復(fù)變函數(shù)與積分變換全套精美課件

復(fù)變函數(shù)與積分變換引言復(fù)變函數(shù)與積分變換，實際上是兩門課，都屬于工程數(shù)學.第1章到第6章是屬于復(fù)變函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論發(fā)展到今天已成為一個內(nèi)容非常豐富、應(yīng)用極為廣泛的數(shù)學分支.作為大學必修課程的復(fù)變函數(shù)主要講述解析函數(shù)的基本理論和有關(guān)方法，通常它包含以下三方面內(nèi)容：Cauchy積分理論Weierstrass級數(shù)理論Riemann保形映照理論.第7,8章是屬于積分變換，主要包括傅里葉(Fourier)和拉普拉斯(Laplace)積分變換.第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

一、復(fù)數(shù)域、擴充復(fù)平面及其球面表示在中學代數(shù)中已經(jīng)知道，虛數(shù)單位具有性質(zhì)，將這一虛數(shù)單位與兩個實數(shù)用加、乘結(jié)合起來得到復(fù)數(shù)

分別稱為復(fù)數(shù)的實部與虛部記為.

復(fù)數(shù)的四則運算為若，

兩復(fù)數(shù)相等當且僅當實部與虛部相等，i.e.

和

若復(fù)數(shù)，則稱為的共軛復(fù)數(shù)，記作.而稱為的絕對值（模），，記.

于是顯然，

對于平面上一個給定的直角坐標系來說，復(fù)數(shù)可以用坐標為的點來表示.

軸為實軸，軸為虛軸，所在平面稱為復(fù)平面，記作.（見圖1.1）

圖1.1

一個復(fù)數(shù)不僅可以用一點來表示，而且可以用一個由原點指向這點的向量來表示，這個復(fù)數(shù)、這個點、這個向量都用同一字母來表示.任一向量作平行移動后得到的所有向量都視為與原向量恒等.于是復(fù)數(shù)的加法成為向量的加法.而復(fù)數(shù)的公式往往賦有幾何意義，例如表示向量長度，表示三角形兩邊之和大于第三邊，等等.

對復(fù)數(shù)也可引入極坐標復(fù)數(shù)也稱為復(fù)數(shù)的三角表示式.顯然，，稱為復(fù)數(shù)的模.稱為復(fù)數(shù)的輻角，記輻角有無窮多值,彼此相差的整數(shù)倍.通常把滿足的輻角值稱為的主值，記為

，于是

用復(fù)數(shù)的極坐標來表示兩復(fù)數(shù)的乘、除法、乘方以及開方，有時很方便.如果則兩復(fù)數(shù)相乘，積的模為模的積，積的輻角為輻角的和.進而，不難知道，使得，則稱為的次方根，記為設(shè)，則.

從而解出后（算術(shù)根），因此，的次方根為

（i）當時，得到個相異的根（ii）當以其他整數(shù)值代入時，上述根又重復(fù)出現(xiàn).

例1．將寫成三角形式

解：令

由

例2．假設(shè)，，試證只有時才是實數(shù).

證：實數(shù)

從得，故

例3．試證

證：又因例4．在一直線上的條件是為實數(shù),試證明之.

證：在一直線上的條件是以線段與線段為兩邊的角是的整數(shù)倍，即平面圖形用復(fù)數(shù)形式表示，有時很簡單.若，為一固定的復(fù)數(shù)，為一固定的實數(shù)，則表示一個以為中心，為半徑的圓盤，記作.同樣，上半平面；右半平面等等.例5：求

解：因為，所以

即

引入坐標，得到復(fù)平面，但如何來處理無窮遠點？在復(fù)變函數(shù)論中，引入一個點，叫做無窮遠點，記作，

稱為擴充復(fù)平面，它的幾何模型稱為復(fù)球面，如圖1.3：球面上任意點（除點外）與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)，反之亦然.但是在復(fù)平面上引進無窮遠點與球面上點對應(yīng).以此來擴展.有限復(fù)數(shù)，圖1.3

二、復(fù)平面的點集，復(fù)變函數(shù)

②的鄰域：

③，稱為的內(nèi)點：若使得.

