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復變函數與積分變換引言復變函數與積分變換，實際上是兩門課，都屬于工程數學.第1章到第6章是屬于復變函數，復變函數論發(fā)展到今天已成為一個內容非常豐富、應用極為廣泛的數學分支.作為大學必修課程的復變函數主要講述解析函數的基本理論和有關方法，通常它包含以下三方面內容：Cauchy積分理論Weierstrass級數理論Riemann保形映照理論.第7,8章是屬于積分變換，主要包括傅里葉(Fourier)和拉普拉斯(Laplace)積分變換.第1章復數與復變函數

一、復數域、擴充復平面及其球面表示在中學代數中已經知道，虛數單位具有性質，將這一虛數單位與兩個實數用加、乘結合起來得到復數

分別稱為復數的實部與虛部記為.

復數的四則運算為若，

兩復數相等當且僅當實部與虛部相等，i.e.

和

若復數，則稱為的共軛復數，記作.而稱為的絕對值（模），，記.

于是顯然，

對于平面上一個給定的直角坐標系來說，復數可以用坐標為的點來表示.

軸為實軸，軸為虛軸，所在平面稱為復平面，記作.（見圖1.1）

圖1.1

一個復數不僅可以用一點來表示，而且可以用一個由原點指向這點的向量來表示，這個復數、這個點、這個向量都用同一字母來表示.任一向量作平行移動后得到的所有向量都視為與原向量恒等.于是復數的加法成為向量的加法.而復數的公式往往賦有幾何意義，例如表示向量長度，表示三角形兩邊之和大于第三邊，等等.

對復數也可引入極坐標復數也稱為復數的三角表示式.顯然，，稱為復數的模.稱為復數的輻角，記輻角有無窮多值,彼此相差的整數倍.通常把滿足的輻角值稱為的主值，記為

，于是

用復數的極坐標來表示兩復數的乘、除法、乘方以及開方，有時很方便.如果則兩復數相乘，積的模為模的積，積的輻角為輻角的和.進而，不難知道，使得，則稱為的次方根，記為設，則.

從而解出后（算術根），因此，的次方根為

（i）當時，得到個相異的根（ii）當以其他整數值代入時，上述根又重復出現.

例1．將寫成三角形式

解：令

由

例2．假設，，試證只有時才是實數.

證：實數

從得，故

例3．試證

證：又因例4．在一直線上的條件是為實數,試證明之.

證：在一直線上的條件是以線段與線段為兩邊的角是的整數倍，即平面圖形用復數形式表示，有時很簡單.若，為一固定的復數，為一固定的實數，則表示一個以為中心，為半徑的圓盤，記作.同樣，上半平面；右半平面等等.例5：求

解：因為，所以

即

引入坐標，得到復平面，但如何來處理無窮遠點？在復變函數論中，引入一個點，叫做無窮遠點，記作，

稱為擴充復平面，它的幾何模型稱為復球面，如圖1.3：球面上任意點（除點外）與復平面上的點一一對應，反之亦然.但是在復平面上引進無窮遠點與球面上點對應.以此來擴展.有限復數，圖1.3

二、復平面的點集，復變函數

②的鄰域：

③，稱為的內點：若使得.

④稱為的界點：若以及

⑤若的每個點皆為內點，則稱為開集.若的所有極限點都屬于，則稱為閉集.全部邊界點組成的集，稱為的邊界，記為.

①的鄰域：

1．基本概念設為復數點集（平面點集）.

2．區(qū)域、曲線非空平面點集稱為區(qū)域：若它滿足（1）為開集；（2）是連通的，就是說中任何兩點都可以用一條完全屬于內的折線連接起來.

設已給曲線：區(qū)域加上它的邊界稱為閉區(qū)域.如，，則叫做連續(xù)曲線.若，即沒有重點的連續(xù)曲線叫做簡單曲線，當時，則稱為簡單閉曲線.

