2020高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.1.7 柱、錐、臺和球的體積練習（含解析）2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學必求其心得，業(yè)必貴于專精1．1．7柱、錐、臺和球的體積對應學生用書P19知識點一柱體的體積1．若某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是（)A．eq\f（1，3)B．eq\f(2,3）C．1D．2答案C解析該幾何體的直觀圖如圖所示,為直三棱柱ABC－A1B1C1，其體積為V＝eq\f（1，2）×1×eq\r（2)×eq\r（2）＝1．故選C．知識點二錐體的體積2．已知圓錐的母線長是8，底面周長為6π，則它的體積是（)A．9eq\r（55）πB．9eq\r(55）C．3eq\r（55)πD．3eq\r(55)答案C解析設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則2πr＝6π，∴r＝3．設(shè)圓錐的高為h，則h＝eq\r(82－32)＝eq\r（55)，∴V圓錐＝eq\f(1，3)πr2h＝3eq\r(55）π．3．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是(）A．eq\f（1,6）B．eq\f（1,3)C．eq\f（2,3）D．1答案B解析根據(jù)三視圖，該三棱錐的體積V＝eq\f（1,3)×eq\f（1,2）×1×1×2＝eq\f(1,3）．知識點三球體的體積4．若三個球的表面積之比是1∶2∶3，則它們的體積之比是________．答案1∶2eq\r(2)∶3eq\r(3）解析直接利用公式計算可得：r1∶r2∶r3＝1∶eq\r(2）∶eq\r(3)，req\o\al(3，1)∶req\o\al（3,2）∶req\o\al(3,3)＝13∶（eq\r(2））3∶(eq\r（3）)3＝1∶2eq\r(2)∶3eq\r（3)．5．過球的半徑的中點，作一垂直于這條半徑的截面，已知此截面的面積為48πcm2，試求此球的表面積和體積．解如圖，設(shè)截面圓的圓心為O1,則OO1⊥O1A，O1A為截面圓的半徑,OA為球的半徑．∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48．在Rt△AO1O中，OA2＝O1O2＋O1A2，即R2＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)R))2＋48,∴R＝8（cm),∴S球＝4πR2＝4π×64＝256π（cm2），∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(2048，3）π(cm3）．答：球的表面積為256πcm2，體積為eq\f（2048，3）πcm3．知識點四割補法求幾何體的體積6．如圖所示，在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB,EF＝2，則該多面體的體積為（)A．eq\f（\r(2）,3)B．eq\f（\r（3)，3)C．eq\f(4，3）D．eq\f（3,2)答案A解析該多面體不是規(guī)則的幾何體,只能將其分割或補成錐體或柱體，化未知為已知．易知面ABFE、面CDEF為全等的等腰梯形．在EF上取兩點M，N,使EM＝eq\f(1,2）,FN＝eq\f（1,2），連接AM,DM，BN，CN，則得到直三棱柱ADM－BCN(可證BN⊥FN，CN⊥FN),所以V＝VADM－BCN＋VE－ADM＋VF－BCN＝S△ADM·MN＋eq\f（1，3）S△ADM·EM＋eq\f(1，3)S△BCN·FN＝S△ADM·MN＋eq\f(1,3）S△ADM(EM＋FN)＝eq\f(4，3）S△ADM·MN＝eq\f（4,3)×eq\f(1,2）×1×eq\r(\f(3,4）－\f(1,4)）×1＝eq\f（\r(2），3)．對應學生用書P19一、選擇題1．正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長為2和4的矩形,則該正三棱柱的體積是（)A．eq\f（8\r（3），9)B．eq\f（4\r(3），9）C．eq\f(2\r(3）,9）D．eq\f(4\r(3)，9）或eq\f(8\r(3)，9)答案D解析當2為正三棱柱的底面周長時，正三棱柱底面三角形的邊長a＝eq\f(2,3）,底面面積S＝eq\f(\r(3),4）a2＝eq\f（\r（3),9)，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的體積V＝Sh＝eq\f（4\r（3)，9）;同理，當4為正三棱柱的底面周長時,正三棱柱底面三角形的邊長a′＝eq\f（4,3），底面面積S′＝eq\f(\r（3）,4）a′2＝eq\f（4\r（3）,9），正三棱柱的高h′＝2,所以正三棱柱的體積V′＝S′h′＝eq\f(8\r（3)，9)．