大二下課件-復(fù)變函數(shù)chapter例1指明下列不等式所確定點(diǎn)集,是有界還

習(xí)題二3(奇)，4,5,PAGEPAGE91z例1指明下列不等式所確定的點(diǎn)集是有界的還1zRe(z2

arg

;

z1

z1

z1

z1

解(1)當(dāng)zxiy時(shí)Re(z2)

x2

y2Re(z2

1

x2

的單連通域

argz3arg

3

3

argz,3是角形域,的單連通域(3)1z

13z

z13是以原點(diǎn)為中心半徑為3的圓的外部

的多連通域

z1z1

z1z1到1,–1的距離之和為的點(diǎn)的軌跡是橢圓

411示該橢有界的單連通域

z1

z1z

r

irsin

1

z

1[(r

r2sin2][(r

r2sin2]r

0r

2cos2r2

2cos

是雙葉玫瑰線(也稱雙紐z 是54321x 例2滿足下列條件的點(diǎn)集是什么54321x 解

Im

RezRe

單連通域

2(3)0

z1

以(1

為圓心

的去心圓盤是多連通域(4)

i),4以i為端點(diǎn)的半射線(不包括端點(diǎn)i不是區(qū)域(5)0

argzz

4當(dāng)zxiy時(shí)zi

x2y21

2z

x2(

i

(y1)2由0

argzz

4x2y21

2

x2(

x2(y2

xx2y21

x2y2 2x

x2

y2

(x1)2y2表示在圓

1)2

y2

2的外部且屬于左半平面的單連通域第二章復(fù)變函 一、極限與連續(xù)復(fù)變函數(shù)的定義函數(shù)w

(z也可理解為

f(z)，反映點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系單(多)值函數(shù)的定義稱f是單值的：每個(gè)z對(duì)應(yīng)著唯一一個(gè)設(shè)z

x

uiv,則函數(shù)w

f(z)uu(x,

w

z2

z

x

wu

iv,u

(

iy)2

x2

y2

2xyi,于是函數(shù)wz2對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變ux2

y2

v2例(1)wz平面上的點(diǎn)

a

w平面上的點(diǎn)

ay

v

2

1

1

C

w

2

函數(shù)z2)( wz2

r2ei2

|w|1.

|wz2oyo

vovowz2對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變ux2

y2

v2xy.z

x2y2c 2xyc分別

w平面上的兩族平行直uc1y

vc2voooo 例2

z

求圓z

的象. 令z

x

wu

uiv

xiy

xiy于是u

xzx2xx2y2

vy

x2y22 2x2圓周

2

xyy

22

像為

uv

5232w平面上的橢圓

52

v232

函數(shù)極限的定義設(shè)函數(shù)w

f(z)

如果有一復(fù)

A存在任給

存在

z

時(shí)f(z)A那末稱當(dāng)

(z)

的極限為f(z)

u(x,

y)

A

z0

x0iy0zz0

f(z)

Axx0y

u(x,

u0 xx0y

v(x,

v0 證明

(z)

Re(z)

z

x2y2 f(zx2y2

y)

v(

y)1k當(dāng)1k

趨于零時(shí)ykx

y)

x2y2x2y2

x2x2(kx)2

隨k值的變化而變

y

u(x,

不存在x2x2y2

f

3連續(xù)的定義zz0

f(

(z)

在區(qū)

內(nèi)處處連續(xù)

我們

f(z)

內(nèi)連續(xù)定

(z)

y)

iv(

y在z0

x0

連續(xù)的充要條件是:u(處連續(xù)

y)和v

在x0

y0例2多項(xiàng)2wP(z)

a2

aznn對(duì)復(fù)平面內(nèi)的所有點(diǎn)z都是n有理函wP(z),Q(z)

其中Pz和Qz都是多項(xiàng)式在分母不為零的點(diǎn)是連續(xù)的例2證明:如果

fz

連續(xù)

fz也連續(xù) 設(shè)

(z)

y)

iv(

則f(z

u(

y)iv(

fz

z0連續(xù)知u

y和v

y在x0

y0處都連續(xù)于是u

y和v

y也在x0

y0處連續(xù)f(z

z0連續(xù)二、導(dǎo)數(shù)、解析1、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)定義

f(z0)

dzz

f

z)

f(z0)注

z

z以任意方式趨于z0時(shí)

(z)

在區(qū)

(z)

在區(qū)域

函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo) 則在z0處一定連續(xù)例 求

(z)

解z

z0limfz0limf(zz)f(z)

z)2

z2lim(2zz0

z)

2z.(z2

2z例2

(z)

解(1)f(z)=z=x- 連續(xù)性顯f=zf=zz

x

0,

0z

x

iy

=

iy 1

0,

0iyf

0,

f

0,

f(z)

例 問(wèn)

(z)

x

2yilimz0

f(z

z)

f(z)

(xx)

2(y

y)i

x2

x

x

kx

所以

(z)

x

2、解析函定義如果函

f(z)在

的某個(gè)鄰域內(nèi)處處導(dǎo),

f(z)在

解析

f(z)在

D內(nèi)每

(z)在區(qū)