若在上恒有，且、，則稱為光滑曲線；若一條曲線由有限條光滑曲線連接而成，則稱為逐（按）段光滑曲線.

如果的一個值對應著一個值，那么稱是單值的否則就稱是多值的.稱為的定義域,稱為的值域.一個區(qū)域，若在內任作一條簡單閉曲線，其內部仍全含于，則稱為單連通區(qū)域；否則稱為多連通區(qū)域.

這里，我們承認一條簡單閉曲線將平面分為內部和外部.

設是一個復數集，如果對中的任一復數，通過一個確定的規(guī)則有一個或若干個復數與之對應，就說在上定義了一個復變函數，記為.

3．復變函數定義，極限，連續(xù)性

例：

例如．，，及均為的單值函數；（整數）及均為的多值函數.對于中的每一個，一定存在一個或若干個值與之對應，這就定義了上的一個函數.或記為

稱為的反函數.

當為單值時，其反函數可能是多值的.當函數及其反函數都是單值函數時，則稱這種函數是雙方單值的.

設復變函數在的去心鄰域內有定義，，對，若，使得當時，有.則稱為當趨向于時，函數的極限，記為或當時，.關于復變函數的極限與連續(xù)性.

注1趨向是按任意的方式進行的通常用“方式”這一術語，以區(qū)別“方向”一詞，具體地說，即使當沿任何射線方向趨向于時，都趨向于數，還不能說在點以為極限.

注2

對極限概念可作一幾何說明：首先留意不等式所確定的是平面上的一個去心鄰域，即除去了中心的一個鄰域.

在點以為極限的意思是：先在平面上給定一個以為心,為半徑的圓，而后能找到的一個去心鄰域，使得中含于此去心鄰域內的點的象都在上述圓內.先、后順序關系：圓是先給的，去心的鄰域則是后找的.圖1.4

下面的結論成立，它們的證明方法與工數里的相應結論是類似的.若在點有極限，則其極限是唯一的.若，，則

i.

ii.

iii.

；

；

證：由不等式在極限定義中，若極限為函數在點的值即則說在點連續(xù).

定理1設，，則

且

定理2

設，在點連續(xù)在點連續(xù).

例1.

求下列極限值（1），（2）

解：（1）令，則，沿直線，趨于0時，它隨值而作各式各樣變化，故不存在.（2）

例2.

問下列函數在原點連續(xù)嗎？

（1）（2）

解：（1）令，則沿半直線

時

不存在，因此在不連續(xù).

（2）令，則，

故在連續(xù).

例3.

若在點連續(xù)，那么，也在點連續(xù)，試證明之.解：使得當時，成立，故在點連續(xù).又故在連續(xù).

例4.在何處連續(xù)？

解：當不是原點也不是負實軸或虛軸上的點時，與足夠接近的點也不是原點與負實軸上的點，這時有

因為，所以有意義，故

即

.

當為正虛軸上點時，有

當為負虛軸上的點時，有

當為負實軸上點時，由于

所以不存在.第二章解析函數

第一節(jié)解析函數的概念第二節(jié)函數解析的充要條件第三節(jié)解析函數與調和函數第四節(jié)初等函數1.復變函數的導數與微分

2.解析函數的概念

3.判定解析函數的方法

第一部分解析函數1復變函數的導數與微分(1)導數定義定義設函數w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數f(z)在點z0處可導。稱此極限值為f(z)在z0的導數，記作

如果w=f(z)在區(qū)域D內處處可導，則稱f(z)在區(qū)域D內可導。(3)求導公式與法則①常數的導數c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數).----實函數中求導法則的推廣③設函數f(z),g(z)均可導，則

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④復合函數的導數(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函數的導數，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數，且(w)0。例2解(4)可微、可導、連續(xù)關系1.若

w=f(z)在點z0處可導w=f(z)點z0處連續(xù).2.w=f(z)在點z0處可導w=f(z)點z0處可微.2.解析函數的概念定義

如果函數w=f(z)在z0及z0的某個鄰域內處處可導，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內每一點都解析，則稱

f(z)在D內解析，或稱f(z)是D內的解析函數

(全純函數或正則函數）。如果f(z)在點z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點。(1)w=f(z)在D內解析在D內可導。

