蒙特卡羅方法3由巳知分布的隨機(jī)抽樣課件

第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)直接抽樣方法挑選抽樣方法復(fù)合抽樣方法復(fù)合挑選抽樣方法替換抽樣方法隨機(jī)抽樣的一般方法隨機(jī)抽樣的其它方法作業(yè)12/3/2022蒙特卡羅方法第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)12/1/201第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣本章敘述由己知分布抽樣的各主要方法，并給出在粒子輸運(yùn)問題中經(jīng)常用到的具體實(shí)例。12/3/2022蒙特卡羅方法第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣本2隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)

由巳知分布的隨機(jī)抽樣指的是由己知分布的總體中抽取簡單子樣。隨機(jī)數(shù)序列是由單位均勻分布的總體中抽取的簡單子樣，屬于一種特殊的由已知分布的隨機(jī)抽樣問題。本章所敘述的由任意已知分布中抽取簡單子樣，是在假設(shè)隨機(jī)數(shù)為已知量的前提下，使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的。為方便起見，用XF表示由己知分布F(x)中產(chǎn)生的簡單子樣的個體。對于連續(xù)型分布，常用分布密度函數(shù)f(x)表示總體的己知分布，用Xf表示由己知分布密度函數(shù)f(x)產(chǎn)生的簡單子樣的個體。另外，在抽樣過程中用到的偽隨機(jī)數(shù)均稱隨機(jī)數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)由巳知分布的隨機(jī)抽3直接抽樣方法

對于任意給定的分布函數(shù)F(x)，直接抽樣方法如下：其中，ξ1，ξ2，…，ξN為隨機(jī)數(shù)序列。為方便起見，將上式簡化為：若不加特殊說明，今后將總用這種類似的簡化形式表示，ξ總表示隨機(jī)數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法直接抽樣方法對于任意給定的分布4證明

下面證明用前面介紹的方法所確定的隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。對于任意的n成立，因此隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。另外，由于隨機(jī)數(shù)序列ξ1，ξ2，…，ξN是相互獨(dú)立的，而直接抽樣公式所確定的函數(shù)是波雷爾（Borel）可測的，因此，由它所確定的X1，X2，…，XN也是相互獨(dú)立的（[P.R.Halmos,Measuretheory,N.Y.VonNosrtand,1950]§45定理2）。12/3/2022蒙特卡羅方法證明下面證明用前面介紹的方法所確定5離散型分布的直接抽樣方法對于任意離散型分布：其中x1，x2，…為離散型分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)，P1，P2，…為相應(yīng)的概率，根據(jù)前述直接抽樣法，有離散型分布的直接抽樣方法如下：該結(jié)果表明，為了實(shí)現(xiàn)由任意離散型分布的隨機(jī)抽樣，直接抽樣方法是非常理想的。12/3/2022蒙特卡羅方法離散型分布的直接抽樣方法對于任6例1.二項(xiàng)分布的抽樣二項(xiàng)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為：其中，P為概率。對該分布的直接抽樣方法如下：12/3/2022蒙特卡羅方法例1.二項(xiàng)分布的抽樣二項(xiàng)分布為離散型分布7例2.泊松(Possion)分布的抽樣泊松(Possion)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為：其中，λ>0。對該分布的直接抽樣方法如下：12/3/2022蒙特卡羅方法例2.泊松(Possion)分布的抽樣泊8例3.擲骰子點(diǎn)數(shù)的抽樣擲骰子點(diǎn)數(shù)X=n的概率為：選取隨機(jī)數(shù)ξ，如則在等概率的情況下，可使用如下更簡單的方法：其中［］表示取整數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法例3.擲骰子點(diǎn)數(shù)的抽樣擲骰子點(diǎn)數(shù)X=n9例4.碰撞核種類的確定中子或光子在介質(zhì)中發(fā)生碰撞時，如介質(zhì)是由多種元素組成，需要確定碰撞核的種類。假定介質(zhì)中每種核的宏觀總截面分別為Σ1，Σ2，…，Σn，則中子或光子與每種核碰撞的概率分別為：其中Σt＝Σ1＋Σ2＋…＋Σn。碰撞核種類的確定方法為：產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)ξ，如果則中子或光子與第I種核發(fā)生碰撞。12/3/2022蒙特卡羅方法例4.碰撞核種類的確定中子10例5.中子與核的反應(yīng)類型的確定假設(shè)中子與核的反應(yīng)類型有如下幾種:彈性散射，非彈性散射，裂變，吸收，相應(yīng)的反應(yīng)截面分別為Σel，Σin，Σf，Σa。則發(fā)生每一種反應(yīng)類型的概率依次為：其中反應(yīng)總截面Σt＝Σel＋Σin＋Σf＋Σa。12/3/2022蒙特卡羅方法例5.中子與核的反應(yīng)類型的確定11反應(yīng)類型的確定方法為：產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)ξ

12/3/2022蒙特卡羅方法反應(yīng)類型的確定方法為：產(chǎn)生一個隨機(jī)12連續(xù)型分布的直接抽樣方法

對于連續(xù)型分布，如果分布函數(shù)F(x)的反函數(shù)F－1(x)存在，則直接抽樣方法是：12/3/2022蒙特卡羅方法連續(xù)型分布的直接抽樣方法對于連續(xù)13例6.在［a，b］上均勻分布的抽樣在［a，b］上均勻分布的分布函數(shù)為：則12/3/2022蒙特卡羅方法例6.在［a，b］上均勻分布的抽樣14例7.β分布β分布為連續(xù)型分布，作為它的一個特例是：其分布函數(shù)為：

則12/3/2022蒙特卡羅方法例7.β分布β分布為連續(xù)型分布15例8.指數(shù)分布指數(shù)分布為連續(xù)型分布，其一般形式如下：其分布函數(shù)為：

則因?yàn)?－ξ也是隨機(jī)數(shù)，可將上式簡化為12/3/2022蒙特卡羅方法例8.指數(shù)分布指數(shù)分布為連續(xù)型16連續(xù)性分布函數(shù)的直接抽樣方法對于分布函數(shù)的反函數(shù)存在且容易實(shí)現(xiàn)的情況，使用起來是很方便的。但是對于以下幾種情況，直接抽樣法是不合適的。分布函數(shù)無法用解析形式給出，因而其反函數(shù)也無法給出。分布函數(shù)可以給出其解析形式，但是反函數(shù)給不出來。分布函數(shù)即使能夠給出反函數(shù)，但運(yùn)算量很大。下面敘述的挑選抽樣方法是克服這些困難的比較好的方法。12/3/2022蒙特卡羅方法連續(xù)性分布函數(shù)的直接抽樣方法對于17挑選抽樣方法

為了實(shí)現(xiàn)從己知分布密度函數(shù)f(x)抽樣，選取與f(x)取值范圍相同的分布密度函數(shù)h(x)，如果則挑選抽樣方法為：>12/3/2022蒙特卡羅方法挑選抽樣方法為了實(shí)現(xiàn)從己知分布18即從h(x)中抽樣xh，以的概率接受它。下面證明xf

