(30)2018中考真題匯編 切線的性質(zhì)和判定

2018中考數(shù)學(xué)真題匯編：切線的性質(zhì)和判定一．選擇題（共11小題）1.（2018?哈爾濱）如圖，點(diǎn)P為?0外一點(diǎn)，PA為?0的切線，A為切點(diǎn)，PO交?0于點(diǎn)B,ZTOC\o"1-5"\h\zP=30°,0B=3，則線段BP的長(zhǎng)為（）A.3B.3士C.6D.92.（2018?眉山）如圖所示，AB是?0的直徑，PA切?0于點(diǎn)A，線段P0交?0于點(diǎn)C，連結(jié)BC,若ZP=36°，則ZB等于（）A.27°B.32°C.36°D.54°3.（2018?重慶）如圖，已知AB是?0的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD與?0相切于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作PD的垂線交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,若?0的半徑為4，BC=6，則PA的長(zhǎng)為（）A.4B.2士C.3D.2.54.（2018?福建）如圖，AB是?0的直徑，BC與?0相切于點(diǎn)B，AC交?0于點(diǎn)D，若ZACB=50°,則ZB0D等于（）

A．40°B．50°C．60°D．80°5.（2018?瀘州）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)0為圓心，1為半徑作圓，點(diǎn)P在直線y=方廿呂遲上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作該圓的一條切線，切點(diǎn)為A,則PA的最小值為（）A.3B.2C..方D.'互6.（2018?泰安）如圖，BM與?0相切于點(diǎn)B，若ZMBA=140°，則ZACB的度數(shù)為（）A.40°B.50°C.60°D.70°7.（2018?深圳）如圖，一把直尺，60°的直角三角板和光盤(pán)如圖擺放，A為60°角與直尺交點(diǎn)，AB=3,則光盤(pán)的直徑是（）ABA.3B.3込C.6D.6込&（2018?重慶）如圖，AABC中，ZA=30°，點(diǎn)0是邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)0為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，①0恰好與AC相切于點(diǎn)D,連接BD.若BD平分ZABC，AD=2士，則線段CD的長(zhǎng)是（）

A.2B?廳C?號(hào)D.y虧9.（2018?湘西州）如圖，直線AB與?0相切于點(diǎn)A,AC、CD是?0的兩條弦，且CD〃AB,若?0TOC\o"1-5"\h\z的半徑為5,CD=8,則弦AC的長(zhǎng)為（）A.10B.8C.4■遠(yuǎn)D.4■疋10.（2018?宜昌）如圖，直線AB是?0的切線，C為切點(diǎn)，0D〃AB交?0于點(diǎn)D,點(diǎn)E在?0上,連接0C,EC,ED,則ZCED的度數(shù)為（）A.30°B.35°C.40°D.45°11.（2018?無(wú)錫）如圖，矩形ABCD中，G是BC的中點(diǎn)，過(guò)A、D、G三點(diǎn)的圓0與邊AB、CD分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F,給出下列說(shuō)法：（1）AC與BD的交點(diǎn)是圓0的圓心；（2）AF與DE的交點(diǎn)是圓0的圓心；（3）BC與圓0相切，其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3二.填空題（共14小題）12.（2018?安徽）如圖，菱形AB0C的邊AB,AC分別與?0相切于點(diǎn)D,E.若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),則ZD0E=°.13.（2018?連云港）如圖，AB是?0的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上，且0C丄0A,OC交AB于點(diǎn)P,已知ZOAB=22°,則Z0CB=514.（2018?泰州）如圖，AABC中，ZACB=90°,sinA=,AC=12，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C，P為線段A?上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA'長(zhǎng)為半徑作?P,當(dāng)?P與厶ABC的邊相切時(shí)，①P的半徑為.15.（2018?寧波）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，M是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PM,以點(diǎn)P為圓心，PM長(zhǎng)為半徑作?P.當(dāng)?P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，BP的長(zhǎng)為3或4'￡.16.（2018?臺(tái)州）如圖，AB是?0的直徑，C是?0上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作?0的切線交AB的延長(zhǎng)線于

