2022年高考數(shù)學(xué)北京卷及答案

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)一、選擇題1.已知全集，集合，則（）A.B.C.D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.3.若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（）A.B.C.D.4.已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有（）A.B.C.D.5.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減B.在C.在上單調(diào)遞減D.在上單調(diào)遞增6.設(shè)是公差不為的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（）A.充分而不必有條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與和的關(guān)系，其中表示溫度，單位是；表示壓強(qiáng)，單位是.下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)8.若，則（）A.B.C.D.9.已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)為，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為（）A.B.C.D.10.在中，，，.為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二、填空題11.函數(shù)的定義域是.12.已知雙曲線的漸近線方程為，則.13.若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________.14.設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則的一個(gè)取值為,的最大值為.15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第項(xiàng)小于；②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；④中存在小于的項(xiàng).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題16.在中，.（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).17.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）19.已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別與軸交于點(diǎn)，.當(dāng)時(shí)，求的值.20.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）證明：對(duì)任意的，，有.21.已知：，，…，為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)，若對(duì)任意的，在中存在，，…，（），使得，則稱為連續(xù)可表數(shù)列.（1）判斷：，，是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）若：，，…，為連續(xù)可表數(shù)列，求證：的最小值為；（3）若：，，…，為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：.2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)一、選擇題1.已知全集，集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】易得.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】條件可知，所以.3.若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，圓心坐標(biāo)，所以由解得.4.已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，可得，所以得.5.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減B.在C.在上單調(diào)遞減D.在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】，選項(xiàng)A中：，此時(shí)單調(diào)遞增，選項(xiàng)B中：，此時(shí)先遞增后遞減，選項(xiàng)C中：，此時(shí)單調(diào)遞減，選項(xiàng)D中：，此時(shí)先遞減后遞增；所以選C.6.設(shè)是公差不為的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（）A.充分而不必有條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】①充分性證明：若為遞增數(shù)列，則有對(duì)，，公差，取正整數(shù)（其中為不大于的最大正整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，只要，都有，②必要性證明：若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，對(duì)，都成立，∵，且，∴，∴對(duì)，都有，，即：為遞增數(shù)列；所以“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充要條件，∴選C.7.在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與和的關(guān)系，其中表示溫度，單位是；表示壓強(qiáng)，單位是.下列結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D【解析】A選項(xiàng)：，，由圖易知處于固態(tài)；B選項(xiàng)：，，由圖易知處于液態(tài)；C選項(xiàng)：，，由圖易知處于固態(tài)；D選項(xiàng)：，，由圖易知處于超臨界狀態(tài)；所以選D.8.若，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，①；當(dāng)時(shí)時(shí)，②；①②得原式=.9.已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)為，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】過(guò)點(diǎn)作底面射影點(diǎn)，則由題意，，，∴，當(dāng)上存在一點(diǎn)使得，，此時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)為半徑，為圓心的圓里，所以面積為.10.在中，，，.為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系，由題易知，設(shè)，，，∵，∴設(shè)，所以選D.方法二：，且∴其中，，，∴，∴選D.二、填空題11.函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】依題意，解得.12.