服從分布密度函數(shù)f(x)。證明：對于任意x

12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法1912/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法20使用挑選抽樣方法時，要注意以下兩點(diǎn)：選取h(x)時要使得h(x)容易抽樣且M的值要盡量小。因?yàn)镸小能提高抽樣效率。抽樣效率是指在挑選抽樣方法中進(jìn)行挑選時被選中的概率。按此定義，該方法的抽樣效率E為：所以，M越小，抽樣效率越高。12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法21

當(dāng)f(x)在［0，1］上定義時，取h(x)=1，Xh=ξ，此時挑選抽樣方法為>12/3/2022蒙特卡羅方法>12/1/2022蒙特卡羅方法22例9.圓內(nèi)均勻分布抽樣令圓半徑為R0，點(diǎn)到圓心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為分布函數(shù)為容易知道，該分布的直接抽樣方法是12/3/2022蒙特卡羅方法例9.圓內(nèi)均勻分布抽樣令圓半23由于開方運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上很費(fèi)時間，該方法不是好方法。下面使用挑選抽樣方法：取則抽樣框圖為＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法24顯然，沒有必要舍棄ξ1＞ξ2的情況，此時，只需取就可以了，亦即另一方面，也可證明與具有相同的分布。12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法25復(fù)合抽樣方法

在實(shí)際問題中，經(jīng)常有這樣的隨機(jī)變量，它服從的分布與一個參數(shù)有關(guān)，而該參數(shù)也是一個服從確定分布的隨機(jī)變量，稱這樣的隨機(jī)變量服從復(fù)合分布。例如，分布密度函數(shù)是一個復(fù)合分布。其中Pn≥0，n=1，2，…，且fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…，參數(shù)n服從如下分布12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合抽樣方法在實(shí)際問題中，經(jīng)常26復(fù)合分布的一般形式為：其中f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，F(xiàn)1(y)表示分布函數(shù)。 復(fù)合分布的抽樣方法為:首先由分布函數(shù)F1(y)或分布密度函數(shù)f1(y)中抽樣YF1或Yf1，然后再由分布密度函數(shù)f2(x/YF1)中抽樣確定Xf2(x/YF)證明：所以，Xf所服從的分布為f

(x)。12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合分布的一般形式為：12/1/2022蒙特卡羅方27例10.指數(shù)函數(shù)分布的抽樣指數(shù)函數(shù)分布的一般形式為：引入如下兩個分布密度函數(shù)：12/3/2022蒙特卡羅方法例10.指數(shù)函數(shù)分布的抽樣指數(shù)函數(shù)分布的一般28則使用復(fù)合抽樣方法，首先從f1(y)中抽取y

再由f2(x/YF1)中抽取x

12/3/2022蒙特卡羅方法則12/1/2022蒙特卡羅方法29復(fù)合挑選抽樣方法

考慮另一種形式的復(fù)合分布如下：其中0≤H(x,y)≤M，f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，F(xiàn)1(y)表示分布函數(shù)。抽樣方法如下：>12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合挑選抽樣方法考慮另一種形式30證明：抽樣效率為：E=1/M12/3/2022蒙特卡羅方法證明：12/1/2022蒙特卡羅方法31 為了實(shí)現(xiàn)某個復(fù)雜的隨機(jī)變量y的抽樣，將其表示成若干個簡單的隨機(jī)變量x1，x2，…，xn的函數(shù) 得到x1，x2，…，xn的抽樣后，即可確定y的抽樣，這種方法叫作替換法抽樣。即替換抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 為了實(shí)現(xiàn)某個復(fù)雜的隨機(jī)變量y的抽樣，將32例11.散射方位角余弦分布的抽樣 散射方位角φ在［0,2π］上均勻分布，則其正弦和余弦sinφ和cosφ服從如下分布： 直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例11.散射方位角余弦分布的抽樣 散射方33 令φ=2θ，則θ在［0,π］上均勻分布，作變換 其中0≤ρ≤1，0≤ρ≤π，則 (x,y)表示上半個單位圓內(nèi)的點(diǎn)。如果(x,y)在上半個單位圓內(nèi)均勻分布，則θ在［0,π］上均勻分布，由于12/3/2022蒙特卡羅方法 令φ=2θ，則θ在［0,π］上均勻分布，作變換12/1/234 因此抽樣sinφ和cosφ的問題就變成在上半個單位圓內(nèi)均勻抽樣(x,y)的問題。 為獲得上半個單位圓內(nèi) 的均勻點(diǎn)，采用挑選法，在 上半個單位圓的外切矩形內(nèi) 均勻投點(diǎn)（如圖）。 舍棄圓外的點(diǎn)，余下的就是所要求的點(diǎn)。 抽樣方法為： 抽樣效率

E=π/4≈0.785>12/3/2022蒙特卡羅方法 因此抽樣sinφ和cosφ的問題就變成在上35 為實(shí)現(xiàn)散射方位角余弦分布抽樣，最重要的是在上半個單位圓內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)。下面這種方法，首先在單位圓的半個外切正六邊形內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)，如圖所示。12/3/2022蒙特卡羅方法 為實(shí)現(xiàn)散射方位角余弦分布抽樣，最重要的是在36 于是便有了抽樣效率更高的抽樣方法： 抽樣效率>≤12/3/2022蒙特卡羅方法 于是便有了抽樣效率更高的抽樣方法：>≤1237例12.正態(tài)分布的抽樣 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為： 引入一個與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Y，則（X,Y）的聯(lián)合分布密度為： 作變換12/3/2022蒙特卡羅方法例12.正態(tài)分布的抽樣 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度38 則（ρ,φ）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為： 由此可知，ρ與φ相互獨(dú)立，其分布密度函數(shù)分別為 分別抽取ρ，φ：12/3/2022蒙特卡羅方法 則（ρ,φ）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為：12/1/2022蒙特卡39 從而得到一對服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X和Y： 對于一般的正態(tài)分布密度函數(shù)N(μ,σ2)的抽樣，其抽樣結(jié)果為：12/3/2022蒙特卡羅方法 從而得到一對服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X和Y：12/1/240例13.β分布的抽樣

β分布密度函數(shù)的一般形式為： 其中n，k為整數(shù)。為了實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣，將其看作一組簡單的相互獨(dú)立隨機(jī)變量的函數(shù)，通過這些簡單隨機(jī)變量的抽樣，實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣。設(shè)x1，x2，…，xn

