2020高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計(jì) 2.1 抽樣方法講義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1抽樣方法學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.通過對實(shí)例的分析，了解簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣的意義以及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別．（重點(diǎn)、難點(diǎn)、易混點(diǎn)）2．掌握用抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法．（重點(diǎn))3．會根據(jù)不同抽樣方法的特點(diǎn),進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算．（重點(diǎn))通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).1．簡單隨機(jī)抽樣（1）簡單隨機(jī)抽樣的概念一般地，從個(gè)體數(shù)為N的總體中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本（n≤N),如果每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會被取到,那么這樣的抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣．（2)常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法．（3)抽簽法的操作步驟①將總體中的N個(gè)個(gè)體編號；②將這N個(gè)號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；③將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；④從箱中每次抽出1個(gè)號簽，連續(xù)抽取k次;⑤將總體中與抽到的號簽的編號一致的k個(gè)個(gè)體取出．（4）隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本的步驟①將總體中的個(gè)體編號（每個(gè)號碼位數(shù)一致）；②在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開始；③從選定的數(shù)開始按一定的方向讀下去，若得到的號碼在編號中,則取出;若得到的號碼不在編號中或前面已經(jīng)取出，則跳過,如此繼續(xù)下去，直到取滿為止；④根據(jù)選定的號碼抽取樣本．2．分層抽樣（1）分層抽樣的概念當(dāng)總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí),為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將總體中的個(gè)體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比實(shí)施抽樣，這樣的抽樣方法稱為分層抽樣．(2）分層抽樣的步驟①將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分層；②計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比；③按各層的個(gè)體數(shù)占總體的個(gè)體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；④在每一層進(jìn)行抽樣(可用簡單隨機(jī)抽樣)．1．下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機(jī)抽樣的是________．①從無限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作樣本；②盒子里有80個(gè)零件，從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),在抽樣操作時(shí)，從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里；③從8臺電腦中不放回地隨機(jī)抽取2臺進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．(假設(shè)8臺電腦已編好號，對編號隨機(jī)抽取）③[判斷一個(gè)抽樣是否為簡單隨機(jī)抽樣，關(guān)鍵在于判斷它們是否符合“有限”“逐個(gè)"“不放回"“等可能”等特點(diǎn)．依據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的這些特點(diǎn)，知①②不對，③對．]2．①某班期中考試有10人在85分以上，25人在60～84分，5人不及格,欲從中抽出8人參加改進(jìn)教學(xué)研討；②某班級舉行元旦晚會，要產(chǎn)生兩名“幸運(yùn)者”．則合適的抽樣方法分別為________．分層抽樣，簡單隨機(jī)抽樣［結(jié)合兩種抽樣方法的特點(diǎn)判斷．］3．總體由編號為01,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成,利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號為________．781665720802631407024369972801983204923449358200362348696938748101[由隨機(jī)數(shù)法的隨機(jī)抽樣的過程可知選出的5個(gè)個(gè)體是08,02，14，07,01，所以第5個(gè)個(gè)體的編號是01。]