【班海精品課件】人教版（新）八下-17.1 勾股定理 第一課時(shí)

17.1勾股定理第1課時(shí)一鍵發(fā)布配套作業(yè)&AI智能精細(xì)批改（任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇章節(jié)）目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入

相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？班海——老師智慧教學(xué)好幫手班海，老師們都在免費(fèi)用的數(shù)學(xué)作業(yè)精細(xì)批改微信小程序！感謝您下載使用【班?！拷虒W(xué)資源！為什么他們都在用班海？一鍵發(fā)布作業(yè)，系統(tǒng)自動(dòng)精細(xì)批改（錯(cuò)在哪？為何錯(cuò)？怎么改？），從此告別批改作業(yè)難幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，培養(yǎng)規(guī)范答題好習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)解題能力快速查看作業(yè)批改詳情，全班學(xué)習(xí)情況盡在掌握多個(gè)班級(jí)可自由切換管理，學(xué)生再多也能輕松當(dāng)老師無需下載，不占內(nèi)存，操作便捷，永久免費(fèi)！掃碼一鍵發(fā)布數(shù)學(xué)作業(yè)AI智能精細(xì)批改(任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇題目)情景導(dǎo)入A、B、C的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？ABC讓我們一起探索這個(gè)古老的定理吧！新課精講探索新知1知識(shí)點(diǎn)勾股定理我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1稱為“弦圖”，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時(shí)給出的.

弦股勾圖1探索新知ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2(1)觀察圖2-1

正方形A中含有

個(gè)

小方格，即A的面積

是

個(gè)單位面積.正方形B的面積是

個(gè)單位面積.正方形C的面積是

個(gè)單位面積.99918探索新知ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2

分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形=18(單位面積)S正方形c探索新知ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2(2)在圖2-2中，正方形A，B，

C中各含有多少個(gè)小方格？

它們的面積各是多少？(3)你能發(fā)現(xiàn)圖2-1中三個(gè)正方

形A，B，C的面積之間有

什么關(guān)系嗎？SA+SB=SC

即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積.探索新知ABCacbSa+Sb=Sc觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想：兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c2探索新知┏a2+b2=c2acb直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦

勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)探索新知定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2＋b2＝c2.探索新知分清斜邊和直角邊．因?yàn)樵赗t△ABC中，a，b，c是三邊，所以可以用勾股定理解決問題．例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

對(duì)邊分別是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.導(dǎo)引：探索新知(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝解：探索新知總

結(jié)

利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)的方法：一般都要經(jīng)過“一分二代三化簡(jiǎn)”這“三步曲”，即一分：分清哪條邊是斜邊，哪些是直角邊；二代：將已知邊長(zhǎng)及兩邊之間的關(guān)系式代入a2＋b2＝c2（假設(shè)c是斜邊）；三化簡(jiǎn)．典題精講1

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.(1)(2)(3)解：典題精講下列說法中正確的是(

)A．已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，則a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2C23

若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2

B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C典題精講如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB＝5，AD＝3，則BC的長(zhǎng)為(

)A．5B．6C．8D．10C4典題精講如圖，將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，則B′C的長(zhǎng)為(

)A．3B．6C．3D.A5探索新知2知識(shí)點(diǎn)勾股定理與面積的關(guān)系

在一張紙上畫4個(gè)與圖所示的全等的直角三邊形，并把它們剪下來．如圖所示，用這四個(gè)直角三角形進(jìn)行拼擺，將得到一個(gè)以a+b為邊長(zhǎng)的大正方形和以直角形斜邊c為邊長(zhǎng)的小正方形．探索新知?dú)w納

觀察圖形，容易得到大正方形的邊長(zhǎng)為

a+b，所以大正方形的面積是(a+b)2．又因?yàn)榇笳叫问怯?個(gè)全等的直角三角形和中間的正方形拼成的，所以大正方形的面積又可表示成

ab×4+c2．因此有(a+b)2=ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c為邊的直角三角形滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．探索新知例2觀察如圖所示的圖形，回答問題：(1)如圖①，△DEF為直角三角形，正方形