17.（2018?長(zhǎng)沙）如圖，點(diǎn)A,B,D在?0上，ZA=20°,BC是?0的切線，B為切點(diǎn)，0D的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)C,則Z0CB=50度.18.（2018?香坊區(qū)）如圖，BD是?0的直徑，BA是?0的弦，過(guò)點(diǎn)A的切線父BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,0E丄AB于E，且AB=AC，若CD=2■.邁，則0E的長(zhǎng)為.19.（2018?山西）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6，BC=8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑作?0,?0分別與AC,BC交于點(diǎn)E,F,過(guò)點(diǎn)F作?0的切線FG,交AB于點(diǎn)G,則FG的長(zhǎng)為20.（2018?包頭）如圖，AB是?0的直徑，點(diǎn)C在?0上，過(guò)點(diǎn)C的切線與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,點(diǎn)E在眈上（不與點(diǎn)B,C重合），連接BE,CE.若ZD=40°,則ZBEC=115度.21.（2018?湘潭）如圖，AB是?0的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，若ZA=30°,則ZA0B=60°22.（2018?徐州）如圖，AB是?0的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與?0相切于點(diǎn)D.若ZC=18°,則ZCDA=則ZCDA=126度.AC23.（2018?青島）如圖，RtAABC,ZB=90°,ZC=30°,O為AC上一點(diǎn)，OA=2，以0為圓心，以O(shè)A為半徑的圓與CB相切于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)F,連接OE、OF，則圖中陰影部分的面積是￡Z24.（2018?廣東）如圖，矩形ABCD中，BC=4,CD=2,以AD為直徑的半圓0與BC相切于點(diǎn)E,連接BD,則陰影部分的面積為n.（結(jié)果保留n）【分析】連接0E,如圖，利用切線的性質(zhì)得0D=2,0E丄BC,易得四邊形OECD為正方形，先利用扇形面積公式，利用S0ECD-SE0D計(jì)算由弧DE、線段EC、CD所圍成的面積，然后利用三角形的正方形0ECD扇形E0D面積減去剛才計(jì)算的面積即可得到陰影部分的面積.【解答】解：連接0E,如圖，???以AD為直徑的半圓0與BC相切于點(diǎn)E,???0D=2,0E丄BC,易得四邊形OECD為正方形，2???由弧DE、線段EC、CD所圍成的面積=S0ecd-SEOD=22-=4-n,正方形0ECD扇形E0D360???陰影部分的面積=￡X2X4-（4-n）=n.故答案為n.

25.（2018?南京）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,以CD為直徑作OO.將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A'B'C'D'的邊A?與O0相切，切點(diǎn)為E,邊CD'與O0相交于點(diǎn)F,則CF的長(zhǎng)為4.【分析】連接OE，延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)G，作OH丄B'C，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知ZB'=ZB'CD'=90°、AB=CD=5、BC=B'C=4，從而得出四邊形OEB'H和四邊形EB'CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5，繼而求得CG=B'E=OH=：?jiǎn)淌瘉冏?叨-1?護(hù)=2，根據(jù)垂徑定理可得CF的長(zhǎng).【解答】解：連接OE,延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)G,作OH丄B'C于點(diǎn)H，則ZOEB'=ZOHB'=90°,???矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)所得矩形為A'B'C'D',.\ZB'=ZB'CD/=90°,AB=CD=5、BC=B'C=4,???四邊形OEB'H和四邊形EB'CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5,???B'H=OE=2.5,??.CH=B'C-B'H=1.5,???CG=B'E=OH=t〕c瀘=—?5—1.52=2,??四邊形EB'CG是矩形，?ZOGC=90°,I卩OG丄CD',???CF=2CG=4,故答案為：4三．解答題（共25小題）26.（2018?