4．用隨機(jī)數(shù)表法從100名學(xué)生（男生58人)中抽取30人進(jìn)行“學(xué)習(xí)態(tài)”調(diào)研，某男同學(xué)被抽到的可能性為________．0．3[因?yàn)闃颖救萘繛?0，總體中的個(gè)體數(shù)為100，所以總體中的每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性為eq\f（30,100）＝0.3。］簡單隨機(jī)抽樣【例1】下面的抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣嗎？為什么？(1）從無數(shù)個(gè)個(gè)體中抽取20個(gè)個(gè)體作為樣本；(2）從50臺冰箱中一次性抽取5臺冰箱進(jìn)行質(zhì)量檢測;(3）某班有40名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽;（4)一彩民選號，從裝有36個(gè)大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個(gè)號簽．思路點(diǎn)撥：簡單隨機(jī)抽樣主要有四個(gè)特點(diǎn)：①總體的個(gè)體數(shù)有限；②逐個(gè)抽取;③不放回；④等可能．根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)逐一判斷即可．[解］（1）不是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)榭傮w的個(gè)體數(shù)是無限的,而不是有限的．（2)不是簡單隨機(jī)抽樣．雖然“一次性”抽取和“逐個(gè)”抽取不影響個(gè)體被抽到的可能性，但簡單隨機(jī)抽樣的定義要求的是“逐個(gè)”抽取．（3)不是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)槭侵付▊€(gè)子最高的5名同學(xué)參加比賽，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是不同的，所以不是等可能抽樣．(4）是簡單隨機(jī)抽樣．因?yàn)榭傮w的個(gè)體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取的，是不放回、等可能抽?。?．要判斷所給的抽樣方法是不是簡單隨機(jī)抽樣，關(guān)鍵是看它們是否符合簡單隨機(jī)抽樣的定義，即簡單隨機(jī)抽樣的四個(gè)特點(diǎn):總體有限、逐個(gè)抽取、無放回抽樣、等可能抽取．2．一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制作號簽是否方便，二是號簽是否容易被攪拌均勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較少時(shí)可用抽簽法．3．利用隨機(jī)數(shù)表法抽取個(gè)體時(shí)，關(guān)鍵是先確定以表中的哪個(gè)數(shù)（哪行哪列)作為起點(diǎn),以哪個(gè)方向作為讀數(shù)的方向．需注意讀數(shù)時(shí)結(jié)合編號特點(diǎn)進(jìn)行讀取，編號為兩位，則兩位、兩位地讀??；編號為三位，則三位、三位地讀取．1．用簡單隨機(jī)抽樣方法從含有10個(gè)個(gè)體的總體中，抽取一個(gè)容量為3的樣本，其中某一個(gè)體a“第一次被抽到"的可能性，“第二次被抽到”的可能性分別是________．eq\f(1，10），eq\f（1,10)[簡單隨機(jī)抽樣中，個(gè)體a每一次被抽中的概率是相等的，都為eq\f(1,10）。］2．關(guān)于簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn),有以下幾種說法,其中不正確的是________．①要求總體的個(gè)數(shù)有限；②從總體中逐個(gè)抽?。虎鬯且环N不放回抽樣；④每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會不一樣,與先后有關(guān)．④[由簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)知④不對．]分層抽樣【例2】一個(gè)單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了解這個(gè)單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽?。克悸伏c(diǎn)撥:由于職工年齡與這項(xiàng)指標(biāo)有關(guān)，故應(yīng)分層抽樣來抽取樣本．[解]用分層抽樣來抽取樣本,步驟是：（1）分層．按年齡將職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工;50歲及50歲以上的職工．（2)確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)．抽樣比為eq\f（100,500)＝eq\f（1,5)，則在不到35歲的職工中抽125×eq\f(1,5）＝25（人)；在35歲至49歲的職工中抽280×eq\f(1,5）＝56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽95×eq\f(1,5）＝19（人)．（3)在各層分別按抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本．（4）綜合各層抽樣,組成樣本．1．當(dāng)總體是由差異明顯的幾部分組成時(shí)，可采用分層抽樣．2．