④稱為的界點：若以及

⑤若的每個點皆為內(nèi)點，則稱為開集.若的所有極限點都屬于，則稱為閉集.全部邊界點組成的集，稱為的邊界，記為.

①的鄰域：

1．基本概念設(shè)為復(fù)數(shù)點集（平面點集）.

2．區(qū)域、曲線非空平面點集稱為區(qū)域：若它滿足（1）為開集；（2）是連通的，就是說中任何兩點都可以用一條完全屬于內(nèi)的折線連接起來.

設(shè)已給曲線：區(qū)域加上它的邊界稱為閉區(qū)域.如，，則叫做連續(xù)曲線.若，即沒有重點的連續(xù)曲線叫做簡單曲線，當時，則稱為簡單閉曲線.

若在上恒有，且、，則稱為光滑曲線；若一條曲線由有限條光滑曲線連接而成，則稱為逐（按）段光滑曲線.

如果的一個值對應(yīng)著一個值，那么稱是單值的否則就稱是多值的.稱為的定義域,稱為的值域.一個區(qū)域，若在內(nèi)任作一條簡單閉曲線，其內(nèi)部仍全含于，則稱為單連通區(qū)域；否則稱為多連通區(qū)域.

這里，我們承認一條簡單閉曲線將平面分為內(nèi)部和外部.

設(shè)是一個復(fù)數(shù)集，如果對中的任一復(fù)數(shù)，通過一個確定的規(guī)則有一個或若干個復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，就說在上定義了一個復(fù)變函數(shù)，記為.

3．復(fù)變函數(shù)定義，極限，連續(xù)性

例：

例如．，，及均為的單值函數(shù)；（整數(shù)）及均為的多值函數(shù).對于中的每一個，一定存在一個或若干個值與之對應(yīng)，這就定義了上的一個函數(shù).或記為

稱為的反函數(shù).

當為單值時，其反函數(shù)可能是多值的.當函數(shù)及其反函數(shù)都是單值函數(shù)時，則稱這種函數(shù)是雙方單值的.

設(shè)復(fù)變函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)有定義，，對，若，使得當時，有.則稱為當趨向于時，函數(shù)的極限，記為或當時，.關(guān)于復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性.

注1趨向是按任意的方式進行的通常用“方式”這一術(shù)語，以區(qū)別“方向”一詞，具體地說，即使當沿任何射線方向趨向于時，都趨向于數(shù)，還不能說在點以為極限.

注2

對極限概念可作一幾何說明：首先留意不等式所確定的是平面上的一個去心鄰域，即除去了中心的一個鄰域.

在點以為極限的意思是：先在平面上給定一個以為心,為半徑的圓，而后能找到的一個去心鄰域，使得中含于此去心鄰域內(nèi)的點的象都在上述圓內(nèi).先、后順序關(guān)系：圓是先給的，去心的鄰域則是后找的.圖1.4

下面的結(jié)論成立，它們的證明方法與工數(shù)里的相應(yīng)結(jié)論是類似的.若在點有極限，則其極限是唯一的.若，，則

i.

ii.

iii.

；

；

證：由不等式在極限定義中，若極限為函數(shù)在點的值即則說在點連續(xù).

定理1設(shè)，，則

且

定理2

設(shè)，在點連續(xù)在點連續(xù).

例1.

求下列極限值（1），（2）

解：（1）令，則，沿直線，趨于0時，它隨值而作各式各樣變化，故不存在.（2）

例2.

問下列函數(shù)在原點連續(xù)嗎？

（1）（2）

解：（1）令，則沿半直線

時

不存在，因此在不連續(xù).

（2）令，則，

故在連續(xù).

例3.

若在點連續(xù)，那么，也在點連續(xù)，試證明之.解：使得當時，成立，故在點連續(xù).又故在連續(xù).

