河北省任丘一中2023學(xué)年高三一診考試數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)_第1頁(yè)
河北省任丘一中2023學(xué)年高三一診考試數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)_第2頁(yè)
河北省任丘一中2023學(xué)年高三一診考試數(shù)學(xué)試卷(含答案解析)_第3頁(yè)
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2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知平面向量滿足與的夾角為,且,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.2.一個(gè)盒子里有4個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1,2,3,4的小球,每次取出一個(gè),記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中,共取3次,則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有()A.17種 B.27種 C.37種 D.47種3.若函數(shù)()的圖象過點(diǎn),則()A.函數(shù)的值域是 B.點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心C.函數(shù)的最小正周期是 D.直線是的一條對(duì)稱軸4.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)是的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),以為直徑的圓過且交的左支于兩點(diǎn),若,的面積為8,則的漸近線方程為()A. B.C. D.5.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.如圖,正四面體的體積為,底面積為,是高的中點(diǎn),過的平面與棱、、分別交于、、,設(shè)三棱錐的體積為,截面三角形的面積為,則()A., B.,C., D.,7.在正方體中,球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切,球同時(shí)與以為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切,且兩球相切于點(diǎn).若以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過,設(shè)球的半徑分別為,則()A. B. C. D.8.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.9.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.10.小張家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上之間把報(bào)送到小張家,小張離開家去工作的時(shí)間在早上之間.用表示事件:“小張?jiān)陔x開家前能得到報(bào)紙”,設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為,小張離開家的時(shí)間為,看成平面中的點(diǎn),則用幾何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.11.已知α,β表示兩個(gè)不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,則“α∥β是“l(fā)∥β”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12.如圖所示點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且總是平行于軸,則的周長(zhǎng)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知a,b均為正數(shù),且,的最小值為________.14.如圖梯形為直角梯形,,圖中陰影部分為曲線與直線圍成的平面圖形,向直角梯形內(nèi)投入一質(zhì)點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)落入陰影部分的概率是_____________15.為了了解一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位:毫米)情況,現(xiàn)抽取容量為400的樣本進(jìn)行檢測(cè),如圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn),單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間的一等品,在區(qū)間和的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為__________.16.古代“五行”學(xué)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角所對(duì)的邊分別是,且.(1)求角的大??;(2)若,求邊長(zhǎng).18.(12分)已知拋物線,直線與交于,兩點(diǎn),且.(1)求的值;(2)如圖,過原點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn),與直線交于點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn),證明:直線過定點(diǎn).19.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)已知,若,,,求的面積.20.(12分)如圖,已知平面與直線均垂直于所在平面,且.(1)求證:平面;(2)若,求與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.22.(10分)市民小張計(jì)劃貸款60萬(wàn)元用于購(gòu)買一套商品住房,銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金:每月的還款額呈遞減趨勢(shì),且從第二個(gè)還款月開始,每月還款額與上月還款額的差均相同;②等額本息:每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定,在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款(若2019年7月7日貸款到賬,則2019年8月7日首次還款).已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年,月利率為0.004.(1)若小張采取等額本金的還款方式,現(xiàn)已得知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元,最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元,試計(jì)算小張?jiān)摴P貸款的總利息;(2)若小張采取等額本息的還款方式,銀行規(guī)定,每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半,已知小張家庭平均月收入為1萬(wàn)元,判斷小張?jiān)摴P貸款是否能夠獲批(不考慮其他因素);(3)對(duì)比兩種還款方式,從經(jīng)濟(jì)利益的角度來(lái)考慮,小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù):.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【答案解析】

由已知可得,結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律,建立方程,求解即可.【題目詳解】依題意得由,得即,解得.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量垂直的應(yīng)用,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2.C【答案解析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種;先找到最大值不是4的情況,即三次取出標(biāo)號(hào)均不為4的球的情況,進(jìn)而求解.【題目詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有種,故選:C【答案點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.A【答案解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點(diǎn),求出,可得,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),得出結(jié)論.【題目詳解】由函數(shù)()的圖象過點(diǎn),可得,即,,,故,對(duì)于A,由,則,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤;故選:A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),需熟記性質(zhì)與公式,屬于基礎(chǔ)題.4.B【答案解析】

由雙曲線的對(duì)稱性可得即,又,從而可得的漸近線方程.【題目詳解】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為,由雙曲線的對(duì)稱性,四邊形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的漸近線方程為.故選B【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力,屬于中檔題.5.D【答案解析】

通過列舉法可求解,如兩角分別為時(shí)【題目詳解】當(dāng)時(shí),,但,故充分條件推不出;當(dāng)時(shí),,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題6.A【答案解析】

設(shè),取與重合時(shí)的情況,計(jì)算出以及的值,利用排除法可得出正確選項(xiàng).【題目詳解】如圖所示,利用排除法,取與重合時(shí)的情況.不妨設(shè),延長(zhǎng)到,使得.,,,,則,由余弦定理得,,,又,,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除B、D選項(xiàng);因?yàn)?,,此時(shí),,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除C選項(xiàng).故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法,考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.7.D【答案解析】

由題先畫出立體圖,再畫出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑,也即點(diǎn)到面的距離,點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離因此球內(nèi)切于正方體,設(shè),兩球球心和公切點(diǎn)都在體對(duì)角線上,通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出,進(jìn)而求解【題目詳解】根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等,其中點(diǎn)到點(diǎn)的距離即半徑,也即點(diǎn)到面的距離,點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到面的距離,因此球內(nèi)切于正方體,不妨設(shè),兩個(gè)球心和兩球的切點(diǎn)均在體對(duì)角線上,兩個(gè)球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因?yàn)椋虼?,得,所?故選:D【答案點(diǎn)睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化,拋物線幾何性質(zhì)的使用,內(nèi)切球的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化思想,直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)8.A【答案解析】