P的面積為9，正方形Q的面積為15，則正方形M的面積為________；(2)如圖②，分別以直角三角形ABC的三邊長(zhǎng)為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓形的面積之間的關(guān)系式是________；(用圖中字母表示)(3)如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為3和4，分別以直角三角形的三邊長(zhǎng)為直徑作半圓，請(qǐng)你利用(2)中得出的結(jié)論求陰影部分的面積．探索新知(1)根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理可得

DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面積＝9＋15＝24；(2)

另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)陰影部分的面積＝兩個(gè)小半圓形的面積和＋直角三角

形的面積－大半圓形的面積，由(2)可知兩個(gè)小半圓形

的面積和＝大半圓形的面積，所以陰影部分的面積＝

直角三角形的面積．導(dǎo)引：探索新知(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)設(shè)兩個(gè)小半圓形的面積分別為S1，S2，大半圓

形的面積為S3，三角形的面積為S△，

則S陰影＝S1＋S2＋S△－S3

＝S△＝×3×4＝6.解：探索新知總

結(jié)

與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上圖形面積的和等于斜邊上的圖形面積．本例考查了勾股定理及正方形的面積公式，半圓形面積的求法，解答此類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察所給圖形，面積與邊長(zhǎng)、直徑有平方關(guān)系，就很容易聯(lián)想到勾股定理．典題精講1

如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.SE＝(122＋162)＋(92＋122)

＝400＋225

＝625.解：典題精講2如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊或直徑，分別向外作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的圖形個(gè)數(shù)是(

)

A．1B．2C．3D．4D典題精講3如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3和4，則b的面積為(

)A．3B．4C．5D．7D典題精講如圖，已知△ABC為直角三角形，分別以直角邊AC，BC為直徑作半圓AmC和BnC，以AB為直徑作半圓ACB，記兩個(gè)月牙形陰影部分的面積之和為S1，△ABC的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系為(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2

C．S1＝S2

D．不能確定4C易錯(cuò)提醒在△ABC中，邊AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長(zhǎng)是(

)A．42B．32C．42或32D．不能確定C本題應(yīng)分△ABC為銳角三角形和△ABC為鈍角三角形兩種情況討論．解本題時(shí)常常容易忽略其中一種情況而出錯(cuò)．易錯(cuò)點(diǎn)：考慮問題不全面而漏解.學(xué)以致用小試牛刀如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B，C)，若線段AD長(zhǎng)為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有(

)A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)C1小試牛刀在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于(

)A．10B．8C．6或10D．8或10C2如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，且AB＝4，BD＝5，則點(diǎn)D到BC的距離是(

)A．3

B．4

C．5

D．6A3典題精講四個(gè)全等的直角三角形按如圖所示方式圍成正方形ABCD，過各較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH，已知AM為Rt△ABM較長(zhǎng)直角邊，AM＝2EF，則正方形ABCD的面積為(

)A．12S

B．10SC．9S

D．8S4C小試牛刀5如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，BD＝

，求：

(1)CD的長(zhǎng)；(2)AB的長(zhǎng)．(1)在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝32－

，所以CD＝.(2)在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝42－

，

所以AD＝.所以AB＝AD＋BD＝

＋

＝5.解：小試牛刀6如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.求：

(1)線段AD的長(zhǎng)度；

(2)四邊形ABCD的面積．(1)因?yàn)锳D2＝32＋42＝25，

所以AD＝5.(2)S四邊形ABCD＝7×5－×1×7－×2×4－

×1×2－×(1＋5)×3＝17.5.解：小試牛刀7在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B與D重合，折痕為EF，求DE的長(zhǎng)．設(shè)DE＝xcm，則BE＝DE＝xcm.AE＝AB－BE＝(10－x)cm.在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2＝AE2＋AD2，即x2＝(10－x)2＋42，解得x＝.即