例4.在何處連續(xù)？

解：當不是原點也不是負實軸或虛軸上的點時，與足夠接近的點也不是原點與負實軸上的點，這時有

因為，所以有意義，故

即

.

當為正虛軸上點時，有

當為負虛軸上的點時，有

當為負實軸上點時，由于

所以不存在.第二章解析函數(shù)

第一節(jié)解析函數(shù)的概念第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件第三節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)第四節(jié)初等函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

2.解析函數(shù)的概念

3.判定解析函數(shù)的方法

第一部分解析函數(shù)1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分(1)導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點z0處可導(dǎo)。稱此極限值為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作

如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。(3)求導(dǎo)公式與法則①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數(shù)).----實函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，則

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0。例2解(4)可微、可導(dǎo)、連續(xù)關(guān)系1.若

w=f(z)在點z0處可導(dǎo)w=f(z)點z0處連續(xù).2.w=f(z)在點z0處可導(dǎo)w=f(z)點z0處可微.2.解析函數(shù)的概念定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱

f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)

(全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f(z)在點z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點。(1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導(dǎo)。

(2)函數(shù)f(z)在z0點可導(dǎo)，未必在z0解析。例如(1)w=z2在整個復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個復(fù)平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點外，是整個復(fù)平面上的解析函數(shù)；定理1設(shè)w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0時)均是D內(nèi)的解析函數(shù)。定理2設(shè)w=f(h)在h

平面上的區(qū)域G內(nèi)解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)處處解析。

如果復(fù)變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)

w=f(z)在D內(nèi)解析。

本節(jié)從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導(dǎo)性，探求函數(shù)w=f(z)的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。問題:如何判斷函數(shù)的解析性？3.判定解析函數(shù)的方法定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).定理1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)有定義，則

f(z)在點z=x+iy

∈D處可導(dǎo)的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系.當一個函數(shù)可導(dǎo)時,僅由其實部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來.

利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的.使用時:1)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，

2)驗證C-R條件.3)求導(dǎo)數(shù)：

前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個實函數(shù)拼成的,但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時要注意,并不是兩個實函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡單拼湊成的.例1

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：例2例3例41.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)2.初等函數(shù)第二部分調(diào)和函數(shù)初等函數(shù)

定義：如果二元實變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程那么稱為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

定理1

任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)，它的實部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

定義2

設(shè)u和v均為調(diào)和函數(shù)，且滿足C-R方程,則稱v為u的共軛調(diào)和函數(shù)。1.調(diào)和函數(shù)

定理4

（刻劃函數(shù)解析的等價定理）f(z)=u+iv在D內(nèi)解析的充要條件是：v是u在D內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù)。

定理3

設(shè)f(z)=u+iv為解析函數(shù)，則v為u的共軛調(diào)和函數(shù)。

問題：

u的共軛調(diào)和函數(shù)是v，那么

v的共軛調(diào)和函數(shù)是否是u？如何由一個調(diào)和函數(shù)來構(gòu)造一個解析函數(shù)？（偏微分法）（不定積分法）例1例22.指數(shù)函數(shù)它與實變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：定義

這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的。

例1例2例32.2對數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)。即，(1)對數(shù)的定義故:（2）

(2)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例5①當b=n(正整數(shù))w=zn在整個復(fù)平面上是單值解析函數(shù)定義2.3冪函數(shù)—多值—一般為多值

除去b為正整數(shù)外，均為多值函數(shù)，當b為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時，無窮多值。解例72.4三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形定義正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)思考題定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)第一節(jié)復(fù)變函數(shù)積分的概念第二節(jié)

柯西積分定理第三節(jié)柯西積分公式第三章復(fù)變函數(shù)的積分1.積分的定義

2.積分存在的條件及其計算法3.積分的基本性質(zhì)4.柯西積分定理5.基本定理的推廣第一部分復(fù)變積分柯西積分定理1.1積分的定義A(起點)B(終點)CC定義3.1DBxyo