柯橋區(qū)模擬）如圖，已知三角形ABC的邊AB是?0的切線，切點(diǎn)為B.AC經(jīng)過(guò)圓心0并與圓相交于點(diǎn)D、C,過(guò)C作直線CE丄AB,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）求證：CB平分ZACE；(2)若BE=3,CE=4,求?0的半徑.【分析】（1）證明：如圖1,連接0B,由AB是?0的切線，得到OBIAB，由于CE丄AB，的0B〃CE，于是得到Z1=Z3,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到Z1=Z2，通過(guò)等量代換得到結(jié)果.（2）如圖2,連接BD通過(guò)ADBCsACBE，得到比例式，列方程可得結(jié)果.DULn.【解答】（1）證明：如圖1,連接0B,VAB是?0的切線,??.0B丄AB,VCE丄AB,???OB〃CE,?.Z1=Z3,V0B=0C,?.Z1=Z2?.Z2=Z3,???CB平分ZACE；(2)如圖2,連接BD,VCE丄AB,?ZE=90°,???BC=「be〉i<E—護(hù)十/=5,TCD是?0的直徑,???ZDBC=90°,??.ZE=ZDBC,.??BC2=CD?CE,???CD…，.??0C卻瑋,??0的半徑=券.27.（2018?天津）已知AB是?0的直徑，弦CD與AB相交，ZBAC=38°,（I）如圖①，若D為遼的中點(diǎn)，求ZABC和ZABD的大??；（口）如圖②，過(guò)點(diǎn)D作?0的切線，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,若DP〃AC，求ZOCD的大小.cC圖①醫(yī)②【分析】（I）根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系和圖形可以求得ZABC和ZABD的大小;（口）根據(jù)題意和平行線的性質(zhì)、切線的性質(zhì)可以求得Z0CD的大小.【解答】解：（I）TAB是?0的直徑，弦CD與AB相交，ZBAC=38°,???ZACB=90°,.\ZABC=ZACB-ZBAC=90°-38°=52°,???D為AB的中點(diǎn),ZAOB=180°,???ZAOD=90°,??.ZACD=45°；（口）連接0D,???DP切?0于點(diǎn)D,???0D丄DP，即ZODP=90°,由DP〃AC，又ZBAC=38°,AZP=ZBAC=38°,VZAOD是△ODP的一個(gè)外角，.\ZAOD=ZP+ZODP=128°,??.ZACD=64°,VOC=OA,ZBAC=38°,AZOCA=ZBAC=38°,???ZOCD=ZACD-ZOCA=64°-38°=26°.28.(2018?荊門(mén))如圖，AB為?O的直徑，C為?O上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AD丄EC交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,AD交?0于F,FM丄AB于H,分別交?0、AC于M、N,連接MB,BC.求證：AC平分ZDAE；若cosM=￥,BE=1,①求?0的半徑；②求FN的長(zhǎng).【分析】(1)連接0C，如圖，利用切線的性質(zhì)得0C丄DE,則判斷OC〃AD得到Z1=Z3,加上Z2=Z3,從而得到Z1=Z2；(2)①利用圓周角定理和垂徑定理得到匚滬蠻，則ZCOE=ZFAB，所以ZFAB=ZM=ZCOE，設(shè)?0的半徑為r,然后在RtAOCE中利用余弦的定義得至【」斗產(chǎn)尋，從而解方程求出r即可；r+15■3.0②連接BF,如圖，先在Rt^AFB中利用余弦定義計(jì)算出AF=，再計(jì)算出OC=3,接著證明厶AFNs5△AEC，然后利用相似比可計(jì)算出FN的長(zhǎng).【解答】(1)證明：連接OC,如圖，???直線DE與?O相切于點(diǎn)C,???0C丄DE,又VADXDE,???OC〃AD.?.Z1=Z3VOA=OC,?.Z2=Z3,?.Z1=Z2,AAC平方ZDAE；(2)解：①VAB為直徑，??.ZAFB=90°,而DE丄AD,??.BF〃DE,AOC丄BF,AC"C，.\ZCOE=ZFAB,而ZFAB=ZM,.\ZCOE=ZM,

設(shè)?0的半徑為r,nr4丁4在RtAOCE中，cosZCOE==三，即一〒=三，解得r=4,Ue.5r+15即?0的半徑為4；②連接BF,如圖,在Rt^AFB中，cosZFAB=半廠,AB.\AF=8X在Rt^OCE中，0E=5，0C=4,29.(2018?隨州)如圖，AB是?0的直徑，點(diǎn)C為?0上一點(diǎn)，CN為?0的切線，0M丄AB于點(diǎn)0,分別交AC、CN于D、M兩點(diǎn)．求證：MD=MC；若?0的半徑為5,AC=4i號(hào)，求MC的長(zhǎng).【分析】（1）連接0C,利用切線的性質(zhì)證明即可;??0C丄CM,ZOCA+ZACM=90°,?PM丄AB,??ZOAC+ZODA=90°,/OA=OC,\ZOAC=ZOCA,\ZACM=ZODA=ZCDM,??MD=MC；(2)由題意可知AB=5X2=10,AC=4晶,?AB是?0的直徑，??ZACB=90°,:BC=￥10-(4:5〕'二卻5,VZAOD=ZACB,ZA=ZA,.?.△aods^acb,?坐_坐即皿_5_可得：OD=2.5,設(shè)MC=MD=x,在Rt^OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52,解得：x=-,即MC=亍.30.(2018?