高中數(shù)學(xué) 選考易錯(cuò)題 分類解析 2 函數(shù)易錯(cuò)題 含答案

高中數(shù)學(xué)錯(cuò)題分類解姓：***課：易錯(cuò)題分類解

教：

授時(shí)***考-函數(shù)(1)函數(shù)的定義域和值域函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用借助函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值或證明不等式綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性進(jìn)行命題反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合教學(xué)反饋教師評(píng)本周作建議1fff2x112xfff2x112x1考-函數(shù)(1)函數(shù)的定義域和值域函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用借助函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值或證明不等式綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性進(jìn)行命題反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合經(jīng)易題診命題角度1函的義和域1．(典型例題對(duì)定義域、D的函數(shù)y=f(x)y=g(x)，規(guī)定：函數(shù)h(x)=

()(x)f()(x)

當(dāng)xD且D當(dāng)xD且D當(dāng)D且D(1)若函數(shù)f(x)=

1x

,g(x)=x，出函數(shù)h(x)的析式(2)求問(wèn)題1)中函數(shù)h(x)的值域．考場(chǎng)解(1)f(x)定義域?yàn)?∞，1)∪，∞，g(x)的義域D為R.x2

(

(1,h(x)=

((x(2)當(dāng)x≠時(shí)h(x)==x-1++2h(x)=x

∈(-∞∪+∞)．∴h(x)的域(，∞，x=1時(shí)h(x)=1．合，得h(x)的值域?yàn)椤萚4，∞．專家脈以解答有兩處錯(cuò)誤是x∈但x時(shí)是集而不是x≠是求的域時(shí)，由x≠1求h(x)=x-1++2的值域應(yīng)分x>1和x<1兩情況的討論．x對(duì)癥藥(1)f(x)定義域D=(-∞1)∪+∞g(x)的義域是=(-∞∞．以h(x)=

1,

,

(1,(2)當(dāng)x≠時(shí)，h(x)=

==x-1++2．xx若，x-1>0，∴≥

+2=4．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)號(hào)成立．2xx11x111xx11x1113若x＜，則x-1<0．∴h(x)=-[-(x-1)-當(dāng)x=1時(shí)h(x)=1．

1x

]+2≤-2+2=0．當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)號(hào)成立．綜上，得h(x)的域?yàn)?∞，0){1}[4，∞．2．(典型例題記函f(x)=

的定義域?yàn)锳，1)的定義域?yàn)锽.求A；若B，實(shí)數(shù)a的取范圍．考場(chǎng)解(1)2-∞．

≥，≥，x<-1或x1，即A=(-∞-1)[1，x(2)由x-a-1)(2a-x)＞0得x-a-1)(x-2a)<0當(dāng)時(shí)，?．∴當(dāng)a<1時(shí)a+1>2a，∴B=(2a，a+1),

A．∵

A，∴2a≥或a+1≤-1．即a≥或a-2而a≤，∴≤≤1或a≤-2．2故當(dāng)B時(shí)，實(shí)數(shù)a的取范(-∞，-2)[

，1].專家脈由數(shù)的概念知函數(shù)的定義域?yàn)榉强占?，所以錯(cuò)解中a=1時(shí)B=?，明函數(shù)不存在，因此a=1不適．對(duì)癥藥(1)2-

≥，≥，xx∴或x≥1．即A=(-∞-1)∪[1∞．(2)由(x-a-1)(2a-x)＞，得(x-a-1)(x-2a)<0，當(dāng)a=1時(shí)B=?，∵定義域?yàn)榉羌?，a．當(dāng)a<1時(shí)a+1>2a，∴B=(2a，a+1)，∵

A，∴2a≥或a+1≤-1，即a≥或2≤．a(chǎn)<1，∴≤≤或a-22故當(dāng)BA時(shí)實(shí)數(shù)a的取范(-∞，-2)[，1]．23典例題)記函數(shù)f(x)=lg(2x-3)的定義域?yàn)榧螹數(shù)g(x)=

的定義域?yàn)榧螻．求集合M，N；集合M∩N．∪考場(chǎng)解(1)2x-30解得＞．∴M={x|x＞}．由1-2∴-1≤．∴N=?．

2x

≥得x-1≤x-333233332333(2)∴∩N=?．∪N={x|x>}．2專家脈

求集合N時(shí)不等式1-≥兩邊同乘(x-1)不等號(hào)不改變方向，不x符合不等式性質(zhì)應(yīng)移項(xiàng)化為

(x(x

≥的式再轉(zhuǎn)化為有理不等式求另外定義域不可能為非空集合．∴?顯然錯(cuò)誤的．對(duì)癥下藥由＞，得＞．∴M={x|x＞}．由1-2x∴≥或．∴N={x|x≥或x<1}

2x

≥0得∴M∩N={x|x>x>1}={x|x>或x<1}．2

32

}∩≥3或x>1}={x|x≥3}．M∪N={x|x>≥3或24．(典型例)若集合M={y|y=2}P={y|y=}，則MP于(A．＞B．{y|y≥1}C.{y|y>0}．{y|y≥0}考場(chǎng)解選A或?qū)＜颐}

