向量自回歸模型(VAR)-Eviews實現(xiàn)課件

1第九章向量自回歸和誤差修正模型

傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)計量方法是以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)來描述變量關(guān)系的模型。但是，經(jīng)濟(jì)理論通常并不足以對變量之間的動態(tài)聯(lián)系提供一個嚴(yán)密的說明，而且內(nèi)生變量既可以出現(xiàn)在方程的左端又可以出現(xiàn)在方程的右端使得估計和推斷變得更加復(fù)雜。為了解決這些問題而出現(xiàn)了一種用非結(jié)構(gòu)性方法來建立各個變量之間關(guān)系的模型。本章所要介紹的向量自回歸模型(vectorautoregression，VAR)和向量誤差修正模型(vectorerrorcorrectionmodel，VEC)就是非結(jié)構(gòu)化的多方程模型。1第九章向量自回歸和誤差修正模型傳統(tǒng)的2

向量自回歸(VAR)是基于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計性質(zhì)建立模型，VAR模型把系統(tǒng)中每一個內(nèi)生變量作為系統(tǒng)中所有內(nèi)生變量的滯后值的函數(shù)來構(gòu)造模型，從而將單變量自回歸模型推廣到由多元時間序列變量組成的“向量”自回歸模型。VAR模型是處理多個相關(guān)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的分析與預(yù)測最容易操作的模型之一，并且在一定的條件下，多元MA和ARMA模型也可轉(zhuǎn)化成VAR模型，因此近年來VAR模型受到越來越多的經(jīng)濟(jì)工作者的重視?！?.1向量自回歸理論

2向量自回歸(VAR)是基于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計性質(zhì)建立3

VAR(p)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式是

(9.1.1)其中：yt是k維內(nèi)生變量列向量，xt是d維外生變量列向量，p是滯后階數(shù)，T是樣本個數(shù)。kk維矩陣1，…，p和kd維矩陣H是待估計的系數(shù)矩陣。t

是k維擾動列向量，它們相互之間可以同期相關(guān)，但不與自己的滯后值相關(guān)且不與等式右邊的變量相關(guān)，假設(shè)是t

的協(xié)方差矩陣，是一個(kk)的正定矩陣。式(9.1.1)可以展開表示為

9.1.1VAR模型的一般表示

3VAR(p)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式是9.1.4(9.1.2)

即含有k個時間序列變量的VAR(p)模型由k個方程組成。4(9.1.2)即含有k個時間序列變量的VA5其中，ci,

aij,bij是要被估計的參數(shù)。也可表示成：例如：作為VAR的一個例子，假設(shè)工業(yè)產(chǎn)量（IP）和貨幣供應(yīng)量（M1）聯(lián)合地由一個雙變量的VAR模型決定。內(nèi)生變量滯后二階的VAR(2)模型是：5其中，ci,aij,bij是要被估計的參數(shù)。也6一般稱式(9.1.1)為非限制性向量自回歸模型(unrestrictedVAR)。沖擊向量t是白噪聲向量，因為t沒有結(jié)構(gòu)性的含義，被稱為簡化形式的沖擊向量。

為了敘述方便，下面考慮的VAR模型都是不含常數(shù)項的非限制向量自回歸模型，用下式表示

或(9.1.5)6一般稱式(9.1.1)為非限制性向量自回歸7

如果行列式det[(L)]的根都在單位圓外，則式(9.1.5)滿足穩(wěn)定性條件，可以將其表示為無窮階的向量動平均(VMA(∞))形式

(9.1.6)其中

7如果行列式det[(L)]的根都在單位圓8對VAR模型的估計可以通過最小二乘法來進(jìn)行，假如對

矩陣不施加限制性條件，由最小二乘法可得

矩陣的估計量為

(9.1.7)

其中：當(dāng)VAR的參數(shù)估計出來之后，由于

(L)A(L)=Ik，所以也可以得到相應(yīng)的VMA(∞)模型的參數(shù)估計。8對VAR模型的估計可以通過最小二乘法來進(jìn)行9

由于僅僅有內(nèi)生變量的滯后值出現(xiàn)在等式的右邊，所以不存在同期相關(guān)性問題，用普通最小二乘法(OLS)能得到VAR簡化式模型的一致且有效的估計量。即使擾動向量t有同期相關(guān)，OLS仍然是有效的，因為所有的方程有相同的回歸量，其與廣義最小二乘法(GLS)是等價的。注意，由于任何序列相關(guān)都可以通過增加更多的yt的滯后而被消除，所以擾動項序列不相關(guān)的假設(shè)并不要求非常嚴(yán)格。9由于僅僅有內(nèi)生變量的滯后值出現(xiàn)在等式的右邊10例9.1我國貨幣政策效應(yīng)實證分析的VAR模型為了研究貨幣供應(yīng)量和利率的變動對經(jīng)濟(jì)波動的長期影響和短期影響及其貢獻(xiàn)度，根據(jù)我國1995年1季度～2007年4季度的季度數(shù)據(jù)，設(shè)居民消費價格指數(shù)為CPI_90(1990年1季度=1)、居民消費價格指數(shù)增長率為CPI、實際GDP的對數(shù)ln(GDP/CPI_90)為ln(gdp)