D內(nèi)解析

(z)是區(qū)域D的一個(gè)解析函數(shù)(全純函數(shù)例 研究函

f(z)

z2

g(z)

x2

和h(z)

z2的解析性

f(z)

z2在復(fù)平面內(nèi)是解析的g(z)

x2

處處不解析

h(z)z2

z)

h(z0)zzzz2200

z)

z0

z

z 0

z0

z)

h(z0

z0

y

k(x

z

z0z

xx

1i 1i

11

h(z0

zh(z0不存在hz)

z2

0處可導(dǎo)而在其他點(diǎn)都不可導(dǎo),根據(jù)定義,它在復(fù)平面內(nèi)處處不定解析函數(shù)的和、差、積、商(除去分母為零的點(diǎn)仍解析

設(shè)函

hg(z)

解析,函數(shù)w

f

復(fù)合函數(shù)w

f[g(z)]

內(nèi)解析根據(jù)定理可知所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的

任何一個(gè)有理分式

P(z)Q(z)

在不含分母零的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是解析的三、-條假設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某一點(diǎn)z=x+iy可

f

z)

f(z)

f(z)f(z

z)f(z)

u

ivz=x

iy

u

if(z)

x0y0

xiyu=u(x+x,v=v(x+x,

yy)yy)

u(x,y)v(x,y)

u

lim

u

v

ix0

x

x0

xy0u,

存在且

,v

u

iv

lim

iu

iy0

x

iy

x0

yx0u,

存在且

,

u

u 可導(dǎo)的必要條件設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo),則偏導(dǎo)

u,u,v,

在點(diǎn)(x,y)存在 u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)滿足-方程u

u f(z) 在點(diǎn)z ，

z

不可導(dǎo) u(x,y)

v(x,

u(0,0)

u(x,0)u(0,0)0

x u(0,0)lim

y 0)0

y |k－方程在|k

0成立當(dāng)z沿射線

f(z)f(0)z0

x

1ik

(z)

在點(diǎn)

0不可導(dǎo)定理(可導(dǎo)的充要條件函數(shù)

(z)

u(

y)

iv(x,

在點(diǎn)z

xyi的充要條件是（1）u(x,

vx,y)

(x,

可微（2）在該點(diǎn)滿足 方uv

uv

(z)

u

u (1)必要性設(shè)f(z)

y)

iv(x,

在點(diǎn)z

x

可導(dǎo)f(z

z)

f(z)

f

設(shè)f(z)a uiv

f

z)

f(z)

iy)

by

1x

2y)i(bx

ay

2x

1y)于是

ax

v

ay

2x

因?yàn)?/p>

(z)

lim

lim1x01y0

22

(x)2(x)2(y)2(x)2(y)2由此

y與v

y在點(diǎn)

y可微且滿足方程

u

v

u

v充分性

設(shè)ux,

vx,y)

(x,

可微且 uv

u 于是u

ux

uy (x)(x)2v

vx

vy (x)(x)2f(z

z)

f(z)

=

i

x

i

yo(|

|)io(|

x

y

v

o(|zi

ix f(z

z)

f(z)

i

(xiy)o(|

f(z

z)f(z)uivo(|

|) 所以

(z)

f(z

z)

f(z)

iv推函數(shù)

(z)

y)

iv(x,y)

在區(qū)域解析的充要條件是

u(x,

vx,

在

u(x,

v

在足柯西 方DuvD

u

v例判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)在何處解析w

w

Re(z); (3)w

x2

y2解(1wu

z uu

x, v

y,

不滿足－方程w

在復(fù)平面內(nèi)處處不可,處處不解析w

z

x2

ux2

vu

2

u

v

vx.四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連

y

時(shí),0足－方故函w

zRe(z

0處可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處不解析w

x2

y2ux2

y2

vu

2x,

u

2

v2

v

0時(shí),滿足－方程

x0上可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)不解析例

(z)

x2

i(cx2

dxy

y2問(wèn)常數(shù)abc解析

取何值時(shí)

fz在復(fù)平面內(nèi)處處

2

u

ax

v

v

dx

2y,欲使u

v

u

v2x

dx

2

ax

所求

b

c

d例

(z)

y)

iv(

y在區(qū)域

D內(nèi)解析并且

u2

f(z). 解x

2uu

u

2uu

(2)

u

1)

u

u

c(常數(shù)于是

(z)

cic

(常數(shù) 如

f(z在區(qū)

D內(nèi)處處為零

fzD內(nèi)為一常數(shù) f(z)

u

i

i

故u

u

常數(shù)

常數(shù)

z在區(qū)

D內(nèi)為一常數(shù)例

(z)

u

為一解析函數(shù)

f(z)那末曲線族u

y)

c1與v

必相互正交其中

,

為常數(shù) 因

f(z)

vi

所以

與

uy

uyv(x,

c2是水平的而u(x,

它們相互正交 設(shè)在曲線的交點(diǎn)處， 都不為零 u(x

v(x

k1

uxuy

k2

vxvyk

v y y故曲線族u

c1與v

y)