錯(cuò)誤地認(rèn)為是求函數(shù)y=2

和y=的義的交集．實(shí)際上是求兩函數(shù)的值域的交集．對(duì)癥下]∵集合的表元素為y，∴兩集合表示兩函的值域，又∴}={y|y>0}，P={y|y=

}={y|y≥．M∩P={y|y＞，故選C．專會(huì)1.對(duì)含有字母的函數(shù)求定義域或已知其定義域求字母參數(shù)的取值范圍，必須對(duì)字母酌取值情況進(jìn)行討論，特別注意定義域不能為空集。．求函數(shù)的值域，不要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用．考思訓(xùn)1若數(shù)y=lg(4-a·2)的定義為R，則實(shí)數(shù)的取范圍是()A．(0，∞B．，C．(-∞，D．∞0)答案：

解析：∵

的解為Ra

42

在R上恒成.

42

a2已函數(shù)f(x)的值域是[-2，3]則函數(shù)f(x-2)的值域?yàn)?)4g(0g(0A．[-4，．[0,5]C．[-4，1]∪[0，．，3]答案D解的象是把f(x)的圖象向右平移個(gè)單.因此f(x-2)的值域不變.3已函數(shù)f(x)=lg(x-2mx+m+2)(1)若該函數(shù)的定義域?yàn)镽，求數(shù)m的取值范圍．答案：解析(1)由題設(shè)，得不等式對(duì)切實(shí)數(shù)x恒成，∴eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)（-2m）-4(m+2)<0,解得-1<m<2.(2)若該函數(shù)的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)的取范圍．答案：由題設(shè)，得不等式eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)（）-4(m+2)≥解得≤1或m≥4

已知函數(shù)f(x)=log

mx

的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，，實(shí)數(shù)m，的．答案：解析：∵f(x)=log

mxx

的值域是[0，2].∴u=g(x)=

mx

的值域[，9].由u=

mx

-8x+(u-n)=0.∵

R,當(dāng)u時(shí),()(u)0.當(dāng)時(shí)式仍成立，即有u-(m+n)u+(mn-16)≤0.∴關(guān)于的程u-(m+n)u+mn-16=0兩根和，韋達(dá)定理得即為所求。命題角度2函單性應(yīng)用

解得m=n=5.1．(典型例題Ⅱ已a(bǔ)≥，且函數(shù)f(x)=(x-2ax)e取值范圍．

在-1，上單調(diào)函數(shù)，求a的考場(chǎng)解f′(x)=e(x(2x-2a)=e[x+2(1-a)x-2a]又f(x)[-1上是單調(diào)函數(shù)，f′≥在-1，1]上恒成.即e[x+2(1-a)x-2a≥在[-1，1]恒成立．∵>0，g(x)=x+2(1-a)x-2a≥在[-11]上恒成立．即

2(1

或△=4(1-a)+8a＜或

)

g(1)解得：∈?．故在-1，1]上不可能為單調(diào)函數(shù)．專家脈上解答認(rèn)為f(x)單調(diào)函數(shù)f(x)就能為單調(diào)增函數(shù)f(x)有可能為單調(diào)減函數(shù)，因此應(yīng)令f(x)0或f(x)0在-1，1]上恒成立．對(duì)癥藥′(x)=e(x(2x-2a)=e[x+2(1-a)x-2a]∵f(x)在-1，1]上是單調(diào)函數(shù)(1)若f(x)在-1，上單調(diào)遞增函數(shù)．則f′(x)≥在[上成立e[x+2(1-a)x-2a]≥在-1上恒成立>0g(x)=x≥在-11]恒成立，則有

(

或△=4(1-a)+8a＜0或

0解得，∈?(2)若f(x)在[-1，1]上是單調(diào)遞函數(shù)，53a-a+x331121221-1+33a-a+x331121221-1+33則f′(x)≤在-1，1]上成．∴[x+2(1-a)x-2a]≤在-11]上恒成立．∵>0．∴+2(1-a)x-2a0在-1上恒成立．則有

3h(1)34∴當(dāng)a∈[，∞時(shí)f(x)在-1，1]上是單調(diào)函數(shù)．42．(典型例)已知函數(shù)f(x)=a+

xx

(a＞1)(1)證明：函數(shù)f(x)在-1，+∞上增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有數(shù)根．考場(chǎng)錯(cuò)解](1)設(shè)