為一組相互獨(dú)立、具有相同分布F(x)的隨機(jī)變量，ζk為x1，x2，…，xn

按大小順序排列后的第k個，記為：12/3/2022蒙特卡羅方法例13.β分布的抽樣 β分布密度函數(shù)的一般41 則ζk的分布函數(shù)為： 當(dāng)F(x)=x時， 不難驗(yàn)證，ζk的分布密度函數(shù)為β分布。因此，β分布的抽樣可用如下方法實(shí)現(xiàn)： 選取n個隨機(jī)數(shù)，按大小順序排列后取第k個，即12/3/2022蒙特卡羅方法 則ζk的分布函數(shù)為：12/1/2022蒙特卡羅方法42隨機(jī)抽樣的一般方法

加抽樣方法

減抽樣方法乘抽樣方法乘加抽樣方法乘減抽樣方法對稱抽樣方法積分抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法隨機(jī)抽樣的一般方法加抽樣方法12/1/2022蒙特卡羅方43加抽樣方法加抽樣方法是對如下加分布給出的一種抽樣方法：其中Pn≥0，

，且fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…。 由復(fù)合分布抽樣方法可知，加分布的抽樣方法為:首先抽樣確定n’，然后由fn’(x)中抽樣x，即：12/3/2022蒙特卡羅方法加抽樣方法加抽樣方法是對如下加分布44例14.多項(xiàng)式分布抽樣多項(xiàng)式分布密度函數(shù)的一般形式為：將f(x)改寫成如下形式：則該分布的抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例14.多項(xiàng)式分布抽樣多項(xiàng)式45例15.球殼內(nèi)均勻分布抽樣設(shè)球殼內(nèi)半徑為R0，外半徑為R1，點(diǎn)到球心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為分布函數(shù)為 該分布的直接抽樣方法是12/3/2022蒙特卡羅方法例15.球殼內(nèi)均勻分布抽樣設(shè)46 為避免開立方根運(yùn)算，作變換： 則x∈[0,1]，其分布密度函數(shù)為： 其中12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法47 則x及r的抽樣方法為：≤≤>>12/3/2022蒙特卡羅方法 則x及r的抽樣方法為：≤≤>>12/1/2022蒙特卡羅方48減抽樣方法減抽樣方法是對如下形式的分布密度所給出的一種抽樣方法：其中A1、A2為非負(fù)實(shí)數(shù)，f1(x)

、f2(x)均為分布密度函數(shù)。 減抽樣方法分為以下兩種形式：以上兩種形式的抽樣方法，究竟選擇哪種好，要看f1(x)

、f2(x)哪一個容易抽樣，如相差不多，選用第一種方法抽樣效率高。12/3/2022蒙特卡羅方法減抽樣方法減抽樣方法是對如下形式的49（1）將f

(x)表示為令m表示f2(x)／f1(x)的下界，使用挑選法，從f1(x)中抽取Xf1

抽樣效率為：>12/3/2022蒙特卡羅方法（1）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡羅方50（2）將f

(x)表示為使用挑選法，從f2(x)中抽取Xf2

抽樣效率為：>12/3/2022蒙特卡羅方法（2）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡羅方51例16.β分布抽樣 β分布的一個特例： 取A1＝2，A2＝1，f1(x)＝1，f2(x)＝2x，此時m＝0，則根據(jù)第一種形式的減抽樣方法，有 或＞≤＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法例16.β分布抽樣 β分布的一個特例：＞≤＞≤12/1/52 由于1－ξ1可用ξ1代替，該抽樣方法可簡化為： 對于ξ2＞ξ1的情況，可取Xf＝ξ1，因此 與β分布的推論相同。＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法53如下形式的分布稱為乘分布：其中H(x)為非負(fù)函數(shù)，f1(x)為任意分布密度函數(shù)。 令M為H(x)的上界，乘抽樣方法如下：抽樣效率為：乘抽樣方法≤＞12/3/2022蒙特卡羅方法如下形式的分布稱為乘分布：乘抽樣方54例17.倒數(shù)分布抽樣 倒數(shù)分布密度函數(shù)為： 其直接抽樣方法為： 下面采用乘抽樣方法，考慮如下分布族： 其中i=1，2，…，該分布的直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例17.倒數(shù)分布抽樣 倒數(shù)分布密度函數(shù)為：12/1/2055 利用這一分布族，將倒數(shù)分布f(x)表示成: 其中， 乘法分布的抽樣方法如下: 該分布的抽樣效率為：＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法56例18.麥克斯韋(Maxwell)分布抽樣 麥克斯韋分布密度函數(shù)的一般形式為： 使用乘抽樣方法，令 該分布的直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例18.麥克斯韋(Maxwell)分布抽樣 麥克斯韋分布57 此時 則麥克斯韋分布的抽樣方法為: 該分布的抽樣效率為：＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 此時＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法58在實(shí)際問題中，經(jīng)常會遇到如下形式的分布：其中Hn(x)為非負(fù)函數(shù)，fn(x)為任意分布密度函數(shù)，n=1，2，…。不失一般性，只考慮n=2的情況：

將f(x)改寫成如下的加分布形式：乘加抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法在實(shí)際問題中，經(jīng)常會遇到如下形式的59其中12/3/2022蒙特卡羅方法其中12/1/2022蒙特卡羅方法60乘加抽樣方法為：該方法的抽樣效率為：>>>≤12/3/2022蒙特卡羅方法乘加抽樣方法為：>>>≤12/1/2022蒙特卡羅方61這種方法需要知道P1的值(P2=1－P1），這對有些分布是很困難的。下面的方法可以不用計(jì)算P1：對于任意小于1的正數(shù)P1，令P2=1－P1；則采用復(fù)合挑選抽樣方法，有：12/3/2022蒙特卡羅方法這種方法需要知道P1的值(P2=162當(dāng)取時，抽樣效率最高這時，乘加抽樣方法為：>>>≤12/3/2022蒙特卡羅方法當(dāng)取>>>≤12/1/2022蒙特卡羅方法63由于可知第一種方法比第二種方法的抽樣效率高。12/3/2022蒙特卡羅方法由于12/1/2022蒙特卡羅方法64例19.光子散射后能量分布的抽樣 令光子散射前后的能量分別為

和（以m0c2為單位，m0為電子靜止質(zhì)量，c為光速），， 則x的分布密度函數(shù)為： 該分布即為光子散射能量分布，它是由著名的Klin－Nishina公式確定的。其中K(α)為歸一因子：12/3/2022蒙特卡羅方法例19.光子散射后能量分布的抽樣 令光子散射前后的能量分65 把光子散射能量分布改寫成如下形式： 在［1,1+2α］上定義如下函數(shù):12/3/2022蒙特卡羅方法 把光子散射能量分布改寫成如下形式：12/1/2022蒙特卡66 則有 使用乘加抽樣方法：12/3/2022蒙特卡羅方法 則有12/1/2022蒙特卡羅方法67 光子散射能量分布的抽樣方法為： 該方法的抽樣效率為：＞＞＞≤≤≤12/3/2022蒙特卡羅方法 光子散射能量分布的抽樣方法為：＞＞＞≤≤≤12/1/20268乘減分布的形式為： 其中H1(x)、H2(x)為非負(fù)函數(shù)，f1(x)、f2(x)為任意分布密度函數(shù)。 與減抽樣方法類似，乘減分布的抽樣方法也分為兩種。乘減抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法乘減分布的形式為：乘減抽樣方法1269（1）將f