(2)函數f(z)在z0點可導，未必在z0解析。例如(1)w=z2在整個復平面處處可導，故是整個復平面上的解析函數；(2)w=1/z，除去z=0點外，是整個復平面上的解析函數；定理1設w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內的解析函數，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0時)均是D內的解析函數。定理2設w=f(h)在h

平面上的區(qū)域G內解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內解析,h=g(z)的函數值集合G，則復合函數w=f[g(z)]在D內處處解析。

如果復變函數w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內處處可導，則函數

w=f(z)在D內解析。

本節(jié)從函數u(x,y)及v(x,y)的可導性，探求函數w=f(z)的可導性，從而給出判別函數解析的一個充分必要條件，并給出解析函數的求導方法。問題:如何判斷函數的解析性？3.判定解析函數的方法定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).定理1設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內有定義，則

f(z)在點z=x+iy

∈D處可導的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微，且滿足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時,有定理2

函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內可微，且滿足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導函數的實部與虛部有密切的聯(lián)系.當一個函數可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數來.

利用該定理可以判斷那些函數是不可導的.使用時:1)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數的連續(xù)性，

2)驗證C-R條件.3)求導數：

前面我們常把復變函數看成是兩個實函數拼成的,但是求復變函數的導數時要注意,并不是兩個實函數分別關于x,y求導簡單拼湊成的.例1

判定下列函數在何處可導，在何處解析：例2例3例41.解析函數與調和函數2.初等函數第二部分調和函數初等函數

定義：如果二元實變函數在區(qū)域D內具有二階連續(xù)偏導數并且滿足拉普拉斯方程那么稱為區(qū)域D內的調和函數。

定理1

任何在區(qū)域D內解析的函數，它的實部和虛部都是D內的調和函數。

定義2

設u和v均為調和函數，且滿足C-R方程,則稱v為u的共軛調和函數。1.調和函數

定理4

（刻劃函數解析的等價定理）f(z)=u+iv在D內解析的充要條件是：v是u在D內的共軛調和函數。

定理3

設f(z)=u+iv為解析函數，則v為u的共軛調和函數。

問題：

u的共軛調和函數是v，那么

v的共軛調和函數是否是u？如何由一個調和函數來構造一個解析函數？（偏微分法）（不定積分法）例1例22.指數函數它與實變指數函數有類似的性質：定義

這個性質是實變指數函數所沒有的。

例1例2例32.2對數函數定義指數函數的反函數稱為對數函數。即，(1)對數的定義故:（2）

(2)對數函數的性質例5①當b=n(正整數)w=zn在整個復平面上是單值解析函數定義2.3冪函數—多值—一般為多值

除去b為正整數外，均為多值函數，當b為無理數或復數時，無窮多值。解例72.4三角函數和雙曲函數推廣到復變數情形定義正弦與余弦函數的性質思考題定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數雙曲正弦和雙曲余弦函數的性質第一節(jié)復變函數積分的概念第二節(jié)

柯西積分定理第三節(jié)柯西積分公式第三章復變函數的積分1.積分的定義

2.積分存在的條件及其計算法3.積分的基本性質4.柯西積分定理5.基本定理的推廣第一部分復變積分柯西積分定理1.1積分的定義A(起點)B(終點)CC定義3.1DBxyo

1.2積分存在的條件及其計算法定理

證明

復積分的計算方法法一：將復積分轉為兩個二元實函數的線積分法二：利用參數方程，將復積分轉為定積分計算例1解：Aoxy法一法二例2解oxyrC?íì1==-=-\òò=-1012)()(000nnizzdzzzdzrzznCnp