求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【題目詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),因此截距有正有負(fù),本題屬于基礎(chǔ)題.9.C【答案解析】

根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對(duì)照系數(shù)求解即可.【題目詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【答案點(diǎn)睛】本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.10.D【答案解析】

這是幾何概型,畫出圖形,利用面積比即可求解.【題目詳解】解:事件發(fā)生,需滿足,即事件應(yīng)位于五邊形內(nèi),作圖如下:故選:D【答案點(diǎn)睛】考查幾何概型,是基礎(chǔ)題.11.A【答案解析】試題分析:利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.解:根據(jù)題意,由于α,β表示兩個(gè)不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,由于“α∥β,則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知,則必然α中任何一條直線平行于另一個(gè)平面,條件可以推出結(jié)論,反之不成立,∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件.故選A.考點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷;平面與平面平行的判定.12.B【答案解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,結(jié)合定義表示出;根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn),求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍,即可由的周長(zhǎng)求得其范圍.【題目詳解】拋物線,則焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,根據(jù)拋物線定義可得,圓,圓心為,半徑為,點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.點(diǎn)、分別在兩個(gè)曲線上,總是平行于軸,因而兩點(diǎn)不能重合,不能在軸上,則由圓心和半徑可知,則的周長(zhǎng)為,所以,故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【答案解析】

本題首先可以根據(jù)將化簡(jiǎn)為,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【題目詳解】因?yàn)椋?,?dāng)且僅當(dāng),即、時(shí)取等號(hào),故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值,基本不等式公式為,在使用基本不等式的時(shí)候要注意“”成立的情況,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.14.【答案解析】

聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再利用定積分求出陰影部分的面積,利用梯形的面積公式求出,最后根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得;【題目詳解】解:聯(lián)立解得或,即,,,,,故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積,屬于中檔題.15.100.【答案解析】分析:根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率,然后可求得樣本中三等品的件數(shù).詳解:由題意得,三等品的長(zhǎng)度在區(qū)間,和內(nèi),根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為,∴樣本中三等品的件數(shù)為.點(diǎn)睛:頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為,因此每一個(gè)小矩形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率,把小矩形的高視為頻率時(shí)常犯的錯(cuò)誤.16.1.【答案解析】試題分析:由題意,可看作五個(gè)位置排列五種事物,第一位置有五種排列方法,不妨假設(shè)排上的是金,則第二步只能從土與水兩者中選一種排放,故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1.考點(diǎn):排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.點(diǎn)評(píng):本題考查排列排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題,解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說(shuō)的背景,利用分步原理正確計(jì)數(shù),本題較抽象,計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【答案解析】

(1)把代入已知條件,得到關(guān)于的方程,得到的值,從而得到的值.(2)由(1)中得到的的值和已知條件,求出,再根據(jù)正弦定理求出邊長(zhǎng).【題目詳解】(1)因?yàn)?,,所以,,所以,?因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?(2).在中,由正弦定理得,所以,解得.【答案點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)公式的運(yùn)用,正弦定理解三角形,屬于簡(jiǎn)單題.18.(1);(2)見解析【答案解析】

(1)聯(lián)立直線和拋物線,消去可得,求出,,再代入弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.(2)由(1)可得,設(shè),計(jì)算直線的方程為,代入求出,即可求出,再代入拋物線方程,求出,最后計(jì)算直線的斜率,求出直線的方程,化簡(jiǎn)可得到恒過的定點(diǎn).【題目詳解】(1)由,消去可得,設(shè),,則,.,解得或(舍去),.(2)證明:由(1)可得,設(shè),所以直線的方程為,當(dāng)時(shí),,則,代入拋物線方程,可得,,所以直線的斜率,直線的方程為,整理可得,故直線過定點(diǎn).【答案點(diǎn)睛】本題第一問考查直線與拋物線相交的弦長(zhǎng)問題,需熟記弦長(zhǎng)公式.第二問考查直線方程和直線恒過定點(diǎn)問題,需有較強(qiáng)的計(jì)算能力,屬于難題.19.(1)最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【答案解析】

(1)利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為,利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期,解不等式可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,由得出或,分兩種情況討論,結(jié)合余弦定理解三角形,進(jìn)行利用三角形的面積公式可求得的面積.【題目詳解】(1),所以,函數(shù)的最小正周期為,由得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由,得,或,或,,,又,,即.①當(dāng)時(shí),即,則由,,得,則,此時(shí),的面積為;②當(dāng)時(shí),則,即,則由,解得,,.綜上,的面積為.【答案點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間的求解,同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算,涉及余弦定理解三角形的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20.(1)見解析;(2)【答案解析】

(Ⅰ)證明:過點(diǎn)作于點(diǎn),∵平面⊥平面,∴平面又∵⊥平面∴∥,又∵平面∴∥平面(Ⅱ)∵平面∴,又∵∴∴∴點(diǎn)是的中點(diǎn),連結(jié),則∴平面∴∥,∴四邊形是矩形設(shè),得:,又∵,∴,從而,過作于點(diǎn),則∴是與平面所成角∴,∴與平面所成角的正弦值為考點(diǎn):面面垂直的性質(zhì)定理;線面平行的判定定理;線面垂直的性質(zhì)定理;直線與平面所成的角.點(diǎn)評(píng):本題主要考查了線面平行的證明和直線與平面所成的角,屬立體幾何中的常考題型,較難.本題也可以用向量法來(lái)做:用向量法解題的關(guān)鍵是;首先正確的建立空間直角坐標(biāo)系,正確求解平面的一個(gè)法向量.注意計(jì)算要仔細(xì)、認(rèn)真.≌21.(1)見解析;(2)最大值為.【答案解析】

(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論成立;(2

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