(x)表示為 令H1(x)的上界為M1，的下界為m，使用乘抽 樣方法得到如下乘減抽樣方法：>12/3/2022蒙特卡羅方法（1）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡70（2）將f

(x)表示為 令H2(x)的上界為M2，使用乘抽樣方法，得到另一種乘減抽樣方法：>12/3/2022蒙特卡羅方法（2）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡71例20.裂變中子譜分布抽樣 裂變中子譜分布的一般形式為： 其中A，B，C，Emin，Emax均為與元素有關(guān)的量。令 其中λ為歸一因子，γ為任意參數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法例20.裂變中子譜分布抽樣 裂變中子譜分布的一般形式為：72 相應(yīng)的H1(E)，H2(E)為： 于是裂變中子譜分布可以表示成乘減分布形式: 容易確定H1(E)的上界為： 為提高抽樣效率，應(yīng)取γ使得M1達(dá)到最小，此時12/3/2022蒙特卡羅方法 相應(yīng)的H1(E)，H2(E)為：12/1/2022蒙特73 取m＝0，令 則裂變中子譜分布的抽樣方法為: 抽樣效率＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 取m＝0，令＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法74對稱分布的一般形式為： 其中f1(x)為任意分布密度函數(shù)，滿足偶函數(shù)對稱條件，H(x)為任意奇函數(shù)，即對任意x滿足： 對稱分布的抽樣方法如下：取η=2ξ－1對稱抽樣方法>≤12/3/2022蒙特卡羅方法對稱分布的一般形式為：對稱抽樣方法75 證明： 因?yàn)棣?2ξ－1，η≤x相當(dāng)于ξ≤，因此12/3/2022蒙特卡羅方法 證明：12/1/2022蒙特卡羅方法76例21.質(zhì)心系各向同性散射角余弦分布抽樣 在質(zhì)心系各向同性散射的假設(shè)下，為得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦，需首先抽樣確定質(zhì)心條散射角余弦： 再利用下面轉(zhuǎn)換公式: 得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦μL。其中A為碰撞核質(zhì)量，θC、θL分別為質(zhì)心系和實(shí)驗(yàn)室系散射角。12/3/2022蒙特卡羅方法例21.質(zhì)心系各向同性散射角余弦分布抽樣 77 為避免開方運(yùn)算，可以使用對稱分布抽樣。 根據(jù)轉(zhuǎn)換公式可得： 依照質(zhì)心系散射各向同性的假定，可得到實(shí)驗(yàn)室系散射角余弦μL的分布如下： 該密度函數(shù)中的第一項(xiàng)為偶函數(shù)，第二項(xiàng)為奇函數(shù)，因而是對稱分布。其中12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法78 從f1(μL)的抽樣可使用挑選法 然后再以 的概率決定接受或取負(fù)值。 上述公式涉及開方運(yùn)算，需要進(jìn)一步簡化。＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 從f1(μL)的抽樣可使用挑選法＞≤12/1/202279 注意以下事實(shí)：對于任意0≤a≤1 令 則上述挑選抽樣中的挑選條件簡化為： 另一方面，在即的條件下，η2/a在［－1,1］上均勻分布，故可令η＝η2/a，則最終決定取正負(fù)值的條件簡化為：12/3/2022蒙特卡羅方法 注意以下事實(shí)：對于任意0≤a≤112/1/2022蒙特卡羅80 于是，得到質(zhì)心系各向同性散射角余弦分布的抽樣方法為：＞≤＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法81 如下形式的分布密度函數(shù) 稱為積分分布密度函數(shù)，其中f0(x，y)為任意二維分布密度函數(shù)，H(x)為任意函數(shù)。該分布密度函數(shù)的抽樣方法為：積分抽樣方法>12/3/2022蒙特卡羅方法 如下形式的分布密度函數(shù)積分抽樣方法>12/82 證明：對于任意x

12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法83例22.各向同性散射方向的抽樣 為了確定各向同性散射方向，根據(jù)公式： 對于各向同性散射，cosθ在［－1,1］上均勻分布，φ在［0,2π］上均勻分布。由于 直接抽樣需要計(jì)算三角函數(shù)和開方。12/3/2022蒙特卡羅方法例22.各向同性散射方向的抽樣 為了確定各84 定義兩個隨機(jī)變量： 可以證明，當(dāng)時，隨機(jī)變量x和y服從如下分布: 定義區(qū)域?yàn)椋?2/3/2022蒙特卡羅方法 定義兩個隨機(jī)變量：12/1/2022蒙特卡羅方法85 則w＝cosθ的分布可以用上述分布表示成積分分布的形式： 令，則屬于上述積分限內(nèi)的y一定滿足 條件。12/3/2022蒙特卡羅方法 則w＝cosθ的分布可以用上述分布表示成積分分布的形式86 各向同性散射方向的抽樣方法為： 抽樣效率為：＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 各向同性散射方向的抽樣方法為：＞≤12/1/2022蒙特卡87隨機(jī)抽樣的其它方法

偏倚抽樣方法近似抽樣方法近似-修正抽樣方法多維分布抽樣方法指數(shù)分布的抽樣12/3/2022蒙特卡羅方法隨機(jī)抽樣的其它方法偏倚抽樣方法12/1/2022蒙特卡羅方88 使用蒙特卡羅方法計(jì)算積分 時，可考慮將積分I改寫為 其中f*(x)為一個與f(x)有相同定義域的新的分布密度函數(shù)。于是可以這樣計(jì)算積分I： 這里Xi是從f*(x)中抽取的第i個子樣。偏移抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 使用蒙特卡羅方法計(jì)算積分偏移抽樣方法12/89 由此可以看出，原來由f(x)抽樣，現(xiàn)改為由另一個分布密度函數(shù)f*(x)抽樣，并附帶一個權(quán)重糾偏因子 這種方法稱為偏倚抽樣方法。 從f(x)中抽取的Xf，滿足 而對于偏倚抽樣，有 一般情況下，Xf是具有分布f(x)總體的簡單子樣的個體，只代表一個。Xf*是具有分布f*(x)總體的簡單子樣的個體，但不代表一個，而是代表W(Xf*)個，這時Xf*是帶權(quán)W(Xf*)服從分布f(x)。12/3/2022蒙特卡羅方法 由此可以看出，原來由f(x)抽樣，現(xiàn)90 在實(shí)際問題中，分布密度函數(shù)的形式有時是非常復(fù)雜的，有些甚至不能用解析形式給出，只能用數(shù)據(jù)或曲線形式給出。如中子散射角余弦分布多數(shù)是以曲線形式給出的。對于這樣的分布，需要用近似分布密度函數(shù)代替原來的分布密度函數(shù)，用近似分布密度函數(shù)的抽樣代替原分布密度函數(shù)的抽樣，這種方法稱為近似抽樣方法。近似抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 在實(shí)際問題中，分布密度函數(shù)的形式有時是非常91 設(shè)fa(x)≈f(x)，即fa(x)是f(x)的一個近似分布密度函數(shù)。對于階梯近似，有 其中，x0，x1，…，xn為任意分點(diǎn)。在此情況下，近似抽樣方法為：或階梯近似12/3/2022蒙特卡羅方法 設(shè)fa(x)≈f(x)，即fa(92 對于梯形近似，有 其中，c為歸一因子，fi