1.3積分的基本性質oxy例3解解:例41.4柯西積分定理由此猜想：復積分的值與路徑無關或沿閉路的積分值＝0的條件可能與被積函數的解析性及解析區(qū)域的單連通有關。先將條件加強些，作初步的探討—Cauchy定理Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也稱Cauchy定理(3)定理中曲線C不必是簡單的！如下圖。BBC推論設f(z)在單連通區(qū)域B內解析，則對任意兩點z0,z1∈B,積分∫cf(z)dz不依賴于連接起點z0與終點z1的曲線，即積分與路徑無關。Cz1z0C1C2C1C2z0z1此式說明一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變形過程中曲線不經過的f(z)的不解析點.1.5基本定理推廣DCC1C1C11.閉路變形原理2.復合閉路定理：證明DCC1C2BL1L2L3AA’EE’FF’GH說明基本內容：1、復數項級數(概念和收斂的充要條件)

2、冪級數(收斂圓、收斂半徑的計算)3、函數的泰勒級數、洛朗級數展開式。4、孤立奇點重點：收斂半徑、級數展開式。

第四章級數

1.復數列的極限定義4.1又設復常數：§1.1復數項級數定理4.1證明課堂練習:下列數列是否收斂?如果收斂,求出其極限.收斂,極限為-1發(fā)散收斂，極限為0發(fā)散2.復級數的概念級數的前面n項的和---級數的部分和---無窮級數定義4.2設復數列：不收斂

例1解定理4.2證明解所以原級數發(fā)散.例1

由定理4.2，復數項級數的收斂問題可歸之為

兩個實數項級數的收斂問題。必要條件重要結論:定理4.3所以原級數發(fā)散.啟示:判別級數的斂散性時,可先考察?級數發(fā)散;應進一步判斷.定理4.4定義4.3證明由定理4.4的證明過程，及不等式推論4.1另外,因為

的各項都是非負的實數,所以它的收斂也可用正項級數的判定法來判定.

?解例2練習：發(fā)散復習掌握一、正項級數審斂法：

1.冪級數的概念

2.收斂定理3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級數的運算和性質§4.2冪級數1.冪級數的概念定義設復變函數列：---稱為復變函數項級數級數的最前面n項的和---級數的部分和例如若級數(1)在D內處處收斂，其和為z的函數---級數(1)的和函數

特殊情況，在級數(1)中稱為冪級數2.收斂定理同實變函數一樣，復變冪級數也有所謂的收斂定理：定理4.5(阿貝爾(Able)定理）z1xyO證明(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級數的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實數都收斂，則級數(3)在復平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對所有的正實數都是發(fā)散的，這時，

級數(3)在復平面上除z=0外處處發(fā)散。播放幻燈片37顯然，<否則，級數(3)將在處發(fā)散。

(ii)冪級數在收斂圓內部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。(i)冪級數(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.定義這個紅藍兩色的分界圓周cR叫做冪級數的收斂圓周；圓周的內部成為收斂圓，這個圓的半徑R叫做冪級數的收斂半徑。例如,級數:收斂圓周上無收斂點;在收斂圓周上處處收斂.

定理4.7(根值法)

