一元二次方程與二次函數(shù)綜合測試題及參考答案

一、選擇題1、設五、可是關于的一元二次方程*++-2=他的兩個實數(shù)根，且忌°A．B．C．D．A．B．C．D．2、下列命題：①若^+b+c=O,則滬-4處30；②若b>a+c,則一元二次方程+肚+匚=0有兩個不相等的實數(shù)根；③若占二加+%，則一元二次方程/+加+c=°有兩個不相等的實數(shù)根；④若護-仏沁，則二次函數(shù)的圖像與坐標軸的公共點的個數(shù)是2或3.其中正確的是（）A.只有①②③B.只有①③④C.只有①④D.只有②③④3、若一次函數(shù)八血+阮+聊的圖象過第一、三、四象限，則函數(shù)尹=朋一険X（A.有最大值4B.A.有最大值4B.有最大值一4C.有最小值4D.有最小值一44、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個交點分別為（-1,0）,（3,0）.對于下列命題:①b-2a=0；②abcVO；③a-2b+4cV0；④8a+c>0.其中正確的有（）A.3個A.3個B.2個C.1個D.0個5、關于"的一元二次方程^-^+2^-1=°的兩個實數(shù)根分別是倉花，且，貝0_審的值是（）A.1B.12C.13D.25二、填空題6、設氐、?是方程/一2疋一1=0的兩根，則代數(shù)式^+0+朋=。7、已知關于忑一元二次方程伽-！）"+3郴+5=0有一根是x=-1,則心

三、計算題8、已知：關于*的方程2x2+^-l=0(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的一個根是-1,求另一個根及疋值.9、解方程：9、解方程：-4+(3伍-號-10尸=0四、綜合題10、已知關于x的一元二次方程“+處+總=0的兩個整數(shù)根恰好比方程"+處+心=°的兩個根都大1,求農(nóng)+b+c的值.11、如圖：拋物線$=川-4血+険與疋軸交于人、b兩點，點a的坐標是(1,0),與『軸交于點C.求拋物線的對稱軸和點B的坐標；過點C作CP丄對稱軸于點P,連接BC交對稱軸于點D,連接AC、BP,且ZBPD=ZBCP，求拋物線的解析式。12、已知關于x的二次函數(shù)y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4.1)探究m滿足什么條件時,二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點的個數(shù).(2)設二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點為A(x,0),B(x,0)M,求直線CM的解析式.13、如圖，已知點雎2'°),直線弓交*軸于點月，交聲軸于點匚求對稱軸平行于『軸，且過川'月'°三點的拋物線解析式;若直線'平分ZABC，求直線'的解析式;