1.2積分存在的條件及其計算法定理

證明

復(fù)積分的計算方法法一：將復(fù)積分轉(zhuǎn)為兩個二元實函數(shù)的線積分法二：利用參數(shù)方程，將復(fù)積分轉(zhuǎn)為定積分計算例1解：Aoxy法一法二例2解oxyrC?íì1==-=-\òò=-1012)()(000nnizzdzzzdzrzznCnp

1.3積分的基本性質(zhì)oxy例3解解:例41.4柯西積分定理由此猜想：復(fù)積分的值與路徑無關(guān)或沿閉路的積分值＝0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通有關(guān)。先將條件加強些，作初步的探討—Cauchy定理Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也稱Cauchy定理(3)定理中曲線C不必是簡單的！如下圖。BBC推論設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對任意兩點z0,z1∈B,積分∫cf(z)dz不依賴于連接起點z0與終點z1的曲線，即積分與路徑無關(guān)。Cz1z0C1C2C1C2z0z1此式說明一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過的f(z)的不解析點.1.5基本定理推廣DCC1C1C11.閉路變形原理2.復(fù)合閉路定理：證明DCC1C2BL1L2L3AA’EE’FF’GH說明基本內(nèi)容：1、復(fù)數(shù)項級數(shù)(概念和收斂的充要條件)

2、冪級數(shù)(收斂圓、收斂半徑的計算)3、函數(shù)的泰勒級數(shù)、洛朗級數(shù)展開式。4、孤立奇點重點：收斂半徑、級數(shù)展開式。

第四章級數(shù)

1.復(fù)數(shù)列的極限定義4.1又設(shè)復(fù)常數(shù)：§1.1復(fù)數(shù)項級數(shù)定理4.1證明課堂練習:下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.收斂,極限為-1發(fā)散收斂，極限為0發(fā)散2.復(fù)級數(shù)的概念級數(shù)的前面n項的和---級數(shù)的部分和---無窮級數(shù)定義4.2設(shè)復(fù)數(shù)列：不收斂

例1解定理4.2證明解所以原級數(shù)發(fā)散.例1

由定理4.2，復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為

兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題。必要條件重要結(jié)論:定理4.3所以原級數(shù)發(fā)散.啟示:判別級數(shù)的斂散性時,可先考察?級數(shù)發(fā)散;應(yīng)進一步判斷.定理4.4定義4.3證明由定理4.4的證明過程，及不等式推論4.1另外,因為

的各項都是非負的實數(shù),所以它的收斂也可用正項級數(shù)的判定法來判定.

?解例2練習：發(fā)散復(fù)習掌握一、正項級數(shù)審斂法：

1.冪級數(shù)的概念

2.收斂定理3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)§4.2冪級數(shù)1.冪級數(shù)的概念定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：---稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面n項的和---級數(shù)的部分和例如若級數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級數(shù)(1)的和函數(shù)

特殊情況，在級數(shù)(1)中稱為冪級數(shù)2.收斂定理同實變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理4.5(阿貝爾(Able)定理）z1xyO證明(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實數(shù)都收斂，則級數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時，

級數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。播放幻燈片37顯然，<否則，級數(shù)(3)將在處發(fā)散。

(ii)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。(i)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.定義這個紅藍兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的收斂圓周；圓周的內(nèi)部成為收斂圓，這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑。例如,級數(shù):收斂圓周上無收斂點;在收斂圓周上處處收斂.