黃岡)如圖，AD是?0的直徑，AB為?0的弦，OP丄AD,OP與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,過(guò)B點(diǎn)的切線交OP于點(diǎn)C.求證：ZCBP=ZADB.若OA=2,AB=1，求線段BP的長(zhǎng).【分析】(1)連接OB,如圖，根據(jù)圓周角定理得到ZABD=90°,再根據(jù)切線的性質(zhì)得到ZOBC=90°,然后利用等量代換進(jìn)行證明；(2)證明△AOPs^ABD，然后利用相似比求BP的長(zhǎng).【解答】(1)證明：連接OB,如圖，TAD是?0的直徑，??.ZABD=90°,.\ZA+ZADB=90°,TBC為切線，???0B丄BC,AZOBC=90°,.\ZOBA+ZCBP=90°,而OA=OB，.\ZA=ZOBA,???ZCBP=ZADB；(2)解：TOP丄AD,AZPOA=90°,?.ZP+ZA=90°,?.ZP=ZD,.?.△aops^abd,?怔AO即1+BP2??疋廠麗'即’="???BP=7.31.（2018?襄陽(yáng)）如圖，AB是?0的直徑，AM和BN是?0的兩條切線，E為?0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線DC分別交AM,BN于點(diǎn)D，C,且CB=CE.（1）求證：DA=DE；（2）若AB=6，CD=4?廳，求圖中陰影部分的面積.【分析】（1）連接0E?推知CD為?0的切線，即可證明DA=DE；2）利用分割法求得陰影部分的面積.【解答】解：（1）證明：連接OE、0C.V0B=0E，.\Z0BE=Z0EB.VBC=EC，.\ZCBE=ZCEB，AZ0BC=Z0EC.VBC為?0的切線，AZ0EC=Z0BC=90°；TOE為半徑，ACD為?0的切線，TAD切?0于點(diǎn)A，??.DA=DE；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF丄BC于點(diǎn)F,則四邊形ABFD是矩形,?AD=BF，DF=AB=6，???DC=BC+AD=4.：3.???BC-AD=2'￡,BC=3T在直角AOBC中，tanZBOE==3,dU???ZBOC=60°.在厶O(píng)EC與AOBC中，OE=OB?OC=OC-,、CE=CB???△OEC竺AOBC(SSS),.\ZBOE=2ZBOC=120°.?S=SBCEO-Sobe=2^BC?OB-丄遲^^=9?方-3n.陰影部分四邊形BCEO扇形OBE32.(2018?長(zhǎng)春)如圖，AB是?0的直徑，AC切?0于點(diǎn)A,BC交?0于點(diǎn)D.已知?0的半徑為6,ZC=40°.求ZB的度數(shù).求AD的長(zhǎng)?(結(jié)果保留n)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)求出ZA=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可;（2）根據(jù)圓周角定理求出ZAOD，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可.【解答】解：（1）TAC切?0于點(diǎn)A,ZBAC=90°,VZC=40°,???ZB=50°；??.ZAOD=2ZB=100°,33.（2018?白銀）如圖，點(diǎn)0是厶ABC的邊AB上一點(diǎn)，①0與邊AC相切于點(diǎn)E,與邊BC,AB分別相交于點(diǎn)D,F,且DE=EF.（1）求證:ZC=90°；（2）當(dāng)BC=3,sinA=三時(shí)，求AF的長(zhǎng).【分析】（1）連接0E,BE,因?yàn)镈E=EF,所以DE=EF，從而易證Z0EB=ZDBE,所以0E〃BC，從可證明BC丄AC；（2）設(shè)?0的半徑為r,則A0=5-r,在R/A0E中，sinA=='■，從而可求出r的值.OA5-r5【解答】解：（1）連接0E,BE,VDE=EF,??.ZOBE=ZDBE?.?OE=OB,.\ZOEB=ZOBE.\ZOEB=ZDBE,???OE〃BCVOO與邊AC相切于點(diǎn)E,???OE丄AC??.BC丄AC???ZC=90°3(2)在厶ABC,ZC=90°,BC=3,sinA=^5?AB=5,設(shè)OO的半徑為r,則AO=5-r,在Rt^AOE中，sinA='==4OA5--r5???r=-34.(2018?綿陽(yáng))如圖，AB是OO的直徑，點(diǎn)D在OO上(點(diǎn)D不與A,B重合)，直線AD交過(guò)點(diǎn)B的切線于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)D作OO的切線DE交BC于點(diǎn)E.求證：BE=CE；若DE〃AB,求sinZACO的值.在在RtAOCB中，0C==.￡r,【分析】(1)證明：連接0D,如圖，利用切線長(zhǎng)定理得到EB=ED，利用切線的性質(zhì)得0D丄DE,AB丄CB，再根據(jù)等角的余角相等得到ZCDE=ZACB，則EC=ED,從而得到BE=CE；(2)作0H丄AD于H，如圖，設(shè)?0的半徑為r，先證明四邊形0BED為正方形得DE=CE=r，再利用△A0D和厶CDE都為等腰直角三角形得到0H=DH=^r，CD「pr，接著根據(jù)勾股定理計(jì)算出0C=Wr,然后根據(jù)正弦的定義求解.【解答】(1)證明：連接0D,如圖，TEB、ED為?0的切線，??.EB=ED,0D丄DE,AB丄CB,.