已知雙曲線的漸近線方程為，則.【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，故.13.若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________.【答案】【解析】，解得.，故.14.設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則的一個(gè)取值為,的最大值為.【答案】（答案不唯一），【解析】由題意知，函數(shù)最值于函數(shù)單調(diào)性相關(guān)，故可考慮以，為分界點(diǎn)研究函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，該段的值域?yàn)?，故整個(gè)函數(shù)沒(méi)有最小值；當(dāng)時(shí)，，該段值域?yàn)?，而的值域?yàn)?，故此時(shí)的值域?yàn)?，即存在最小值為，故第一個(gè)空可填寫(xiě)；當(dāng)時(shí)，，該段值域?yàn)?，而的值域?yàn)椋舸嬖谧钚≈?，則需滿足，于是可得；當(dāng)時(shí)，，該段的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，若存在最小值，則需滿足，此不等式無(wú)解。綜上，的取值范圍是，故的最大值為.15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第項(xiàng)小于；②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；④中存在小于的項(xiàng).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①③④【解析】，可得，又各項(xiàng)均為正，可得，令可得，可解得，故①正確；當(dāng)時(shí)，由得，于是可得，即，若為等比數(shù)列，則時(shí)，即從第二項(xiàng)起為常數(shù)，可檢驗(yàn)則不成立，故②錯(cuò)誤；，可得，于是，所以，于是③正確；對(duì)于④，若所有項(xiàng)均大于等于，取，則，，于是與已知矛盾，所以④正確.三、解答題16.在中，.（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】見(jiàn)解析【解析】（1），，，.（2）∵，∴，，由余弦定理得，，所以的周長(zhǎng)為.17.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，，在三棱柱中，，.因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，所以，，，，即且，所以四邊形為平行四邊形，因此.又平面，平面，所以平面.（2）選條件①：因?yàn)閭?cè)面為正方形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，而平面，所?由（1）得，又因?yàn)?，所以，而，所以平面，在三棱柱中，，，兩兩垂直，故分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，由，，得，令，得.設(shè)直線與平面所成角為，設(shè)，所以直線與平面所成角的正弦值為.選條件（2）：取中點(diǎn)，連接，.因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，所以，，而，故.又因?yàn)?，所?在和中，，，公共邊，那么，因此，即，故.在三棱柱中，，，兩兩垂直，故分別以，，為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，由，，得，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】見(jiàn)解析【解析】由題意得：設(shè)甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)為事件，比賽成績(jī)達(dá)到以上獲優(yōu)秀獎(jiǎng)，甲的比賽成績(jī)達(dá)到以上的有：，，，四個(gè)，所以，甲在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為.（2）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望：所有可能取值為，，，.甲在校運(yùn)云鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為.乙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件，則.丙在校運(yùn)會(huì)鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率為事件，則.，，，，.（3）甲的平均數(shù)：，乙的平均數(shù)：，丙的平均數(shù)：，甲的方差：，乙的方差：，丙的方差：.19.已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別與軸交于點(diǎn)，.當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）依題意可知：，解得，故橢圓的方程為：；（2）由題可設(shè)直線方程為：，，，聯(lián)立直線和橢圓方程：，可得，由可得，解得，根據(jù)韋達(dá)定理可得：，，直線的斜率為，的直線方程為，令，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo).則有.代入韋達(dá)定理式子可得，化簡(jiǎn)可得：，即，可得，兩邊平方則有，解得.故的值為.20.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）證明：對(duì)任意的，，有.【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）由題，，故，，因此，曲線在處的切線方程為.（2）由（1），，，則，設(shè)，，則，故在上遞增，故，因此對(duì)任意恒成立，故在上單調(diào)遞增：另解：，故，，，因此，對(duì)任意恒成立，故在上單調(diào)遞增；（3）設(shè)，則，因此在上單調(diào)遞增，因此，在上遞增，故，因此，對(duì)任意的，，有.21.已知：，，…，為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)，若對(duì)任意的，在中存在，，…，（），使得，則稱為連續(xù)可表數(shù)列.（1）判斷：，，是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）若：，，…，為連續(xù)可表數(shù)列，求證：的最小值為；（3）若：，，…，為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：.【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）若，則對(duì)于任意，，，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列：由不存在任意連續(xù)若干項(xiàng)之和相加為，所以不是連續(xù)可表數(shù)列；（2）反證法：設(shè)的值為，則，，最多能表示，，，，，共個(gè)數(shù)字，與為連續(xù)可表數(shù)列矛盾，故；現(xiàn)構(gòu)造：，，，可以表達(dá)出，，，，，，，這個(gè)數(shù)字，即存在滿足題意，故的最小