-1＜x

＜x

，f(x)-f(x+

xxxxxx

＞．∴f(x)在(-1，+∞上增函數(shù)(2)設(shè)x為程f(x)=0的負(fù)數(shù)根則有a

=0．即a==-1+，①xx∵≠，∴當(dāng)1<x<0時(shí)0<x+1<1.∴原方程沒(méi)有負(fù)數(shù)根．

>3，>2，＜<111xa

與①矛盾．專家脈(1)錯(cuò)在用定義證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)沒(méi)有真正地證明)>f(x)而只是象征性地令f(x)-f(x)＞這許多學(xué)生解這類題的一個(gè)通?。?問(wèn)在把第1)問(wèn)的條件當(dāng)成第(2)問(wèn)條件，而除了上述證明外，還需證明x<-1時(shí)方程也沒(méi)有負(fù)根．對(duì)癥藥(1)設(shè)1<x<x,f(x)=a+

xxx

=a-a+

xxx

=a(a-1)+

(x2)xx(xx

=a(a)+

3(x)(x

.∵-x>0，又a>1，∴．而-1<x<x.∴+1>0，+1>0．∴f(x)-f(x)＞∴f(x)在(-1，+∞上增函數(shù)設(shè)x為方的數(shù)根+

xx

=0a=

2x3x)xx顯然x≠，當(dāng)0＞＞時(shí)1＞+1＞，即不存在0＞x>-1的．

＞，-1+>2．而<a<1．這是不可能的，1xa633111139111111111333111333311113911111111133311133當(dāng)x<-1時(shí)．x+1＜0<0，-1+＜-1而>0矛．即不存在<-1的解．03．(典型例)若函數(shù)f(x)=l0g(x-ax)(a0且≠1)區(qū)間-，內(nèi)調(diào)遞增，則2a的值范圍是()A.[，B.[，4C.[，∞D(zhuǎn).(1，)4考場(chǎng)解當(dāng)a(0時(shí)使f(x)=log(x-ax)在間-上單調(diào)遞增2x-ax＞在(上成立)+a≥≥.合得a∈當(dāng)a>1時(shí)24在-,0)上不可能成立．2專家脈上解答根本沒(méi)有按復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則進(jìn)行判斷，而只是考慮函數(shù)的定義域，這樣的答案肯定是錯(cuò)誤的．對(duì)癥藥設(shè)(x)=x-ax當(dāng)0＜＜時(shí)，依題意(x)在-，0)單調(diào)遞減且2

(x)在-，上于0．2∵

′(x)=3x-a.即

′(x)≤在(，0)上恒成立2

a≥3x(，0)上恒成立．2∵∈，∴3x∈，).4∴≥．時(shí)4

(x)>0．∴≤．4當(dāng)a>1時(shí)

(x)在(-，上調(diào)遞增，2∴(x)=3x-a≥0在-，0)恒成立．2∴≤

在-，0)上恒成立．2又3x∈，)·∴≤與a＞矛盾4∴的值范圍是[，1].4故選B.專會(huì)1.討論函數(shù)單調(diào)性必須在定義域進(jìn)行，因此討論函數(shù)的單調(diào)性必須求函數(shù)定義域．712oooooo12oooooo函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)區(qū)間而言的果f(x)在(ab)與cd)上是(減函數(shù)，不能說(shuō)f(x)在a，b)∪，上一定是(減函．．設(shè)函數(shù)y=f(u)，u=g(x)都單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在定義域上也是單調(diào)函數(shù)若y=f(u)與u=g(x)的調(diào)性相同則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是函數(shù)若y=f(u)，u=g(x)的調(diào)性相反，則復(fù)合函y=f[g(x)]減函數(shù)．列出下表以助記憶．y=f(u)↗↗↘↘

u=g(x)↗↘↘↗

y=f[g(x)]↗↘↗↘上述規(guī)律可概括為“同性則增，異性則減考場(chǎng)思維訓(xùn)練1函f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都f(x)<f(x+1)么f(x)是增函數(shù)f(x)沒(méi)有單調(diào)減區(qū)間f(x)可能存在單調(diào)增區(qū)間，也能不存在單調(diào)減區(qū)間D．f(x)沒(méi)單調(diào)增區(qū)間C解：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)判.2函y=log(x-3x+2)的調(diào)增區(qū)間是______.單遞減區(qū)間_________.2解析：∞,1),(2,+∞根復(fù)函數(shù)單調(diào)性法則進(jìn)行求解。3如函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽對(duì)于任意實(shí)數(shù)，足f(a+b)=f(a)·f(b)．(1)設(shè)≠0)，試求f(n)(n∈)答

案：

解

析(1)f(nf()f

f(nfn

fkn為比等數(shù)f)f(1)fnk.((2)設(shè)當(dāng)x＜0時(shí)f(x)＞，試解等式f(x+5)答案：(2)對(duì)意的

1f()

.xx,f()()f()假定存在xR使f(x)則取(x)f()f()f()這與已知相矛2于是對(duì)任意x,必有f()0.∵2

∴設(shè)

,則x則又∵121281313∴

11221222∴為R上減函數(shù)，解不等

1f()∵∴等式等價(jià)于即又∵為函數(shù)，∴解得不等式的解集為

|x24是存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)=log-x)區(qū)間2，4]上減函數(shù)?１．答案：解析：設(shè)2