\ZAD0+ZCDE=90°,ZA+ZACB=90°,V0A=0D,.\ZA=ZAD0,???ZCDE=ZACB,EC=ED，BE=CE；(2)解：作OH丄AD于H,如圖，設(shè)?0的半徑為r,VDE〃AB,.\ZD0B=ZDEB=90°,???四邊形0BED為矩形，而0B=0D,???四邊形0BED為正方形，DE=CE=r,易得△A0D和ACDE都為等腰直角三角形，.\0H=DH^-r,CD=Er,（2018?德州）如圖，AB是?0的直徑，直線CD與?0相切于點(diǎn)C,且與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,點(diǎn)C是呂F的中點(diǎn).（1）求證：AD丄CD；（2）若ZCAD=30°,OO的半徑為3,一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)，沿著B(niǎo)E-EC-CB爬回至點(diǎn)B,求螞蟻爬過(guò)的路程（n~3.14,方~1.73,結(jié)果保留一位小數(shù)）.【分析】（1）連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到0C丄CD,證明0C〃AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明;（2）根據(jù)圓周角定理得到ZC0E=60°,根據(jù)勾股定理、弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【解答】（1）證明：連接0C,??直線CD與?0相切，??0C丄CD,??點(diǎn)C是亦的中點(diǎn)，\ZDAC=ZEAC,?0A=0C,\Z0CA=ZEAC,\ZDAC=Z0CA,??0C〃AD,

??.AD丄CD；(2)解:VZCAD=30°,??.ZCAE=ZCAD=30°,由圓周角定理得，ZCOE=60°,???OE=2OC=6,EC=pOC=3空，既==n,1oU???螞蟻爬過(guò)的路程=3+3立+n~11.3.(2018?北京)如圖，AB是?O的直徑，過(guò)?O外一點(diǎn)P作?O的兩條切線PC,PD,切點(diǎn)分別為C,D,連接OP,CD.求證：0P丄CD；連接AD,BC,若ZDAB=50°,ZCBA=70°,OA=2,求OP的長(zhǎng).【分析】(1)先判斷出RtAODP竺RtAOCP，得出ZDOP=ZCOP,即可得出結(jié)論；(2)先求出ZCOD=60°,得出△OCD是等邊三角形，最后用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論.解答】解：(1)連接OC,OD,?OC=OD,VPD,PC是?O的切線,VZODP=ZOCP=90°,在Rt在Rt^ODP和Rt^OCP中,'0D=0C.OP二OP???Rt^ODP^Rt^OCP,???ZDOP=ZCOP,???OD=OC,???0P丄CD；（2）如圖，連接OD，OC，?OA=OD=OC=OB=2,???ZADO=ZDAO=50°,ZBCO=ZCBO=70°,???ZAOD=80°,ZBOC=40°,???ZCOD=60°,VOD=OC,???△COD是等邊三角形，由⑴知,ZDOP=ZCOP=30°,在RtAODP中，OP==cosJU3.37.(2018?銅仁市)如圖，在三角形ABC中，AB=6,AC=BC=5，以BC為直徑作?0交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)G,直線DF是?O的切線，D為切點(diǎn)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：DF丄AC；求tanZE的值.A【分析】(1)連接OC,CD,根據(jù)圓周角定理得ZBDC=90°,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得：D為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D是中位線，由三角形中位線性質(zhì)得：OD〃AC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得結(jié)論；55(2)如圖，連接BG,先證明EF〃BG,則ZCBG=ZE,求ZCBG的正切即可.【解答】(1)證明：如圖，連接OC,CD,VBC是?0的直徑,???ZBDC=90°,.?.CD丄AB,VAC=BC,??.AD=BD,V0B=0C,???0D是厶ABC的中位線???0D〃AC,VDF為?0的切線，??.0D丄DF,??.DF丄AC；(2)解：如圖，連接BG,VBC是?0的直徑，AZBGC=90°,VZEFC=90°=ZBGC,???EF〃BG,AZCBG=ZE,Rt^BDC中,VBD=3,BC=5,?CD=4,6X4=5BG,BG=眷由勾股定理得:由勾股定理得:???tanZCBG=tanZE=尋詁舟-38.(2018?昆明)如圖，AB是?0的直徑，ED切?0于點(diǎn)C,AD交?0于點(diǎn)F,ZAC平分ZBAD,連接BF．求證：AD丄ED；若CD=4,AF=2,求?0的半徑.【分析】(1)連接0C，如圖，先證明0C〃AD，然后利用切線的性質(zhì)得0C丄DE，從而得到AD丄ED；(2)0C交BF于H，如圖，利用圓周角定理得到ZAFB=90°，再證明四邊形CDFH為矩形得到FH=CD=4,ZCHF=90°，利用垂徑定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理計(jì)算出AB，從而得到?0的半徑.