定理4.7(根值法)

定理4.6(比值法)4.收斂半徑的求法例求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(2)解(1)因為所以收斂半徑(2)例4.2解

綜上練習：

求下列冪級數(shù)的收斂半徑例3解例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解

(1)該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散p=1p=2該級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。

綜上該級數(shù)發(fā)散。該級數(shù)收斂，故該級數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的.5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)

代數(shù)運算

---冪級數(shù)的加、減運算---冪級數(shù)的乘法運算---冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運算

冪級數(shù)的代換運算在函數(shù)展成冪級數(shù)中很有用.例3解代換解代換展開還原

分析運算

定理4.8---冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)運算---冪級數(shù)的逐項積分運算例4.4

求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解例4.4

求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項積分,得:所以

1.泰勒展開定理

2.展開式的唯一性

3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式§4.3解析函數(shù)的泰勒(Taylor)展開1.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：任何一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達?由§4.2冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示。定理4.9（泰勒展開定理）DK回憶：Dkz---(*)得證！證明DK而如果把函數(shù)中的x換成z,在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù)1-z2+z4-…它有兩個奇點i,而這兩個奇點都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上,所以這個級數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關(guān)心z的實數(shù)值,但復(fù)平面上的奇點形成了限制.

在實變函數(shù)中有些不易理解的問題,一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實數(shù)范圍內(nèi),展開式的成立必須受|x|<1的限制,這一點往往使人難以理解,因為上式左端的函數(shù)對任何實數(shù)都是確定的而且是可導(dǎo)的.

(1)如果

f(z)在z0解析,則使

f(z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑

R等于從z0到

f(z)的距z0最近一個奇點a的距離,即R=|a-z0|.

例如：yz0ax

2.展開式的唯一性結(jié)論

解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級數(shù)。事實上，設(shè)f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):由展開式的唯一性，運用級數(shù)的代數(shù)運算、分

析運算和

已知函數(shù)的展開式來展開由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Taylor級數(shù)，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法：例

解3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解間

接

法例2把下列函數(shù)展開成

z的冪級數(shù):解

（2）由冪級數(shù)逐項求導(dǎo)性質(zhì)得：因ln(1+z)在從z=-1向左沿負實軸剪開的平面內(nèi)解析，

ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,它的展開式的收斂范圍為z<1.定理4.104.解析函數(shù)零點的性質(zhì)性質(zhì)4.3不恒等于0的解析函數(shù)f(z)如果能表示成則稱z=z0為f(z)的m級零點。例如：性質(zhì)4.4例如注:一個實函的零點不一定是孤立的.如事實上，充分性略！必要性得證！但在復(fù)變函數(shù)中,我們有定理性質(zhì)4.5

1.雙邊冪級數(shù)

2.函數(shù)展開成羅朗級數(shù)

3.展開式的唯一性及求法4.典型例題§4.4解析函數(shù)羅朗(Laurent)展開

一個在以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)

f(z),可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù).

如果

f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示.但這種情況在實際問題中卻經(jīng)常遇到.因此,需要討論在以

z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法.討論下列形式的級數(shù):可將其分為兩部分考慮:只有正冪項和負冪項都收斂才認為原級數(shù)收斂，且收斂于它們的和.

正冪項是一冪級數(shù),設(shè)其收斂半徑為

R2：

設(shè)收斂半徑為R：

對負冪項,如果令z=(z-z0)-1,就得到：

則當|z-z0|>R1時,即|z|<R,(z的冪級數(shù))z0R1R2例如級數(shù)因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域,原級數(shù)才收斂.在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有.例如,可以證明,上述級數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項積分和逐項求導(dǎo).冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),級數(shù)反問題：

在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成級數(shù)?如果能，級數(shù)又是什么形式？先看下例.1Oxy例如，由此推想，若f(z)在R

1<z-z0<R2

內(nèi)解析,f(z)可以展開成級數(shù)，只是這個級數(shù)含有負冪次項,即2.函數(shù)展開成羅朗級數(shù)定理4.12Dz0R1R2c3.證明思路Cauchy積分公式推廣到復(fù)連通域Dz0R1R2rRk1k2D1zk1k2zz0證明

由復(fù)連通域上的Cauchy

積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2式(*1),(*2)中系數(shù)cn的積分分別是在k2，k1上進行的，在D內(nèi)取繞z0的簡單閉曲線c，由復(fù)合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：證畢?。?）級數(shù)中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為