定理4.6(比值法)4.收斂半徑的求法例求下列冪級數的收斂半徑:(1)(2)解(1)因為所以收斂半徑(2)例4.2解

綜上練習：

求下列冪級數的收斂半徑例3解例2求下列冪級數的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解

(1)該級數收斂該級數發(fā)散p=1p=2該級數在收斂圓上是處處收斂的。

綜上該級數發(fā)散。該級數收斂，故該級數在復平面上是處處收斂的.5.冪級數的運算和性質

代數運算

---冪級數的加、減運算---冪級數的乘法運算---冪級數的代換(復合)運算

冪級數的代換運算在函數展成冪級數中很有用.例3解代換解代換展開還原

分析運算

定理4.8---冪級數的逐項求導運算---冪級數的逐項積分運算例4.4

求級數的收斂半徑與和函數.解例4.4

求級數的收斂半徑與和函數.解利用逐項積分,得:所以

1.泰勒展開定理

2.展開式的唯一性

3.簡單初等函數的泰勒展開式§4.3解析函數的泰勒(Taylor)展開1.泰勒(Taylor)展開定理現在研究與此相反的問題：任何一個解析函數能否用冪級數表達?由§4.2冪級數的性質知:一個冪級數的和函數在它的收斂圓內部是一個解析函數。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數都一定能用冪級數表示。定理4.9（泰勒展開定理）DK回憶：Dkz---(*)得證！證明DK而如果把函數中的x換成z,在復平面內來看函數1-z2+z4-…它有兩個奇點i,而這兩個奇點都在此函數的展開式的收斂圓周上,所以這個級數的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關心z的實數值,但復平面上的奇點形成了限制.

在實變函數中有些不易理解的問題,一到復變函數中就成為顯然的事情,例如在實數范圍內,展開式的成立必須受|x|<1的限制,這一點往往使人難以理解,因為上式左端的函數對任何實數都是確定的而且是可導的.

(1)如果

f(z)在z0解析,則使

f(z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑

R等于從z0到

f(z)的距z0最近一個奇點a的距離,即R=|a-z0|.

例如：yz0ax

2.展開式的唯一性結論

解析函數展開成冪級數是唯一的，就是它的Taylor級數。事實上，設f(z)用另外的方法展開為冪級數:由展開式的唯一性，運用級數的代數運算、分

析運算和

已知函數的展開式來展開由此可見，任何解析函數展開成冪級數就是Taylor級數，因而是唯一的。---直接法---間接法代公式函數展開成Taylor級數的方法：例

解3.簡單初等函數的泰勒展開式例1解間

接

法例2把下列函數展開成

z的冪級數:解

（2）由冪級數逐項求導性質得：因ln(1+z)在從z=-1向左沿負實軸剪開的平面內解析，

ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,它的展開式的收斂范圍為z<1.定理4.104.解析函數零點的性質性質4.3不恒等于0的解析函數f(z)如果能表示成則稱z=z0為f(z)的m級零點。例如：性質4.4例如注:一個實函的零點不一定是孤立的.如事實上，充分性略！必要性得證！但在復變函數中,我們有定理性質4.5

1.雙邊冪級數

2.函數展開成羅朗級數

3.展開式的唯一性及求法4.典型例題§4.4解析函數羅朗(Laurent)展開

一個在以z0為中心的圓域內解析的函數

f(z),可以在該圓域內展開成z-z0的冪級數.

如果

f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內就不能用z-z0的冪級數來表示.但這種情況在實際問題中卻經常遇到.因此,需要討論在以

z0為中心的圓環(huán)域內解析的函數的級數表示法.討論下列形式的級數:可將其分為兩部分考慮:只有正冪項和負冪項都收斂才認為原級數收斂，且收斂于它們的和.

正冪項是一冪級數,設其收斂半徑為

R2：

設收斂半徑為R：

對負冪項,如果令z=(z-z0)-1,就得到：

則當|z-z0|>R1時,即|z|<R,(z的冪級數)z0R1R2例如級數因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域,原級數才收斂.在收斂圓環(huán)域內也具有.例如,可以證明,上述級數在收斂域內其和函數是解析的,而且可以逐項積分和逐項求導.冪級數在收斂圓內的許多性質,級數反問題：

在圓環(huán)域內解析的函數是否一定能夠展開成級數?如果能，級數又是什么形式？先看下例.1Oxy例如，由此推想，若f(z)在R

1<z-z0<R2

內解析,f(z)可以展開成級數，只是這個級數含有負冪次項,即2.函數展開成羅朗級數定理4.12Dz0R1R2c3.證明思路Cauchy積分公式推廣到復連通域Dz0R1R2rRk1k2D1zk1k2zz0證明

由復連通域上的Cauchy

積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2式(*1),(*2)中系數cn的積分分別是在k2，k1上進行的，在D內取繞z0的簡單閉曲線c，由復合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：證畢?。?）級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為

