2022-2023學(xué)年上海奉賢區(qū)致遠高級中學(xué)高二年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海奉賢區(qū)致遠高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．圓柱上下底面各取一點，它們的連線即為圓柱的母線B．過球上任意兩點，有且僅有一個大圓C．圓錐的軸截面是等腰三角形D．用一個平面去截球，所得的圓即為大圓C【分析】根據(jù)圓柱的定義、球的性質(zhì)以及圓錐的性質(zhì)，逐一判定，即可求解，得到答案【詳解】解：對于A，若上下頂面兩點連線不垂直于底面，則兩點連線長度不是母線的長度，故A錯誤；對于B，當這兩點是直徑的兩個端點時，可作無數(shù)個大圓，故B錯誤；對于C，根據(jù)圓錐的定義可知圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形，故C正確；對于D，用一個平面去截球，該平面需過球心的時候，所得的圓才是大圓，故D錯誤；故選：C2．已知空間中三點，，，則下列說法錯誤的是（

）A．與不是共線向量 B．與同向的單位向量是C．和夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是C【分析】根據(jù)向量共線定理可判斷A；根據(jù)單位向量的概念可判斷B；由向量夾角的余弦公式可判斷C；根據(jù)法向量的特征可判斷D.【詳解】對于A，，，由于，所以與不是共線向量，故A正確；對于B，，，故B正確；對于C，，，，故C錯誤；對于D，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，故D正確，故選：C.3．在數(shù)列中，若，.是數(shù)列的前項和，則等于（

）A．2022 B．2024 C．1011 D．1012D【分析】利用數(shù)列的周期性，即可計算求解.【詳解】∵，，，，…，∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列.又，，∴.故選：D4．如圖，正四棱錐，記異面直線與所成角為，直線與面所成角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．C【詳解】連接與，交于，取的中點，取的中點，分別連接，在正方形中，，所以異面直線與所成的角，即為與所成的角，即，在直角中，則，直線與所成的角，即為，所以，二面角的平面角為，所以，因為，，，可得，所以，故選C.二、填空題5．如圖所示，在正方體中，異面直線與所成的角為________．####【分析】利用幾何法求解異面直線所成的角，通過做輔助線，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化到同一平面內(nèi)兩直線所成的角進行求解.【詳解】如圖，連接，由正方體的性質(zhì)可知，且，故異面直線與所成的角即為與所成的角.在中，均為面對角線，∴，為等邊三角形，所以，即為異面直線與所成的角.故答案為.6．計算：___________.##【分析】根據(jù)無限遞縮等比數(shù)列前n項和公式可得結(jié)果.【詳解】故7．若圓柱的軸截面面積為2，則其側(cè)面積為___；【分析】根據(jù)題意得圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，根據(jù)幾何性質(zhì)即可求解．【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，由題意知，圓柱的軸截面為底邊為，高為的矩形，所以，即．所以側(cè)面積．本題考查圓柱的幾何性質(zhì)，表面積的求法，屬基礎(chǔ)題8．在三棱錐中，點Р在底面ABC內(nèi)的射影為Q，若，則點Q定是的______心．外【分析】由可得，故是的外心.【詳解】解：如圖，∵點在底面ABC內(nèi)的射影為,∴平面又∵平面、平面、平面，∴、、在和中，,∴，∴同理可得：,故故是的外心.故外.9．設(shè)，向量，，，且，，則的值為______________.【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標表示以及空間向量共線的坐標表示即可求解.【詳解】，向量，，，，解得，又，，解得，則.故答案為.10．已知數(shù)列的前項和，則______.7【分析】將代入根據(jù)可得出答案；當時由，求出，從而可得出答案.【詳解】當時，；當時，.所以，所以.故11．正三棱臺上底面邊長2，下底面邊長為4，高為3，則該正三棱臺的斜高為___________．##【分析】根據(jù)棱臺的幾何特點，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，作出輔助線，解三角形即可.【詳解】取的中點分別為，連接，取上靠近的三等分點分別為，連接，過作，垂足為，作圖如下：根據(jù)題意可得：，即為所求斜高；易知四邊形為平行四邊形，故可得，在△中，，在△中，，在△中，，故.故答案為.12．已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的前項和________..【分析】利用和求，進而得到的通項公式，再利用等比數(shù)列前項和公式計算即可.【詳解】由得當時，所以，又因為，所以，，即是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，故答案為.13．如圖所示，扇形的半徑為，圓心角為，若扇形繞旋轉(zhuǎn)一周，則圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為__________##【分析】用半球的體積減去圓錐的體積求得正確答案.【詳解】圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為一個半球“挖掉”一個圓錐，其體積為：.故14．若三棱柱的底面是以為斜邊的直角三角形，⊥平面，，，則三棱錐的外接球的表面積為_____．【分析】利用勾股定理求得外接球的半徑，從而求得外接球的表面積.【詳解】三棱錐的外接球即直三棱柱的外接球，直角三角形的外心在斜邊的中點，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故15．已知平面內(nèi)有四點，且任意三點不共線，點為平面外一點，數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，若，則___________.2020【分析】先利用四點共面證明，所以能得到然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解【詳解】因為平面內(nèi)有四點，且任意三點不共線，所以，所以，可整理得，即，易得，因為，所以，即因為為等差數(shù)列，所以，故202016．如圖，圓錐的軸截面是邊長為4的等邊三角形，O為底面中心，M為中點，動點P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）.若，則點P形成的軌跡長度為___________【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設(shè)出動點的坐標，利用向量的坐標公式求出向量坐標，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動點的軌跡方程，得到的軌跡是底面圓的弦，利用勾股定理求出弦長．【詳解】解：建立空間直角坐標系．如圖所示，設(shè)，，，，2，，，，，，．于是有．由于，所以，即，此為點形成的軌跡方程，其在底面圓內(nèi)的長度為．故三、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項和為，，．(1)求的通項公式；(2)求，并求當n取何值時有最小值．(1)(2)，當時，取得最小值【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式以及求和公式，列出方程組，求解即可；（2）等差數(shù)列的求和公式求解，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可.【詳解】（1）解：設(shè)的公差為d，由題意得，即，解得，所以的通項公式為；（2）解：由（1）得，所以當時，取得最小值，最小值為.18．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，，E為PC的中點．Ⅰ證明：平面PAD；Ⅱ求三棱錐的體積．（1）見解析；（2）【詳解】試題分析：（1）設(shè)為的中點，連接，，由為的中位線，推出∥，再根據(jù)，，，即可得四邊形為平行四邊形，從而可證∥平面；（2）由為的中點可得三棱錐，根據(jù)，，可得為等邊三角形，再根據(jù)⊥平面，即可求出三棱錐的體積，從而可得三棱錐的體積.試題解析：（1）證明：設(shè)為的中點，連接，．

