2021-2022學(xué)年河北省石家莊市高二年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年河北省石家莊市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)則為（

）A．2 B．4 C． D．10C【分析】由復(fù)數(shù)除法法則求得，再由模的定義求出模．【詳解】，，故選：C．2．已知，則“直線與平行”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要A【分析】根據(jù)直線的平行，斜率相等，截距不等即可解決.【詳解】若直線與平行，則，即，當(dāng)，時，兩直線方程為，，此時兩直線重合，故“直線與平行”是“”的充分不必要條件，故選：A．本題考查充分必要條件，考查直線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.3．已知，且，（

）A． B． C． D．C【分析】將已知等式兩邊平方，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，結(jié)合的范圍確定與的正負(fù)，再利用完全平方公式及三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值.【詳解】因為，兩邊平方得，故，所以與導(dǎo)號，又因為，所以，，所以.故選：C.4．在三棱柱中，平面．若所有的棱長都是2，則異面直線與所成的角的正弦值為（

）．A． B． C． D．A由題可知，即為所求或所求角的補角，利用余弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，連接，∵//，∴就是異面直線與所成的角．在中，,,∴．∴．∴異面直線與所成的角的正弦值為．故選：A．本題考查異面直線夾角的求解，涉及余弦定理，屬綜合基礎(chǔ)題.5．2020年1月，教育部出臺《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作的意見》（簡稱“強基計劃”），明確從2020年起強基計劃取代原有的高校自主招生方式．如果甲、乙、丙三人通過強基計劃的概率分別為，那么三人中至少兩人通過的概率為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)積事件與和事件的概率公式可求解得到結(jié)果.【詳解】記甲、乙、丙三人通過強基計劃分別為事件，顯然為相互獨立事件，則“三人中至少兩人通過”相當(dāng)于事件，且,互斥，所求概率.故選：B.6．已知集合，，其中，若中有且僅有兩個元素，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．C【分析】集合和中的元素構(gòu)成兩個圓，由題意可得兩圓相交，根據(jù)圓心距小于半徑之和大于半徑之差的絕對值列不等式，解不等式即可求解.【詳解】由可得集合中的元素構(gòu)成以為圓心，半徑為的圓；由可得集合中的元素構(gòu)成以為圓心，半徑為的圓；若中有且僅有兩個元素，則兩個圓相交；可得，即，解得：，所以的取值范圍為，故選：C.7．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左焦點為F，A，B分別為雙曲線C左右支上一點，直線AF的斜率為，若四邊形OFAB是平行四邊形，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線離心率公式進行求解即可.【詳解】四邊形是平行四邊形，不妨設(shè)，分別在第二象限、第一象限，因為是平行四邊形，所以，因此，當(dāng)時，，因為的斜率為，所以，而，所以（），所以有，故選：D.關(guān)鍵點睛：利用平面幾何圖形的性質(zhì)構(gòu)造出關(guān)于雙曲線離心率的方程進行求解是解題的關(guān)鍵.8．已知函數(shù)，若實數(shù)、、滿足且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．B【分析】作出函數(shù)的圖象，求出的取值范圍，可得出的取值范圍，利用結(jié)合絕對值的性質(zhì)可求得，由此可求得的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：當(dāng)時，，由圖可知，，即，解得，則，由，即，即，可得，因此，.故選：B.二、多選題9．已知直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的傾斜角等于 B．在軸上的截距等于C．與直線垂直 D．上存在與原點距離等于1的點CD【分析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，從而可求出直線的傾斜角和直線方程，進而可判斷A，B，C，對于計算出原點到直的距離即可判斷【詳解】解：因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為（），則，所以，所以A錯誤；因為經(jīng)過點，所以直線的方程為，令，則，所以在軸上的截距為，所以B錯誤；因為直線的斜率為，直線的斜率為，所以，所以與直線垂直，所以C正確；因為原點到直線的距離為，所以上存在與原點距離等于1的點，所以D正確，故選：CD此題考查直線方程的求法，考查兩直線的位置關(guān)系，考查斜率與傾斜角的關(guān)系，考查點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題10．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則的最小值為D．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象BC【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由求得函數(shù)的解析式，再逐項判斷.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，又因為，則，所以，A.函數(shù)為奇函數(shù)，故錯誤；B.因為，則，又在上遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；C.因為，則分別為函數(shù)的最大值和最小值，則的最小值為，故正確；D.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，故錯誤；故選：BC11．若，，則下列不等關(guān)系正確的有（

