《一元一次方程》全章與鞏固提高知識(shí)講解

《一元一次方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．經(jīng)歷建立方程模型、解方程和運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)模型思想；2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，會(huì)解數(shù)字系數(shù)的一元一次方程，感受轉(zhuǎn)化思想；3．能運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題，能根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)方程的解的合理性．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．要點(diǎn)詮釋：（1）一元一次方程變形后總可以化為ab＝0a≠0的形式，它是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．（2）判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．3．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解．4．解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程．要點(diǎn)二、等式的性質(zhì)與去括號(hào)法則1．等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，（或除以同一個(gè)不為0的數(shù)），所得結(jié)果仍是等式．2．合并法則：合并時(shí)，把系數(shù)相加減作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．3．去括號(hào)法則：（1）括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同．（2）括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反．要點(diǎn)三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：1去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．2去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)．3移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．4合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為a＝ba≠0的形式．5系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解a≠0．6檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．要點(diǎn)四、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型1等積變形：①形狀面積變了，周長(zhǎng)沒(méi)變；②原體積＝變化后體積2利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)3行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間4和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率5工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量6銀行存貸款問(wèn)題：本息和＝本金利息，利息＝本金×利率×期數(shù)7數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：8方案問(wèn)題：（1）運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況．（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論．【典型例題】類型一、一元一次方程的相關(guān)概念1．已知方程3m-42-5-3m-4m＝-2m是關(guān)于的一元一次方程，求m和的值．【思路點(diǎn)撥】若一個(gè)整式方程經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)變形后，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不為0，則這個(gè)方程是一元一次方程．【答案與解析】解：因?yàn)榉匠?m-42-5-3m-4m＝-2m是關(guān)于的一元一次方程，所以3m-4＝0且5-3m≠0．由3m-4＝0解得，又能使5-3m≠0，所以m的值是．將代入原方程，則原方程變?yōu)?，解得．所以，．【總結(jié)升華】解答這類問(wèn)題，一定要嚴(yán)格按照一元一次方程的定義．方程3m-42-5-3m-4m＝-2m2是關(guān)于的一元一次方程，就是說(shuō)的二次項(xiàng)系數(shù)3m-4＝0，而的一次項(xiàng)系數(shù)5-3m≠0，m舉一反三：【變式】下面方程變形中，錯(cuò)在哪里：1方程2=2兩邊都減去，得2-=2-,即-=--方程-=--兩邊都除以-,得1=-1（2），去分母，得33-7=2212，去括號(hào)得：9-21=422【答案】（1）答：錯(cuò)在第二步，方程兩邊不能除以-，只有一種可能就是-為0了，所以出現(xiàn)了1=-1的錯(cuò)誤，也就是說(shuō)對(duì)于等式性質(zhì)來(lái)說(shuō)，如果想要除以式子來(lái)說(shuō)，這個(gè)式子一定是不能為0的（2）答：錯(cuò)在第一步，去分母時(shí)2項(xiàng)沒(méi)乘以公分母62如果52＝2a3與的解相同，那么a的值是________．【答案】【解析】由52＝2a3，解得．由，解得．所以，解得．【總結(jié)升華】因?yàn)閮煞匠痰慕庀嗤?，可把a(bǔ)看做已知數(shù)，分別求出它們的解，令其相等，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于a的一元一次方程．舉一反三：【變式】已知|1|22＝0，則________．【答案】1類型二、一元一次方程的解法3．解方程：解方程3{2-1-[32-13]}＝5．【答案與解析】解：把2-1看做一個(gè)整體．去括號(hào)，得：32-1-92-1-9＝5．合并同類項(xiàng)，得-62-1＝14．系數(shù)化為1得：，解得．【總結(jié)升華】把題目中的2-1看作一個(gè)整體，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程．本題也可以考慮換元法：設(shè)2-1＝a，則原方程化為3[a-3a3]＝5．