(

11)2a

當(dāng)時(shí)，要使在間上是減函數(shù)，則有：14aa當(dāng)時(shí)要使f(x)在2，上是減函數(shù)，則有1即.a2

a(2)0a

綜合，得存在實(shí)數(shù)a，且a的圍為

1(2命題角度3函的偶和周性應(yīng)1型題定義在R上的函滿足f(x)=f(x+2)x[3時(shí)f(x)=x-2()A．f(sin)＜f(cos)B．f(sin2

)＞f(cos)33C．f(sin1)＜f(cos1)D.f(sin＜f(cos)2考場(chǎng)解由f(x)=f(x+2)T=2為f(x)的一個(gè)周期x∈0]∈[34]∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2．∴f(x)在[-1，0]上是增函數(shù)又為函數(shù)．f(x)=f(-x)911A：sin<cosf(sin)>f(cos)＞cos1111A：sin<cosf(sin)>f(cos)＞cos11∴∈時(shí)f(x)=x+2f(x)[0也是增函數(shù)sin＜cosf(sin)22＜f(cos)．2專家脈上解答錯(cuò)在由f(x)=f(-x)得f(x)=x+2這步上，導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因主要是對(duì)偶函數(shù)圖像不熟悉．對(duì)癥藥C由f(x)=f(x+2)T=2為f(x)的一個(gè)周期x∈x+4[3，4]∴f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2．∴f(x)在[-1，0]上是增函數(shù)．又∵f(x)為偶函數(shù)，∴的像關(guān)于軸對(duì)．∴f(x)在[0，1]上是減函數(shù)．1122B：sin

233

f(sin)＞f(cos)．33C：sin1>cos1f(sin1)<f(cos1)．故正確答案C．2(典型例題)若函數(shù)f(x)是義在上的函數(shù)在-∞0)上減函數(shù)且f(2)=0，則使得f(x)＜的x的取范圍是(．(-∞，．(2，∞．(-∞，-2)∪，∞．(-2，考場(chǎng)解f(-x)=f(x)＜0=f(2)．x＞2或x<-2．專家脈以解答沒(méi)有注意到偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相反．錯(cuò)誤地認(rèn)為f(x)在0，∞上是減函數(shù)，導(dǎo)致案選錯(cuò)．對(duì)癥藥∵f(x)是偶函數(shù)f(-x)=f(x)=f(|x|)f(x)<0f(|x|)f(2)∵f(x)在-∞，0)上是減函數(shù)，f(x)[0，+∞上增函數(shù)|x|＜2-2<x<2．選D．3(典型例題設(shè)f(x)是義在R上奇函數(shù)且y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱，則2f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_______考場(chǎng)解填f(0)∵f(x)定義在R上奇函數(shù)，∴．f(x)圖像關(guān)于x=對(duì)．2∴f(x)=f(1-x)∴．∴f(x)+f(x-1)=0∴f(5)+f(4)=0．．f(1)+f(0)=0．∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0)專家脈上解答忽視了奇函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用．即f(x)在處定義f(0)=0．10對(duì)癥下藥填依題意f(-x)=-f(x)．f(x)=f(1-x)．∴f(-x)=-f(1-x)即f(-x)+f(1-x)=0f(x)+f(x-1)=0∴f(5)+f(4)=0f(3)+f(2)=0f(1)+f(0)=0∵在x=0處有定義，∴f(0)=0∴f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=O.4．(典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)在-∞，∞)上滿足f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間0，7]上，只有f(1)=f(3)=0試判斷函數(shù)y=f(x)的偶性；試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2005，2005]上的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．考場(chǎng)解依意f(x)=f(4-x)f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10)∴f(x)是以10為周的函數(shù)f(3)=0∴f(-3)=f(7)=0∴f(3)=f(-3)=-f(3)．∴f(x)既奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)由(1)知f(x)是周期10的周期數(shù)，f(3)=f(1)=0，∴f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0．故在0上兩解可知函數(shù)y=f(x)[0上401個(gè)[-2005，0]上401個(gè)解，所以函數(shù)丁y=f(x)在-20052005]上802個(gè)解．專家脈(1)題意理解錯(cuò)誤，題設(shè)中“在閉區(qū)[，7]上，只f(1)=f(3)=0”說(shuō)明除了f(1)、f(3)等于0外不可能有f(7)=0(2)f(x)在R上既是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．不能認(rèn)為x∈10][-100]上各有兩個(gè)解，則認(rèn)為[02005]與[，0]上的個(gè)數(shù)相同是錯(cuò)誤的，并f(x)=0在，2005]解的個(gè)數(shù)不是401個(gè)，而是402個(gè)．對(duì)癥藥由f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)得數(shù)丁y=f(x)的稱軸為x=2和x=7．從而知函數(shù)y=f(x)不奇函數(shù)由