）A． B． C． D．ABD【分析】由，，得，則，然后逐個分析判斷即可【詳解】由，，得，所以，對于A，，所以A正確對于B，因為，所以，因為，所以等號不成立，所以，所以B正確，對于C，因為，所以，因為，所以等號不成立，所以，所以C錯誤，對于D，因為，所以，由于，且，因為，所以等號不成立，所以，所以，所以，所以D正確，故選：ABD12．已知三棱錐的各頂點都在球上，點分別是的中點，平面，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．球的體積是C．直線與平面所成角的正弦值是D．平面被球所截的截面面積是ABD【分析】根據(jù)勾股定理可以判斷，即可判斷平面，根據(jù)垂直關(guān)系可以判斷的中點就是三棱錐外接球的球心，即可求得球的體積；根據(jù)線面的定義可知即為所求；利用等體積轉(zhuǎn)化，先求圓心到平面的距離，再根據(jù)弦心距求截面圓的半徑，再求圓的面積.【詳解】對于選項A，因為平面，所以，由，，可得，滿足，所以，所以平面，故A正確；對于選項B，是和的公共斜邊，所以中點即三棱錐外接球的球心，所以球的半徑為，故球的體積為，故B正確；對于選項C，因為平面，所以即直線與平面所成的角，所以，故C錯誤；對于選項D，設(shè)點到平面的距離為，平面被球所截的截面圓的半徑為，因為是的中位線，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，故，易求得所以，即，解得，所以，所以截面圓的面積為，故D正確.故選ABD.關(guān)鍵點點睛：本題考查利用幾何中垂直關(guān)系的應(yīng)用，球與幾何體的組合體的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是判斷平面.三、填空題13．已知點，，，若，，三點共線，則______.【分析】首先求出，的坐標(biāo)，再根據(jù)，，三點共線，即可得到，從而，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，，所以，因為，，三點共線，所以，即，所以，解得故14．某工廠生產(chǎn)A、B、C、D四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5：2，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號的產(chǎn)品有16件，那么此樣本的容量n=_____．96【詳解】解：由題意知，總體中中A種型號產(chǎn)品所占的比例是2:（2+3+5+2）=1:6因樣本中A種型號產(chǎn)品有16件，則n=96．故答案為96．【點評】本題考查了分層抽樣的定義應(yīng)用，即保證樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)一致按一定的比例進行抽取，再由條件列出式子求出值來．15．平面向量，，滿足，與所成的角為，，則的最小值為___________.1【分析】結(jié)合圖形，向量的終點在射線上，向量的終點的軌跡方程是一個圓，則轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線上的最小距離，從而可求得結(jié)果.【詳解】將向量??的始點都放在原點，的終點放在x軸正半軸上，則設(shè)向量的終點在射線上，設(shè)，則，則由得，即，則向量的終點在以為圓心，1為半徑的圓上，則表示圓上的點與射線上的點之間的距離，如圖，由對稱性知，其最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，由得，故圓心到直線的距離為，所以的最小值為.故1..四、雙空題16．在矩形中，，.將沿對角線BD翻折，得到三棱錐，則該三棱錐外接球的表面積為___________；三棱錐體積的最大值為___________.

