2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)真題源大題分類講義之專題12 隨機(jī)變量的均值與方差（原卷版）

12.隨機(jī)變量的均值與方差一．求均值【例1】（2016年·課標(biāo)2）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234保費(fèi)設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)01234概率0.300.150.200.200.100.05（1）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（2）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出的概率；（3）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.【例2】（2013年·新課標(biāo)1）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為50%，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立（1）求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．二．求方差【例3】（北京市海淀區(qū)2021屆高三上學(xué)期期末考試模擬）據(jù)有關(guān)權(quán)威發(fā)布某種傳染病的傳播途徑是通過(guò)呼吸傳播，若病人（患了某種傳染病的人）和正常人（沒(méi)患某種傳染病的人）都不戴口罩而且交流時(shí)距離小于一米90%的機(jī)率被傳染，若病人不戴口罩正常人戴口罩且交流時(shí)距離小于一米時(shí)60%的機(jī)率被傳染，若病人戴口罩而正常人不戴口罩且交流距離小于一米時(shí)30%的機(jī)率被傳染上，若病人和正常人都帶口罩且交流距離大于一米時(shí)不會(huì)被傳染．為此對(duì)某地經(jīng)常出入某場(chǎng)所的人員通過(guò)抽樣調(diào)查的方式對(duì)戴口罩情況做了記錄如下表男士女士戴口罩不戴口罩戴口罩不戴口罩甲地40203010乙地10304515假設(shè)某人是否戴口罩互相獨(dú)立（1）求去甲地的男士帶口罩的概率，用上表估計(jì)所有去甲地的人戴口罩的概率．（2）若從所有男士中選1人，從所有女士中選2人，用上表的頻率估計(jì)概率，求戴口罩人數(shù)X的分布列和期望．（3）上表中男士不戴口罩記為“”，戴口罩記為“”，確定男士戴口罩的方差為，和女士不戴口罩記為“”，戴口罩記為“”確定女士戴口罩的方差為．比較和的大小，并說(shuō)明理由．【演練提高】1．（2022年高三數(shù)學(xué)新高考測(cè)評(píng)卷（猜題卷七））為了解決家長(zhǎng)接送孩子放學(xué)的問(wèn)題，教育部提出推行課后服務(wù)“”模式，即學(xué)校每周5天都要開(kāi)展課后服務(wù)，每天至少開(kāi)展2h，結(jié)束時(shí)間要與當(dāng)?shù)卣Ｏ掳鄷r(shí)間相銜接，且不得利用課后服務(wù)時(shí)間講新課.為了課后服務(wù)的有序開(kāi)展，某教育局就課后服務(wù)的時(shí)長(zhǎng)在網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行意見(jiàn)征集，并從中隨機(jī)抽取了100份調(diào)查表，以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）從樣本中隨機(jī)抽取2份調(diào)查表，若其中一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)200min，求另一份調(diào)查表所建議的課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)也超過(guò)200min的概率；（2）為了進(jìn)一步了解課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的需求情況，從樣本中建議課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)180min的人中分層抽取10人，再?gòu)倪@10人中任取3人，記建議課后服務(wù)時(shí)長(zhǎng)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.2．（2022年高三數(shù)學(xué)新高考測(cè)評(píng)卷（猜題卷三））學(xué)生視力不良問(wèn)題是教育部基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)中心發(fā)布的我國(guó)首份《中國(guó)義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)報(bào)告》中指出的眾多問(wèn)題之一，為了解學(xué)生的視力情況，某學(xué)校從A，B兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各隨機(jī)選取了100人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)后獲得如下統(tǒng)計(jì)表：近視人數(shù)不近視人數(shù)合計(jì)A年級(jí)7525100B年級(jí)4555100合計(jì)12080200（1）能否有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生的視力情況與年級(jí)有關(guān)？（2）以樣本的頻率估計(jì)總體的概率，若從A年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記4人中不近視的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，.0.0100.0050.001k6..6357.87910.8283．（2022年高三數(shù)學(xué)新高考測(cè)評(píng)卷（猜題卷四））某商店計(jì)劃七月份訂購(gòu)某種飲品，進(jìn)貨成本為每瓶元，未售出的飲品降價(jià)處理，以每瓶元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.依經(jīng)驗(yàn)，零售價(jià)與日需求量依據(jù)當(dāng)天的溫度而定，當(dāng)氣溫時(shí)，零售價(jià)為每瓶元，日需求量為瓶；當(dāng)時(shí)，零售價(jià)為每瓶元，日需求量為瓶；當(dāng)時(shí)，零售價(jià)為每瓶元，日需求量為瓶.