信號與系統(tǒng)知識要點

《信號與系統(tǒng)》知識要點第一章信號與系統(tǒng)1、周期信號的判斷（1）連續(xù)信號x(ty(t的周期分別為T和T1 2

T1T12

N1N2

為有理數(shù)(不可約xt)yt)T和T1 2

的最小公倍數(shù)，即TNTNT。21 12（2)離散信號思路：離散余弦信號cos

n（或sin0

n）不一定是周期的，當(dāng)0①為整數(shù)時,周期N ；0 0N② 0

1為有理數(shù)（NN；N 12③2為無理數(shù)時，為非周期序列0注意：和信號周期的判斷同連續(xù)信號的情況.2、能量信號與功率信號的判斷（1)定義連續(xù)信號 離散信號def 2 信號能量：

Ef(t) dt Ek

|f(k)|2def 1 T2

1 N/2信號功率： Plim 2TT T2

f(t) dt PlimNN

kN

|f(k)|2（2)判斷方法能量信號:E，P=0功率信號:P，E=（3）一般規(guī)律①一般周期信號為功率信號；②時限信號(僅在有限時間區(qū)間不為零的非周期信號）為能量信號;③還有一些非周期信號,也是非能量信號。03、典型信號①指數(shù)信號: f(t)Keat，aR

ftK

0 0t②正弦信號： f(t)K)

0③抽樣信號： Sa(t)

sint

ftTK2O 1

2π tSatejt- 2π

tcos1

j

πO

tπ 3πcost歐拉公式：

(ejt2

e)sint1(ejtejt) 2j4、信號的基本運算兩信號的相加和相乘信號的時間變化反轉(zhuǎn)：f(tf(t)平移：f(tf(tt)0尺度變換:f(tf(at)信號的微分和積分注意：帶跳變點的分段信號的導(dǎo)數(shù)，必含有沖激函數(shù),其跳變幅度就是沖激函數(shù)的強度.正跳變對應(yīng)著正沖激；負(fù)跳變對應(yīng)著負(fù)沖激。5、階躍函數(shù)和沖激函數(shù)(1）單位階躍信號（2）單位沖激信號

0 t0u(t)1 t0

t0是u(t的跳變點.定義：

(t)dt1性質(zhì):

t)0 t01）取樣性

ftt)dtf(0)tt)ft)dtft) 1 1f(t)(t)f(0)(t)f(t)(tt0

)f(t0

)(tt)02）偶函數(shù) (t)(t)尺度變換 (at)微積分性質(zhì) (t)(3）沖激偶(t)

1adu(t)dta

t)dut)性質(zhì)：f(t)(t)f(0)(tf(t)ftt)dtf(0) t

(t)dt(t)(t)(t)

(t)dt0（4)斜升函數(shù) r(t)t(t)

t)d門函數(shù) G

(t)(t)(t)2 26、系統(tǒng)的特性（重點：線性和時不變性的判斷）(1）線性定義：若同時滿足疊加性與均勻性，則稱滿足線性性質(zhì)。當(dāng)激勵為C1

f(t)C1

f(t時，系統(tǒng)的響應(yīng)為C2

y(t)C1

y(t)。22）線性系統(tǒng)zi ①分解特性：y(t)y (t)y (tzi ②零輸入線性③零狀態(tài)線性:f(tt0因果性(4)穩(wěn)定性(5）

y(tt。0第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析1、時域分析法全響應(yīng)y(t)自由響應(yīng)yh

