傅里葉級數(shù)與傅里葉變換

傅里葉級數(shù)與傅里葉積分變換整理基本概念首先理清下面的概念：三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)（系數(shù)含1/T）三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)改寫為復(fù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)（系數(shù)含1/T）復(fù)指數(shù)形式傅里葉積分，系數(shù)1/T變?yōu)?/(2π)三角函數(shù)形式傅里葉積分(將復(fù)指數(shù)核函數(shù)改寫為三角函數(shù)形式，利用奇偶性變?yōu)橛嘞液撕瘮?shù)).復(fù)指數(shù)形式傅里葉積分與更一般的積分變換：象函數(shù)，象原函數(shù)和核三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù),系數(shù)1/T復(fù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù),系數(shù)1/T復(fù)指數(shù)形式傅里葉積分,系數(shù)1/(2π)上述四種形式都包括了傅里葉正變換和逆變換的過程f(t)=F-1(F(f(t)))更一般的積分變換形式三角函數(shù)形式傅里葉積分,系數(shù)1/(2π)基本公式和變換過程歐拉公式，是連接復(fù)指數(shù)和三角函數(shù)，頻域和時域的橋梁三角函數(shù)改寫為復(fù)指數(shù)形式：，三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)“級數(shù)”就是對數(shù)列求和。其中注意這里的系數(shù)含1/T復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)我們可以把三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)改寫為復(fù)指數(shù)形式，最后甚至合并成一個簡單的式子：其中，即復(fù)指數(shù)形式的傅里葉積分要知道傅里葉級數(shù)最初是用于周期函數(shù)的。對于非周期函數(shù)，工程中通過延拓非周期函數(shù)得到周期函數(shù)。而當(dāng)T趨于+∞時，非周期函數(shù)可視為周期函數(shù)。對于，，當(dāng)時，改寫為，(成為變量)那么累加形式改寫為積分形式：由于，，并結(jié)合一定的書寫習(xí)慣，上式表示為三角函數(shù)形式的傅里葉積分利用歐拉公式，上式也可以改寫為三角函數(shù)形式考慮到函數(shù)奇偶性，可以簡化為：傅里葉變換過程傅里葉級數(shù)和傅里葉積分都可以看作一個函數(shù)歷經(jīng)一次傅里葉正變換加一次逆變換的過程。即：更一般的積分變換形式無論正變換還是逆變換，都可以用更一般的形式來表示：稱為象函數(shù)，稱為象原函數(shù)，二元函數(shù)稱為積分變換的核函數(shù)。常用的核函數(shù)：，積分域[a,b],如果是[-∞,∞]稱為傅氏變換，如果是[0,∞]，并且將iω視為變量，則稱為拉氏變換。框圖概要?dú)W拉公式歐拉公式累加積分，1/T歐拉公式歐拉公式累加積分，1/T=dω/2π三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù),系數(shù)含有積分運(yùn)算和1/T復(fù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù),系數(shù)含有積分運(yùn)算和1/T復(fù)指數(shù)形式傅里葉積分,兩重積分，系數(shù)1/(2π)傅里葉級數(shù)（積分）包含了正變換和逆變換兩個過程f(t)=F-1(F(f(t)))。上面四種形式，被積函數(shù)是F(f(t))eiωt一般的積分變換形式傅氏變換：正變換：核函數(shù)為e-iωt逆變換：核函數(shù)為eiωt并且乘上1/(2π)拉氏變換：正變換：核函