舉一反三：【變式】解方程【答案】解：把方程兩邊含有分母的項(xiàng)化整為零，得．移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：＝1．類型三、特殊的一元一次方程的解法1．解含字母系數(shù)的方程4解關(guān)于的方程：【思路點(diǎn)撥】這個(gè)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)都是以字母形式出現(xiàn)的，所以方程的解的情況與的系數(shù)和常數(shù)的取值都有關(guān)系．【答案與解析】解：原方程可化為：當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解：；當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)數(shù)個(gè)解；當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解；【總結(jié)升華】解含字母系數(shù)的方程時(shí)，一般化為最簡(jiǎn)形式，再分類討論進(jìn)行求解，注意最后的解不能合并，只能分情況說(shuō)明．2．解含絕對(duì)值的方程5解方程|-2|＝3．【答案與解析】解：當(dāng)-2≥0時(shí)，原方程可化為-2＝3，得＝5．當(dāng)-2＜0時(shí)，原方程可化為--2＝3，得＝-1．所以＝5和＝-1都是方程|-2|＝3的解．【總結(jié)升華】如圖所示，可以看出點(diǎn)-1與5到點(diǎn)2的距離均為3，所以|-2|＝3的意義為在數(shù)軸上到點(diǎn)2的距離等于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，即方程|-2|＝3的解為＝-1和＝5．舉一反三：【變式】若關(guān)于的方程無(wú)解，只有一個(gè)解，有兩個(gè)解，則的大小關(guān)系為：ABCD【答案】A類型四、一元一次方程的應(yīng)用6．李偉從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30千米，那么比火車開(kāi)車時(shí)間早到15分鐘；若每小時(shí)行18千米，則比火車開(kāi)車時(shí)間遲到15分鐘，現(xiàn)在李偉打算在火車開(kāi)車前【思路點(diǎn)撥】本題中的兩個(gè)不變量為：火車開(kāi)出的時(shí)間和李偉從家到火車站的路程不變．【答案與解析】解：設(shè)李偉從家到火車站的路程為千米，則有：，解得：由此得到李偉從家出發(fā)到火車站正點(diǎn)開(kāi)車的時(shí)間為小時(shí)．李偉打算在火車開(kāi)車前10分鐘到達(dá)火車站時(shí)，設(shè)李偉騎摩托車的速度為千米/時(shí),則有：千米/時(shí)答：李偉此時(shí)騎摩托車的速度應(yīng)是27千米/【總結(jié)升華】在解決問(wèn)題時(shí)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)某種方法不能解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該及時(shí)變換思維角度，如本題直接設(shè)未知數(shù)較難時(shí)，應(yīng)迅速變換思維的角度，合理地設(shè)置間接未知數(shù)以尋求新的解決問(wèn)題的途徑和方法．7黃岡某地“杜鵑節(jié)”期間，某公司70名職工組團(tuán)前往參觀欣賞，旅游景點(diǎn)規(guī)定：①門票每人60元，無(wú)優(yōu)惠；②上山游玩可坐景點(diǎn)觀光車，觀光車有四座和十一座車，四座車每輛60元，十一座車每人10元．公司職工正好坐滿每輛車且總費(fèi)用剛好為4920元時(shí)，問(wèn)公司租用的四座車和十一座車各多少輛【答案與解析】解：設(shè)四座車租輛，十一座車租輛，依題意得：解得：＝1，答：公司租用的四座車和十一座車分別是1輛和6輛【總結(jié)升華】解答本題需從“公司職工正好坐滿每輛車且總費(fèi)用剛好為4920元”中挖掘兩個(gè)等量關(guān)系構(gòu)建方程求解8．某牛奶加工廠有鮮奶9噸，若在市場(chǎng)上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤(rùn)500元，制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤(rùn)1200元；制成奶片銷售，每噸可獲利潤(rùn)2000元，該工廠的生產(chǎn)能力是：如制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片每天可加工1噸，受人員限制，兩種加工方式不可同時(shí)進(jìn)行，受氣溫條件限制，這批牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完畢．為此，該廠某領(lǐng)導(dǎo)提出了兩種可行方案：方案1：盡可能多的制成奶片，其余直接銷售鮮牛奶；方案2：將一部分制成奶片，其余制成酸奶銷售，并恰好4天完成．你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多，為什么【答案與解析】解：（1）若選擇方案1，依題意，總利潤(rùn)=2000元×4500元×9-4=10500（元）．（2）若選擇方案2．方法一：解：設(shè)將噸鮮奶制成奶片，則用9-噸鮮奶制成酸奶銷售依題意得，，解得．當(dāng)時(shí)，．總利潤(rùn)=2000×1200×=12000（元）．∵12000>10500，∴選擇方案2較好．方法二：解：設(shè)天生產(chǎn)奶片，則（4-）天生產(chǎn)酸奶34-=9=4-=×1×2000×3×1200=12000（元）∵12000>10500，∴選擇方案2較好．答：選擇方案2獲利最多，只要在四天內(nèi)用噸鮮奶加工成酸奶，用噸的鮮奶加工成奶片．【總結(jié)升華】如果題目中的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜，常借助列表，畫線段圖，示意圖等手段幫助我們理順題目中的數(shù)量關(guān)系，列出方程．例如本題方案2中的方法一，設(shè)將噸鮮奶制成奶片，則列表如下：每噸利潤(rùn)噸數(shù)工效天數(shù)酸奶12003奶片20001合計(jì)94該表可以使條件之間的關(guān)系一目了然，從而得到等量關(guān)系，當(dāng)然此題也可以設(shè)天數(shù)來(lái)計(jì)算，同學(xué)們可根據(jù)理解自己選擇．舉一反三：【變式】某科技小組的學(xué)生在3名老師的帶領(lǐng)下，準(zhǔn)備前往國(guó)家森林公園考察、采集標(biāo)本，當(dāng)?shù)赜屑?，乙兩家旅行社，其定價(jià)都一樣，但對(duì)師生都有優(yōu)惠：甲旅行社對(duì)帶隊(duì)老師免費(fèi)，學(xué)生按8折收費(fèi)；乙旅行社對(duì)師生一律按7折收費(fèi)，經(jīng)核算，甲，乙旅行社的實(shí)際收費(fèi)正好相同．（1）該科技小組共有多少學(xué)生？（2