(2)f)xf)f(7)f(7f(x)f)

f(4-x)=f(14-x)

f(x)=f(x+10)從而知f(x)是周期為10的周函數(shù)．又而f(7)=f(-3)≠．故函數(shù)y=f(x)是非奇非偶函數(shù)(2)由1)知f(x)是以周期為10的期函數(shù)．∴f(1)=f(11)=?f(3)=f(13)=?=f(2003)=0f(x)=0在0，2005]上共有402個(gè)．同理可求得f(x)=0[-2005，上有400個(gè)解．∴f(x)=0在-2005，2005]上802個(gè)解．專會(huì)．函數(shù)奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，為了便于判斷有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)．．要注意從數(shù)和形兩個(gè)角度理解函數(shù)的奇偶性，要充分利用與f(-x)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和圖像的對(duì)稱性解決有關(guān)問(wèn)題．．解題中要注意以下性質(zhì)的靈活運(yùn).(1)f(x)為偶函數(shù)

f(x)=f(-x)=f(|x|)．(2)若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0，則11考場(chǎng)思維訓(xùn)練1f(x)是義在R上偶函數(shù)，且g(x)奇函數(shù)，已知g(x)=f(x-1)，g(-1)=2006，則f(2006)的值為()A．2005B．-2005C.-2006D．2006答案解設(shè)條件易得f(x+4)=f(x),∴∴2函f(x)=lg(1+x)，g(x)=

1,

h()

=tan2x中_______是函數(shù)．

x2,

1,答案：解析f(x)、g(x).運(yùn)用偶性定義進(jìn)行判斷。3設(shè)f(x)是定義在上奇函數(shù)且任意實(shí)數(shù)恒滿f(x+2)=-f(x)當(dāng)x∈2]時(shí)，f(x)=2x+x．(1)求證f(x)是期函數(shù)；答案：解析(1)f(x+2)=-f(-x),∵∴是期為的周期函數(shù)。(2)當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求的析式；答案：當(dāng)∈時(shí)∈由知得

又f(x)是函數(shù)，∴2

∴又當(dāng)∈時(shí)，∴2又是周期為的周期函數(shù)?！?因而求得∈時(shí)2

(3)計(jì)算:(0+)f(1)+f(2)+?答案：是期為的期函數(shù)?！鄁(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2000)+f(2001)+f(2002)+f(2003)=012又∴f(0)+f(1)+f(2)+4設(shè)a、∈，a≠定在(-bb)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg取值范圍．

1ax1

是奇函數(shù)，求b的答案：解析()(x)

11x①

(b)

是奇函數(shù)，等價(jià)于，對(duì)任意∈都有：②①式即為lg

1lg1xax

.

即

222此式對(duì)任意∈都成立相當(dāng)于∵≠代入得

12x12x

即

1此對(duì)任意xb都成立相當(dāng)于所以得的取值范圍(22

].命題角度4反數(shù)概和性的用1．(典例題)函f(x)=x在間[1，2]上存反函數(shù)的充分必要條件是()．∈(-∞，1)．∈[2，∞．∈[1，．∈(-∞，1)∪[2，+∞考場(chǎng)解選A或∵∈(-∞，∴f(x)在區(qū)間1，上增函數(shù)．f(x)存在反函數(shù)a∈[2∞對(duì)稱軸x=a區(qū)間2]右側(cè)f(x)在[1上是減函數(shù)f(x)存反函數(shù)．專家脈上解答只能說(shuō)明或B是f(x)存在反函數(shù)的充分條件并不是充要條件．對(duì)癥下]∵個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．∴對(duì)稱軸x=a不應(yīng)在1，內(nèi)∴a≤或a≥．故選C.2．(典型例題Ⅰ

(1≤x≤2)的反函數(shù)是()y=1+y=1+

≤≤1)(0≤x≤1321aa2212x2a2121aa2212x2a21y=1-y=1-

≤≤(0≤x≤考場(chǎng)錯(cuò)]C∵=2x-x．(x-1)=1-y．∴x-1=-

y

，∴x=1-

．、y對(duì)換得y=1-

又1-x≥．∴-1≤≤．而f(x)反函數(shù)為y=1-

(-1≤x≤1)．專家脈上解答有兩處錯(cuò)一∵≤≤∴x-1≥(x-1)=1-y

開(kāi)方正號(hào)”而不是取“負(fù)號(hào))反數(shù)的定義域應(yīng)通過(guò)求原函數(shù)的值域而得到，而不是由反函數(shù)解析式確定．對(duì)下]B

由y=

x

(x-1)=1-y．x∈[1，∈[0+∞]．∴x-1=

1y

=1+

1y

2

．x、對(duì)換得

又∵y=

x

(1≤x≤．∴0≤≤即函數(shù)值域?yàn)閇，1]所以反函數(shù)為y=1-

(0≤≤1).選B.3(典型例題設(shè)f(x)是數(shù)f(x)=(a-a)(a1)的反函數(shù)，則使＞成立的2x的值范圍為()A．(

，∞B．(-∞，)2a2aC．(,a)D．(a，∞2a考場(chǎng)解∵y=(a-a，∴-2y·a-1=0．a(chǎn)=2

2y2

=y+

．∴x=log

y

)，x、y對(duì)換．∴(x)=log(x+2∈R)又∵f＞，∴l(xiāng)og(x+

a2)＞1+x2＞x2＞2a

∴<x<a．選C.2a專家脈

上面解答錯(cuò)在最后解不等式

＞，一步，因?yàn)閤+

＞a-x應(yīng)等價(jià)于

a

或a≤錯(cuò)中只有前面—個(gè)不等式組．答案顯然錯(cuò).[癥藥解法1∵(a-a)2

a-2y-1=0

22

2

=y+

y

∴x=log

y

2

)．∴(x)=log(x+x2)(x∈．∵f(x)>114x+2211111111x互換得2x+2211111111x互換得223∴(x+

2

>a

＞a-x

()