利用分層抽樣抽取樣本的操作步驟為：（1）將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層；(2)計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比；(3)按各層的個(gè)體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；（4）在每一層進(jìn)行抽樣（用簡單隨機(jī)抽樣)；(5)最后將每一層抽取的樣本匯總合成樣本．3．對于分層抽樣中的比值問題，常利用以下關(guān)系式：（1）eq\f（樣本容量n,總體的個(gè)數(shù)N)＝eq\f(各層抽取的個(gè)體數(shù)，該層的個(gè)體數(shù));（2）總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．3．下列問題中,最適合用分層抽樣抽取樣本的是________．①從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會；②某社區(qū)有500個(gè)家庭,其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了解生活購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本．②[①中總體所含個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較少,適合用簡單隨機(jī)抽樣；②中總體所含個(gè)體差異明顯，適合用分層抽樣．］4．某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽出16人參加軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是________．9,7［抽樣比為eq\f（16,54＋42）＝eq\f(1，6）,則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是54×eq\f（1，6)＝9，42×eq\f（1,6)＝7。]抽樣方法的綜合應(yīng)用【例3】為考察某校的教學(xué)水平，抽查了這個(gè)學(xué)校高三年級部分學(xué)生的本年度考試成績進(jìn)行考察．為全面地反映實(shí)際情況，采取以下兩種方式進(jìn)行(已知該校高三年級共有14個(gè)教學(xué)班，假定該校每班人數(shù)都相同，且高三年級共有學(xué)生700人）．①從全年級14個(gè)班中任意抽取一個(gè)班，再從該班中任意抽取14人,考察他們的學(xué)習(xí)成績；②把該校高三年級的學(xué)生按成績分成優(yōu)秀，良好，普通三個(gè)級別，從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行考察(已知若按成績分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀學(xué)生有105名,良好學(xué)生有420名，普通學(xué)生有175名)．根據(jù)上面的敘述，試回答下列問題：(1)上面兩種抽取方式中，其總體、個(gè)體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？（2)上面兩種抽取方式各自采用何種抽取樣本的方法？（3)試分別寫出上面兩種抽取方法各自抽取樣本的步驟．思路點(diǎn)撥：①總體：在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題中所要考察對象的全體叫總體．②個(gè)體：總體中的每個(gè)考察對象叫個(gè)體．③樣本:從總體中抽取的一部分個(gè)體叫樣本．④樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫樣本容量．對照兩種抽樣方法的特點(diǎn)及適用范圍判斷求解．一旦確定了抽取樣本的方法，就依據(jù)該抽取樣本方法的一般操作步驟進(jìn)行．［解］（1)這兩種抽取方式中，其總體都是指該校高三全體學(xué)生本年度的考試成績，個(gè)體都是指高三年級每個(gè)學(xué)生本年度的考試成績．其中第一種抽取方式中樣本為所抽取的14名學(xué)生本年度的考試成績，樣本容量為14;第二種抽取方式中樣本為所抽取的100名學(xué)生本年度的考試成績，樣本容量為100.（2)上面二種抽取方式中,第一種方式采用的方法是簡單隨機(jī)抽樣法，第二種方式采用的方法是分層抽樣法和簡單隨機(jī)抽樣法．(3）第一種方式抽樣的步驟如下：第一步在這14個(gè)班中用抽簽法任意抽取一個(gè)班;第二步從這個(gè)班中按學(xué)號用隨機(jī)數(shù)表法或抽簽法抽取14名學(xué)生，考察其考試成績．第二種方式抽樣的步驟如下:第一步按成績分層，其中優(yōu)秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取樣本中,應(yīng)該把全體學(xué)生分成三個(gè)層次；第二步確定各個(gè)層次抽取的人數(shù)，因?yàn)闃颖救萘颗c總體數(shù)的比為100∶700＝1∶7，所以在每個(gè)層抽取的個(gè)體數(shù)依次為eq\f（105，7），eq\f（420,7),eq\f(175,7）,即15,60,25；第三步各層分別抽取,在優(yōu)秀生中用簡單隨機(jī)抽樣法抽取15人,在良好生中用簡單隨機(jī)抽樣法抽取60人,在普通生中用簡單隨機(jī)抽樣法抽取25人；第四步將所抽取的個(gè)體組合在一起構(gòu)成樣本．1．下列問題中，采用怎樣的方法較為合理？（1）從高二（3)班10名獲獎(jiǎng)學(xué)生中抽取2名介紹學(xué)習(xí)方法;(2)某校有在校高中生共1600人，其中女生780人，男生820人，為調(diào)查學(xué)生的消費(fèi)情況，需抽取一個(gè)容量為80的樣本．思路點(diǎn)撥：依據(jù)兩種抽樣方法各自特點(diǎn)及選擇抽樣方法的規(guī)律作判斷．[解］(1）總體容量較小宜用抽簽法；(2)因女生與男生的消費(fèi)情況有明顯差異,宜用分層抽樣．2．