相互正交f(x,

y)

y)

iv(x,y) C-R條件

uv xz 2

f(

y)

f(z

,zzy

z

f

u+i

(

x+u y

)+i(

x+

y1(uv)

i(u+v2

C-R條件：f(x,

y)

u(

y)

iv(x,y)u

u(x,y)

J

)2(u v v(x,y)v

vx vy

|

|dxdy

(uy)2f'(z) dudv

f'(z)

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的定義調(diào)和函數(shù)u(xy)u

uyy (Laplace方程定理

(z)

u(x,

y)

y)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)則u(x,

y)與v(x,

y)是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)uxxuxxuyy0.

vy uxx

vxy,

定義若u與v是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)且滿足C-R程，則稱v為u的共軛調(diào)和函數(shù).解解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函定理

(z)

u(x,

y)

在區(qū)域內(nèi)解v為u的共軛調(diào)和函數(shù) 已知調(diào)和函數(shù)ux,y

x2

解析函數(shù)

z

ui

0

ux2xy 由C-R方

vyux

2xy， v2x

y

2xy2

y2cx2y

cx

2y

cx

12

cvx,y1y22xy1

c

f0

0c fz

x2

xyi

y22xy

x2

iz2 2 （方法

Ydy Y

vy

uxx

X

vx

uyyuxxuyy

0

XdxYdyvx,y

x,0,0

uxdy

（方法3

ux,yfz

2x

yi2yxxz 2

f'z

2iy

zfz

1

iz22

f0

0

初等函(1)多項(xiàng)式函數(shù)：在復(fù)平面內(nèi)處處解析

有理函

P(z在分母不為零的點(diǎn)處解析.Q(z)2、指數(shù)函

ez

ex

ex

y

siny)

ez1

ez2

e(z1z2)當(dāng)z

x時(shí)

f(z)

ex|ez

|ex

Arg(ez)

yez在復(fù)平面內(nèi)處處解析,且(ezez

ex

yisiny)u

excos

u

ex

siny,v

exsin

v

excosy,即u

v

u

v故f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處處解析f(z)

ex

yi

ez.

ez

ez,是以設(shè)w是ez的一個(gè)周期,則對(duì)z

ez

ez特別取

0

ew

wa1

eaiba

0,b

Arg1

w極限limez不存在,即e無(wú)意義.z當(dāng)z沿正實(shí)軸趨于+∞時(shí)，當(dāng)z沿負(fù)實(shí)軸趨于-∞時(shí) 3三角函

yisin

eiy

yisincosy

,siny

. 定 coszsinz

eizeiz

e,2e.性質(zhì)

當(dāng)z

x時(shí)

sin

x,cos

cosx.在復(fù)平面內(nèi)都解

cos

sinz.

z和

z

為周期的函數(shù)

2)

2)

cosz.eyeeyey時(shí)y時(shí)sin(

z, cos(z)

cosz.遵循通常的三角恒等式，cos(z1

z2

z1

z2sin(z1z2)sinz1cos

z2sin2z

zcos

eye2

coshy,sin

e

e

isinh

sinz的零點(diǎn)(i.e.sinz=0的根)為cosz的零點(diǎn)為 n=0,1,eizesin

0

0

eei2

1

z4雙曲函雙曲正弦sinhz

ez

e,2雙曲余

coshz

ez2

e.sinh

是奇函數(shù) cosh

是偶函數(shù)它們都是以2i為周期的周期函數(shù)

sinhcosh

cosz, sinh

isinz.多值函

輻角函數(shù)多值函

輻角函數(shù)yzGoyzGo面割破 結(jié)論w

wArg(z)

arg(z)

arg(z5、根式n wn

為冪函數(shù)z=wn的反函數(shù)nz0w nnz0n

n

z

iknk

kn為nnwn

nre

Argz解決的辦法nw n

nre

iArgz

nre

iargz2k

knarg(z)n6、對(duì)數(shù)函定

z

的反函數(shù)

記為w (z計(jì)算公式及多值性說(shuō)明：設(shè)

rei,

uw=Ln

ew

euiv

eu=r,

w

ln|z|

Argz的多值性導(dǎo)致w=Lnz是一個(gè)多值函數(shù)w

ln|z|

需要得到Argz的單值連續(xù)分支.規(guī)定

z=ln

iargz.為對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的主值于是

w

lnz

性

z2)

Lnz2(2)

Ln

Lnz2

在割去負(fù)實(shí)軸(包括原點(diǎn))的復(fù)平面

主值和其它各分支處處解析,

1z

1z例解方

ez1

3i解ez

1

Ln(1

ln1

3i

i2k3 3 ln2

i2k3 3 (k

0,

例求下列各式的值Ln(2

Ln(3

(1)Ln(2

3i)ln2

iArg(2

3i)1ln13

iarctan3

2k. (k

Ln(3

ln3

3i

iArg(3

ln

3333