軟件學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)部試卷-線性代數(shù)第一章

PAGEPAGE3§1.3的初一、矩陣的定理1.3.1矩陣用初等行變換化成的階梯形矩陣定義1.3.1矩陣A用初等行變換化成的階梯形矩陣中主元的個(gè)數(shù)稱為矩陣A的秩，記為秩(A)或r(A)。 PAGEPAGE4A= ?

-

揪行井?÷ ??÷

÷÷- 4÷揪行井?0?0?000故秩(A=2?揪行井?0?0?000故秩(A=2 PAGEPAGE6性質(zhì)秩(A)=0當(dāng)且僅當(dāng)

Amn

min{m,定義1.3.2An階方陣。若秩(A)=n，則稱A是滿秩方陣；若秩(A)<n，則稱A是降秩 PAGEPAGE7對(duì)一般的矩陣Am×n，可用初等行變換化為行簡(jiǎn)化①若秩(An， 0

②若秩(Am，則不能保m n B0 0

0 0 0 B 0 例如，

0 0 0 只用初等行變換不能化1 0 0 二、矩陣的初稱對(duì)矩陣A的下述變換為初等列變

k

k倍加到另一列對(duì)矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換 設(shè)A和B是兩個(gè)同類型矩陣。若A可通過有限次初等變換化為B，則稱A相抵于B，為AB性質(zhì)1.3.2

A

ABB

AB,BC

A遞性,則稱其是等價(jià)關(guān)系.問題①相抵矩陣中,最簡(jiǎn)單的矩陣是什②其形式是否唯一定理 設(shè)A是m×n矩陣，且秩(A)=r，則相抵于下述矩0000

00 r00稱其為A的相抵問題A的相抵標(biāo)準(zhǔn)形是否唯一例把下列矩陣用初等變換化為相抵1 12 4A 1 3 4 1 2A

2 1 2 0 0 0 00100100100100

則B即為A的相抵標(biāo)準(zhǔn) 已知矩A構(gòu)造三個(gè)矩

c2

b3c30P10

0,

0P2 0

0,

1P31

0000

分別計(jì)解

與A的乘積

00

0202

c2

a3b3c3 a3 c3 0P2A 0

0 0 0

c3

c2

c3

1 1

0

a3

0000 c2

a3c3

3c3A1

c2

a310c3a3c3

0202

a31 00 0

c3

a2b2c2

b3c3a3a30110c2c30c3 定義1.3.4I經(jīng)過一次初等變換得到1對(duì)調(diào)兩行或兩列；2

0乘某行或某列；3

乘某行（列）（列）上去對(duì)調(diào)兩行或兩對(duì)調(diào) 中第i, 兩行，即(R R1

)，得初等方

i Eij

j 1 用 階初等矩

Eij

左乘

(a

)mna

a

a j aj

ajn

iEij

j i i in am

am

am 相當(dāng)于對(duì)矩陣 施行第一種初等行變換：把 第 行與第

行對(duì)調(diào)(R

Rj).類似地

階初等矩

Eij

右乘矩AEij

aa m

m m相當(dāng)于對(duì)矩

A施行第一種初等列變換A

列與

j列對(duì)調(diào)

cj2、以k以數(shù)k

00乘單位矩陣的第i行(R

k)矩陣Ei(k).1 E(k) i 1以

(k

左乘矩陣Ei(k

iam

am

am

i相當(dāng)于以

乘 的第

(R

k)類似

以Ei(k

右乘矩陣A數(shù) 乘

的第

列

k).、以數(shù)

0乘某行(列)加到另一行(列)上kI的第

行加到j(luò)

(R

kRi[或以 乘

的第

列加到第

(ci

kc

)，1

第iEij

(k 1

第j 以Eij(k

左乘矩陣Eij

(k)Aajkai ajmamam

aikaiA

加到

Rj).類似地

Eij(k

右乘矩

A，其結(jié)果相當(dāng)AEij

的第j列乘

加到第

kcj).aa a

ka2am am

kam

am 定理1.3.4

A

mn矩陣

A施行

A的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相在A的右邊乘以相

例已知矩111 c111A

,11B,11

3c11 c2

3c2,111 a,111C

D

c11c2 a21

c2問A與B、C、D之間有何聯(lián)系解因與之相對(duì)

3 3故

33

(3)AE3(3)同理可

AE12 因 而 (2)C2 3

E12(2)11AE12(2)D例已知矩 A

a3

B

aa

c3

c2

c3

2a31P1

0Q0

0101 問P與Q如何與A相乘可得到因?yàn)閷?duì)A作兩次初等行變換可得B，而P與Q均為初等矩陣，所以應(yīng)有PQA=BQPA=B。 A

c3

a3c3

aBaB

c2

c3

2a3又

P3

性質(zhì)1.3.2（1）初等矩陣是滿秩方陣且初等 P，PQ=QPI定理1.3.5滿秩方陣可表示成若干初等矩陣定理1.3.6設(shè)A與B是兩個(gè)m×n矩陣，則A相抵于B的充分必要條件是：存在m階滿秩矩陣P與n定理1.3.7同型矩陣A與B相抵的充分必要條 推論矩陣的初等列變換也不改變矩陣的秩。注矩陣A的相抵標(biāo)準(zhǔn)形被A的秩唯一確定(矩陣相抵標(biāo)準(zhǔn)形的唯一臌臌定理1.3.8（1）秩(A)=秩A是m×n矩陣，P是m階滿秩方陣，Q是n階滿秩方陣，則秩(A)=秩（PA）=秩（AQ）=秩例設(shè)A是4×5矩陣且秩(A)=3，求秩(BA),這234234344000犏000犏B=犏234340400040004000犏000犏004犏犏 ? 所以秩(B)=4.由定理1.3.8(2)可r(BA)=r(A)=對(duì)任一滿P，均存在同階的滿秩方陣Q，使PQ=QPI。證：設(shè)P是n階滿秩方陣，則由