羅朗級數(shù)的解析部分和主要部分。

其中解析部分在圓C2內(nèi)收斂，主要部分在C1外

收斂，兩部分合起來，構(gòu)成羅朗級數(shù)，在圓環(huán)

域R1<|z-z0|<R2

內(nèi)收斂。

當R1=0時，羅朗級數(shù)的主要部分就完全反映了

f(z)在z0的奇異性。

(3)在許多實際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f(z)在奇點z0的

去心鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級數(shù)，那么就

利用羅朗（

Laurent）級數(shù)來展開。4.展開式的唯一性結(jié)論

一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，這個級數(shù)就是f(z)的羅朗級數(shù)。事實上，Dz0R1R2cDz0R1R2c二、函數(shù)的羅朗展開式求法常用方法:1.直接法2.間接法

1.直接展開法利用定理公式計算系數(shù)然后寫出缺點:

計算往往很麻煩.根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.優(yōu)點:簡捷,快速.2.間接展開法三、典型例題例1解由定理知:其中故由柯西–古薩基本定理知:由高階導(dǎo)數(shù)公式知:另解本例中圓環(huán)域的中心

z=0既是各負冪項的奇點,例1解三、典型例題例2解練習解例4.7xyo12xyo12xyo12解:xyo12xyo12注意首項xyo12(2)對于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計算展成需要的形式。小結(jié)：把f(z)展成羅朗(Laurent)級數(shù)的方法：解

(1)在(最大的)去心鄰域例4.8yxo12

(2)在(最大的)去心鄰域xo12

函數(shù)可以在以z0為中心的(由奇點隔開的)不同圓環(huán)域內(nèi)解析,因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的羅朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).我們不要把這種情形與羅朗展開式的唯一性相混淆.所謂羅朗展開式的唯一性,是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的羅朗展開式是唯一的.練習：

(1)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把

f(z)

展成泰勒(Taylor)級數(shù)（T圓）在圓環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成羅朗(Laurent)級數(shù)（L環(huán)）(2)Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的不同點：

Taylor級數(shù)：先展開求R,找出收斂域。

Laurent級數(shù)：先求

f(z)

的奇點，然后以

z0為中心，奇點為分隔點，找出z0到無窮遠點的所有使

f(z)

解析的圓環(huán)，在圓環(huán)域上展成級數(shù)。

1.定義2.分類

3.性質(zhì)

4.零點與極點的關(guān)系§4.5孤立奇點

1.定義例如----z=0為孤立奇點----z=1為孤立奇點定義4.4~~~~~~~~~xyo這說明奇點未必是孤立的。----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇點。2.孤立奇點的分類特點：沒有負冪項特點：只有有限多個負冪項特點：有無窮多個負冪項考察：依據(jù)在其孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的羅朗級數(shù)的情況分為三類:1．可去奇點1．可去奇點;2．極點;3．本性奇點.如果羅朗級數(shù)中不含

的負冪項,那末孤立奇點

稱為

的可去奇點.1)定義說明:(1)其和函數(shù)為在解析的函數(shù).（2）(3)無論在是否有定義,補充定義則函數(shù)在解析.如果補充定義:時,那末在解析.例中不含負冪項,是的可去奇點.

2)可去奇點的判定(1)由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負在如果冪項,則為的可去奇點.(2)判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點.例

說明為的可去奇點.解

所以為的可去奇點.無負冪項另解

的可去奇點.為2.

極點

若在羅朗級數(shù)中只有有限多個z-z0的負冪項,

且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),則孤立奇點z0稱為函數(shù)

f(z)的m級極點.說明：1)上式也可寫成

其中

j

(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,

在|z-z0|<d內(nèi)是解析的函數(shù),且

j

(z0)0.

