流體力學(xué)-第九章-邊界層流體

第九章界層流體力小Re數(shù)情形,如大氣中水滴的運(yùn)動(dòng)，軸承中的滑潤(rùn)原 此慣性力項(xiàng)可以從運(yùn)動(dòng)方程中略去，從而得到斯托克斯方為什么在勢(shì)流流動(dòng)中，在壁面附近不能忽略粘性力的影響？——由1904年普朗特（Prandtl）邊界層理論來(lái)解決。論由層流邊界層開(kāi)始轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鬟吔鐚拥木嚯x稱為臨界距離(xcRex Rex實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于光滑的平板壁臨界雷諾數(shù)范圍為（2×105～3×106） 若來(lái)流速度較小，邊界層在管中心匯合時(shí)流動(dòng)為層流，則管內(nèi)流動(dòng)繼續(xù)保持層流，即維持充分發(fā)展的層流流動(dòng)；若來(lái)流速度較大，則在進(jìn)口段內(nèi)首先形成層流邊界層，然后逐漸過(guò)渡到湍流邊界層，再在管中心匯合后形成充分發(fā)展的湍流，如下圖所示。ReRe當(dāng)Re2000 0.05Re當(dāng)Re4000時(shí)，管內(nèi)流動(dòng)為湍流。對(duì)湍流流動(dòng)，進(jìn)口 1.4Re1/d通常將流體速度為來(lái)流速度99%y|u y為垂直于流動(dòng)方向上的距及流動(dòng)距離而變化。在板的前緣處，δ=0；隨著距離的增 δ要比流場(chǎng)流動(dòng)的特征尺寸L小的多，即δ<<L。層內(nèi)的流動(dòng)因 很大，形成 （4-uuuxxyuxXp u2xx22xuyyYp2uy 2uy 2方程(4-1)、(4-2)和(4-3)構(gòu)成了一個(gè)二階非線性偏微(1)(1)y0(壁面)，ux

(2)(2)y0(壁面)，uy(3)y，uxuuxuxd2xu2xxyy2uyuyp2u2y yy①取流動(dòng)距離x作為距離的標(biāo)準(zhǔn)量階，以來(lái)流速度u0作為速度的標(biāo)準(zhǔn)量階，用符號(hào)O來(lái)表示，寫(xiě)成O(x) =1， =1，這也意味著這兩個(gè)物理量的量階相當(dāng)②取邊界層厚度δ作為另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量階，由于δ很小，故以符號(hào)O(δ)=δ來(lái)表示。顯然，標(biāo)準(zhǔn)量階δ與另外一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量階1不在一個(gè)水平上，通常1是δ的103倍。當(dāng)選擇了標(biāo)準(zhǔn)量階以后，可以將其它物理量的量階與標(biāo)準(zhǔn)量階相比（1）ux。 u0x的量階相同，即O(ux)=1。

寫(xiě)成差分形式，uxuxO(1) x將2ux 2ux ux（4）y。由于在邊界層范圍y由壁面處的零值變化至邊界層ux（5） 。由不可壓縮流體的二維連續(xù)性

可知，由O(1

的量階亦必為O(1，所以u(píng)的量階是O(δ。xux。xux)>xx x x1 22 將以上各式代入式（4-4），并進(jìn)行量階比uuxuyu1p2xx x2x 2u2ux通過(guò)量階 2u2ux 的量階，故可將第一項(xiàng)從方程中消去

的量階遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于第uxyuxy12x

（4-由于(4-10)左側(cè)兩個(gè)慣性力的量階均為O(1)，而在邊界層內(nèi)粘性力和性力同階，故右側(cè)粘性力OO 2ux= x12u2OO2uu1dxy22uy (δ) (δ2)[(δ)根據(jù)量階分析可知，等號(hào)右邊中括號(hào)中第一項(xiàng)的量階遠(yuǎn)遠(yuǎn) x x1y2 (δ) y由于O由于OyxO1pdO1pdyx2yxuxuxy12xux xux xy 2 y（4-另外，由于y方向上的普朗特邊界層方程（4-11）中每一項(xiàng)的量階均為O(δ)階，而x方向上普朗特邊界層方程（4-10）中的每一項(xiàng)量階均為O(1)階。由此可見(jiàn)，y方向上的普朗特（4-

（4-uuxuxyux2xyy2ux這是一個(gè)二階非線性偏微分方程組，含有兩個(gè)因變量(ux和uy)和兩個(gè)因變量(x和y)，求解起來(lái)比較，因此可uxux (x,y),u (x,yyxyx 經(jīng)隱含在式（4-12）中了(3)(3)yx0y0(壁面)，u0， y0(壁面 0， 二階非線性偏微分方程組簡(jiǎn)化為一個(gè)三階非線性偏微分的。為此，需要通過(guò)相似變換的方法將偏微分方程找到一個(gè)無(wú)因次位置變量η，使之與xy兩個(gè)自變量同時(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)。這樣就將Ψ與x,y之間的函數(shù)關(guān)系表示為Ψ與η之間的函數(shù)關(guān)系——f成關(guān)于一個(gè)自變量η的常微分方程。yyxf u u0xdfyu0udfuf )00d2f2y0f(x— 0 0u2 x)u0x0xdf x [ fyyu 0x 2 2 2 （1）0(y0ux0)，f

