2022-2023學(xué)年廣東省四中、三中、培正三校高二年級上冊學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年廣東省四中、三中、培正三校高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線經(jīng)過原點(diǎn)和，則的傾斜角是（

）A．－60° B．60° C．120° D．150°C【分析】根據(jù)直線經(jīng)過兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出斜率，進(jìn)而根據(jù)以及直線傾斜角的范圍即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過原點(diǎn)和，所以，設(shè)直線的傾斜角為，故，因?yàn)?，所以，故選：C.2．直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（

）A． B．C．或 D．與的位置關(guān)系不能判斷B【分析】觀察到的直線的方向向量與平面的法向量共線，由此得到位置關(guān)系．【詳解】解：直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，顯然它們共線，所以．故選：B．3．直線在軸，軸上的截距相等，則的值為A． B．2 C．或2 D．4或C【分析】先考慮直線過原點(diǎn)情況，再考慮截距不為0的情況,分別求得直線在軸，軸上的截距，由截距相等求得m的值．【詳解】若直線過（0，0）點(diǎn)，則-4-m=0,則m=-4,令x=0,則y=,再令y=0,則，由在軸，軸上的截距相等，得，解得m=2.綜上m=2或m=-4.選C.截距相等要分兩種情況考慮，一種是直線過原點(diǎn)，即截距為0，另一種是截距不為0的情況．4．已知直線，，且，點(diǎn)到直線的距離（

）A． B．C． D．D【分析】根據(jù)兩直線垂直公式求得，再用點(diǎn)到線的距離求解即可【詳解】由可得，解得，故故選：D5．棱長為1的正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC，AD上的點(diǎn)，且滿足，，則（

）A． B． C． D．D【分析】用表示，然后計(jì)算數(shù)量積．【詳解】由已知，因?yàn)?，，所以，，．故選：D．6．已知點(diǎn)，．若直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．A【分析】直線l過定點(diǎn)P（1，1），且與線段AB相交，利用數(shù)形結(jié)合法，求出PA、PB的斜率，從而得出l的斜率的取值范圍,即得解【詳解】設(shè)直線過定點(diǎn)，則直線可寫成，令解得直線必過定點(diǎn)．，．直線與線段相交，由圖象知，或，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A本題考查了直線方程的應(yīng)用，過定點(diǎn)的直線與線段相交的問題，考查了學(xué)生綜合分析、數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．7．若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（