羅朗級數的解析部分和主要部分。

其中解析部分在圓C2內收斂，主要部分在C1外

收斂，兩部分合起來，構成羅朗級數，在圓環(huán)

域R1<|z-z0|<R2

內收斂。

當R1=0時，羅朗級數的主要部分就完全反映了

f(z)在z0的奇異性。

(3)在許多實際應用中，經常遇到f(z)在奇點z0的

去心鄰域內解析，需要把f(z)展成級數，那么就

利用羅朗（

Laurent）級數來展開。4.展開式的唯一性結論

一個在某一圓環(huán)域內解析的函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的，這個級數就是f(z)的羅朗級數。事實上，Dz0R1R2cDz0R1R2c二、函數的羅朗展開式求法常用方法:1.直接法2.間接法

1.直接展開法利用定理公式計算系數然后寫出缺點:

計算往往很麻煩.根據正、負冪項組成的的級數的唯一性,可用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開.優(yōu)點:簡捷,快速.2.間接展開法三、典型例題例1解由定理知:其中故由柯西–古薩基本定理知:由高階導數公式知:另解本例中圓環(huán)域的中心

z=0既是各負冪項的奇點,例1解三、典型例題例2解練習解例4.7xyo12xyo12xyo12解:xyo12xyo12注意首項xyo12(2)對于有理函數的洛朗展開式，首先把有理函數分解成多項式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數，經計算展成需要的形式。小結：把f(z)展成羅朗(Laurent)級數的方法：解

(1)在(最大的)去心鄰域例4.8yxo12

(2)在(最大的)去心鄰域xo12

函數可以在以z0為中心的(由奇點隔開的)不同圓環(huán)域內解析,因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的羅朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).我們不要把這種情形與羅朗展開式的唯一性相混淆.所謂羅朗展開式的唯一性,是指函數在某一個給定的圓環(huán)域內的羅朗展開式是唯一的.練習：

(1)根據區(qū)域判別級數方式：在圓域內需要把

f(z)

展成泰勒(Taylor)級數（T圓）在圓環(huán)域內需要把f(z)展成羅朗(Laurent)級數（L環(huán)）(2)Laurent級數與Taylor級數的不同點：

Taylor級數：先展開求R,找出收斂域。

Laurent級數：先求

f(z)

的奇點，然后以

z0為中心，奇點為分隔點，找出z0到無窮遠點的所有使

f(z)

解析的圓環(huán)，在圓環(huán)域上展成級數。

1.定義2.分類

3.性質

4.零點與極點的關系§4.5孤立奇點

1.定義例如----z=0為孤立奇點----z=1為孤立奇點定義4.4~~~~~~~~~xyo這說明奇點未必是孤立的。----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇點。2.孤立奇點的分類特點：沒有負冪項特點：只有有限多個負冪項特點：有無窮多個負冪項考察：依據在其孤立奇點的去心鄰域內的羅朗級數的情況分為三類:1．可去奇點1．可去奇點;2．極點;3．本性奇點.如果羅朗級數中不含

的負冪項,那末孤立奇點

稱為

的可去奇點.1)定義說明:(1)其和函數為在解析的函數.（2）(3)無論在是否有定義,補充定義則函數在解析.如果補充定義:時,那末在解析.例中不含負冪項,是的可去奇點.

2)可去奇點的判定(1)由定義判斷:的洛朗級數無負在如果冪項,則為的可去奇點.(2)判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點.例

說明為的可去奇點.解

所以為的可去奇點.無負冪項另解

的可去奇點.為2.

極點

若在羅朗級數中只有有限多個z-z0的負冪項,

且其中關于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),則孤立奇點z0稱為函數

f(z)的m級極點.說明：1)上式也可寫成

其中

j

(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,

在|z-z0|<d內是解析的函數,且

j

(z0)0.

