人教版七年級數(shù)學難題及答案 -幾何難題練習題%28含答案%29

初一數(shù)學幾何難題練習題（含答案）1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關系.很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質，其它如線段中垂線的性質、角平分線的性質、等腰三角形的判定與性質等也經(jīng)常用到。例1.已知：如圏1所示，M5C中，ZC=，4C=BC，Q=DR，A￡=CF°求證：DE=DF團1分析：由丄M是等腰直角三角形可知rZ^=Z5=45°,由D是AB中點,可考慮連結CD,易得CD=AD,22>C^=45°O從而不難發(fā)現(xiàn)XDCF=ADAE證明：連結CDvAC=BC.??￡A=空v^ACB=90=?AD=DB:.CD=BD=AD9上DCE=XS=2L4?.?AE=CFnZL4=乙DCB?AD=CD:.hADESC刀歹???DE=DF說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作灰角的平分線或庚邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰肓角三角形中，更應該連結CD間為CD既是斜邊上的中線，又是廓邊上的中線。本題亦可延長ED到G,使DG=DE,連結BG,證3G是等腰直角三角形。有興趣的同字不妨一試。&例2.已知:女口圏2,AB=CDfAD=BC.&例2.已知:女口圏2,AB=CDfAD=BC.AE=CFc求證:zE=zF證明：連結AC在勒恥和場中r7AB=CD^AE=CF:.SE=DF在和創(chuàng)的中『3E=DF■.■<^B=ZD3C=DA.-.dWQAF(SAS).-.ZE=山■;AS=CD，SC=AD，AC=CA^ABC=^CDA(^:.Z3=￡D說明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時應注意：（2）添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關系中"平行與垂首是兩種特殊的位置。還兩聲平疔,可用同位角.內錯珀或同旁內角的關系來證『也可通過邊對應成比例*三角形中位線主理證明。證兩系直線垂直『可轉化為證f角等于90^f或利用兩個銳角互余「或等腰三角形”三找合一”來證。SU3.如圖已所示.設BP,CQ是乂恥的內角平分線.AH,AK分別為A到BP.CQ的垂線。求證:KHIIBCEMUC圖3打折二由已知,BH^5fzABC,又BH丄AH"延長AH交眈于N則BA=BN,AH=HN0同理』延長AK交BC于IV!■則CA=CMAK=KM0從而曲三角形的中位線定理,MKHIIBC.證明二延長AH交BC于N.延長AK交肚于M-BH平分ZABC/.^ABH=EABH又BH丄AHBH二BH.-.A4EH二A7WT（如）.-.BA=5.V，AJi=HN同理,CA=CM,AK=KM一一朋是N/y的中位線KH門期即KH//BC

說明：當一個三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對稱）而成一個等腰三角形。^4Z3=Z1Si]4t已知:MS4所示fAB=AC^4Z3=Z1Si]4t已知:MS4所示fAB=AC,"fAE=BF^凰＞=DC口求證:FD_LED證明一:連結AD-AS=ACSD=DC在和A5D用中f..Z1+Z2=9ODS^DABv^SAC=^)D?BD=DC:.^B=￡DRE=?;AS=EF，Z3=,AD=BD.-.AADE二MUR.-.Z3+^2=^0D說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。證明二：如圖5所示，延長ED到M，使DM=ED,連結FE,FM,BMGSTax...§H第a...srMg...賈刖川亀kv...閱hog...CJdf署...番3NH3N為；曽VMQ勺川畧呀，，，§H§圧口UNH?？趃rvl??38SMSSKSS?3、證明一線段和的問題(_)在較氏線段上截取一線段等一較短線段■證明其余部分等于另—較短線段。(截長法)例5.已知:ins6所示在M5C中?Z5=60°,ZBAC.ZBCA的角平分線AD、CE相交于O。求證:AC=AE+CD囹6分折：在AC上截取AF=AEO易知亠姑0二上肌？…?.zi=Z2o由Z2=60s,知25+26=60°5Z1=60=Z2+Z3=120°。.?.Zl=22=Z3=Z4=60Q,得：^FOC二FC=DC證明:在AC上戡取AF=AE???ZBAD=ACAD，AO=AO:.AA￡O=WO(SAS)??.Z4=N2又燈=60。??.Z5+Z6=60°??.Zl=60=??.Z2+Z3=120°??.Z1=Z2=Z3=Z4=60°???)FOC三3OC(/U$):.FC=DC即AC=AE+CD（二）延長一較短線段,使延長部分等于另一較短線段,則兩較短線資成為一條線段.證明該線資等于較長線段。（補短法）例6.已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上池在BC—t/ZEAF=45"o求證：EF=BE+DF分析：此瞬仿麗例1,將會遇到囲難,不易利用正方形這一條件。不妨延長CB至G,使BG二DF。證明：延長CB至G,使BG=DFSeIK形ABCD中rSBG=ZD=90SAB=AD???土BG三土莎（S45）:.AG=AF=ZS又/Z4F=4護.??Z2+Z3=45°Z2+Z1=45°即ZGAE二ZFAE:.GE=EF:?蟲=BE+DF4、中考題：如圖8所示，已知“必為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E,并且使AE=BD,連結CE、DE°求證:EC=ED證明：作DF//AC交BE于FAz歸C■是正三角形..回辺是IE三角形又A"BDAE=FD=BF/.2A=AF=EF即EF=AC-ACHFD???ZEAC=ZEFD三型M(S4S)AEC=ED題型展示：證明幾何不等式:例題：已知：如圖9所示.Zl=Z2AB>AC^求證:RD、DC證明一：延長AC到「使AE=AB■連結DE在和iWE中,?.-?應=丿百，Z2=ZbAD=AI>:.AAI>E^AAI>S一—DE，ZX=ZS■.;ZI>CE>EE:.ZI>CE>Zff:一DEADO..>QC證明二:如圏10所示,在AB上截服AF二AC,連結DF則易證三他eS—E>F=DC?小現(xiàn)>>亠Z4>Z5.-.ZEFI?Z.B…ED>EF:.SI>>DC說明衣有角平分線釜件時"常以角平分繪為軸翻折構造全等三角形這是常用輔助線“［實戰(zhàn)模擬］已知:如圏11所示,MBC中,ZC=?0°,D是AB上一點，DE丄CD于D,交BQ于E,且有處=AD=CE0求證：DE=*D2.已知：如圖12所示，在乂8C中,zL4=2Z5,CD是ZC的平分線。求證:BC=AC+AD圖123.已知:如圏13所示,過七J3C的頂點A,在zA內任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設M為BC的中點。求證：MP二MQ【實戰(zhàn)翩試題答案】1.證明:astco的中點廠連結mAC=AI>:.jiZ-CZi.-.^AFC=zar>E=^又Zl-bZ4=-21+Z3=W&.-.Z4=4-AC=CE.■.AAC^=ACED(ASA~):.CF=ED:.刃遠=丄C7>22.分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時，我們經(jīng)常采用“截長補短”的手法。補短”即將一條短線段延長出另一條短線段之長，證明其和等于長的線段。QK十OKH3Y+2Hb??.HPMQ?