2020高中數(shù)學(xué) 10 復(fù)數(shù)的加法和減法（含解析）1-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)分層作業(yè)(十）(建議用時(shí)：40分鐘）［基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練］一、選擇題1．（6－3i）－（3i＋1）＋(2－2i）的結(jié)果為（）A．5－3i B．3＋5iC．7－8i D．7－2i［解析]（6－3i）－(3i＋1）＋(2－2i）＝(6－1＋2）＋(－3－3－2)i＝7－8i.［答案］C2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i和1＋3i分別對(duì)應(yīng)向量eq\o（OA，\s\up6（→））和eq\o（OB,\s\up6(→))，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則｜eq\o(AB,\s\up6（→)）｜＝(）A.eq\r(2） B．2C。eq\r(10） D．4[解析]由復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義知,eq\o(AB,\s\up6（→））對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（1＋3i)－(1＋i）＝2i，∴｜eq\o（AB,\s\up6(→)）｜＝2.［答案]B3．復(fù)數(shù)z1＝a＋4i,z2＝－3＋bi，若它們的和為實(shí)數(shù)，差為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a，b的值為（）A．a(chǎn)＝－3，b＝－4 B．a(chǎn)＝－3,b＝4C．a(chǎn)＝3，b＝－4 D．a(chǎn)＝3，b＝4［解析］由題意可知z1＋z2＝（a－3)＋（b＋4)i是實(shí)數(shù),z1－z2＝（a＋3)＋(4－b)i是純虛數(shù),故eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（b＋4＝0,,a＋3＝0，，4－b≠0，）)解得a＝－3,b＝－4.［答案］A4．A，B分別是復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，O是原點(diǎn),若|z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，則△AOB一定是（)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形［解析]根據(jù)復(fù)數(shù)加（減）法的幾何意義,知以eq\o（OA，\s\up6(→)），eq\o（OB，\s\up6(→））為鄰邊所作的平行四邊形的對(duì)角線相等,則此平行四邊形為矩形，故△AOB為直角三角形．[答案］B5．設(shè)z＝3－4i，則復(fù)數(shù)z－｜z｜＋（1－i)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在(）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限［解析]∵z＝3－4i，∴z－｜z|＋（1－i）＝3－4i－eq\r(32＋－42)＋1－i＝（3－5＋1）＋（－4－1）i＝－1－5i。[答案]C二、填空題6．計(jì)算：（2＋7i)－|－3＋4i|＋｜5－12i|i＋3－4i＝____________。[解析]原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.［答案]16i7．z為純虛數(shù)且|z－1－i｜＝1，則z＝________.[解析]設(shè)z＝bi(b∈R且b≠0），｜z－1－i｜＝|－1＋（b－1)i｜＝eq\r（1＋b－12）＝1，解得b＝1，∴z＝i。［答案］i8．已知z1＝2（1－i），且｜z|＝1，則|z－z1|的最大值為_(kāi)_______．［解析]|z｜＝1，即｜OZ|＝1,∴滿足|z|＝1的點(diǎn)Z的集合是以（0，0）為圓心,以1為半徑的圓，又復(fù)數(shù)z1＝2(1－i）在坐標(biāo)系內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2，－2)．故｜z－z1|的最大值為點(diǎn)Z1（2，－2)到圓上的點(diǎn)的最大距離，即|z－z1|的最大值為2eq\r(2)＋1。［答案]2eq\r（2）＋1三、解答題9．已知z1＝eq\f（\r（3)，2）a＋(a＋1）i，z2＝－3eq\r(3）b＋（b＋2)i，（a，b∈R)，且z1－z2＝4eq\r(3），求復(fù)數(shù)z＝a＋bi。［解］z1－z2＝eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3),2）a＋a＋1i)）－[－3eq\r（3)b＋(b＋2）i]＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3),2)a＋3\r(3)b))＋（a－b－1)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2）a＋3\r(3）b＝4\r（3），，a－b－1＝0,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1,））∴z＝2＋i.10．如圖,已知復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i,它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A,B，C，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．[解］設(shè)正方形的第四個(gè)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x＋yi（x，y∈R），∴eq\o(AD,\s\up6(→））＝eq\o（OD，\s\up6(→)）－eq\o（OA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(x＋yi）－（1＋2i)＝(x－1)＋（y－2）i,eq\o(BC,\s\up6（→））＝eq\o(OC,\s\up6（→))－eq\o（OB,\s\up6(→）)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－1－2i）－（－2＋i)＝1－3i.∵eq\o(AD，\s\up6(→））＝eq\o(BC，\s\up6（→）），∴（x－1)＋（y－2)i＝1－3i，即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－1＝1,，y－2＝－3，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，，y＝－1。))故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2－i.［能力提升練］1．實(shí)數(shù)x，y滿足z1＝y(tǒng)＋xi，z2＝y(tǒng)i－x，且z1－z2＝2，則xy的值是（)A．1 B．2C．－2 D．－1［解析]z1－z2＝（y＋xi）－（－x＋yi）＝（y＋x）＋（x－y)i＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y＝2,，x－y＝0，）)∴x＝y(tǒng)＝1，∴xy＝1.［答案］A2．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3,若復(fù)數(shù)z滿足｜z－z1|＝｜z－z2｜＝|z－z3｜，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為△ABC的(）A．內(nèi)心 B．垂心C．重心 D．外心［解析］由已知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到z1,z2，z3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，B，C的距離相等．所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為△ABC的外心．［答案］D3．若復(fù)數(shù)z滿足z－1＝cosθ＋isinθ，則|z|的最大值為_(kāi)_______．［解析］∵z－1＝cosθ＋isinθ，∴z＝1＋cosθ＋isinθ|z｜＝eq\r（1＋cosθ2＋sin2θ）＝eq\r(21＋cosθ）＝eq\r(4cos2\f（θ，2)）＝2eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(cos\f（θ，2）））≤2.［答案］24．在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C三點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1，2＋i,－1＋2i。(1)求eq\o（AB,\s\up6(→))，eq\o（AC，\s\up6（→））,eq\o（BC，\s\up6（→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2)判斷△ABC的形狀．[解]（1)∵A，B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2＋i，－1＋2i.∴eq\o(OA，\s\up6（→)),eq\o（OB,\s\up6（→)），eq\o(OC,\s\up6(→)）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1，2＋i,－1＋2i(O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,∴eq\o(OA,\s\up6(→）)＝（1,0)，eq\o(OB,\s\up6（→））＝(2,1)，eq\o(OC，\s\up6（→))＝（－1，2）．∴eq\o(AB,\s\up6（→）)＝eq\o（OB，\s\up6(→）)－eq\o(OA，\s\up6(→））＝（1,1），eq\o（AC,\s\up6(→)）＝eq\o（OC，\s\up6（→)）－eq\o（OA,\s\up6(→)）＝（－2,2）,eq\o(BC，\s\up6(→)）＝eq\o(OC,\s\up6（→))－eq\o（OB，\s\up6（→))＝（－3，1）．即eq\o(AB,\s\up6（→）)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋i，eq\o（AC，\s\up6（→)）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋2i，eq\o（BC，\s\up6（→）)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3＋i.(2）∵|eq\o(AB，\s\up6（→)）｜＝eq\r（1＋1)＝eq\r(2)，|eq\o(AC，\s\up6(→)）|＝eq\r(－22＋22)＝eq\r(8)，|eq