＝f(xi)，x0，x1，…，xn為任意分點(diǎn)。根據(jù)對稱抽樣方法，梯形近似抽樣方法為：梯形近似＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 對于梯形近似，有梯形近似＞≤12/1/2093 除了上述這種近似外，近似抽樣方法還包括對直接抽樣方法中分布函數(shù)反函數(shù)的近似處理，以及用具有近似分布的隨機(jī)變量代替原分布的隨機(jī)變量。12/3/2022蒙特卡羅方法 除了上述這種近似外，近似抽樣方法還包括對直接抽樣方法中分94例23.正態(tài)分布的近似抽樣 我們知道，隨機(jī)數(shù)ξ的期望值為1/2，方差為1/12，則隨機(jī)變量 漸近正態(tài)分布，因此，當(dāng)n足夠大時便可用Xn作為正態(tài)分布的近似抽樣。特別是n＝12時，有12/3/2022蒙特卡羅方法例23.正態(tài)分布的近似抽樣 我們知道，隨機(jī)數(shù)ξ的期望值為95 對于任意分布密度函數(shù)f(x)，設(shè)fa(x)是f(x)的一個近似分布密度函數(shù)，它的特點(diǎn)是抽樣簡單，運(yùn)算量小。令 則分布密度函數(shù)f(x)可以表示為乘加分布形式： 其中H1(x)為非負(fù)函數(shù)，f1(x)為一分布密度函數(shù)。 對f(x)而言，fa(x)是它的近似分布密度函數(shù)，而H1(x)f1(x)正好是這種近似的修正。近似-修正抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 對于任意分布密度函數(shù)f(x)，設(shè)f96 近似-修正抽樣方法如下： 抽樣效率 由上述近似-修正抽樣方法可以看出，如果近似分布密度函數(shù)fa(x)選得好，m接近1，這時有很大可能直接從fa(x)中抽取Xfa，而只有很少的情況需要計(jì)算與f

(x)有關(guān)的函數(shù)H1(Xf1)。在乘抽樣方法中，每一次都要計(jì)算H(Xfa)＝f

(Xfa)／fa(Xfa)。因此，當(dāng)f

(x)比較復(fù)雜時，近似-修正抽樣方法有很大好處?！堋埽荆?2/3/2022蒙特卡羅方法 近似-修正抽樣方法如下：≤≤＞＞12/1/2022蒙特卡羅97例24.裂變中子譜分布的近似-修正抽樣 裂變中子譜分布的一般形式為： 其中A，B，C，Emin，Emax均為與元素有關(guān)的量。 對于鈾-235， A=0.965，B=2.29，C=0.453，Emin=0，Emax=∞。 若采用乘減抽樣方法，其抽樣效率約為0.5。12/3/2022蒙特卡羅方法例24.裂變中子譜分布的近似-修正抽樣 裂變中子譜分布的98 令 相應(yīng)的 則 從fa(x)的抽樣為 從f1(x)的抽樣為12/3/2022蒙特卡羅方法 令12/1/2022蒙特卡羅方法99 參數(shù)λ的確定，使1－Aλ＞0，且使H1(E)的上界M1最小。裂變中子譜的近似修正抽樣方法為 對于鈾-235，m≈0.8746，M≈0.2678，λ≈0.5543，抽樣效率E≈0.9333。而且近似修正抽樣方法有0.8746的概率直接用近似分布抽樣，只計(jì)算一次對數(shù)。因此，較之乘減抽樣方法大大節(jié)省了計(jì)算時間，提高了抽樣效率?！堋埽荆?2/3/2022蒙特卡羅方法 參數(shù)λ的確定，使1－Aλ＞0，且使H1(E)的上界M100 為方便起見，這里僅討論二維分布的情況，對于更高維數(shù)的分布，可用類似的方法處理。 對于任意二維分布密度函數(shù)，總可以用其邊緣分布密度函數(shù)和條件分布密度函數(shù)的乘積表示: 其中fl(x)，f2(y|x)分別為分布f(x,y)的邊緣分布密度函數(shù)和條件分布密度函數(shù)，即多維分布抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 為方便起見，這里僅討論二維分布的情況，對于更高維數(shù)的分布101 二維分布密度函數(shù)的抽樣方法是: 首先由fl(x)中抽取Xf1，再由f2(y|Xf1)中抽樣確定Yf2。 對于多維分布密度函數(shù)，也可直接采用類似于一維分布密度函數(shù)的抽樣方法。例如，對如下形式的二維分布密度函數(shù)： 其中H(x,y)為非負(fù)函數(shù)，f1(x,y)為任意二維分布密度函數(shù)。設(shè)M為H(x,y)的上界，則有二維分布的乘抽樣方法如下：≤＞12/3/2022蒙特卡羅方法 二維分布密度函數(shù)的抽樣方法是:≤＞12/1/2022蒙特卡102例25.下面二維分布密度函數(shù)的抽樣 將f

(x,y)寫為 其中 用直接抽樣方法分別從fl(x)和f2(y|Xf1)中抽樣，得到

12/3/2022蒙特卡羅方法例25.下面二維分布密度函數(shù)的抽樣12/1/2022蒙特103 前面已經(jīng)介紹了，指數(shù)分布 的直接抽樣為： 這不僅需要計(jì)算對數(shù)，而且由于要使用偽隨機(jī)數(shù)，受精度的限制，該抽樣值在小概率處即數(shù)值較大處呈現(xiàn)明顯得離散性。 下面介紹兩種抽樣方法可以避免這些問題。指數(shù)分布的抽樣12/3/2022蒙特卡羅方法 前面已經(jīng)介紹了，指數(shù)分布指數(shù)分布的抽樣12/1/2022104 所用隨機(jī)數(shù)的平均個數(shù)N＝e2/(e－1)≈4.3方法一＞≤NY12/3/2022蒙特卡羅方法方法一＞≤NY12/1/2022蒙特卡羅方法105

方法二＞≤NY12/3/2022蒙特卡羅方法方法二＞≤NY12/1/2022蒙特卡羅方法106作業(yè)