2）反過來,當任何一個函數

f(z)能表示為(*)的形式,且

j(z0)0時,則z0是

f(z)的m級極點，且定理4.13:這個定理為判斷函數的極點提供了一個較為簡單的方法.例思考例3.本性奇點

如果在洛朗級數中含有無窮多z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為

f(z)的本性奇點.注孤立

奇點非孤立奇點支點(多值函數)極

點本質奇點可去奇點綜上所述:我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.綜上所述:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點羅朗級數特點存在且為有限值不存在且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項關于的最高冪為三、函數在無窮遠點的性態(tài)1.定義如果函數在無窮遠點的去心鄰域內解析,則稱點為的孤立奇點.Rxyo令變換規(guī)定此變換將:映射為映射為結論:

在去心鄰域內對函數的研究在去心鄰域內對函數的研究因為

在去心鄰域內是解析的,所以是的孤立奇點.規(guī)定:m級極點或本性奇點.的可去奇點、m級極點或本性奇點,如果

t=0

是是的可去奇點、

那末就稱點1)不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項;那末是的1)可去奇點;2)m級極點;3)本性奇點.判別法1(利用羅朗級數的特點)2.判別方法:在內的洛朗級數中:如果例(1)函數在圓環(huán)域內的羅朗展開式為:不含正冪項所以是的可去奇點.(2)函數含有正冪項且

z為最高正冪項,所以是的

1級極點.(3)函數的展開式:含有無窮多的正冪項所以是的本性奇點.課堂練習的奇點及其類型.說出函數答案判別法2:(利用極限特點)如果極限1)存在且為有限值;2)無窮大;3)不存在且不為無窮大;那末是的1)可去奇點;2)m級極點

;3)本性奇點.第五章

留數

第一節(jié)孤立奇點第二節(jié)留數第三節(jié)留數在定積分計

算中的應用1.解析函數孤立奇點及分類2.解析函數在有限孤立奇點的性質

3.函數的零點與極點的關系

4.函數在無窮遠點的性態(tài)第一部分孤立奇點1.孤立奇點及其分類例如----z=0為孤立奇點----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇點----z=1為孤立奇點定義~~~~~~~~~xyo這說明奇點未必是孤立的。將f(z)在孤立奇點的鄰域內展成洛朗級數，根據展開式的不同情況，將孤立點進行分類。特點：沒有負冪次項特點：只有有限多個負冪次項特點：有無窮多個負冪次項

定義設z0是f(z)的一個孤立奇點，在z0

的去心鄰域內，若f(z)的洛朗級數沒有負冪次項，稱z=z0為可去奇點;只有有限多個負冪次項，稱z=z0為m階極點;有無窮多個負冪次項，稱z=z0為本性奇點。2.解析函數在有限孤立奇點的性質（1）若z0為f(z)的可去奇點（2）若z0為f(z)的m(m1)

階極點（3）若z0為f(z)的本性奇點Tips：以上三個性質是三種類型奇點的極限形式3.解析函數的零點與極點的關系定義不恒等于0的解析函數f(z)如果能表示成則稱z=z0為f(z)的m階零點。例如：定理1必要性得證，充分性略。例解：定理2:證明“”

若z0為f(z)的m階極點例1解顯然，z=i是(1+z2)的一階零點

z=i是(1+z2)的一階零點特別：綜上4.解析函數在無窮點的性態(tài)定義如果在內解析，則稱為的孤立奇點?！?.3留數在計算積分上的應用例1解:例2解:1、計算形如的積分例3解：2、計算形如的積分例4解3、計算形如的積分例5解:第六章保形映射

第一節(jié)保形映射的概念第二節(jié)分式線性映射第三節(jié)分式線性映射的性質第四節(jié)兩個重要的分式線性映射第五節(jié)初等函數的映射1.解析函數導數的幾何意義

2.保形映射的概念和性質第一部分保形映射的概念（1）曲線的切線設連續(xù)曲線(z)1.解析函數導數的幾何意義(z)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