已知七月份每天氣溫的概率為，的概率為，的概率為.（1）求七月份這種飲品一天的平均需求量；（2）若七月份某連續(xù)三天每天的氣溫均不低于，求這三天銷(xiāo)售這種飲品的總利潤(rùn)的分布列及數(shù)學(xué)期望.4．（2022年高三數(shù)學(xué)新高考測(cè)評(píng)卷）大力開(kāi)展體育運(yùn)動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，是學(xué)校教育的重要目標(biāo)之一.某校開(kāi)展體能測(cè)試，A，B，C三名男生準(zhǔn)備在跳高測(cè)試中挑戰(zhàn)1.80米的高度，已知每名男生有兩次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)，若第一跳成功，則等級(jí)為“優(yōu)秀”，挑戰(zhàn)結(jié)束；若第一跳失敗，則再跳一次，若第二跳成功，則等級(jí)為“優(yōu)秀”，若第二跳失敗，則等級(jí)為“良好”，挑戰(zhàn)結(jié)束．已知A，B，C三名男生成功跳過(guò)1.80米的概率分別是，，，且每名男生每跳相互獨(dú)立.（1）求A，B，C三名男生在這次跳高挑戰(zhàn)中共跳5次的概率；（2）記這次體能測(cè)試中A，B，C三名男生跳高的等級(jí)為“優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.5．（“四省八?！?022屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）某校高三2班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中小學(xué)生對(duì)勞動(dòng)教育重要性的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)需從中抽取2人參加學(xué)校開(kāi)展的勞動(dòng)技能學(xué)習(xí)，學(xué)校提供了：除草?翻地?播種?澆水四個(gè)項(xiàng)目.規(guī)定女生等可能的從中選擇1個(gè)或者2個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行勞動(dòng)學(xué)習(xí)，男生等可能的從中選擇1個(gè)或者2個(gè)或者3個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行勞動(dòng)學(xué)習(xí)，每參加1個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目的學(xué)習(xí)獲得10分，求：（1）在至少有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的條件下，恰有一名女生參加勞動(dòng)學(xué)習(xí)的概率；（2）記該小組得分為X，求X的期望.6．（重慶市第八中學(xué)2022屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性月考卷）隨著人們節(jié)能減排意識(shí)的提高以及共享單車(chē)的大范圍推廣，越來(lái)越多的市民在出行時(shí)愿意選擇共享單車(chē).為了研究廣大市民在共享單車(chē)上的使用情況，某公司在我市隨機(jī)抽取了200名用戶進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周使用次數(shù)1次2次3次4次5次6次及以上男866141660女1210881240合計(jì)2016142228100（1）如果認(rèn)為每周使用超過(guò)3次的用戶為“喜歡騎行共享單車(chē)”，請(qǐng)你判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為是否“喜歡騎行共享單車(chē)”與性別有關(guān)?（2）每周使用共享單車(chē)6次及6次以上的用戶稱為“騎行達(dá)人”，用頻率估計(jì)概率，在我市所有“騎行達(dá)人”中，隨機(jī)抽取4名用戶.①求抽取的4名用戶中，沒(méi)有男性“騎行達(dá)人”的概率；②為了鼓勵(lì)女性用戶使用共享單車(chē)，對(duì)抽出的女性“騎行達(dá)人”每人獎(jiǎng)勵(lì)200元，記獎(jiǎng)勵(lì)總金額為，求的數(shù)學(xué)期望及方差.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8287．（江蘇省揚(yáng)州市高郵市2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期期初學(xué)情調(diào)研）為進(jìn)一步完善公共出行方式，倡導(dǎo)“綠色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行車(chē)服務(wù)系統(tǒng)，為了鼓勵(lì)市民租用公共自行車(chē)出行，同時(shí)希望市民盡快還車(chē)，方便更多的市民使用，公共自行車(chē)按每次的租用時(shí)間進(jìn)行繳費(fèi)，具體繳費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：①租用時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)，免費(fèi)；②超出一小時(shí)后每小時(shí)1元（不足一小時(shí)按一小時(shí)計(jì)算），一天24小時(shí)最高收費(fèi)10元.某日甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車(chē)一次，且兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)，設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過(guò)一小時(shí)的概率分別是0.5，0.4；租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別是0.2，0.4.（1）求甲比乙付費(fèi)多的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人付費(fèi)之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.8．（湖北省武漢市2022屆高三下學(xué)期2月調(diào)研考）迎接冬季奧運(yùn)會(huì)期間，某市對(duì)全體高中學(xué)生舉行了一次關(guān)于冬季奧運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)的測(cè)試.