光子散射后能量分布的抽樣 把光子散射能量分布改寫成如下形式進(jìn)行抽樣：12/3/2022蒙特卡羅方法作業(yè)光子散射后能量分布的抽樣12/1/2022蒙特卡羅方107 在［1,1+2α］上定義如下函數(shù):12/3/2022蒙特卡羅方法 在［1,1+2α］上定義如下函數(shù):12/1/2022蒙108＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法109第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)直接抽樣方法挑選抽樣方法復(fù)合抽樣方法復(fù)合挑選抽樣方法替換抽樣方法隨機(jī)抽樣的一般方法隨機(jī)抽樣的其它方法作業(yè)12/3/2022蒙特卡羅方法第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)12/1/20110第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣本章敘述由己知分布抽樣的各主要方法，并給出在粒子輸運(yùn)問題中經(jīng)常用到的具體實(shí)例。12/3/2022蒙特卡羅方法第三章由已知分布的隨機(jī)抽樣本111隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)

由巳知分布的隨機(jī)抽樣指的是由己知分布的總體中抽取簡單子樣。隨機(jī)數(shù)序列是由單位均勻分布的總體中抽取的簡單子樣，屬于一種特殊的由已知分布的隨機(jī)抽樣問題。本章所敘述的由任意已知分布中抽取簡單子樣，是在假設(shè)隨機(jī)數(shù)為已知量的前提下，使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的。為方便起見，用XF表示由己知分布F(x)中產(chǎn)生的簡單子樣的個體。對于連續(xù)型分布，常用分布密度函數(shù)f(x)表示總體的己知分布，用Xf表示由己知分布密度函數(shù)f(x)產(chǎn)生的簡單子樣的個體。另外，在抽樣過程中用到的偽隨機(jī)數(shù)均稱隨機(jī)數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn)由巳知分布的隨機(jī)抽112直接抽樣方法

對于任意給定的分布函數(shù)F(x)，直接抽樣方法如下：其中，ξ1，ξ2，…，ξN為隨機(jī)數(shù)序列。為方便起見，將上式簡化為：若不加特殊說明，今后將總用這種類似的簡化形式表示，ξ總表示隨機(jī)數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法直接抽樣方法對于任意給定的分布113證明

下面證明用前面介紹的方法所確定的隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。對于任意的n成立，因此隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN具有相同分布F(x)。另外，由于隨機(jī)數(shù)序列ξ1，ξ2，…，ξN是相互獨(dú)立的，而直接抽樣公式所確定的函數(shù)是波雷爾（Borel）可測的，因此，由它所確定的X1，X2，…，XN也是相互獨(dú)立的（[P.R.Halmos,Measuretheory,N.Y.VonNosrtand,1950]§45定理2）。12/3/2022蒙特卡羅方法證明下面證明用前面介紹的方法所確定114離散型分布的直接抽樣方法對于任意離散型分布：其中x1，x2，…為離散型分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)，P1，P2，…為相應(yīng)的概率，根據(jù)前述直接抽樣法，有離散型分布的直接抽樣方法如下：該結(jié)果表明，為了實(shí)現(xiàn)由任意離散型分布的隨機(jī)抽樣，直接抽樣方法是非常理想的。12/3/2022蒙特卡羅方法離散型分布的直接抽樣方法對于任115例1.二項(xiàng)分布的抽樣二項(xiàng)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為：其中，P為概率。對該分布的直接抽樣方法如下：12/3/2022蒙特卡羅方法例1.二項(xiàng)分布的抽樣二項(xiàng)分布為離散型分布116例2.泊松(Possion)分布的抽樣泊松(Possion)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為：其中，λ>0。對該分布的直接抽樣方法如下：12/3/2022蒙特卡羅方法例2.泊松(Possion)分布的抽樣泊117例3.擲骰子點(diǎn)數(shù)的抽樣擲骰子點(diǎn)數(shù)X=n的概率為：選取隨機(jī)數(shù)ξ，如則在等概率的情況下，可使用如下更簡單的方法：其中［］表示取整數(shù)。12/3/2022蒙特卡羅方法例3.擲骰子點(diǎn)數(shù)的抽樣擲骰子點(diǎn)數(shù)X=n118例4.碰撞核種類的確定中子或光子在介質(zhì)中發(fā)生碰撞時，如介質(zhì)是由多種元素組成，需要確定碰撞核的種類。假定介質(zhì)中每種核的宏觀總截面分別為Σ1，Σ2，…，Σn，則中子或光子與每種核碰撞的概率分別為：其中Σt＝Σ1＋Σ2＋…＋Σn。碰撞核種類的確定方法為：產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)ξ，如果則中子或光子與第I種核發(fā)生碰撞。12/3/2022蒙特卡羅方法例4.碰撞核種類的確定中子119例5.中子與核的反應(yīng)類型的確定假設(shè)中子與核的反應(yīng)類型有如下幾種:彈性散射，非彈性散射，裂變，吸收，相應(yīng)的反應(yīng)截面分別為Σel，Σin，Σf，Σa。則發(fā)生每一種反應(yīng)類型的概率依次為：其中反應(yīng)總截面Σt＝Σel＋Σin＋Σf＋Σa。12/3/2022蒙特卡羅方法例5.中子與核的反應(yīng)類型的確定120反應(yīng)類型的確定方法為：產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù)ξ

12/3/2022蒙特卡羅方法反應(yīng)類型的確定方法為：產(chǎn)生一個隨機(jī)121連續(xù)型分布的直接抽樣方法

對于連續(xù)型分布，如果分布函數(shù)F(x)的反函數(shù)F－1(x)存在，則直接抽樣方法是：12/3/2022蒙特卡羅方法連續(xù)型分布的直接抽樣方法對于連續(xù)122例6.在［a，b］上均勻分布的抽樣在［a，b］上均勻分布的分布函數(shù)為：則12/3/2022蒙特卡羅方法例6.在［a，b］上均勻分布的抽樣123例7.β分布β分布為連續(xù)型分布，作為它的一個特例是：其分布函數(shù)為：

則12/3/2022蒙特卡羅方法例7.β分布β分布為連續(xù)型分布124例8.指數(shù)分布指數(shù)分布為連續(xù)型分布，其一般形式如下：其分布函數(shù)為：

則因?yàn)?－ξ也是隨機(jī)數(shù)，可將上式簡化為12/3/2022蒙特卡羅方法例8.指數(shù)分布指數(shù)分布為連續(xù)型125連續(xù)性分布函數(shù)的直接抽樣方法對于分布函數(shù)的反函數(shù)存在且容易實(shí)現(xiàn)的情況，使用起來是很方便的。但是對于以下幾種情況，直接抽樣法是不合適的。分布函數(shù)無法用解析形式給出，因而其反函數(shù)也無法給出。分布函數(shù)可以給出其解析形式，但是反函數(shù)給不出來。分布函數(shù)即使能夠給出反函數(shù)，但運(yùn)算量很大。下面敘述的挑選抽樣方法是克服這些困難的比較好的方法。12/3/2022蒙特卡羅方法連續(xù)性分布函數(shù)的直接抽樣方法對于126挑選抽樣方法