0.25【分析】空1：作出相應(yīng)的圖象，求出三棱錐的外接球的半徑，由球的表面積公式求解外接球的表面積即可；空2：若最大，則需點A到平面的距離d最大，利用等面積法求出點A到BD的距離為為定值，然后確定d的最大值，即可得到三棱錐體積的最大值.【詳解】解：作出圖象如圖所示，在矩形中，，，則，連接AC，BD交于點O，則，設(shè)該三棱錐的外接球的半徑為R，則，所以該三棱錐外接球的表面積因為中，BD邊上的高為，所以點A到BD的距離為，若最大，則需點A到平面的距離d最大，所以，當(dāng)且僅當(dāng)平面平面時取等號，此時，所以三棱錐體積的最大值為.故；.五、解答題17．圓心在直線上的圓C，經(jīng)過點，并且與直線相切(1)求圓C的方程；(2)圓C被直線分割成弧長的比值為的兩段弧，求直線l的方程.(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由直線與圓相切的條件列出方程組，求出a?b?r；（2）由題意求出圓心到直線l的距離，由點到直線的距離公式列出方程，求出k的值，代入直線方程即可.【詳解】（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，解得，所以圓C的方程為；（2）設(shè)直線與圓C交于B?D兩點，過點作，垂足為，因為圓C被直線分割成弧長的比值為的兩段弧，所以，則，即圓心C到直線l的距離為，且，因為直線l的方程為，所以，化簡解得或，故所求直線l的方程為或.18．某市為了了解該市教師年齡分布情況，對年齡在內(nèi)的5000名教師進行了抽樣統(tǒng)計，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格：年齡區(qū)間教師人數(shù)20001300樣本人數(shù)130由于不小心，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被污染，看不清了，統(tǒng)計員只記得年齡在的樣本人數(shù)比年齡在的樣本人數(shù)多10，根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）求該市年齡在的教師人數(shù)；（2）試根據(jù)上表做出該市教師按照年齡的人數(shù)頻率分布直方圖，并求該市教師年齡的平均數(shù)及方差(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).（1）.（2）頻率分布直方圖見解析，，【分析】(1)設(shè)樣本容量為，由解得的值，進一步求得年齡在的教師在樣本中的人數(shù)，可得年齡在和的教師在樣本中的人數(shù)，在列式計算.(2)分布求出各區(qū)間段的頻率，即可畫出頻率分布直方圖，再由期望與方差公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)樣本容量為，則，解得，∴年齡在的教師在樣本中共有(人)，∴年齡在和的教師在樣本中共有(人)，設(shè)年齡在的教師在樣本中的人數(shù)為，由題意可知：，∴，∴該市年齡在的教師人數(shù)為.（2）由（1）可知，年齡在的教師人數(shù)為(人)，頻率為，年齡在的教師人數(shù)為2000(人)，頻率為，年齡在的教師人數(shù)為1300(人)，頻率為，年齡在的教師人數(shù)為800(人)，頻率為.由此做出頻率分布直方圖.；.本題考查頻率分布直方圖，利用頻率分布直方圖求期望與方程的估計值，屬于中檔題.19．如圖，正方體的棱長為，為的中點，(1)求證：平面；(2)求的面積.(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，令，連接，則，由此能證明平面.（2）由已知分別求出，，，由此能求出的面積.【詳解】（1）證明：連接，令，連接.∵正方體中，是的中點，又是的中點，∴，又平面，平面，∴平面.（2）解：在正方形中，，，∴，在直角中，，，∴，同理可得，且四邊形為正方形，則為的中點，所以，，在中，，∴.20．在中，分別為內(nèi)角所對的邊，且滿足．（1）求角的大小；（2）若，在邊上分別取兩點，將沿直線折疊，使頂點正好落在邊上，求線段長度的最小值．（1）；（2）．【分析】（1）利用切化弦、正弦定理化簡可得，即可求角的大??；（2）連接，由折疊可知，根據(jù)等邊對等角可得，又為的外角，若設(shè)，則，再設(shè)，根據(jù)正弦定理建立函數(shù)關(guān)系，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出正弦函數(shù)的最大值，進而得出的最小值，即為的最小值．【詳解】（1）由得：，，，，，，又，；（2），，為等邊三角形，連接，由折疊性質(zhì)可知兩點關(guān)于折線對稱，，設(shè)，，則，，在中，，，又，則在中，由正弦定理得：，整理可得：，，，當(dāng)，即時，，則取得最小值，即的最小值為.21．如圖1，在中，，，為的中點，將沿折起，得到如圖2所示的三棱錐，二面角為直二面角．

（1）求證：平面平面；（2）設(shè)分別為的中點，求二面角的余弦值．（1）見解析（2）（1）通過計算證明出二面角為直二面角，即可證明平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求平面的法向量和平面的法向量，利用向量數(shù)量積可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在中，，為的中點，．又，．．，．二面角為直二面角，平面平面．平面．又平面，平面平面．（2）以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過點且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．可求得，，，．分別為的中點，，．，，設(shè)平面的法向量為，由得令，則．設(shè)平面的法向量為，由得令，則．，二面角的余弦值為．本題主要考查的是面面垂直的判定，利用向量法求二面角的余弦值，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用，考查學(xué)生的計算能力，是中檔題.22．橢圓的右焦點為，為圓與橢圓的一個公共點，.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）如圖，過作直線與橢圓交于，兩點，點為點關(guān)于軸的對稱點.（1）求證：；（2）試問過，的直線是否過定點？若是，請求出該定點；若不是，請說明理由.（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）見解析；（2）見解析【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）（1）由題意，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程可得，利用韋達定理即可得到結(jié)果；（2）直線的方程為，可化為.從而得到定點.【詳解】（Ⅰ）解：設(shè)是橢圓的左焦點，連接，，.∵，∴.∴.∴.∴.又∵，，∴.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）（1）證明：①