（（2）0(y0uy0)，f（（3）(yuxu0)，fff )24.549352.497281.472711ηf、f'f"值，ηfηf000u udfufu udfuf( x00（4-uu 1u0y [f f2、求邊界層的厚由邊界層厚度的定義可知，當(dāng)時(shí)ux/u0=0.99時(shí)，壁面的法向距離yxx為邊界層厚度δ。參見(jiàn)上表，當(dāng)時(shí)ux/u0=fxx由此可所以將上式寫(xiě)成無(wú)因次形xx5.0Re1/x003、求流動(dòng)阻w,w,yxf

u0 u2Re1/2（4- 2x0（4-對(duì)板面施加的總曳力Fd(主要由摩擦曳力構(gòu)成)Aw,xdAbL0w,x將壁面剪應(yīng)力的公式（4-22）帶入，并積FFd00Ldxx0

CC3DuL00不成立的原因是量級(jí)關(guān)系δxCCD1.328LL試求距平壁前緣0.15m處的邊界層厚度，并計(jì)算在該處距平壁壁面1mm處的ux，uy及速度梯度?ux/?y。空氣的運(yùn)動(dòng)粘度為1.55×10-5m2/s，空氣的密度為1.185kg/m3x0.15 5.80610421.555.01/50.15(5.80610 1/3.11 m x61.55105η=1.6時(shí)，f0.42,f0.516,fuxuxu0f60.5163.096m/ y2x ff)261.55105(1.6060.5160.00493m/2u0x 61.551050.2962.86103 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本節(jié)以不可壓縮流體沿壁面作穩(wěn)態(tài)流動(dòng)為例進(jìn)行討yCBoADx 界層外的來(lái)流速度uyCBoADx 在板的寬度方向取單位厚度（z＝1）。在距壁面前緣x處，取微元制體ABCDA將動(dòng)量守恒定律應(yīng)用

（4-如果只考慮x方向上的受力情況，則Fd(mux) （4- 下面逐 微元體的4個(gè)面的動(dòng)量變化情況AB截面：在沿壁面的法向距離ydy·1流入的質(zhì)量流率為 u2dy過(guò)該微元截面流入的動(dòng)量流 （4-（4-CD截面：從CD截面（x+dx處）流出的質(zhì)量流率和動(dòng)量流率可在AB截面（x處）上的質(zhì)量流率和動(dòng)量流率的一階泰勒展開(kāi)得（4- JABdx

2

（4-yCByCBoADx Juxdy mABdxxx

x yCBoADx yCBoADx BCCD截面AB x0x由于該截面取在邊界層外緣處，故此處的流體均以速度u0流入控制內(nèi)，于是從該截面流入的動(dòng)量流率 BCu00ux1微元控制體內(nèi)的凈動(dòng)量變化速率為：“流入”－“流出”。即d(mux)d(mux)dt0udy1dx2x0u0udy1x0u(uu0xyCyCBoADx 作用于控制體上的力有壁面摩擦力和流體靜壓力，流體微元在各個(gè)面上的受力分析如下：AD面：由于是壁面，AD面僅受摩擦剪應(yīng)力的作FFAD wdx1 “－”代表力的方向與流動(dòng)方向相AB面：由于AB面與流動(dòng)方向垂直，因此只受到左側(cè)流體施加正壓力，而不受摩擦剪應(yīng)力作用，壓力的大小p1)CD面：同樣，由于CD面垂直于流動(dòng)方向，因此也只受到右側(cè)體施加的正壓力，力的大小 ( “－”代表力的方向與流動(dòng)方向相BC面：因該截面與邊界層以外的流體沒(méi)有速度梯度，剪應(yīng)力零，因此也僅受到周圍流體的正壓力作用，作用力的大小為 p( dx1)p 所以流體微元受到的合外力FxFxFABFCDFBC ( )dxp dx pwFxd(Fxd(muxd0(uu)udy0 pwwywy0(uu)udy0xx1py0O1pO1p2所以O(shè)1px3x(u0ux)uxdy1 xy0[(1)-通過(guò)比較各項(xiàng)的量階，上式可以簡(jiǎn)化0(uu)udy0 連續(xù)性方程得到，但這樣問(wèn)題又回到了出發(fā)點(diǎn)，即普朗特邊界層方程的求解問(wèn)題為了避開(kāi)這一難題，可以預(yù)先假定一個(gè)速度分布，將其帶（4-35）說(shuō)明所假定的速度分布是正確的，這種方法求得的近似解稱為實(shí)驗(yàn)近解邊界層內(nèi)的速度分布可以用n次多項(xiàng)式來(lái)近。多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)來(lái)近邊界層的速度分布就已經(jīng)很接近了。于是，可假定邊界層內(nèi)邊界條件

（4-uxabyuxaby23y0,uxy0,y0, xd2u xu x xyyy ,uxy,a0,b3u0,c0,a0,b3u0,c0,d 223uxu3yuxu3y 1y3022（4-xx(uu)udy0 （4-dd(uu)udy00 u0d3u03u0y223 23939u2 0

（4-dd14013xx

（4-xx00xxx00（4-摩擦阻力來(lái)自于壁面剪應(yīng)力將（4-39)式和（4-41）ww,2u032x/u2Re1/ y0距平板前緣x位置處的局部摩擦阻力系數(shù)CDxCCD,w,x0.646Re1/x0 Lbd Lbdxu0d0w,0vL0x0CDCD d 21.292ReL00L，，例題：常壓下溫度為20℃的空氣以的5m/s的流速流過(guò)一系數(shù)和承受的摩擦曳力。設(shè)臨界雷諾數(shù)Rexc=5×105。已20℃1atm下的密度和粘度分別為1.205kg/m31.81×10-5Pa·s。x0.551.2051.66410551.81所以邊界層流動(dòng)為層求邊界層厚4.64xRe1/24.640.5(1.664105)1/2x計(jì)算進(jìn)入邊界層的質(zhì)量流在任意位置x處，進(jìn)入邊界層內(nèi)的質(zhì)量流率可根據(jù)下式求mmx b為平板的寬度；uxymmx03y221y3bdy