統(tǒng)計(jì)人員從全市高中學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測(cè)試滿分為100分，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生的測(cè)試成績(jī)都在區(qū)間內(nèi)，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)這200名學(xué)生的平均成績(jī)；（2）用樣本頻率估計(jì)總體，從全市高中學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的人數(shù)為，記，比較與的大小關(guān)系.9．（陜西省咸陽(yáng)市2022屆高三下學(xué)期一模）為豐富社區(qū)群眾的文化生活，某社區(qū)利用周末舉辦羽毛球比賽．經(jīng)過(guò)抽簽，甲乙兩人進(jìn)行比賽，比賽實(shí)行三局兩勝制（若某人勝了兩局則為獲勝方，比賽結(jié)束）．根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲乙兩人比賽時(shí)，甲每局獲勝的概率為，每局比賽相互獨(dú)立．（1）求甲獲勝的概率；（2）比賽規(guī)則規(guī)定：比賽實(shí)行積分制，勝一局得3分，負(fù)一局得1分；若連勝兩局，則還可獲得5分的加分．用X表示甲乙比賽結(jié)束后甲獲得的積分,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．10．（江蘇省南通市如東縣2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末）大氣污染物PM2.5(大氣中直徑小于或等于2.5μm的顆粒物)的濃度超過(guò)一定的限度會(huì)影響人的身體健康.為了研究PM2.5的濃度受汽車(chē)流量影響的程度，某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)選擇了學(xué)校附近5個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)每個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)24h內(nèi)過(guò)往的汽車(chē)流量(單位：千輛)，同時(shí)在低空相同的高度測(cè)定每個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)該時(shí)間段內(nèi)的PM2.5的平均濃度(單位：μg/m3)，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：監(jiān)測(cè)點(diǎn)編號(hào)12345汽車(chē)流量1.31.21.61.00.9PM2.5濃度66721133435根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：（1）建立PM2.5的濃度關(guān)于汽車(chē)流量的一元線性回歸模型；（2）我國(guó)規(guī)定空氣中PM2.5的濃度安全標(biāo)準(zhǔn)為24h平均濃度為75μg/m3，該地為使PM2.524h平均濃度不超過(guò)68.6，擬對(duì)汽車(chē)流量作適當(dāng)控制，請(qǐng)你根據(jù)本題數(shù)據(jù)估計(jì)汽車(chē)流量控制的最大值；（3）從5個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)中抽取3個(gè)，記PM2.5平均濃度不超過(guò)68.6的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：＝＝，＝－.12．一個(gè)不透明袋子里裝有紅色小球x個(gè)，綠色小球y個(gè)，藍(lán)色小球z個(gè)，小球除顏色外其他都相同.從中任取一個(gè)小球，規(guī)定取出的小球是藍(lán)色的積3分，綠色的積2分，紅色的積1分.（1）若，從該袋子中隨機(jī)有放回的抽取2個(gè)小球，記X為取出小球的積分之和，求X的分布列；（2）從該袋子中隨機(jī)取一個(gè)小球，記Y為此小球的對(duì)應(yīng)積分，若，求.11．（湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期11月月考）龐大集團(tuán)擁有數(shù)十萬(wàn)員工，年齡在25周歲以下的占40%.調(diào)研部為研究員工的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，按“25周歲以下組”和“25周歲以上組（含25周歲）”，用分層抽樣的方法抽取了100人的樣本進(jìn)行調(diào)研.將兩組員工的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，設(shè)其中為“25周歲以下組”的人數(shù)為X，求X的分布列；（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”.調(diào)研部想通過(guò)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法來(lái)研究“工人的年齡”與“是否是生產(chǎn)能手”是否有關(guān).請(qǐng)完成下列2×2列聯(lián)表.生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)25周歲以上組6025周歲以下組40合計(jì)3070100（3）調(diào)研部利用上表求得K2≈1.79.從而得出結(jié)論：某員工所屬年齡組與是否為生產(chǎn)能手無(wú)關(guān)，可視為獨(dú)立事件進(jìn)行研究.已知龐大集團(tuán)所有員工中，生產(chǎn)能手占30%，現(xiàn)從龐大集團(tuán)所有員工中隨機(jī)抽取2人，設(shè)其中為25周歲以下組的生產(chǎn)能手的人數(shù)為Y，求Y的期望和方差.12．（2022年全國(guó)高中名校名師原創(chuàng)預(yù)測(cè)卷）已知羽毛球單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，下一回合繼續(xù)發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且下一回合成為發(fā)球方．現(xiàn)甲、乙二人進(jìn)行羽毛球單打比賽，若甲發(fā)