定義切線隨切點的移動而連續(xù)轉動的有向曲線稱為有向光滑曲線.(z)~~~~~~~~~~（2）輻角和模則~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~即(1)即(z)(w)~~~~~~~x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(z)(w)——保角性由上述討論我們有(z)(w)定理~~~~~~~~~~~~~~~~2.保形映射的概念~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定義~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

1.分式線性映射

2.分式線性映射的性質

3.舉例第二部分分式線性映射1.分式線性映射定義~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊映射的復合：稱為：平移整線性反演事實上，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定義~~~~~~~~roxyP

規(guī)定無窮遠點的對稱點為圓心o~~~~~~~~~~~~~~~~~oTP1ox,uy,vzw2.分式線性映射的性質~~~~~~~~~定理1分式線性映射在擴充復平面上是一一對應的，且具有保角性。~~~~~~~定理2分析：定理3

在分式線性映射下，圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點，則它映射成半徑為有限的圓周；若有一個點映射成無窮遠點，它映射成直線。定理4（4）保交比不變性例1解xy(z)1-1i-iouv(w)o例2解3.兩個重要的分數線性映射舉例uvo(w)xy(z)o

例3解uv(w)xy(z)11例4解uvo(w)xy(z)oR1.冪函數

2.指數函數第三部分

幾個初等函數所構成的映射1.冪函數冪函數：xy(z)uv(w)xy(z)上沿下沿uv(w)冪函數所構成的映射特點：把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域，但張角變成了原來的n倍。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~xy(z)uv(w)i例1解:-ixy(z)i11uv(w)例22.指數函數帶形區(qū)域角形區(qū)域xy(z)iauv(w)x

y(z)

上岸下岸u

v

(w)xy(z)uv(w)i例3解xy(z)ab1例4解uv(w)第七章傅里葉變換

第一節(jié)傅里葉積分與定理第二節(jié)傅里葉變換與逆變換第三節(jié)單位脈沖函數第四節(jié)廣義傅里葉變換第五節(jié)傅里葉變換的性質第六節(jié)卷積1.傅里葉積分公式

2.傅里葉積分變換3.單位脈沖函數

第一部分傅里葉變換和d-函數

所有的工程中使用的周期函數都可以用一系列的三角函數的線性組合來逼近.——

Fourier級數方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近3181.Fourier積分公式是以T為周期的函數，在上滿足Dirichlet條件：(1)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；(2)只有有限個極值點；可展開成Fourier級數，且在連續(xù)點t處成立：319

研究周期函數實際上只須研究其中的一個周期內的情況即可,通常研究在閉區(qū)間內函數變化的情況.320級數化為：321引進復數形式：這就是Fourier級數的復指數形式，或者寫為

接下來討論非周期函數的展開問題。

任何一個非周期函數f(t)都可以看成是由某個周期函數fT(t)當T時轉化而來的。

作周期為T的函數fT

(t),使其在[-T/2,T/2]之內等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個數軸上,則T越大,fT

(t)與f(t)相等的范圍也越大,這就說明當T時,周期函數fT(t)便可轉化為f(t),即有Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)由公式可知當n取一切整數時，數軸上，兩個相鄰的點的距離為所對應的點便均勻分布在整個如圖{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w所以

f(t)又可寫為此公式稱為函數f(t)的Fourier積分公式。至于一個非周期函數f(t)在什么條件下，可以用Fourier積分公式來表示，有接下來的收斂定理。又最后可得：Fourier積分定理

若f(t)在(-,+)上滿足條件:1.

f(t)在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件;成立，而左端的f(t)在它的間斷點t處，應以來代替。在絕對可積是指收斂。2.

f(t)在無限區(qū)間(-,+)上絕對可積,則有(1.4)式也可以轉化為三角形式329因是ω的奇函數，例1求函數的Fourier積分表達式。解根據Fourier積分公式的復數形式，有當時，f(t)應以代替.3312.F