若直線產(chǎn)『二欣(帑＞0)交(1)中拋物線于運，月兩點，問：欣為何值時，以遲月為邊的正方形的面積為9？7連結血兀，°是線段。月上一動點,7連結血兀，°是線段。月上一動點,試判斷MBC的形狀，并說明理由；求證：師丄月月；連結件，記心UF月的面積為AU丹的面積為民，若2況-鳥，試探究￡的最小值.15、如圖，拋物線y=—x2+Bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,點0為坐標原點，點D為拋物線的頂點,點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形0CEF為矩形，且0F-2,EF=3.求拋物線所對應的函數(shù)解析式；求AABD的面積；將厶AOC繞點C逆時針旋轉90°，點A對應點為點G,問點G是否在該拋物線上？請說明理由.五、簡答題16、已知的兩邊血，皿的長是關于x的一元二次方程宀(2疋+場疋+疋+玄+2=0的兩個實數(shù)根,第三邊的長是,(1)比為何值時，△山EU是以$匚為斜邊的直角三角形；⑵疋為何值時，'朋亡是等腰三角形，并求^ABC的周長17、已知關于疋的一元二次方程：加-(加+彷+加+2=0(宀叭求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；設方程的兩個實數(shù)根分別為倉‘心(其中&5\?若卩是關于用的函數(shù)，且Ff-甌，求這個函數(shù)的解析式；在(2)的條件下，結合函數(shù)的圖象回答：當自變量珈的取值范圍滿足什么條件時，18、已知拋物線y=ax2-x+c經(jīng)過點Q(—2,，且它的頂點P的橫坐標為一1.設拋物線與x軸相交于A、B兩點，如圖．1)求拋物線的解析式；求A、B兩點的坐標；設PB于y軸交于C點，求△ABC的面積.y\卜0\?19、如圖，已知拋物線的頂點為A(1,4)、拋物線與y軸交于點B(0,3),與x軸交于C、D兩點.點P是x軸上的一個動點.求此拋物線的解析式.當PA+PB的值最小時，求點P的坐標.20、已知二次函數(shù)+的部分圖象如圖7所示，拋物線與疋軸的一個交點坐標為對稱軸為直線忑二1.若"T,求「“的值；⑵若實數(shù)停1,比較'+3與酬伽+◎的大小，并說明理由.參考答案一、選擇題1、C2、B3、B4、考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系。分析：首先根據(jù)二次函數(shù)圖象開口方向可得a>0,根據(jù)圖象與y軸交點可得cVO,再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸x=-，結合圖象與x軸的交點可得對稱軸為x=l,結合對稱軸公式可判斷出①的正誤；根據(jù)對稱軸公式結合a的取值可判定出b>0,根據(jù)a、b、c的正負即可判斷出②的正誤；利用b-2a=0時，求出a-2b+4cV0,再利用當x=4時，y>0,則16a+4b+c>0,由①知，b=-2a,得出8a+c>0.解答：解：根據(jù)圖象可得：a>0,c>0,對稱軸：x=-2已>0,???它與x軸的兩個交點分別為(-1,0),(3,0),對稱軸是x=1,??二=1,.°.b+2a=0,故①錯誤；Va>0,.?.bVO,..abcVO,故②正確；a-2b+4cV0；Vb+2a=0,?°.a-2b+4c=a+2b-4b+4c=-4b+4c,*.*a-b+c=0,.4a-4b+4c=0,.-4b+4c=-4a，Va>0,?a-2b+4c=-4b+4c=-4aVO,故此選項正確；根據(jù)圖示知，當x=4時，y>0,.16a+4b+c>O，由①知，b=-2a,.8a+c>O；故④正確；故正確為：①②③三個.故選：A.點評：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，關鍵是熟練掌握①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向，當a>0時，拋物線向上開口；當aVO時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即abVO），對稱軸在y軸右?（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（O，c）.5、C二、填空題6、17、4三、計算題8、解：A=^2-4x2x(-l)=e+8,無論疋取何值,所以無論疋取何值,所以^+S>0,即心>°,■■-方程2兀+心一1=°有兩個不相等的實數(shù)根.（2）設抵+心一1=°的另一個根為,■-2*+尬-1=°的另一個根為二，丘的值為1.15.9、解：由題意得：由方程（2）得：9、解：由題意得：由方程（2）得：代人（1）式得?-3^x+10=0解得，其二怎或乳=2運代人得\x=2^5或」四、綜合題io、設方程只+直+=°的兩個根為工Q,其中工Q為整數(shù)，且則方程F+c+=°的兩根為氐+1’0+1,由題意得5分e+0=-a,〔4+1)〔0+1)=/5分，兩式相加，得即+加+20+1=0,即(e+2)(Q+2)=t所以，10分解得所以，10分解得又因為總=①+⑥，b—匚——[〔e+1)+〔B+1)],所以(3=0,b=c=-2.或者◎=&=15,c=6.20分故總+b+c=-3,或29.20分b-4ax=———=—=211、解：(1)對稱軸是加2a?.?點A(1,0)且點A、B關于x=2對稱，.?.點B(3,0)；點A(1,0),B(3,0),.AB=2,CP丄對稱軸于P,CP〃AB,?對稱軸是x=2,.?.AB〃CP且AB=CP,

四邊形ABPC是平行四邊形,設點C(0,x)(xVO),在RtAAOC中，在RtAAOC中，AC二.?.BP=在RtABOC中,.?.BP=在RtABOC中,.BD=VZBPD=ZPCB且ZPBD=ZCBP,.?.△BPDsABCP,.?.BP2=BD?BC,即(JF+1尸=3C+9.+9?.?.?點C在y軸的負半軸上,.?.點C（0,一舲），.y=ax2-4ax-3,?.?過點（1,0）,?:a-4a-3=0,解得：a=彳?解析式是：==12、解：（1）令y=0,得：X2-（2m-l）x+m2+3m+4=0△=（2m-1）2-4（m2+3m+4）=-16m-15當厶〉。時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即-16m-15>0.?.mV-16此時，y的圖象與x軸有兩個交點當A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即-16m-15=0.?.mJ此時，y的圖象與x軸只有一個交點當AVO時，方程沒有實數(shù)根，即-16m-15V0此時，y的圖象與x軸沒有交點15.?.當mV-】拆時，y的圖象與x軸有兩個交點;15當m=-16時，y的圖象與x軸只有一個交點;15當m>-l&時，y的圖象與x軸沒有交點.評分時，考生未作結論不扣分）

