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文檔簡介
2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)滿足,則=()A. B.C. D.2.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A. B. C. D.3.“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.集合的真子集的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.5.若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個(gè)交點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知直線和平面,若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要7.已知,則不等式的解集是()A. B. C. D.8.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件9.已知平面向量,滿足且,若對(duì)每一個(gè)確定的向量,記的最小值為,則當(dāng)變化時(shí),的最大值為()A. B. C. D.110.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.4011.已知若在定義域上恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè)i為數(shù)單位,為z的共軛復(fù)數(shù),若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值是__.14.若滿足,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為______.15.若滿足約束條件,則的最小值是_________,最大值是_________.16.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則的面積為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),直線為曲線的切線(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)用表示中的最小值,設(shè)函數(shù),若函數(shù)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若存在實(shí)數(shù),使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線的切線方程為,求實(shí)數(shù)的值;(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)若在上為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍:(2)若,記的兩個(gè)極值點(diǎn)為,,記的最大值與最小值分別為M,m,求的值.21.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).(Ⅰ)棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面?若存在,寫出的長并證明你的結(jié)論;若不存在,請(qǐng)說明理由.(Ⅱ)求二面角的余弦值.22.(10分)在中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,并且.(1)已知_______________,計(jì)算的面積;請(qǐng)①,②,③這三個(gè)條件中任選兩個(gè),將問題(1)補(bǔ)充完整,并作答.注意,只需選擇其中的一種情況作答即可,如果選擇多種情況作答,以第一種情況的解答計(jì)分.(2)求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡即可得到結(jié)論.【詳解】由,得,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有,,,共有個(gè),根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有,,,共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.3、C【解析】,令解得當(dāng),的圖像如下圖當(dāng),的圖像如下圖由上兩圖可知,是充要條件【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件的概念,以及函數(shù)圖像的畫法.4、C【解析】
根據(jù)含有個(gè)元素的集合,有個(gè)子集,有個(gè)真子集,計(jì)算可得;【詳解】解:集合含有個(gè)元素,則集合的真子集有(個(gè)),故選:C【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義,集合元素的概念,以及真子集的概念,對(duì)于含有個(gè)元素的集合,有個(gè)子集,有個(gè)真子集,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
求得雙曲線的漸近線方程,可得圓心到漸近線的距離,由點(diǎn)到直線的距離公式可得的范圍,再由離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍.【詳解】雙曲線的一條漸近線為,即,由題意知,直線與圓相切或相離,則,解得,因此,雙曲線的離心率.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.6、B【解析】
由線面關(guān)系可知,不能確定與平面的關(guān)系,若一定可得,即可求出答案.【詳解】,不能確定還是,,當(dāng)時(shí),存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件,線面垂直,線線垂直的判定,屬于中檔題.7、A【解析】
構(gòu)造函數(shù),通過分析的單調(diào)性和對(duì)稱性,求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),是單調(diào)遞增函數(shù),且向左移動(dòng)一個(gè)單位得到,的定義域?yàn)?,且,所以為奇函?shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以圖像關(guān)于對(duì)稱.不等式等價(jià)于,等價(jià)于,注意到,結(jié)合圖像關(guān)于對(duì)稱和單調(diào)遞增可知.所以不等式的解集是.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性解不等式,屬于中檔題.8、B【解析】
先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.9、B【解析】
根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點(diǎn).由即可求得點(diǎn)的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式即可求得直線方程,進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點(diǎn)的軌跡方程為又因?yàn)?變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當(dāng)變化時(shí),到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.10、B【解析】
,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,是一道容易題.11、C【解析】
先解不等式,可得出,求出函數(shù)的值域,由題意可知,不等式在定義域上恒成立,可得出關(guān)于的不等式,即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】,先解不等式.①當(dāng)時(shí),由,得,解得,此時(shí);②當(dāng)時(shí),由,得.所以,不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當(dāng)時(shí),,則,此時(shí);當(dāng)時(shí),,此時(shí).綜上所述,函數(shù)的值域?yàn)?,由于在定義域上恒成立,則不等式在定義域上恒成立,所以,,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù),同時(shí)也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想的應(yīng)用,屬于中等題.12、A【解析】