【解答】(1)證明：連接0C,如圖，VAC平分ZBAD,?.Z1=Z2,0A=0C,?.Z1=Z3,?.Z2=Z3,???0C〃AD,VED切?0于點(diǎn)C,???0C丄DE,??.AD丄ED；(2)解：0C交BF于H,如圖，AB為直徑，??.ZAFB=90°,易得四邊形CDFH為矩形，??.FH=CD=4,ZCHF=90°,??.0H丄BF,BH=FH=4,BF=8,在RtAABF中，AB='；a嚴(yán)十bf護(hù)十八=2'訂,aoo的半徑為E39.(2018?陜西)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作?0,分別與AC、BC交于點(diǎn)M、N．過(guò)點(diǎn)N作?0的切線NE與AB相交于點(diǎn)E,求證：NE丄AB；連接MD,求證：MD=NB.【分析】(1)連接ON,如圖，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=DB，則Z1=ZB，再證明Z2=ZB得到ON〃DB,接著根據(jù)切線的性質(zhì)得到ON丄NE,然后利用平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；(2)連接DN,如圖，根據(jù)圓周角定理得到ZCMD=ZCND=90°,則可判斷四邊形CMDN為矩形，所以DM=CN,然后證明CN=BN,從而得到MD=NB.【解答】證明：(1)連接0N,如圖，TCD為斜邊AB上的中線，?CD=AD=DB,.\Z1=ZB,??PC=ON,?.Z1=Z2,?.Z2=ZB,??.ON〃DB,???NE為切線,.?.ON丄NE,??.NE丄AB；(2)連接DN,如圖，TAD為直徑，???ZCMD=ZCND=90°,而ZMCB=90°,?四邊形CMDN為矩形DM=CN,VDN±BC,Z1=ZB,CN=BN,MD=NB．C40.(2018?曲靖)如圖，AB為?O的直徑，點(diǎn)C為?O上一點(diǎn)，將弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點(diǎn)D恰好與圓心O重合，連接OC,CD,BD,過(guò)點(diǎn)C的切線與線段BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,連接AD,在PB的另一側(cè)作ZMPB=ZADC.判斷PM與?O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；若PC=±，求四邊形OCDB的面積.【分析】（1）連接DO并延長(zhǎng)交PM于E,如圖，利用折疊的性質(zhì)得OC=DC,BO=BD，貝何判斷四邊形OBDC為菱形，所以O(shè)D丄BC,^OCD和厶O(píng)BD都是等邊三角形，從而計(jì)算出ZCOP=ZEOP=60°,接著證明PM〃BC得到OE丄PM，所以O(shè)E=^OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到0C丄PC，則OC=*OP，從而可判定PM是?O的切線；（2）先在RtAOPC中計(jì)算出OC=1，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式計(jì)算四邊形OCDB的面積.【解答】解：（1）PM與?O相切.理由如下：連接DO并延長(zhǎng)交PM于E，如圖，???弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點(diǎn)D恰好與圓心O重合，??.OC=DC，BO=BD，??.OC=DC=BO=BD，???四邊形OBDC為菱形，???0D丄BC，???△OCD和厶O(píng)BD都是等邊三角形，?.ZCOD=ZBOD=60°，?ZCOP=ZEOP=60°，VZMPB=ZADC，而ZADC=ZABC，???ZABC=ZMPB，??.PM〃BC，??.0E丄PM，??.oe=￡op，???pc為?0的切線，/.OCXPC，???0C今OP,???OE=OC,而OE丄PC,APM是?O的切線；(2)在RtAOPC中，OC=PC=>1,Jo???四邊形OCDB的面積=2S?cd=2X豐X12=#.41.（2018?邵陽(yáng)）如圖所示，AB是?O的直徑，點(diǎn)C為?O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BD丄CD,垂足為點(diǎn)D,連結(jié)BC.BC平分ZABD.求證：CD為?0的切線.【分析】先利用BC平分ZABD得到ZOBC=ZDBC,再證明OC〃BD,從而得到0C丄CD，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論.【解答】證明：TBC平分ZABD,AZOBC=ZDBC,VOB=OC,?ZOBC=ZOCB,?ZOCB=ZDBC,???OC〃BD,TBD丄CD,???0C丄CD,???CD為?0的切線.42.（2018?黃石）如圖，已知A、B、C、D、E是?0上五點(diǎn)，①0的直徑BE=2?叼，ZBCD=120°,A為皿的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)P,使BA=AP，連接PE.