(t)強迫響應(yīng)yp

(t)；全響應(yīng)y(t)零輸入響應(yīng)yzi析法求）

(t)零狀態(tài)響應(yīng)yzs

t(一般都可以通過復(fù)頻域分yzs(t)f(t)h(t)2、沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)（1)定義：沖激響應(yīng)：由單位沖激函數(shù)δ(t）（t階躍響應(yīng)：由單位階躍函數(shù)(）(t。（2）h

dg, g

hd3、卷積積分f1

t*f2

dt

f1

td2（0t）（2)計算:一般計算用拉普拉斯變換；如果要計算某一個值,比如設(shè)ftf1

t*f2

t，計算f3，用圖示法.圖示法可分解為四步：換元:tτ→得f（τ，f（)1 2f（τ)反轉(zhuǎn)→f（—τ)t→f（t-τ）2 2 2f（τ）f（t—τ)1 24)積分：τ從-∞到∞對乘積項積分。（3）性質(zhì)：a）代數(shù)律（交換律；結(jié)合律、分配律）b）ft*tftf*t0

ftt0f(tt1

)*(tt2

)f(tt1

t)2(t)*(t)t(t)f(t)*(t)t

f)dffffifjfij1 2 1 2卷積結(jié)果函數(shù)定義域的確定設(shè)ft1

t，f2

t3

t，4ff1

t*f2

tt1 3

t t2 4第三章離散系統(tǒng)的時域分析1、時域分析法y（k）y(k)+y（k)h py(k)=y（k)+

（k）(一般都可以通過Zzi zs域分析法求)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)y fhzs2、序列δ（k)和ε（k)（1)單位(樣值)序列δ(k)定義: def1, k0(k)取樣性質(zhì):

0, k0f(k(k)f(0)(k)f(k(kk0

)f(k0

)(kk)0 f(k(k)f(0)(）躍序列()def1, k0(k)0, k0（3）ε(k）與δ(k)的關(guān)系(k)(k)k1)(k) (i)(kj)3階躍響j0(1)定義沖激響應(yīng)：由單位沖激函數(shù)δ(k）（k。階躍響應(yīng)：由單位階躍函數(shù)（2)關(guān)系g(k)

ki

hi)j0

h(kj)h(k)g(k)g(k1)（3）兩個常用的求和公式kakk

ak2aj

1 1a

a1jk1

k k1 a12 1kjk

(k k2

)(k2

k1)1

（k2≥k1)jk13、卷積和（1)定義f1

(k)*f2

2(k)

i

f(i)f(ki)1 2z情況下一般用z變換法計算，但如果只計算某一個值，比如設(shè)fkf1

k*f2

k，計算f3，用圖示法.圖示法可分解為四步：換元：k→得f(、f()1 2f反轉(zhuǎn)→fkf（k—i）2 2 2乘積：ff1 2求和：i從—∞到∞對乘積項求和。性質(zhì)0 a）代數(shù)律（交換律；結(jié)合律、分配律）b)f(k）＊δ（k）=f(k)，f(k)*δ(k–k)=f（0 f（k）＊ε(k）=ki

f(i)12211f1(k–k）*f(k–k)=f(k–k12211

–k）*f

（k)22c）卷積和序列定義域的確定22fnn1

n,f2

nn3

n4fnf1

n*f2

nnn1 3

nn2 4d)卷積結(jié)果函數(shù)元素個數(shù)的確定f(kf1 1

(k2

，那么fkf1

k*f2

的元素個數(shù)為：kk 11 2第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析1、周期信號的傅里葉級數(shù)ft（T1

為其周期可展開為傅里葉級數(shù)。（1）三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)f(t)a

[

cos(nt)

sin(nt)] 式中

n為正整數(shù)。0 n1

1 n 1 1 T1T傅里葉系數(shù)：直流分量T

1

1f(t)dt0 T t1 0余弦分量的幅度a

2

T1f(t)T

t)dtn T t 11 0正弦分量的幅度b

2

1f(t)sin(

t)dtTn T t 1T1 0三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的另一種形式為f(t)a0（2）指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

n1

Acos(nt)n 1 nft)n

Fen為從到的整數(shù)。1n111

10T

f(t)ejntdt1（3)對稱性1

n T t1 0利用周期信號的對稱性可以簡化傅里葉級數(shù)中系數(shù)的計算。從而可知周期信號所包含的頻率成分。有些周期信號的對稱性是隱藏的，刪除直流分量后就可以顯示其對稱性.①實偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不包含正弦項，只可能包含直流項和余弦項。f(t)f(t)，縱軸對稱（偶函數(shù)）

b0，an

42T t2

Tf(t)cosntdt0②實奇數(shù)的傅里葉級數(shù)中不包含余弦項和直流項,只可能包含正弦項。4 tTf(tf(t)，原點對稱（奇函數(shù)

a n

T t0

2f(t)sinntdt③實奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只可能包含基波和奇次諧波的正弦、余弦項,而不包含偶次諧波項。f(t)f(tT)，半周鏡像（奇諧函數(shù)）2