∵為的中位線∴∥，且=，又∵∥，∴∴四邊形為平行四邊形∴∥．又平面，平面∴∥平面（2）解：∵為的中點∴三棱錐又∵，∴為等邊三角形∴又∵，∴∵⊥平面∴三棱錐的體積∴三棱錐E—PBD的體積19．某景區(qū)為提升游客觀賞體驗，搭建一批圓錐形屋頂?shù)男∥荩ㄈ鐖D）．現(xiàn)測量其中一個屋頂，得到圓錐的底面直徑長為，母線長為（如圖）．(1)現(xiàn)用鮮花鋪設(shè)屋頂，如果每平方米大約需要鮮花朵，那么裝飾這個屋頂（不含底面）大約需要多少朵鮮花（參考數(shù)據(jù)：）；(2)若是母線的一個三等分點（靠近點），從點到點繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長度．(1)(2)【分析】（1）利用圓錐側(cè)面積公式可求得側(cè)面積，由此可求得結(jié)果；（2）將圓錐側(cè)面展開，可知所求最小長度即為，由扇形弧長公式可求得展開圖圓心角，利用余弦定理可求得.【詳解】（1）由題意知：圓錐的底面半徑，母線長，圓錐的側(cè)面積（），裝飾屋頂大約需要朵鮮花.（2）將圓錐側(cè)面沿母線展開，是側(cè)面展開圖為如圖所示的扇形，則的長度即為燈光帶的最小長度，，，在中，，，，解得：，即燈光帶的最小長度為.20．如圖1，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，O為DE的中點，AB=AC=，BC=4．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如圖2．(1)求證：A1O⊥BD；(2)求直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值；(3)線段A1C上是否存在點F，使得直線DF和BC所成角的余弦值為?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面BCED，從而可得A1O⊥BD；（2）根據(jù)向量法即可求直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在點F，由直線DF和BC所成角的余弦值可得，從而可求得.【詳解】（1），且D，E分別為AB，AC的中點，所以，即，又O為DE的中點，所以，又平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE平面BCED，所以平面BCED，而平面BCED，所以A1O⊥BD.（2）過點作交于點，因為AB=AC=，BC=4，所以，，，，以點為原點，分別以方向為軸建立空間直角坐標系如下圖所示：則，，，，，，，設(shè)平面A1BD的法向量為，則有，即，令，則，則，設(shè)直線A1C和平面A1BD所成角為，則,所以直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值為.（3）設(shè)線段A1C上是否存在點F，且，，，則，因為直線DF和BC所成角的余弦值為，則，即有，解得：或（舍）即點F與點重合時，直線DF和BC所成角的余弦值為，此時.21．已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍；(3)令，是否存在，使得為數(shù)列中的項？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由.(1)證