）A． B． C． D．D【分析】直線始終平分圓的周長，即直線經(jīng)過點(diǎn),即故點(diǎn)在直線上,可看作動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得.【詳解】解：，故圓的圓心坐標(biāo)為，直線始終平分圓的周長，即直線經(jīng)過點(diǎn),故，即.可看作動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，又因?yàn)?，故點(diǎn)在直線上,所以的最小值為點(diǎn)到直線的距離.∵∴∴即的最小值為.故選：D.8．平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．A【詳解】試題分析：如圖，設(shè)平面平面=，平面平面=，因?yàn)槠矫?，所以，則所成的角等于所成的角.延長，過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補(bǔ).二、多選題9．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．和夾角的余弦值是 D．平面的一個法向量是BD【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示可知A錯誤；根據(jù)與同向的單位向量為，計(jì)算可知B正確；利用向量夾角公式計(jì)算可知C錯誤；根據(jù)法向量的求法可知D正確.【詳解】對于A，，，可知，與不共線，A錯誤；對于B，，，，即與同向的單位向量是，B正確；對于C，，，即和夾角的余弦值為，C錯誤；對于D，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，即平面的一個法向量為，D正確.故選：BD.10．已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．的一個方向向量為B．直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為C．與直線垂直D．與直線平行AC【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程，結(jié)合直線的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題意直線的斜率為，直線方程為，即，它與直線重合，D錯誤；，因此是直線的一個方向向量，A正確；在直線方程中令得，令得，直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為，B錯誤；由于，C正確故選：AC11．如圖，在所有棱長均為2的四棱錐中，O為底面正方形的中心，M為側(cè)棱的中點(diǎn)，N為側(cè)棱上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．無論動點(diǎn)N在什么位置，平面B．直線和直線所成角的大小為C．的正弦值的最大值為D．二面角的大小為ABC【分析】對于A：利用線面平行的判定定理直接證明平面；對于B：求出與所成角為；對于C：先判斷出，即可求出的最大值；對于D：取中點(diǎn)中點(diǎn),連接,判斷出為二面角的平面角.即可求解.【詳解】對于A：因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所?又面，面，所以平面，即平面.故A正確；對于B：連接.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以.又在等邊△中,與所成角為，所以與所成角為.故B正確；對于C：連接交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn).因?yàn)樗欣忾L均為2，所以,.又,平面,平面,所以平面.又平面,所以,所以.在△中,,所以的最大值為.故C正確；對于D：取中點(diǎn)中點(diǎn),連接.因?yàn)?所以；因?yàn)闉檎叫危?，所以為二面角的平面?因?yàn)椋?，所以，所?故D錯誤.故選：ABC.12．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)；平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，.點(diǎn)P滿足，設(shè)點(diǎn)P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的方程為 B．在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)（1，1）的距離為10C．在C上存在點(diǎn)M，使得 D．C上的點(diǎn)到直線的最大距離為9AD【分析】由題意可設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)的距離公式代入化簡可判斷A選項(xiàng)；由兩點(diǎn)的距離公式和圓的圓心得出點(diǎn)（1，1）到圓上的點(diǎn)的最大距離，由此可判斷B選項(xiàng).設(shè)，由已知得，聯(lián)立方程求解可判斷C選項(xiàng)；由點(diǎn)到直線的距離公式求得C上的點(diǎn)到直線的最大距離，由此可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：由題意可設(shè)點(diǎn)，由，，，得，化簡得，即，故A正確；點(diǎn)（1，1）到圓上的點(diǎn)的最大距離，故不存在點(diǎn)D符合題意，故B錯誤.設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程消去得，解得無解，故C錯誤；C的圓心（-4，0）到直線的距離為，且曲線C的半徑為4，則C上的點(diǎn)到直線的最大距離，故D正確；故選：AD.三、填空題13．已知向量，，若與垂直，則___________.【分析】根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可求出的值，結(jié)合向量坐標(biāo)求向量模的求法，即可得出結(jié)果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為.14．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點(diǎn)F，G分別是AB，CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)D1到直線GF的距離為________．【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到直線的距離．【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)到直線的距離：．點(diǎn)到直線的距離為．故．15．圓：關(guān)于直線：對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____________..【分析】由圓C的一般方程化為其標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓C的圓心和半徑，再求得圓心C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得答案.【詳解】解：由圓：得其標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心的坐標(biāo)為，半徑.設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以所求圓的方程為.故答案為.16．已知，則的最小值為_____________．【分析】已知提取，剩下的部分表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與它到直線的距離之和，而這個和的最小值是原點(diǎn)到直線的距離，由此可得結(jié)論．【詳解】,表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與它到直線的距離之和，由平面幾何知識可知這個距離和的最小值是原點(diǎn)到直線的距離．所以題中所求的最小值是．故．四、解答題17．如圖，在邊長為2的正方體中，分別為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離.(1)見解析(2)【分析】（1）建立坐標(biāo)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求平面法向量即可求解，（2）利用向量法求解點(diǎn)面距離即可．【詳解】（1）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，分別為，的中點(diǎn)，，1，，，1，，，0，，，2，，設(shè)平面的法向量為，則,即，令，則因?yàn)?，，所以平面．?）,,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以18．己知的三個頂點(diǎn)分別為，求：(1)求邊中垂線所在的直線方程；(2)求與直線平行且距離為的直線方程；(3)求的外接圓的方程．(1)；(2)或；(3)．【分析】（1）求出中點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率得出中垂線的斜率，從而得直線方程；（2）求出直線后設(shè)出與其平行的直線方程，由平行間距離求得參數(shù)，得直線方程；（3）設(shè)出圓的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)后求解．【詳解】（1）邊中點(diǎn)坐標(biāo)為，，邊中垂直的斜率為，直線方程為，即；（2）直線方程為，即，設(shè)所求直線方程為，由，或，所以所求直線方程為或；（3）設(shè)外接圓方程為，則，解得，圓方程為．19．如圖，直三棱柱中，為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若此三棱柱的體積為1，，，求直線與平面所成角的正弦值.(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，證得，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.（2）以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，在直三棱柱中，為矩形，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以，又由平面，平面，所以平面.（2）解：在直三棱柱中，平面ABC，所以，又因?yàn)?，，所以平面，所以，由，可得，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以為平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積．（1）；（2）.【分析】（1）首先設(shè)，根據(jù)題意得到，再解方程組即可.（2）首先設(shè)，得到，從而得到，解方程得到，再求出和點(diǎn)到直線的距離，即可得到答案.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€與直線垂直，且點(diǎn)在直線上，所以，解得，故.（2）設(shè)由題知：，所以，解得，即.，直線，即.，點(diǎn)到直線的距離，所以.本題主要考查直線的方程，同時考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.21．如圖甲，在矩形中，為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得，如圖乙.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)的位置.(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)【分析】（1）作出輔助線，得到，，從而得到線面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出的坐標(biāo)，求出平面的法向量，從而列出方程，求出的值，確定點(diǎn)位置.【詳解】（1）證明：連接，取線段的中點(diǎn)，連接，在Rt中，，，在中，，由余弦定理可得：，在中，，又平面，平面，又平面∴平面平面，在中，，∵平面平面平面，平面.（2）過作的平行線，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，平面的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，設(shè)的坐標(biāo)為，則，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則，由已知，解之得：或9（舍去），所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn).22．已知圓C經(jīng)過，兩點(diǎn).(1)當(dāng)時，圓C與x軸相切，求此時圓C的方程；(2)如果AB是圓C的直徑，證明：無論a取何正實(shí)數(shù)，圓C恒經(jīng)過除A外的另一個定點(diǎn)，求出這個定點(diǎn)坐標(biāo).(3)已知點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)也在圓C上，且過點(diǎn)B的直線l與兩坐標(biāo)軸分別交于不同兩點(diǎn)M和N，當(dāng)圓C的面積最小時，試求的最小值；(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)為(3)【分析】（1）圓的半徑為r，則圓心為，再根據(jù)求得，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，由AB是圓C的直徑，得，從而可求出圓的方程，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)C在直線上，要使圓C的面積最小，則圓C是以直徑的圓，從而可求出圓的方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，分別求出的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合基本不等式即可得解.【