線性矩陣不等式演示文稿

線性矩陣不等式演示文稿第一頁，共三十一頁。線性矩陣不等式第二頁，共三十一頁。主要內(nèi)容線性矩陣不等式概論系統(tǒng)性能分析控制器設計第三頁，共三十一頁。線性矩陣不等式概論第四頁，共三十一頁。線性矩陣不等式的一般表示線性矩陣不等式：——仿射矩陣不等式仿射函數(shù)即由1階多項式構成的函數(shù)，一般形式為f(x)=Ax+b，這里，A是一個m×k矩陣，x是一個k向量,b是一個m向量，實際上反映了一種從k維到m維的空間映射關系。設f是一個矢性（值）函數(shù)，若它可以表示為其中可以是標量，也可以是矩陣，則稱f是仿射函數(shù)。第五頁，共三十一頁。凸（約束）問題定義（凸集）一個集合的連線仍在集合內(nèi)。和及參數(shù)有稱為的凸組合。稱為凸的，如果集合中任意兩點即任意給定兩點和將矩陣不等式的解約束在矩陣變量定義的空間中第六頁，共三十一頁。關于凸集定義的理解第七頁，共三十一頁。Schur補定理引理(SchurComplement)

對于分塊對稱陣其中b)，且c)，且a)為方陣，則以下三個條件是等價的：第八頁，共三十一頁。Schur補應用

若要證明存在對稱矩陣P>0,Q>0,R>0,使得如下不等式成立

只需證明如下線性矩陣不等式(LMI)成立

Schur補：是將非線性矩陣不等式轉化為線性矩陣不等式的有效工具第九頁，共三十一頁。標準的線性矩陣不等式問題可行性問題(LMIP)—求不等式的可行解檢驗是否存在x，使得成立。特征值問題(EVP)－－求不等式的優(yōu)化解廣義特征值問題(GEVP)－－仿射矩陣函數(shù)的不等式優(yōu)化問題LinearMatrixInequality(LMI)第十頁，共三十一頁。系統(tǒng)性能分析第十一頁，共三十一頁。連續(xù)時間系統(tǒng)系統(tǒng)增益指標

考慮第十二頁，共三十一頁。L2范數(shù)對于平方可積的信號，定義其中是向量的歐式范數(shù)。這樣定義的

正好是信號的能量。將所有有限能量的全體記成即

也稱為信號的范數(shù)

第十三頁，共三十一頁。L∞范數(shù)對幅值有界的信號，定義當

是一個標量信號時，等于

的峰值。將所有幅值有界的信號全體記成即

也稱為信號

的范數(shù)。第十四頁，共三十一頁。四個性能指標IE(Impulse-to-Energy)增益：EP(Energy-to-Peak)增益：EE(Energy-to-Energy)增益：PP(Peak-to-Peak)增益：第十五頁，共三十一頁。定理1---IE若有一最優(yōu)值，則第十六頁，共三十一頁。定理2---EP若有一最優(yōu)值，則第十七頁，共三十一頁。定理3---EE第十八頁，共三十一頁。定理4---PP第十九頁，共三十一頁。H2性能T的H2范數(shù)的平方等于系統(tǒng)脈沖響應的總的輸出能量。(IE)系統(tǒng)的H2范數(shù)也可以用系統(tǒng)在白噪聲輸入信號激勵下的穩(wěn)態(tài)輸出方差來解釋。(EP)對于SISO系統(tǒng)第二十頁，共三十一頁。用線性矩陣不等式刻畫系統(tǒng)的H2范數(shù)第二十一頁，共三十一頁。H∞性能增益有一個頻率域的解釋：它恰好等于傳遞函數(shù)

的范數(shù)，即第二十二頁，共三十一頁。用線性矩陣不等式刻畫系統(tǒng)的H∞范數(shù)定理：針對系統(tǒng)(3.1.1)和給定的一個常數(shù)γ>0,若存在對稱矩陣P>0,使得如下線性矩陣不等式成立則有||T(s)||∞<γ,且系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。第二十三頁，共三十一頁。證明：對上述不等式分別左乘,右乘矩陣diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},得記X=γP第二十四頁，共三十一頁。運用Schur補，可得若D=0,則有嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)陣的H∞范數(shù)與矩陣不等式的等價關系第二十五頁，共三十一頁。給出了系統(tǒng)H∞范數(shù)與LMI之間的關系使得H∞控制問題可基于LMI進行求解有界實引理(Boundedreallemma)第二十六頁，共三十一頁。控制