2

或a

a2＜＜∞解法2原函數(shù)與反函數(shù)的定丈域的關(guān)系等價(jià)于時(shí)(a-a)2的值域，∴f(x)=(a-a)在R上單調(diào)遞增．f(x)(a-)=．A.22aa4.(典型例題設(shè)數(shù)f(x)的像關(guān)于(，2)對(duì)稱，且存在反函數(shù)(x)，，f．考場(chǎng)錯(cuò)]填0∵y=f(x)的圖像關(guān)于1，2)對(duì)，又∵f(4)=0，f(0)=4，f(4)=0專家脈上解答錯(cuò)在由圖像過(guò)點(diǎn)(4，得圖像過(guò)(4，上因?yàn)閒(x)像關(guān)于點(diǎn)1，2)對(duì)稱不是關(guān)于y=x對(duì)，因此應(yīng)找出圖像過(guò)(-2，是鍵．[癥藥填-2解法1∵f(4)=0，f(x)的圖過(guò)(，0)又f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)1，對(duì)，∴f(x)的像過(guò)點(diǎn)(2-4，4-0)即-24)∴f(-2)=4．∴f(4)=-2．解法2設(shè)上一點(diǎn)P(xy)關(guān)于(1，2)稱的點(diǎn)為′(2-x，4-y)．依題意4-y=f(2-x)，∴4-f(x)=f(2-x)∴f(-2)=4．f(4)=-2．專會(huì)

f(x)+f(2-x)=4．令x=4．∴f(4)+f(-2)=4.又f(4)=0，1.求反函數(shù)時(shí)必須注意(1)由解析式解出x=f，如求出的x不一，要根據(jù)條件中x的圍決定取舍，只能取個(gè)(2)求反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域．．分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)后再合成．．若點(diǎn)a，b)在原函數(shù)y=f(x)的像上，則(，a)在反函數(shù)y=f(x)的圖像上．考思訓(xùn)1函y=3x-1(-1≤＜的函數(shù)是(A．

x

(x≥)3．y=-．y=

x

(x≥)3(<x≤1)3D.y=-

x

(<x≤1)3答案：解析：由

得

∵≤∴

log1,33x0,

113原函數(shù)的反函數(shù)為:log(x選D3315的對(duì)稱中心的對(duì)稱中心證明：＜＜．2(典型例題定義在R上函y=f(x)周期函數(shù)最小正周期為T若函數(shù)y=f(x)，x∈(0,T)時(shí)E有函數(shù)y=f,xD．則函數(shù)y=f(x)，∈(2T,3T)的函數(shù)為()A.y=f(x)，∈B．(x-2T),x∈y=f(x+2T)，∈y=f(x)+2T．∈答案解∵∈∴又的期為∴-1互，得

當(dāng)∈的函數(shù)為

∈3已f(x)=

ax

的反函數(shù)．(x)的圖像的對(duì)稱中心(-13)，求實(shí)數(shù)的值答案析∴從探開(kāi)題測(cè)