由復(fù)數(shù)的除法求出,然后計(jì)算.【詳解】,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
由題,得,然后根據(jù)純虛數(shù)的定義,即可得到本題答案.【詳解】由題,得,又復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,解得.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查純虛數(shù)定義的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.14、-1【解析】
由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為,由圖可得,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最大,由得即,則有最大值,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.15、06【解析】
作不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,即可求出結(jié)果.【詳解】作出可行域,如圖中的陰影部分:求的最值,即求直線在軸上的截距最小和最大時(shí),當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),軸上截距最大,即z取最小值,.當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),軸上截距最小,即z取最大值,.故答案為:0;6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問題,利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法,屬于中檔題.16、【解析】
由余弦定理先算出c,再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得,即,解得,故的面積.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
試題分析:(1)先求導(dǎo),然后利用導(dǎo)數(shù)等于求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入兩個(gè)曲線的方程,解方程組,可求得;(2)設(shè)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)求得,從而,然后利用求得的取值范圍為.試題解析:(1)對(duì)求導(dǎo)得.設(shè)直線與曲線切于點(diǎn),則,解得,所以的值為1.(2)記函數(shù),下面考察函數(shù)的符號(hào),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí),恒成立.當(dāng)時(shí),,從而.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.,∴,又曲線在上連續(xù)不間斷,所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知唯一的,使.∴;,,∴,從而,∴,由函數(shù)為增函數(shù),且曲線在上連續(xù)不斷知在,上恒成立.①當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上恒成立,記,則,當(dāng)變化時(shí),變化情況列表如下:
3
0
極小值
∴,故“在上恒成立”只需,即.②當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上恒成立,綜合①②知,當(dāng)時(shí),函數(shù)為增函數(shù).故實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn):函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式.【方法點(diǎn)晴】函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中,和切線有關(guān)的題目非常多,我們只要把握住關(guān)鍵點(diǎn):一個(gè)是切點(diǎn),一個(gè)是斜率,切點(diǎn)即在原來函數(shù)圖象上,也在切線上;斜率就是導(dǎo)數(shù)的值.根據(jù)這兩點(diǎn),列方程組,就能解決.本題第二問我們采用分層推進(jìn)的策略,先求得的表達(dá)式,然后再求得的表達(dá)式,我們就可以利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具來求的取值范圍了.18、(1);(2).【解析】
(1)將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù),然后分、、三段求解不等式,綜合可得出不等式的解集;(2)求出函數(shù)的最大值,由題意得出,解此不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】.(1)當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí).綜上所述,不等式的解集;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則,即;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則.綜上所述,函數(shù)的最大值為,由題知,,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解,同時(shí)也考查了絕對(duì)值不等式中的參數(shù)問題,考查分類討論思想的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.19、(1);(2)或【解析】
(1)根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程,構(gòu)造函數(shù),并求得,由導(dǎo)函數(shù)求得有最小值,進(jìn)而可知由唯一零點(diǎn),即可代入求得的值;(2)將解析式代入,結(jié)合零點(diǎn)定義化簡并分離參數(shù)得,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn);求得并令求得極值點(diǎn),列出表格判斷的單調(diào)性與極值,即可確定與有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍.【詳解】(1)依題意,,,設(shè)切點(diǎn)為,,故,故,則;令,,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,由于,故有唯一實(shí)數(shù)根0,即,則;(2)由,得.所以“在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線與曲線在有兩個(gè)交點(diǎn)”;由于.由,解得,.當(dāng)變化時(shí),與的變化情況如下表所示:30+0極小值極大值所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?,,,,故?dāng)或時(shí),直線與曲線在上有兩個(gè)交點(diǎn),即當(dāng)或時(shí),函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用,由切線方程求參數(shù)值,構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍,函數(shù)零點(diǎn)的意義及綜合應(yīng)用,屬于難題.20、(1);(2)【解析】
(1)求導(dǎo).根據(jù)單調(diào),轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立求解(2)由(1)知,是的兩個(gè)根,不妨設(shè),令.根據(jù),確定,將轉(zhuǎn)化為.令,用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋?因?yàn)閱握{(diào),所以對(duì)恒成立,所以,恒成立,因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以;(2)由(1)知,是的兩個(gè)根.從而,,不妨設(shè),則.因?yàn)椋詔為關(guān)于a的減函數(shù),所以..令,則.因?yàn)楫?dāng)時(shí),在上為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí),.從而,所以在上為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想
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