某生產(chǎn)企業(yè)共有800人，其中管理人員40人、技術(shù)人員120人、一線工人640人．現(xiàn)要調(diào)查了解全廠人員的家庭人均生活費(fèi)用情況．試用恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǔ槿∫粋€(gè)容量為40的樣本,并簡要說明操作過程．思路點(diǎn)撥:家庭人均生活費(fèi)用的差別與人員職務(wù)有關(guān),故應(yīng)采用分層抽樣的方法．[解］調(diào)查了解家庭人均生活費(fèi)用情況應(yīng)采用分層抽樣的方法．三類人員的人數(shù)比為40∶120∶640＝1∶3∶16,所以分別抽取40×eq\f（1,20)＝2（人)，120×eq\f（1,20)＝6(人），640×eq\f（1,20）＝32(人）．又由于管理人員、技術(shù)人員人數(shù)較少，故可采用抽簽法,而一線工人人數(shù)較多，可采用隨機(jī)數(shù)表法．1．簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣是兩種常用的抽樣方法，在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．2．兩種抽樣的適用范圍不同，各自的特點(diǎn)也不同,但各種方法間又有密切聯(lián)系．在應(yīng)用時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況選取合適的方法．3．兩種抽樣中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都是相同的．提醒：選擇抽樣方法的規(guī)律：(1）當(dāng)容量較小樣本容量也較小時(shí),制簽簡單，號簽容易攪拌,可采用抽簽法．(2）當(dāng)總體容量較大,樣本容量較小時(shí)，可采用隨機(jī)數(shù)表法．(3)當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，可采用分層抽樣．1．本節(jié)課的重點(diǎn)是記住分層抽樣的特點(diǎn)和步驟，難點(diǎn)是會用分層抽樣從總體中抽取樣本．2．簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣的共同點(diǎn)(1）抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等．(2)每次抽出的個(gè)體不再放回，即不放回抽樣．3．要掌握分層抽樣的兩類問題(1）根據(jù)分層抽樣的特征判斷分層抽樣．(2）根據(jù)分層抽樣的步驟設(shè)計(jì)分層抽樣,特別是當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時(shí)注意剔除個(gè)體．1．為了解參加運(yùn)動(dòng)會的2000名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽取20名運(yùn)動(dòng)員的年齡進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．就這個(gè)問題,下列說法中正確的有________．(填序號)①2000名運(yùn)動(dòng)員是總體；②每個(gè)運(yùn)動(dòng)員是個(gè)體；③所抽取的20名運(yùn)動(dòng)員是一個(gè)樣本；④樣本容量為20;⑤這個(gè)抽樣方法可采用隨機(jī)數(shù)表法抽樣；⑥每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的機(jī)會相等．④⑤⑥[①2000名運(yùn)動(dòng)員不是總體，2000名運(yùn)動(dòng)員的年齡才是總體．②每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的年齡是個(gè)體．③20名運(yùn)動(dòng)員的年齡是一個(gè)樣本，考察對象是運(yùn)動(dòng)員的年齡而不是運(yùn)動(dòng)員,故①②③都不對，④⑤⑥正確．］2．某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150,150,400，300名學(xué)生，為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)中共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為________．16［150＋150＋400＋300＝1000，從1000人中抽40人，抽樣比為eq\f(40,1000)＝eq\f（1,25），則應(yīng)從丙專業(yè)中抽取400×eq\f（1，25)＝16(人）．]3．要考察某公司生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)．利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將800袋牛奶按000，001，…,799進(jìn)行編號，如果從隨機(jī)數(shù)表第8行第7列的數(shù)開始向右讀，請你依次寫出最先檢測的5袋牛奶的編號:________。（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行）行隨機(jī)數(shù)表數(shù)值784421753315724550688770474476721763350258392120676863016378591695556719981050717512867358074439523879933211234297864560782524207443815510013429966027954785,567,199,507，175[采用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，在讀數(shù)的過程中一定要