無偶次諧波，只有奇次諧波分量f(t)f(tT)，半周重疊（偶諧函數(shù)）22、周期信號的頻譜

無奇次諧波，只有直流和偶次諧波會畫單邊幅度譜、相位譜和雙邊幅度譜、相位譜從對周期矩形脈沖信號的分析可知:1）信號的持續(xù)時間與頻帶寬度成反比;2)T周期信號的功率2P1T2T T2

f2(t)dt(0)2a2a

n1n

F2nn3、傅里葉變換(1）定義Fff(t

f(t)ejtdt1f(tf1[F(1

F()ejtd說明：頻譜密度函數(shù)F()一般是復(fù)函數(shù),可以寫作F()F()ej()。其中F()是F()的模，它代表信號中個頻譜分量的相對大小,是的偶函數(shù)。(F(奇函數(shù)。（2）常用變換對①et 1 （α＞0） ②et 22③gSa

④sgn 2 2

⑤1 ?1⑦t1j⑧cost

0 0 0⑨sint

0⑩(t)T

n

0(tnT)

0)n

2T4、傅里葉變換的性質(zhì)1）線性 af(t)bf(t)aF(j)

(j)1 2 1 22）奇偶虛實性 若F()R()jX()，則f(tF(R(F(為的實偶函數(shù)；②若f(t)是實奇函數(shù)，則F()jX,即F()為的虛奇函數(shù)。3）對稱性 F(jt)f()aF(j 尺度變換 f(at)aF(j a時移特性 f(tt0

)F(j)e-jt006）頻移特性 f(t)ejtF[j()]0007）時域卷積 f(t)f(t)F(j)F(j)1 2 1 2頻域卷積 f(t)f1 2dnf

(t)1[F(j)F1

(j)]8）時域微分

dtn

(j)nF(j)時域積分t

f)d 1 F(j)F(0)()j其中F(0)

f(t)dt頻域微分 tnf(t)jn

dFn(j)dn頻域積分 f(0)(t)1 f(t)F()djt其中f(0)125、帕斯瓦爾定理（能量等式)Eft)2dt1

F()dF()2d 6、周期信號的傅里葉變換F[f(t)]

n

F(n)nF[ft)]n

F(jn)n)07、頻域分析LTI得。其方法為：(）（j。y(Y（jY（j(j(j.zs4)

zs（）=F

zs（j］zs zs無失真?zhèn)鬏?|H(jw)|在時域中,無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件是 y(t)Kf(tt0) K在頻域中，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的特性為H(j)Keω(3）理想濾波器 0|H(jw)|1ω-ωC0ωC?|H(jw)|1ω-ωC0ωC?(w)etd, cH(j)c 0,

c

稱為截止角頻率c即在0~c

的低頻段內(nèi)，傳輸信號無失真。8、時域取樣定理1）f(t)必須是帶限信號；或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts≤1/(2fm);否則將發(fā)生混疊.（Nyquist)Ts=1/（2fm）稱為奈奎斯特間隔。第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析1、拉氏變換定義（單邊）F(s)f(t)estdt0(2）收斂域使得拉氏變換存在的S平面上的取值范圍稱為拉氏變換的收斂域。f(tS2）f(t是右邊信號時，收斂域為的右邊區(qū)域；0f(t是左邊信號時，收斂域為的左邊區(qū)域；0f(tS此一般不寫收斂域.（3）常用變換對①eatU