2）由根與系數(shù)的關系得x+x=2m-1，xx=m2+3m+4+=(x+x)2—2xX=(2m-1)2-2(m2+3m+4)=2m2—10m—7?/+=5，?：2m2-10m-7=5，?：m2—5m—6=0解得：m=6,m=—11215?.?mV-16,.?.m=-ly=X2+3x+2令x=0,得y=2,.?.二次函數(shù)y的圖象與y軸的交點C坐標為(0,2)又y=X2+3x+2=（x+2）2-°，.:頂點M的坐標為（-？，-4）3￡設過C（0,2）與M（-二，-習）的直線解析式為y=kx+b解得則2=bk=2-4=2k+b,k=2???所求的解析式為y=2x+2y=-—x+413、解：（1）直線交*軸于月點，交『軸于匚點。由此，得丘點坐標為隗°）,7點坐標為律⑷。故可設拋物線解析式為17=心+洗一3）?.?拋物線過點火⑷,???拋物線解析式為宀軟*3)八一討+-|x+4(2)過匚點作CDHAE?.?拋物線過點火⑷,???拋物線解析式為宀軟*3)八一討+-|x+4(2)過匚點作CDHAE，交直線/于點D?平分ZABC,...Z.CDB=ADBA=ZDBC?，"點坐標為U㈠⑷設的解析式為A=-5k+bf0=3疋+&解這個方程組，??.直線』的解析式為設遐、片兩點的橫坐標分別為-—x2+—x+4=mx2-x-6+—m=0由題意知，心也是方程孑3，即2的兩根,由題意知，—m-673時，以EF為邊的正方形的面積為9。14、(1)令工"，得，=4,如4)令J=0，得血=4,也=「,二/(-!』),丹(0,4).-OA=OB=OC:.AABC是等腰直角三角形(2)如圖,心堤等腰直角三角形，⑶防是正方形AAC￡>=ABCF/.Z.CBF=ZCAD=45°/.ZABF=ZABC+ZCBF=90°-BEVAB3)丁三仞E=g(r,Z.CDQ+ZPDB=90°:.、DCOs'PD3)丁三仞E=g(r,Z.CDQ+ZPDB=90°:.、DCOs'PD呂則:一用=耳一禺=ix4x(ix2+4)-ix4x(-ix2+x)...當OD=x=l時，有最小值715、考點：二次函數(shù)綜合題。專題：代數(shù)幾何綜合題。分析：在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出C、E的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的解析式.⑵根據(jù)(1)的函數(shù)解析式求出A、B、D三點的坐標，以AB為底、D點縱坐標的絕對值為高，可求出厶ABD的面積.(3)首先根據(jù)旋轉條件求出G點的坐標，然后將點G的坐標代入拋物線的解析式中直接進行判定即可.解答：解：(1)V四邊形OCEF為矩形，OF-2,EF=3,.?.點C的坐標為(0,3)，點E的坐標為(2,3).把x-0，y-3；x-2，y-3分別代入y-－x2＋bx＋c中，(c=3得.3=-4+2b+c(b=2解得-c=3，.拋物線所對應的函數(shù)解析式為y-－x2＋2x＋3；Vy-－x2＋2x＋3-－(x－1)2＋4，???拋物線的頂點坐標為D(1，4)，.△ABD中AB邊的高為4，令y=0，得一x2+2x+3=0,解得x1-－1，x2-3，所以AB-3－(－1)-4，?△ABD的面積=^X4X4=8；⑶AAOC繞點C逆時針旋轉90°,CO落在CE所在的直線上，由(2)可知OA-1,

.?.點A對應點G的坐標為(3,2),當x=3時，y=—32+2X3+3=0H2，所以點G不在該拋物線上.點評：這道函數(shù)題綜合了圖形的旋轉、面積的求法等知識，考查的知識點不多，難度適中五、簡答題16、解：由題意得：恥+血=*+3恥=疋+就+2(1)AB2+衛(wèi)匚2=BC2,(AB+AC)2-2ABAC=BC2(1),(2k^3~)2-2(k2+3k+2)=25整理得：宀=&—(不合題意，舍去)「.當k=2時?△山EC是以為斜邊的直角三角形;(2)若AB=AC；則2AB=2k-^-3,AB2=/+3疋+2,=k2+3^+2結果9=3ABhAC注；此問用根的判別式做也可以.若AB=BC=5則AC+5=2k+3,5AC=澎+3抵+25(2^-2)=^+3^+2解得：&=3池當k=3時川U=4.當七=4時AC=6時,時,時,若AC=BC=5，同樣花=3時.=4.當疋=4時AB=6時,.?.當k=3或4時.△川月U是等腰三角形，其周長為14或16注：不論注：不論且呂二昌°=5或山U==5都說明BC=5是方程的一個根，也可以把代入方程解得值.17、（1）證明：?"宀惣+加+加+2=［1是關于工的一元二次方程,A=［一⑶?2+2）］2一4朋（加+2）=鴉$+4鴉+4=（鴉+2）■.■當Q0時，⑶+2）0（］,即A〉D.「.方程有兩個不相等的實數(shù)根.……..3分2）解：由求根公式，得2^2+2x=2^+22（加+1）或"12）解：由求根公式，得2^2+2x=2^+22（加+1）或"1>1W-2礪心-％1丄y=—（^>0）即朋為所7分7分3）解：在同平面直角坐標系中分別畫出的圖象.3）解：在同平面直角坐標系中分別畫出的圖象.由圖象可得，當時，w博.9分18、（1）由題意得9分18、（1）由題意得解得???拋物線的解析式為-l?-x+-=O(2)令y=0,即22，整理得