理論力學(xué)12-2動(dòng)量矩定理

例3高爐運(yùn)送礦石的卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。小車和礦石的總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，軌道傾角為a。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計(jì)，求小車的加速度a。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。以順時(shí)針為正，則由，有動(dòng)量矩定理MOm2gNvm1gFOxFOyw因 ,于是解得若M＞m2gRsina，則a＞0，小車的加速度沿軌道向上。

必須強(qiáng)調(diào)的是：為使動(dòng)量矩定理中各物理量的正負(fù)號(hào)保持協(xié)調(diào)，動(dòng)量矩和力矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定必須完全一致。動(dòng)量矩定理例4水平桿AB長(zhǎng)2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，其兩端各用鉸鏈與長(zhǎng)為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)質(zhì)量為m的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，這系統(tǒng)繞z軸的角速度為w0。如某時(shí)此細(xì)線拉斷，桿AC和BD各與鉛垂線成a角。不計(jì)各桿的質(zhì)量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速度w。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這些力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒，即顯然，此時(shí)的角速度w＜w

0。解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象例5

均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。應(yīng)用動(dòng)量矩定理OPWvmgFOxFOyw例7一繩跨過(guò)定滑輪，其一端吊有質(zhì)量為m的重物A，另一端有一質(zhì)量為m的人以速度u相對(duì)細(xì)繩向上爬。若滑輪半徑為r，質(zhì)量不計(jì)，并且開始時(shí)系統(tǒng)靜止，求人的速度。解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。設(shè)重物A上升的速度為v，則人的絕對(duì)速度va的大小為由于SMO(F(e))＝0，且系統(tǒng)初始靜止，所以LO＝0。由上可知，人與重物A具有相同的的速度，此速度等于人相對(duì)繩的速度的一半。如果開始時(shí)，人與重物A位于同一高度，則不論人以多大的相對(duì)速度爬繩，人與重物A將始終保持相同的高度。uvave＝vmgmguAOFOxFOy例9如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸O1、O2轉(zhuǎn)動(dòng)，其半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，今在輪O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分別以兩輪為研究對(duì)象，受力如圖，由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，得注意到 ，聯(lián)立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′tF′nMOFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：

FOx=0,FOy=mg/2突然解除約束瞬時(shí)：

FOx=？,FOy=？例題10關(guān)于突然解除約束問(wèn)題

突然解除約束瞬時(shí)，桿OA將繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不再是靜力學(xué)問(wèn)題。這時(shí)，0，0。需要先求出，再確定約束力。應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理OFOxFOyW=mg

例14均質(zhì)圓盤質(zhì)量為2m，半徑為r。細(xì)桿OA質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l＝3r，繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w、求下列三種情況下系統(tǒng)對(duì)軸O的動(dòng)量矩：(a)圓盤與桿固結(jié)；(b)圓盤繞軸A相對(duì)桿OA以角速度w逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；(c)圓盤繞軸A相對(duì)桿OA以角速度w順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。解：(a)(b)(c)

例15一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量為m，半徑為r，無(wú)初速地放在傾角為q的斜面上，不計(jì)滾動(dòng)阻力，求其質(zhì)心的加速度。

解：以圓柱體為研究對(duì)象。圓柱體在斜面上的運(yùn)動(dòng)形式，取決于接觸處的光滑程度，下面分三種情況進(jìn)行討論：(1)設(shè)接觸處完全光滑此時(shí)圓柱作平動(dòng)，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理即得圓柱質(zhì)心的加速度CqCxyOqaCFNmg(2)設(shè)接觸處足夠粗糙

此時(shí)圓柱作純滾動(dòng)，列出平面運(yùn)動(dòng)微分方程解得由于圓柱作純滾動(dòng)，故F由純滾動(dòng)條件有所以，可得這就是圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件。qCxyaCOFNmg(3)設(shè)不滿足圓柱體在斜面上作純滾動(dòng)的條件設(shè)圓柱體沿斜面滑動(dòng)的動(dòng)摩擦系數(shù)為f'，則滑動(dòng)摩擦力于是圓柱體在斜面上既滾動(dòng)又滑動(dòng),在這種情況下，aC≠ra例16均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m，半徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時(shí)，質(zhì)心C點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。解：取A分析，受力如圖。A作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程有其中aAFTmgFOxFOyOAF'TmgaBCDBaC取B分析，受力如圖。B作平面運(yùn)動(dòng)。應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)的微分方程有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aD＝raA,，而由加速度合成定理有例17均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無(wú)初速地滑下。不計(jì)摩擦，求開始滑動(dòng)的瞬時(shí)，地面和墻壁對(duì)桿的約束反力。解：以桿AB為研究對(duì)象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB桿作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)心C的加速度為aCx、aCy，角加速度為a。aaCxaCy由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程mgBqCAxy以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則A點(diǎn)的加速度為再以C點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為aAaaBaCxaCyatBCatAC在運(yùn)動(dòng)開始時(shí),w＝0,故,將上式投影到y(tǒng)

軸上，得an＝0AC同理， ，將上式投影到x軸上，得an＝0BC聯(lián)立求解(1)~(5)式，并注意到可得注：

亦可由坐標(biāo)法求出(4)、(5)式：運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，，故BqCAxyjAxCB例18如圖質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用細(xì)繩吊住，已知兩繩與水平方向的夾角為j。求B端繩斷開瞬時(shí)，A端繩的張力。解：取桿分析，建立如圖坐標(biāo)。有AB作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則jjABFT因?yàn)閿嚅_初瞬時(shí),vA＝0,w＝0,故,an＝0Aan＝0CA將上式投影到x軸上，得an

CAat

CAat

Aan

AajAxCBaaCxmg例19長(zhǎng)l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB和BC用鉸鏈B聯(lián)接，并用鉸鏈A固定，位于平衡位置。今在C端作用一水平力F，求此瞬時(shí)，兩桿的角加速度。解：分別以AB和BC為研究對(duì)象，受力如圖。AB和BC分別作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)。對(duì)AB由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程得CBAFABFAxFBxFByaBWaABFAyBC作平面運(yùn)動(dòng)，取B為基點(diǎn)，則將以上矢量式投影到水平方向，得(4)由(1)~(4)聯(lián)立解得對(duì)BC由剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程得(2)(3)BGCaBCFWaGxaGyatGBF'ByF'BxO例20平板質(zhì)量為m1，受水平力F作用而沿水平面運(yùn)動(dòng)，板與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為f，平板上放一質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱，它相對(duì)平板只滾動(dòng)不滑動(dòng)，求平板的加速度。解：取圓柱分析，建立如圖坐標(biāo)。于是得：FaCFN1F1m2gaaOaxyxyF'N1F'1FN2F2m1gFa取板分析例21行星齒輪機(jī)構(gòu)的曲柄OO1受力矩M作用而繞固定鉛直軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)齒輪O1在固定水平齒輪O上滾動(dòng)如圖所示。設(shè)曲柄OO1為均質(zhì)桿，長(zhǎng)l、重P；齒輪O1為均質(zhì)圓盤，半徑r

、重Q。試求曲柄的角加速度及兩齒輪接觸處沿切線方向的力。

解：以曲柄為研究對(duì)象，曲柄作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，列出定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程