1s

(a為任意常數(shù)) ②1③1 ④t1s s2⑤cost0

ss220

?sint0

s22000⑦ (t)T

11esT2、拉普拉斯變換的性質(zhì)①線性：af(taf(t)aF(saF(s)11 2 2 11 2 2F( ②尺度變換：f(at)1 F( a a③時移:f(tt0

)(tt0

)F(s)est00④頻移：f(t)estF(ss)000⑤時域微分:

dnf(t)dtn

snF(s)sn1f(0)sn2f(0)

f(n1)(0)?時域積分：t

f)d1F(s)1s s

f1(0)⑦卷積定理：f(tf(t)F(s)F

(s)1 2 1 21f(t)f(t) F(s)

(s)1 2 j 1 2⑧s域微、積分:tf(t)dF(s)ds⑨初、終值定理初值定理：

1f(t)t

F(s)dss設(shè)函數(shù)f(t）不含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)(即F(s)為真分式，若F（s)為假分式化為真分式）f(0limf(tlimsF(s)t0 s終值定理：若當(dāng)t→∞時存在,并且f(t)F(s) ，〈0，則f()limsF(s)s01)一般規(guī)律:①有t相乘時，用頻域微分性質(zhì)；②有實指數(shù)et相乘時，用頻移性質(zhì)；③分段直線組成的波形，用時域微分性質(zhì)；F(s)F(s)1

F(s)11esT1（2）由于拉氏變換均指單邊拉氏變換，對于非因果信號,在求其拉氏變換時應(yīng)當(dāng)作因果信號處理.3、拉普拉斯逆變換（部分分式展開法)1(1）單實根 F(s) K K2 Kn1sp1

sp2

spnK(sp)F(s)i i K

spiK（2）共軛單根 F s 11 12 （系數(shù)求法同上)sαjβ sαjβ若 K AjBK11 11

|e,則f(t)2|K或 11

|eatcos(t)(t) Kf(t)2eαtAcost BsintK1112重（重點:二重） F(s) K K1112

K 1(k

1k(sp1

)k (sp1

)k(sp1

)2 sp1K 1 di1 F(s) i1,2,3, k4、s

(i1)!dsi1 1sp1（1）微分方程的拉普拉斯變換分析S（2）系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)Y (s)H(s)F(s)zsh(t)H(sH(s是沖激響應(yīng)的象函數(shù)，稱為系統(tǒng)函數(shù)。Y (s)系統(tǒng)函數(shù)定義為：（3)系統(tǒng)的S域框圖

H(s)zs F(s)（4）動態(tài)電路的S域模型：S的基礎(chǔ).引入復(fù)頻域阻抗后,電路定律的復(fù)頻域形式與其相量形式相似.i(t) R I(s) R i

u(t)L

U(s)

IL(s)sLLiIL(s)sLLiL(0-)i或

sLL(0

-)/su(t)

U(s)I(s)sCC sI(s)sCC s

I(s)

U(s) 1sCCi(t)uC(tCi(t)

或UC(s)

CuC(0-)UC(s)第六章離散系統(tǒng)的z域分析1、z變換定義F(z)

f(n)zn （kznF(z)n0

f(n)zn z收斂域序列的收斂域大致有一下幾種情況：zzzz(3）常用變換對①ak z za

za （a）②1z③ z ,z1④k

z1, z1z12akk1 z , za （a）za2、z變換的性質(zhì)(1）線性：af(kaf(kaF(za

F(z)11 2 2（2）移序：

11 2 2雙邊f(xié)(kn)znF(z)f(kn)znF(z)nn1f(kn)znF(z)znk0f(kn)(kn)znF(z)z（3)z域尺度變換:akf(k)F( )za

f(k)zk（4）卷積定理：f(k)f(k)F(z)F

(z)1 2 1 2（5)

n d z域微分特性：knf(k)zdzF(z) d z（6）

z域微分特性:

f(k)k

zm

F()dz m17）k（z）f(k)