為了實(shí)現(xiàn)從己知分布密度函數(shù)f(x)抽樣，選取與f(x)取值范圍相同的分布密度函數(shù)h(x)，如果則挑選抽樣方法為：>12/3/2022蒙特卡羅方法挑選抽樣方法為了實(shí)現(xiàn)從己知分布127即從h(x)中抽樣xh，以的概率接受它。下面證明xf

服從分布密度函數(shù)f(x)。證明：對于任意x

12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法12812/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法129使用挑選抽樣方法時，要注意以下兩點(diǎn)：選取h(x)時要使得h(x)容易抽樣且M的值要盡量小。因?yàn)镸小能提高抽樣效率。抽樣效率是指在挑選抽樣方法中進(jìn)行挑選時被選中的概率。按此定義，該方法的抽樣效率E為：所以，M越小，抽樣效率越高。12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法130

當(dāng)f(x)在［0，1］上定義時，取h(x)=1，Xh=ξ，此時挑選抽樣方法為>12/3/2022蒙特卡羅方法>12/1/2022蒙特卡羅方法131例9.圓內(nèi)均勻分布抽樣令圓半徑為R0，點(diǎn)到圓心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為分布函數(shù)為容易知道，該分布的直接抽樣方法是12/3/2022蒙特卡羅方法例9.圓內(nèi)均勻分布抽樣令圓半132由于開方運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上很費(fèi)時間，該方法不是好方法。下面使用挑選抽樣方法：取則抽樣框圖為＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法133顯然，沒有必要舍棄ξ1＞ξ2的情況，此時，只需取就可以了，亦即另一方面，也可證明與具有相同的分布。12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法134復(fù)合抽樣方法

在實(shí)際問題中，經(jīng)常有這樣的隨機(jī)變量，它服從的分布與一個參數(shù)有關(guān)，而該參數(shù)也是一個服從確定分布的隨機(jī)變量，稱這樣的隨機(jī)變量服從復(fù)合分布。例如，分布密度函數(shù)是一個復(fù)合分布。其中Pn≥0，n=1，2，…，且fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…，參數(shù)n服從如下分布12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合抽樣方法在實(shí)際問題中，經(jīng)常135復(fù)合分布的一般形式為：其中f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，F(xiàn)1(y)表示分布函數(shù)。 復(fù)合分布的抽樣方法為:首先由分布函數(shù)F1(y)或分布密度函數(shù)f1(y)中抽樣YF1或Yf1，然后再由分布密度函數(shù)f2(x/YF1)中抽樣確定Xf2(x/YF)證明：所以，Xf所服從的分布為f

(x)。12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合分布的一般形式為：12/1/2022蒙特卡羅方136例10.指數(shù)函數(shù)分布的抽樣指數(shù)函數(shù)分布的一般形式為：引入如下兩個分布密度函數(shù)：12/3/2022蒙特卡羅方法例10.指數(shù)函數(shù)分布的抽樣指數(shù)函數(shù)分布的一般137則使用復(fù)合抽樣方法，首先從f1(y)中抽取y

再由f2(x/YF1)中抽取x

12/3/2022蒙特卡羅方法則12/1/2022蒙特卡羅方法138復(fù)合挑選抽樣方法

考慮另一種形式的復(fù)合分布如下：其中0≤H(x,y)≤M，f2(x/y)表示與參數(shù)y有關(guān)的條件分布密度函數(shù)，F(xiàn)1(y)表示分布函數(shù)。抽樣方法如下：>12/3/2022蒙特卡羅方法復(fù)合挑選抽樣方法考慮另一種形式139證明：抽樣效率為：E=1/M12/3/2022蒙特卡羅方法證明：12/1/2022蒙特卡羅方法140 為了實(shí)現(xiàn)某個復(fù)雜的隨機(jī)變量y的抽樣，將其表示成若干個簡單的隨機(jī)變量x1，x2，…，xn的函數(shù) 得到x1，x2，…，xn的抽樣后，即可確定y的抽樣，這種方法叫作替換法抽樣。即替換抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法 為了實(shí)現(xiàn)某個復(fù)雜的隨機(jī)變量y的抽樣，將141例11.散射方位角余弦分布的抽樣 散射方位角φ在［0,2π］上均勻分布，則其正弦和余弦sinφ和cosφ服從如下分布： 直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例11.散射方位角余弦分布的抽樣 散射方142 令φ=2θ，則θ在［0,π］上均勻分布，作變換 其中0≤ρ≤1，0≤ρ≤π，則 (x,y)表示上半個單位圓內(nèi)的點(diǎn)。如果(x,y)在上半個單位圓內(nèi)均勻分布，則θ在［0,π］上均勻分布，由于12/3/2022蒙特卡羅方法 令φ=2θ，則θ在［0,π］上均勻分布，作變換12/1/2143 因此抽樣sinφ和cosφ的問題就變成在上半個單位圓內(nèi)均勻抽樣(x,y)的問題。 為獲得上半個單位圓內(nèi) 的均勻點(diǎn)，采用挑選法，在 上半個單位圓的外切矩形內(nèi) 均勻投點(diǎn)（如圖）。 舍棄圓外的點(diǎn)，余下的就是所要求的點(diǎn)。 抽樣方法為： 抽樣效率

E=π/4≈0.785>12/3/2022蒙特卡羅方法 因此抽樣sinφ和cosφ的問題就變成在上144 為實(shí)現(xiàn)散射方位角余弦分布抽樣，最重要的是在上半個單位圓內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)。下面這種方法，首先在單位圓的半個外切正六邊形內(nèi)產(chǎn)生均勻分布點(diǎn)，如圖所示。12/3/2022蒙特卡羅方法 為實(shí)現(xiàn)散射方位角余弦分布抽樣，最重要的是在145 于是便有了抽樣效率更高的抽樣方法： 抽樣效率>≤12/3/2022蒙特卡羅方法 于是便有了抽樣效率更高的抽樣方法：>≤12146例12.正態(tài)分布的抽樣 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為： 引入一個與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量X獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Y，則（X,Y）的聯(lián)合分布密度為： 作變換12/3/2022蒙特卡羅方法例12.正態(tài)分布的抽樣 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度147 則（ρ,φ）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為： 由此可知，ρ與φ相互獨(dú)立，其分布密度函數(shù)分別為 分別抽取ρ，φ：12/3/2022蒙特卡羅方法 則（ρ,φ）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為：12/1/2022蒙特卡148 從而得到一對服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X和Y： 對于一般的正態(tài)分布密度函數(shù)N(μ,σ2)的抽樣，其抽樣結(jié)果為：12/3/2022蒙特卡羅方法 從而得到一對服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量X和Y：12/1/2149例13.β分布的抽樣