1x

的稱中心預(yù)測(cè)角度1借函單性函最或證不式1．已知定義域[，1)的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足①對(duì)任意x∈[0，1]，總有f(x)≥；②f(1)=1；若x≥，≥，+x≤，則有f(x+x)f(x)+f(x)．求f(0)的值；求函數(shù)f(x)的大值．解題路(1)x=x=0可得答(，證f(x)在0，上單函數(shù)，再求其最大值．解答(1)x=x=0由條件①得f(0)≥0，條件③得f(0)≤．故f(0)=0(2)任取0≤x≤≤可知-x∈1)f(x)=f[(x-x)+x]≥f(x-x)+f(x)又∵-x∈(0，1)，∴f(x-x)≥．f(x)≥f(x)∴f(x)[0，1]上是增函數(shù)，于是當(dāng)0≤≤時(shí)有f(x)≤f(1)=1．當(dāng)x=1時(shí)，[f(x)]=1即f(x)的最大值為1．2．設(shè)是義在(0，∞上函數(shù)k是常數(shù)，且對(duì)任意的x∈(0，∞，有f[f(x)]=kx成立．若是0，∞上增函數(shù)，且，求證f(x)=x對(duì)于任意的x、∈，∞，時(shí)，)-f(x＞x-x成，如果，4f)32解題路(1)用反證法證明(2)用反證法先證f(x)＞，再運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行放縮．解答(1)設(shè)f(x)＞∵f(x)在(0，∞上增函數(shù)，且f(f(x)]=x.∴f(x)＞f[f(x)]．16解得＜＜．解得＜＜．∴＞這假設(shè)矛盾．f(x)x不可成立同理可證f(x)＜x也不可能成立的．綜合，得f(x)=x.先＞，設(shè)存在x∈(0，+∞)，得f(x)≤x0，f(x，則f[f(x)]=f(x)．即2xf(x)=x，x矛；若f(x＜，由條件可知f(x)在0，+∞上是增函數(shù)，且f(x)＞0．∴f[f(x)]<f(x)，即2x<f(x)．∴2x<xx<0矛，∴f(x)>x因此,f{f[f(x)]}-f[f(x)]＞f[f(x)]-f(x)f(x)-x即2f(x)-2x>2x-f(x)>f(x)-x4f(x)32預(yù)測(cè)角度2綜運(yùn)函奇偶、期、調(diào)進(jìn)命1設(shè)f(x)是定義在[-1上偶函數(shù)∈[-10]時(shí)f(x)=g(2-x)且當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)，求f(x)的表達(dá)式；是否存在正實(shí)數(shù)a(a＞6)使數(shù)f(x)的圖像的最高點(diǎn)在直線y=12上若存在求出正實(shí)數(shù)的值若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解題路(1)用函數(shù)奇偶性和條件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的析式利導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的大值．令最大值等于12可是否存在正實(shí)數(shù)a．解答(1)∈[-1，0]，2-x∈，f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)=4x-2ax得f(x)=4x∈，∵y=f(x)在[-1，上偶函數(shù)∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=f(-x)=-4x+2ax∴f(x)=

0,0(2)命題條件等價(jià)[f(x)]=12，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以只需考慮0≤≤的況．求導(dǎo)f′(x)=-12x+2a(0≤≤，a>6)由f′(x)=0得x=或x=-()6∵

＞，0≤≤時(shí)f′，f(x)在[0，上單調(diào)遞增，∴=f(1)=12，∴．綜上，存在使的像的最高點(diǎn)在直線y=12上．2y=f(x)是函數(shù)周為2的周期函數(shù)∈[2時(shí)f(x)=x-1y=f(x)的圖像上有兩點(diǎn)A、，它們的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)都在區(qū)[13]上，定點(diǎn)C的標(biāo)(，a)，其a＞2)，求△面的最大值．解題路先用函數(shù)的周期性和奇偶性分別求出f(x)在0，和，2]時(shí)的解析式，再利用圖象設(shè)出A、的坐標(biāo)，然后以A、的坐標(biāo)作為自變量建立面積函數(shù)關(guān)系，1721(a3a2a12111121(a3a2a121111111111111借助函數(shù)關(guān)系式即可求得的大值．eq\o\ac(△,S)解答∵f(x)以周期的周期函數(shù)，當(dāng)x∈，時(shí)f(x)=x-1．∴當(dāng)x∈[0，時(shí)，f(x)=f(x+2)=(x+2)-1=x+1．又∵f(x)是函數(shù)，∴當(dāng)x∈[-1，0]，f(x)=f(-x)=(-x)+1=-x+1；當(dāng)x∈[1，2]時(shí)．f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=-x+3設(shè)A的縱標(biāo)為≤≤設(shè)在的左邊A橫坐標(biāo)分別為3-t，則|AB|=(t+1)-(3-t)=2t-2，∴△ABC的面積S=(2t-2)(a-t)=-t+(a+1)t-a=-(t-+-a24∴當(dāng)<2

≤即≤時(shí)，有最值．4當(dāng)

a2

>2，即a>3時(shí)函數(shù)S在1，上單調(diào)遞增，S最大值S(2)=a-2．預(yù)測(cè)角度3反數(shù)函性質(zhì)綜1．R上的遞減函數(shù)f(x)滿：當(dāng)且僅當(dāng)x∈R函值f(x)的合為0，2]且f()=1；又對(duì)M中任意x、都有f(x·)=f(x)+f(x．(1)求證：∈，4

18

M；(2)證明f(x)在M上反函數(shù)f滿足(x)·f(x(x+x)．(3)解不等式f+x)·(x+2)(x[0，．4解題路由定的函數(shù)性質(zhì)，證明自變量是屬還是不屬于集"最后利用反函數(shù)的概念、性質(zhì)證明反函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)和解反函數(shù)的不等式．解答](1)證明：∵∈又=×,f()=1．∴f()=f(×2222)=f()+f()=1+1=2∈，，22∴∈，4又∵f()=f(×)=f()+f()=1+2=3[0，．∴M.82448(2)證明：∵f(x)在M上遞減，f(x)在M上有函數(shù)(x)，x∈[0，2]．任取x、∈[0，2]，設(shè)y=f(x)，=f(x．∴=f(y)，=f(y)(y，∈∵+x=f(y)+f(y)=f(y·)，yy=f(x+x)又y·=f(x)·f(x)，∴f(x·(x)=f(x．(3)∵f(x)在M上減，∴(x)[，2]上也遞減，∴(x·(x+2)≤等于f(x+x+x+2)(2)4182aa,g(x)=．x2x·2aa,g(x)=．x2x·==f(2x)axa(a-a)-n(a-a)=102,∴xx0.x2.

