(gòu)一個簡單求解的隊列式，進而求出原隊列式的值．例題分析111x1x2xn例12x12x22xn2求隊列式Dn.x1n2x2n2xnn2x1nx2nxnn解：固然Dn不是范德蒙品德列式，但能夠考慮結(jié)構(gòu)n1階的范德蒙品德列式來間接求出Dn的值．結(jié)構(gòu)n1階的范德蒙品德列式，得1111x1x2xnxx12x22xn2x2fx.x1n2x2n2xnn2xn2x1n1x2n1xnn1xn1x1nx2nxnnxn將fx按第n1列睜開，得fxA1,n1A2,n1xAn,n1xn1An1,n1xn，此中，xn1的系數(shù)為An,n1nn11DnDn.又依據(jù)范德蒙品德列式的結(jié)果知fxxx1xx2xxnxixj.1jin由上式可求得xn1的系數(shù)為x1

x2

xn

xi

xj

.1jin故有Dnx1x2xnxixj.1jin特色值法觀點及計算方法設(shè)1，2，n是n級矩陣A的所有特色值，那么有公式A12n.故只需能求出矩陣A的所有特色值，那么就能夠計算出A的隊列式．例題分析例13假定1，2，n是n級矩陣A的所有特色值，證明：A可逆當且僅當它的特色值全不為零．證明：因為A12n，那么A可逆A012n0i0i1,2n.即A可逆當且僅當它的特色值全不為零．4、幾類特別的隊列式的奇妙策算技巧和方法三角形隊列式觀點a11a12a13a1na11a22a23a2na21a22形如a33a3n，a31a32a33這樣的隊列式，形狀像個三角形，annan1an2an3ann故稱為“三角形〞隊列式．計算方法由隊列式的定義可知，a11a12a13a1na110000a22a23a2na21a220000a33a3na11a22ann,a31a32a330a11a22ann.000annan1an2an3ann“爪〞字型隊列式觀點a0b1b2bnbnb2b1a0cnanc1a1a1c1形如c2a2，a2c2，c2a2，c1a1cnanancna0b1b2bnancna2c2這樣的隊列式，形狀像個“爪〞字，故稱它們?yōu)椤白Θ曌中完犃惺剑產(chǎn)1c1bnb2b1a0計算方法利用對角線消去隊列式中的“橫線〞或“豎線〞，均可把隊列式化成“三角形〞隊列式．此方法可概括為：“爪〞字對角消豎橫．例題分析a11111a2例14計算隊列式1a3，此中ai0,i1,2,n.1an剖析：這是一個典型的“爪〞字型隊列式，計算時可將隊列式的第i(i2,3,n.)列元素乘以1后都加到第一列上，原隊列式可化為三角形隊列式．a(chǎn)ia1111n11a1111a2i2ai0a2解:1a30a31an0an1a2a3ana1.i2ai“么〞字型隊列式觀點cnana0c1bnb2b1a0b1a1c2a1c1形如c2a2，b2a2，a2c2，c1a1cna0b1b2bnbnanancnanbnbnana0b1b2bncncnc1a1a2b2，b2a2，c2a2，c2a1b1b1a1c2c1a0a0c1cnanancnc1a0c2a1b1a2c2，a2b2這樣的隊列式，形狀像個“么〞字，所以常a1c1cnb1bnb2b1a0anbn稱它們?yōu)椤懊川曌中完犃惺剑嬎惴椒ɡ谩懊川曌值囊粋€撇消去另一個撇，就能夠把隊列式化為三角形隊列式．此方法能夠歸納為：“么〞字兩撇互相消．注意：消第一撇的方向是沿著“么〞的方向，從后向前，利用an消去cn，而后再用an1消去cn1，挨次類推．例題分析1111b1例15計算n1階隊列式Dn1.11bn11bn解：從最后一行開始后一行加到前一行〔即消去第一撇〕，得n1bini11binn1nDn1i11?n211bii11bn1bn1bn1nn3n21bii1.“兩線〞型隊列式觀點a1b1000a2b20形如這樣的隊列式叫做“兩線型〞隊列式．000bn1bn00an計算方法關(guān)于這樣的隊列式，可經(jīng)過直接睜開法求解．例題分析a1b1000a2b20例16求隊列式Dn.000bn1bn00an解：按第一列睜開，得a2b20b100Dn1a100bn1n1a2b20bn100an00bn1a1a2an1n1b1b2bn.“三對角〞型隊列式觀點abab000001abab000001abab000形如這樣的隊列式，叫做“三對角型〞行00000abab000001ab列式．計算方法關(guān)于這樣的隊列式，可直接睜開獲得兩項遞推關(guān)系式，而后變形進行兩次遞推或利用數(shù)學概括法證明．例題分析abab000001abab000001abab000例17求隊列式Dn.00000abab000001ab解：按第一列睜開，得ab000001abab00001abab00DnabDn1ababDn1abDn2.0000abab00001ab變形，得DnaDn1bDn1aDn2.因為D1ab,D2a2abb2，進而利用上述遞推公式得DnaDn1bDn1aDn2b2Dn2aDn3bn2D2aD1bn.故DnaDn1bnaaDn2bn1bnan1D1an2b2abn1bnanan1abn1n.bbVandermonde隊列式觀點1111a1a2a3an形如a12a22a32an2這樣的隊列式，成為n級的范德蒙品德列式．a(chǎn)1n1a2n1a3n1ann1計算方法1111a1a2a3an經(jīng)過數(shù)學概括法證明，可得a2a2a2a2aiaj.123n1ji1a1n1a2n1a3n1ann1例題分析111x1x2xn例18x12x22xn2求隊列式Dn.x1n2x2n2xnn2x1nx2nxnn解：固然Dn不是范德蒙品德列式，但能夠考慮結(jié)構(gòu)n1階的范德蒙品德列式來間接求出Dn的值．結(jié)構(gòu)n1階的范德蒙品德列式，得1111x1x2xnxx12x22xn2x2fx.x1n2x2n2xnn2xn2x1n1x2n1xnn1xn1x1nx2nxnnxn將fx按第n1列睜開，得fxAAxAn,n1xn1Axn，1,n12,n1n1,n1此中，xn1的系數(shù)為An,n11nn1DnDn.又依據(jù)范德蒙品德列式的結(jié)果知fxxx1xx2xxnxixj.1jin由上式可求得xn1的系數(shù)為x1x2xnxixj,1jin故有Dnx1x2xnxixj.1jin5、隊列式的計算方法的綜合運用有些隊列式假如只使用一種計算方法不易計算，這時就需要聯(lián)合多種計算方法，使計算簡易易行．下邊就列舉幾種隊列式計算方法的綜合應(yīng)用．降階法和遞推法210001210001200例19計算隊列式Dn.000210