2）反過來,當任何一個函數(shù)

f(z)能表示為(*)的形式,且

j(z0)0時,則z0是

f(z)的m級極點，且定理4.13:這個定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡單的方法.例思考例3.本性奇點

如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為

f(z)的本性奇點.注孤立

奇點非孤立奇點支點(多值函數(shù))極

點本質(zhì)奇點可去奇點綜上所述:我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.綜上所述:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點羅朗級數(shù)特點存在且為有限值不存在且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項關(guān)于的最高冪為三、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)1.定義如果函數(shù)在無窮遠點的去心鄰域內(nèi)解析,則稱點為的孤立奇點.Rxyo令變換規(guī)定此變換將:映射為映射為結(jié)論:

在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究在去心鄰域內(nèi)對函數(shù)的研究因為

在去心鄰域內(nèi)是解析的,所以是的孤立奇點.規(guī)定:m級極點或本性奇點.的可去奇點、m級極點或本性奇點,如果

t=0

是是的可去奇點、

那末就稱點1)不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項;那末是的1)可去奇點;2)m級極點;3)本性奇點.判別法1(利用羅朗級數(shù)的特點)2.判別方法:在內(nèi)的洛朗級數(shù)中:如果例(1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的羅朗展開式為:不含正冪項所以是的可去奇點.(2)函數(shù)含有正冪項且

z為最高正冪項,所以是的

1級極點.(3)函數(shù)的展開式:含有無窮多的正冪項所以是的本性奇點.課堂練習的奇點及其類型.說出函數(shù)答案判別法2:(利用極限特點)如果極限1)存在且為有限值;2)無窮大;3)不存在且不為無窮大;那末是的1)可去奇點;2)m級極點

;3)本性奇點.第五章

留數(shù)

第一節(jié)孤立奇點第二節(jié)留數(shù)第三節(jié)留數(shù)在定積分計

算中的應(yīng)用1.解析函數(shù)孤立奇點及分類2.解析函數(shù)在有限孤立奇點的性質(zhì)

3.函數(shù)的零點與極點的關(guān)系

4.函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)第一部分孤立奇點1.孤立奇點及其分類例如----z=0為孤立奇點----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇點----z=1為孤立奇點定義~~~~~~~~~xyo這說明奇點未必是孤立的。將f(z)在孤立奇點的鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點進行分類。特點：沒有負冪次項特點：只有有限多個負冪次項特點：有無窮多個負冪次項

定義設(shè)z0是f(z)的一個孤立奇點，在z0

的去心鄰域內(nèi)，若f(z)的洛朗級數(shù)沒有負冪次項，稱z=z0為可去奇點;只有有限多個負冪次項，稱z=z0為m階極點;有無窮多個負冪次項，稱z=z0為本性奇點。2.解析函數(shù)在有限孤立奇點的性質(zhì)（1）若z0為f(z)的可去奇點（2）若z0為f(z)的m(m1)

階極點（3）若z0為f(z)的本性奇點Tips：以上三個性質(zhì)是三種類型奇點的極限形式3.解析函數(shù)的零點與極點的關(guān)系定義不恒等于0的解析函數(shù)f(z)如果能表示成則稱z=z0為f(z)的m階零點。例如：定理1必要性得證，充分性略。例解：定理2:證明“”

若z0為f(z)的m階極點例1解顯然，z=i是(1+z2)的一階零點

z=i是(1+z2)的一階零點特別：綜上4.解析函數(shù)在無窮點的性態(tài)定義如果在內(nèi)解析，則稱為的孤立奇點?！?.3留數(shù)在計算積分上的應(yīng)用例1解:例2解:1、計算形如的積分例3解：2、計算形如的積分例4解3、計算形如的積分例5解:第六章保形映射

第一節(jié)保形映射的概念第二節(jié)分式線性映射第三節(jié)分式線性映射的性質(zhì)第四節(jié)兩個重要的分式線性映射第五節(jié)初等函數(shù)的映射1.解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

2.保形映射的概念和性質(zhì)第一部分保形映射的概念（1）曲線的切線設(shè)連續(xù)曲線(z)1.解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(z)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