xx故不等式的解集為{x|x=0}.2．已知奇函數(shù)f(x)，偶函數(shù)g(x)足f(x)+g(x)=a(a0≠1).求證:f(2x)=2f(x)·g(x)設(shè)的函數(shù)為f(x)當(dāng)a=a-1時(shí)試比較f[g(x)]與1的小證明你的結(jié)論．(3)若，∈

且n≥，比較f(n)與nf(1)的小，并證明你的結(jié).解題路先據(jù)函數(shù)f(x)g(x)的偶性和f(x)+g(x)=a可出f(x)·．借助基本不等式和疊加法證明后兩小.解答(1)f(x)+g(x)=a，又f(-x)+g(-x)=a，f(x)是函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，-f(x)+g(x)=a,∴f(x)=

xx22∴f(x)·g(x)=

aaa122(2)∵0<a=

-1<1．∴f(x)=

x2

是-∞，+∞上減函數(shù)，則其反函數(shù)也是減函數(shù)，又由于f(-1)=

(2

=1．∵g(x)=

≥=1=f(-1)22∴[g(x)]≤．(3)f(n)-nf(1)=

11222

(a-a)[a+a+?+a+a]-n(a-a)=(a-a)[a+a+?+a-n]22當(dāng)a>1時(shí)a-a>0a+a＞a+a＞??∴+a+?+a＞∴f(n)-nf(1)＞即f(n)＞nf(1)考高解綜訓(xùn)1函

,則其反函數(shù)的定義域是()A．∞-1)∪[1，∞191111．[1，∞．[-1，．[-1，∪(1，∞答案：解析：反函數(shù)的定義即為原函數(shù)的值域

≥

≥或≤當(dāng)≥時(shí)是調(diào)遞增函數(shù)值≤時(shí)

x為單調(diào)遞減函數(shù)，此時(shí)值域[，故值域?yàn)?，∪∞從而選2已定義域?yàn)镽的數(shù)f(x)滿f(-x)=-f(x+4)當(dāng)＞時(shí)，f(x)單遞增，如果x+x<4且(-2)(x-2)<0，則f(x)+f(x)值為(A.可能為0B．恒大于0C.恒小于0D．可正可負(fù)答案解不設(shè)

則x,且由可函1222的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0成中對(duì)，函數(shù)在（，∞）上調(diào)遞增，∴故C.1211113已函數(shù)f(x)是義在R上奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)f(x)=()，么f(x)=()，22那么f(0)+f(-8)的為()A．2B．-3C．3D．-2答案：解析：故C.

()(x0)(x(x

故f0解：①

；③確；④錯(cuò)誤4符號(hào)[表不超過(guò)x的最整數(shù)，[，[-1．08]=-2，義函數(shù)x}=x-[x]，那么下列命題中正確的個(gè)數(shù)是函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]；方{x}=有數(shù)解；函{是期函數(shù)；函{是函數(shù)．A.1個(gè)B．個(gè)C．個(gè)．42022112211答案：析：∵的期為，即

2aa

得

故3選5設(shè)數(shù)f(x)是定義在R上的3為期的奇函數(shù)，若f(1)＞1,f(2)=()

2a

，則A．a(chǎn)<

B．＜且a≠-13C.-1<a<

D．m>或3答案解因?yàn)楹瘮?shù)為函數(shù)所它的圖可由的向右平移個(gè)位得到，故對(duì)稱軸為且在（，）是增函數(shù)，故選。6已定義在R上偶函數(shù)y=f(x)一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間(，5)，則函數(shù)y=f(1-x)()A.圖像的對(duì)稱軸為x=-1，在2，4)內(nèi)是增函數(shù)B．圖像的對(duì)稱軸為，且在2，4)內(nèi)是減函數(shù)C.圖像的對(duì)稱軸為x=0，在46)內(nèi)是增函數(shù)D．圖像的對(duì)稱軸為x=1，在4，6)內(nèi)是增函數(shù)答案：解析：，由

≥≤

或

≥由由故

得即a7

函數(shù)f(x)=

的定義域?yàn)锳，g(x)=

1x

的定義域?yàn)锽，A∩B=?，則實(shí)數(shù)a的值范圍是_________答案：解析，由2

≥≤≥由由故

得即a8

已知y=f(x)是函數(shù)f(x)=

x1.

的反函數(shù)函g(x)=f(x)+f(x)表達(dá)式是g(x)=________２．答案：解析：

xfx,

0xx0.故

f()fx1,

0x21則1,()(2122則1,()(2122281229

已知函數(shù)f(x)在定義域上是減數(shù)，且f(a-1)>f(1-a)．求的取范圍；答案：