（1）求線段BD的長(zhǎng)；（2）求證：直線PE是?0的切線.【分析（1）連接DB，如圖，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得ZDEB=60°，再根據(jù)圓周角定理得到ZBDE=90°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算BD的長(zhǎng)；（2）連接EA,如圖，根據(jù)圓周角定理得到ZBAE=90°，而A為血的中點(diǎn)，貝0ZABE=45°，再根據(jù)等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到ABEP為等腰直角三角形，所以ZPEB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論.【解答】（1）解：連接DB，如圖，VZBCD+ZDEB=180°，.\ZDEB=180°-120°=60°，VBE為直徑，??.ZBDE=90°，在RtABDE中，DE今BE今X2力=厲，BD=.：pDE=廳X<3=3；（2）證明：連接EA，如圖，VBE為直徑，??.ZBAE=90°，VA為Re的中點(diǎn)，??.ZABE=45°，?/BA=AP，而EA丄BA,???△BEP為等腰直角三角形,??.ZPEB=90°,?PE丄BE,???直線PE是?0的切線.43.(2018?懷化)已知：如圖，AB是?0的直徑，AB=4,點(diǎn)F,C是?0上兩點(diǎn)，連接AC,AF,0C,弦AC平分ZFAB,ZBOC=60°,過(guò)點(diǎn)C作CD丄AF交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,垂足為點(diǎn)D.求扇形0BC的面積(結(jié)果保留)；求證：CD是?0的切線.【分析】(1)由扇形的面積公式即可求出答案.(2)易證ZFAC=ZAC0,從而可知AD〃0C,由于CD丄AF,所以CD丄0C,所以CD是?0的切線.【解答】解：(1)TAB=4,?0B=2VZC0B=60°,扇形B(='g&Q='3(2)VAC平分ZFAB,.?ZFAC=ZCA0,VA0=C0,?ZAC0=ZCA0??.ZFAC=ZACO??.AD〃OC,TCD丄AF,???CD丄OCVC在圓上，ACD是?O的切線44.(2018?新疆)如圖，PA與?O相切于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作AB丄OP,垂足為C,交?O于點(diǎn)B.連接PB,AO,并延長(zhǎng)AO交?O于點(diǎn)D,與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.求證：PB是?0的切線；若0C=3,AC=4,求sinE的值.【分析】(1)要證明是圓的切線，須證明過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，所以連接OBB，證明OB丄PE即可.(2)要求sinE,首先應(yīng)找出直角三角形，然后利用直角三角函數(shù)求解即可.而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性質(zhì)求出EP或EO的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題【解答】(1)證明：連接OBVPO丄AB,AC=BC,PA=PB在APAO和厶PBO中AO=BO、PO=PO.?.△PAO和竺APBO.\ZOBP=ZOAP=90°APB是?O的切線.(2)連接BD,則BD〃PO，且BD=2OC=6在RtAACO中，0C=3,AC=4

??.A0=5在Rt^ACO與Rt^PAO中,ZAPO=ZAPO,ZPAO=ZACO=90°.?.△aco△PAOC0=A0???P0詈…3??.PB=PA=￥在AEPO與AEBD中,BD〃PO.?.△EPOs^EBDBD=EB解得eb=￥^PA=7sinE=PA=7sinE=45.(2018?安順)如圖，在△ABC中，AB=AC,0為BC的中點(diǎn)，AC與半圓0相切于點(diǎn)D.求證：AB是半圓0所在圓的切線；若cosZABC=|>AB=12，求半圓0所在圓的半徑.【分析】（1）先判斷出ZCAO=ZBA0,進(jìn)而判斷出0D=0E,即可得出結(jié)論；（2）先求出0B,再用勾股定理求出0A,最后用三角形的面積即可得出結(jié)論.【解答】解：（1）如圖，作0E丄AB于E,連接0D,0A,???AB=AC，點(diǎn)0是BC的中點(diǎn)，.\ZCA0=ZBA0,VAC與半圓0相切于D,???0D丄AC,V0E丄AB,???0D=0E,VAB徑半圓0的半徑的外端點(diǎn)，?AB是半圓0所在圓的切線；（2）VAB=AC，0是BC的中點(diǎn)，???A0丄BC,2在Rt^AOB中，OB=AB?cosZABC=12X牙=8,根據(jù)勾股定理得，0A=■■喬石異=4?育,由三角形的面積得，S如詰如噸二訓(xùn)心,?0E=業(yè)生=墮,即：半圓0所在圓的半徑為等.46.（2018?衡陽(yáng)）如圖，①0是厶ABC的外接圓，AB為直徑，ZBAC的平分線交?0于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE丄AC分別交AC、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F.