定義切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動的有向曲線稱為有向光滑曲線.(z)~~~~~~~~~~（2）輻角和模則~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~即(1)即(z)(w)~~~~~~~x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(z)(w)——保角性由上述討論我們有(z)(w)定理~~~~~~~~~~~~~~~~2.保形映射的概念~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定義~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1.分式線性映射

2.分式線性映射的性質(zhì)

3.舉例第二部分分式線性映射1.分式線性映射定義~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊映射的復(fù)合：稱為：平移整線性反演事實上，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定義~~~~~~~~roxyP

規(guī)定無窮遠點的對稱點為圓心o~~~~~~~~~~~~~~~~~oTP1ox,uy,vzw2.分式線性映射的性質(zhì)~~~~~~~~~定理1分式線性映射在擴充復(fù)平面上是一一對應(yīng)的，且具有保角性。~~~~~~~定理2分析：定理3

在分式線性映射下，圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點，則它映射成半徑為有限的圓周；若有一個點映射成無窮遠點，它映射成直線。定理4（4）保交比不變性例1解xy(z)1-1i-iouv(w)o例2解3.兩個重要的分數(shù)線性映射舉例uvo(w)xy(z)o

例3解uv(w)xy(z)11例4解uvo(w)xy(z)oR1.冪函數(shù)

2.指數(shù)函數(shù)第三部分

幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射1.冪函數(shù)冪函數(shù)：xy(z)uv(w)xy(z)上沿下沿uv(w)冪函數(shù)所構(gòu)成的映射特點：把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域，但張角變成了原來的n倍。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~xy(z)uv(w)i例1解:-ixy(z)i11uv(w)例22.指數(shù)函數(shù)帶形區(qū)域角形區(qū)域xy(z)iauv(w)x

y(z)

上岸下岸u

v

(w)xy(z)uv(w)i例3解xy(z)ab1例4解uv(w)第七章傅里葉變換

第一節(jié)傅里葉積分與定理第二節(jié)傅里葉變換與逆變換第三節(jié)單位脈沖函數(shù)第四節(jié)廣義傅里葉變換第五節(jié)傅里葉變換的性質(zhì)第六節(jié)卷積1.傅里葉積分公式

2.傅里葉積分變換3.單位脈沖函數(shù)

第一部分傅里葉變換和d-函數(shù)

所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.——

Fourier級數(shù)方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近3181.Fourier積分公式是以T為周期的函數(shù)，在上滿足Dirichlet條件：(1)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；(2)只有有限個極值點；可展開成Fourier級數(shù)，且在連續(xù)點t處成立：319

研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間內(nèi)函數(shù)變化的情況.320級數(shù)化為：321引進復(fù)數(shù)形式：這就是Fourier級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式，或者寫為

接下來討論非周期函數(shù)的展開問題。

任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當T時轉(zhuǎn)化而來的。

作周期為T的函數(shù)fT

(t),使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上,則T越大,fT

(t)與f(t)相等的范圍也越大,這就說明當T時,周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t),即有Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)由公式可知當n取一切整數(shù)時，數(shù)軸上，兩個相鄰的點的距離為所對應(yīng)的點便均勻分布在整個如圖{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w所以

f(t)又可寫為此公式稱為函數(shù)f(t)的Fourier積分公式。至于一個非周期函數(shù)f(t)在什么條件下，可以用Fourier積分公式來表示，有接下來的收斂定理。又最后可得：Fourier積分定理

若f(t)在(-,+)上滿足條件:1.

f(t)在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件;成立，而左端的f(t)在它的間斷點t處，應(yīng)以來代替。在絕對可積是指收斂。2.

f(t)在無限區(qū)間(-,+)上絕對可積,則有(1.4)式也可以轉(zhuǎn)化為三角形式329因是ω的奇函數(shù)，例1求函數(shù)的Fourier積分表達式。解根據(jù)Fourier積分公式的復(fù)數(shù)形式，有當時，f(t)應(yīng)以代替.3312.F