所以正三棱柱的體積為eq\f（4\r（3)，9）或eq\f(8\r（3）,9)．2．球面上有三點A，B，C,且AB＝3,BC＝4，AC＝5，又球心到平面ABC的距離為半徑的eq\f(1,3）,那么該球的體積為（)A．eq\f(1125\r(2）π，64）B．eq\f（64\r（2）π，3)C．eq\f（1125\r(3)π，64）D．eq\f（64\r(3)π,3）答案A解析因為AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，過A,B，C三點截面圓的半徑為eq\f（1，2）AC＝eq\f(5，2），故eq\f（R,3)2＋eq\f（5，2）2＝R2，得R2＝eq\f（225,32),R＝eq\f(15\r(2),8），所以該球的體積V＝eq\f（4,3)πR3＝eq\f(1125\r（2)π,64）．3．如果一個空間幾何體的主視圖與左視圖均為全等的等邊三角形,俯視圖為一個半徑為1的圓和圓心，那么這個幾何體的體積為（)A．eq\f(\r（3）π，3)B．eq\f(2\r（3）π,3）C．eq\r（3）πD．eq\f(π，3)答案A解析由題知，該幾何體是底面半徑為1，高為eq\r(3)的圓錐，故V＝eq\f（π，3）×12×eq\r（3）＝eq\f(\r（3）π，3）．4．某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（）A．4B．eq\f(14，3)C．eq\f（16,3)D．6答案B解析由四棱臺的三視圖可知，臺體上底面面積S1＝1×1＝1，下底面面積S2＝2×2＝4，高h＝2，代入臺體的體積公式得V＝eq\f（1,3）(S1＋eq\r（S1S2)＋S2）h＝eq\f（1，3）×（1＋eq\r(1×4)＋4）×2＝eq\f(14,3）．5．如圖（1),一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面,如圖(2)所示，這時水面恰好為中截面,則圖(1）中容器內(nèi)水面的高度是（）A．eq\f(3，2）aB．a(chǎn)C．2aD．不確定答案A解析設(shè)題圖（1)中容器內(nèi)液面的高度為h,液體的體積為V，則V＝S△ABC·h，又如題圖（2）中，液體組成了一個直四棱柱，其底面積為eq\f(3,4）S△ABC、高度為2a,則V＝eq\f(3,4）S△ABC·2a．∴h＝eq\f（\f(3,4)S△ABC·2a，S△ABC）＝eq\f（3，2)a．二、填空題6．如圖所示,一個圓錐形的空杯子上面放了一個半球形的冰淇淋，則冰淇淋融化后________（填“會”或“不會”）溢出杯子．答案不會解析V半球＝eq\f（1,2)×eq\f（4π，3)R3＝eq\f(1，2）×eq\f（4π,3）×43＝eq\f(128π，3）,V圓錐＝eq\f（1，3)Sh＝eq\f（1，3）×π×R2×h＝eq\f(1,3)×π×42×12＝64π，顯然V半球〈V圓錐，所以冰淇淋融化后不會溢出杯子．7．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點，則三棱錐A－DED1的體積為______．答案eq\f(1,6)解析三棱錐A－DED1的體積等于三棱錐E－DD1A的體積，即V三棱錐A－DED1＝V三棱錐E－DD1A＝eq\f（1，3)×eq\f(1,2）×1×1×1＝eq\f(1，6)．8．一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_______．答案12解析設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′．由題意，得eq\f（1,3)×6×eq\f(1，2）×2×eq\r（3）×h＝2eq\r（3)，∴h＝1，∴斜高h′＝eq\r（12＋\r（3)2)＝2，∴S側(cè)＝6×eq\f(1，2)×2×2＝12．三、解答題9．有一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示（單位：cm)，求該幾何體的體積．解由三視圖可知此幾何體是圓錐，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得r＝3（cm)，l＝5(cm），則h＝4（cm)，所以該幾何體的體積為V＝eq\f（1,3)πr2·h＝eq\f（1,3)π×32×4＝12π（cm3）．10．如圖所示,四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD,且PA＝a，AB＝AD＝b，已知P，A，B,C,D五點都在一個球面上,求該球的體積．解本題關(guān)鍵是找出球心的位置,以PA,AB，AD為一個長方體的鄰邊把該四棱錐補成一個長方體，則過A