求證：EF是?0的切線；若AC=4,CE=2,求ED的長(zhǎng)度.(結(jié)果保留n)【分析】(1)連接0D,由0A=0D知Z0AD=Z0DA,由AD平分ZEAF知ZDAE=ZDA0，據(jù)此可得ZDAE=ZAD0，繼而知0D〃AE，根據(jù)AE丄EF即可得證；(2)作0G丄AE，知AG=CG=^AC=2，證四邊形0DEG是矩形得0A=0B=0D=CG+CE=4,再證△ADEs△ABD得AD2=48，據(jù)此得出BD的長(zhǎng)及ZBAD的度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式可得答案.【解答】解：(1)如圖，連接0D，V0A=0D,.\Z0AD=Z0DA,VAD平分ZEAF,.\ZDAE=ZDA0,???ZDAE=ZAD0,???0D〃AE,VAE±EF,??.0D丄EF,???EF是?0的切線;(2)如圖，作0G丄AE于點(diǎn)G,連接BD,則AG=CG=*AC=2,ZOGE=ZE=ZODE=90°,???四邊形0DEG是矩形，?0A=0B=0D=CG+CE=2+2=4,ZD0G=90°,VZDAE=ZBAD,ZAED=ZADB=90°,.?.△ADEs^ABD,.怔AL即&AP??而=麗，即而=1T，.AD2=48，在Rt^ABD中，BD=」昭一盒酹=4,在Rt^ABD中，TAB=2BD,??.ZBAD=30°,??.ZBOD=60°,47.(2018?孝感)如圖，AABC中，AB=AC，以AB為直徑的?O交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF丄AC于點(diǎn)F,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求證：DF是?0的切線；已知BD=2■.運(yùn)，CF=2，求AE和BG的長(zhǎng).GS3AU2GS3AU2FC【分析】(1)連接0D,AD,由圓周角定理可得AD丄BC，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)知BD=CD，再根據(jù)0A=0B知0D〃AC,從而由DG丄AC可得0D丄FG，即可得證；(2)連接BE.BE〃GF，推出△AEBs^AFG，可得器=器，由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；【解答】解：(1)連接0D，AD，VAB為?0的直徑，??.ZADB=90°,即卩AD丄BC,VAB=AC,?BD=CD，又?.?0A=0B,???0D〃AC,?/DG丄AC,???0D丄FG,???直線FG與?0相切;(2)連接BE.TBD=2兀,?CD二二昭'5,CF=2,-DF={(.師瀘_2匚4,BE=2DF=8,°cosZC=cosZABC,CFBD*CD^B，2一師?師=^T，AB=10，?AE=\h/—/=6,?BE丄AC,DF丄AC,?BE〃GF,?△AEBs^AFG,AB_A￡忑益，10=6WB'G=2+648.(2018?江西)如圖，在厶ABC中，0為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)0為圓心，OC為半徑做圓，與BC相切于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作AD丄BO交B0的廷長(zhǎng)線于點(diǎn)D,且ZAOD=ZBAD.(1)求證：AB為?0的切線；44(2)若BC=6,tanZABC=〒，求AD的長(zhǎng).【分析】（1）作0E丄AB,先由ZAOD=ZBAD求得ZABD=ZOAD，再由ZBOC=ZD=90°及ZBOC=ZAOD求得ZOBC=ZOAD=ZABD,最后證ABOC竺ABOE得OE=OC,依據(jù)切線的判定可得；（2）