β分布密度函數(shù)的一般形式為： 其中n，k為整數(shù)。為了實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣，將其看作一組簡單的相互獨(dú)立隨機(jī)變量的函數(shù)，通過這些簡單隨機(jī)變量的抽樣，實(shí)現(xiàn)β分布的抽樣。設(shè)x1，x2，…，xn

為一組相互獨(dú)立、具有相同分布F(x)的隨機(jī)變量，ζk為x1，x2，…，xn

按大小順序排列后的第k個，記為：12/3/2022蒙特卡羅方法例13.β分布的抽樣 β分布密度函數(shù)的一般150 則ζk的分布函數(shù)為： 當(dāng)F(x)=x時， 不難驗(yàn)證，ζk的分布密度函數(shù)為β分布。因此，β分布的抽樣可用如下方法實(shí)現(xiàn)： 選取n個隨機(jī)數(shù)，按大小順序排列后取第k個，即12/3/2022蒙特卡羅方法 則ζk的分布函數(shù)為：12/1/2022蒙特卡羅方法151隨機(jī)抽樣的一般方法

加抽樣方法

減抽樣方法乘抽樣方法乘加抽樣方法乘減抽樣方法對稱抽樣方法積分抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法隨機(jī)抽樣的一般方法加抽樣方法12/1/2022蒙特卡羅方152加抽樣方法加抽樣方法是對如下加分布給出的一種抽樣方法：其中Pn≥0，

，且fn(x)為與參數(shù)n有關(guān)的分布密度函數(shù)，n=1，2，…。 由復(fù)合分布抽樣方法可知，加分布的抽樣方法為:首先抽樣確定n’，然后由fn’(x)中抽樣x，即：12/3/2022蒙特卡羅方法加抽樣方法加抽樣方法是對如下加分布153例14.多項(xiàng)式分布抽樣多項(xiàng)式分布密度函數(shù)的一般形式為：將f(x)改寫成如下形式：則該分布的抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例14.多項(xiàng)式分布抽樣多項(xiàng)式154例15.球殼內(nèi)均勻分布抽樣設(shè)球殼內(nèi)半徑為R0，外半徑為R1，點(diǎn)到球心的距離為r，則r的分布密度函數(shù)為分布函數(shù)為 該分布的直接抽樣方法是12/3/2022蒙特卡羅方法例15.球殼內(nèi)均勻分布抽樣設(shè)155 為避免開立方根運(yùn)算，作變換： 則x∈[0,1]，其分布密度函數(shù)為： 其中12/3/2022蒙特卡羅方法12/1/2022蒙特卡羅方法156 則x及r的抽樣方法為：≤≤>>12/3/2022蒙特卡羅方法 則x及r的抽樣方法為：≤≤>>12/1/2022蒙特卡羅方157減抽樣方法減抽樣方法是對如下形式的分布密度所給出的一種抽樣方法：其中A1、A2為非負(fù)實(shí)數(shù)，f1(x)

、f2(x)均為分布密度函數(shù)。 減抽樣方法分為以下兩種形式：以上兩種形式的抽樣方法，究竟選擇哪種好，要看f1(x)

、f2(x)哪一個容易抽樣，如相差不多，選用第一種方法抽樣效率高。12/3/2022蒙特卡羅方法減抽樣方法減抽樣方法是對如下形式的158（1）將f

(x)表示為令m表示f2(x)／f1(x)的下界，使用挑選法，從f1(x)中抽取Xf1

抽樣效率為：>12/3/2022蒙特卡羅方法（1）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡羅方159（2）將f

(x)表示為使用挑選法，從f2(x)中抽取Xf2

抽樣效率為：>12/3/2022蒙特卡羅方法（2）將f(x)表示為>12/1/2022蒙特卡羅方160例16.β分布抽樣 β分布的一個特例： 取A1＝2，A2＝1，f1(x)＝1，f2(x)＝2x，此時m＝0，則根據(jù)第一種形式的減抽樣方法，有 或＞≤＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法例16.β分布抽樣 β分布的一個特例：＞≤＞≤12/1/161 由于1－ξ1可用ξ1代替，該抽樣方法可簡化為： 對于ξ2＞ξ1的情況，可取Xf＝ξ1，因此 與β分布的推論相同。＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法162如下形式的分布稱為乘分布：其中H(x)為非負(fù)函數(shù)，f1(x)為任意分布密度函數(shù)。 令M為H(x)的上界，乘抽樣方法如下：抽樣效率為：乘抽樣方法≤＞12/3/2022蒙特卡羅方法如下形式的分布稱為乘分布：乘抽樣方163例17.倒數(shù)分布抽樣 倒數(shù)分布密度函數(shù)為： 其直接抽樣方法為： 下面采用乘抽樣方法，考慮如下分布族： 其中i=1，2，…，該分布的直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例17.倒數(shù)分布抽樣 倒數(shù)分布密度函數(shù)為：12/1/20164 利用這一分布族，將倒數(shù)分布f(x)表示成: 其中， 乘法分布的抽樣方法如下: 該分布的抽樣效率為：＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法165例18.麥克斯韋(Maxwell)分布抽樣 麥克斯韋分布密度函數(shù)的一般形式為： 使用乘抽樣方法，令 該分布的直接抽樣方法為：12/3/2022蒙特卡羅方法例18.麥克斯韋(Maxwell)分布抽樣 麥克斯韋分布166 此時 則麥克斯韋分布的抽樣方法為: 該分布的抽樣效率為：＞≤12/3/2022蒙特卡羅方法 此時＞≤12/1/2022蒙特卡羅方法167在實(shí)際問題中，經(jīng)常會遇到如下形式的分布：其中Hn(x)為非負(fù)函數(shù)，fn(x)為任意分布密度函數(shù)，n=1，2，…。不失一般性，只考慮n=2的情況：

將f(x)改寫成如下的加分布形式：乘加抽樣方法12/3/2022蒙特卡羅方法在實(shí)際問題中，經(jīng)常會遇到如下形式的168其中12/3/2022蒙特卡羅方法其中12/1/2022蒙特卡羅方法169乘加抽樣方法為：該方法的抽樣效率為：>>>≤12/3/2022蒙特卡羅方法乘加抽樣方法為：>>>≤12/1/2022蒙特卡羅方170這種方法需要知道P1的值(P2=1－P1），這對有些分布是很困難的。下面的方法可以不用計(jì)算P1：對于任意小于1的正數(shù)P1，令P2=1－P1；則采用復(fù)合挑選抽樣方法，有：12/3/2022蒙特卡羅方法這種方法需要知道P1的值(P2=1171當(dāng)取時，抽樣效率最高這時，乘加抽樣方法為：>>>≤12/3/2022蒙特卡羅方法當(dāng)取>>>≤12/1/2022蒙特卡羅方法172由于可知第一種方法比第二種方法的抽樣效率高。12/3/2022蒙特卡羅方法由于12/1/2022蒙特卡羅方法173例19.光子散射后能量分布的抽樣 令光子散射前后的能量分別為

和