、實際M1的對數(shù)ln(M1/CPI_90)為ln(m1)

和實際利率rr(一年期存款利率R-CPI）。

10例9.1我國貨幣政策效應(yīng)實證分析的VAR模型11利用VAR(p)模型對ln(gdp)

，ln(m1)和rr，3個變量之間的關(guān)系進(jìn)行實證研究，其中實際GDP和實際M1以對數(shù)差分的形式出現(xiàn)在模型中，而實際利率沒有取對數(shù)。11利用VAR(p)模型對ln(gdp)12EViews軟件中VAR模型的建立和估計

1．建立VAR模型

為了創(chuàng)建一個VAR對象，應(yīng)選擇Quick/EstimateVAR…或者選擇Objects/Newobject/VAR或者在命令窗口中鍵入var。便會出現(xiàn)下圖的對話框(以例9.1為例)：12EViews軟件中VAR模型的建立和估計13可以在對話框內(nèi)添入相應(yīng)的信息：

(1)選擇模型類型（VARType）：無約束向量自回歸（UnrestrictedVAR）或者向量誤差修正（VectorErrorCorrection）。無約束VAR模型是指VAR模型的簡化式。

(2)在EstimationSample編輯框中設(shè)置樣本區(qū)間

13可以在對話框內(nèi)添入相應(yīng)的信息：(14

(3)輸入滯后信息在LagIntervalsforEndogenous編輯框中輸入滯后信息，表明哪些滯后變量應(yīng)該被包括在每個等式的右端。這一信息應(yīng)該成對輸入：每一對數(shù)字描述一個滯后區(qū)間。例如，滯后對14表示用系統(tǒng)中所有內(nèi)生變量的1階到4階滯后變量作為等式右端的變量。也可以添加代表滯后區(qū)間的任意數(shù)字，但都要成對輸入。例如：24691212即為用2―4階，6―9階及第12階滯后變量。14(3)輸入滯后信息15

(4)在EndogenousVariables編輯欄中輸入相應(yīng)的內(nèi)生變量

(5)在ExogenousVariables編輯欄中輸入相應(yīng)的外生變量EViews允許VAR模型中包含外生變量，其中xt

是d維外生變量向量,kd維矩陣H是要被估計的系數(shù)矩陣?？梢栽贓xogenousVariables編輯欄中輸入相應(yīng)的外生變量。系統(tǒng)通常會自動給出常數(shù)c作為外生變量。其余兩個菜單（Cointegration和Restrictions）僅與VEC模型有關(guān)，將在下面介紹。15(4)在EndogenousVari16

2．VAR估計的輸出VAR對象的設(shè)定框填寫完畢，單擊OK按紐，EViews將會在VAR對象窗口顯示如下估計結(jié)果：162．VAR估計的輸出17

表中的每一列對應(yīng)VAR模型中一個內(nèi)生變量的方程。對方程右端每一個變量，EViews會給出系數(shù)估計值、估計系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差(圓括號中)及t-統(tǒng)計量(方括號中)。例如，在D(log(M1_TC_P))的方程中RR_TC(-1)的系數(shù)是-0.001195。同時，有兩類回歸統(tǒng)計量出現(xiàn)在VAR對象估計輸出的底部：17表中的每一列對應(yīng)VAR模型中一個內(nèi)生變量的18

輸出的第一部分顯示的是每個方程的標(biāo)準(zhǔn)OLS回歸統(tǒng)計量。根據(jù)各自的殘差分別計算每個方程的結(jié)果，并顯示在對應(yīng)的列中。

輸出的第二部分顯示的是VAR模型的回歸統(tǒng)計量。18輸出的第一部分顯示的是每個方程的標(biāo)準(zhǔn)OLS回歸統(tǒng)19殘差的協(xié)方差的行列式值(自由度調(diào)整)由下式得出：其中m是VAR模型每一方程中待估參數(shù)的個數(shù)，不做自由度調(diào)整的殘差協(xié)方差行列式計算中不減m。是k維殘差列向量。通過假定服從多元正態(tài)（高斯）分布計算對數(shù)似然值：

AIC和SC兩個信息準(zhǔn)則的計算將在后文詳細(xì)說明。

19殘差的協(xié)方差的行列式值(自由度調(diào)整)由20例9.1結(jié)果如下：

盡管有幾個系數(shù)不是很顯著，我們?nèi)匀贿x擇滯后階數(shù)為2。3個方程擬合優(yōu)度分別為：

可以利用這個模型進(jìn)行預(yù)測及下一步的分析。20例9.1結(jié)果如下：21

同時，為了檢驗擾動項之間是否存在同期相關(guān)關(guān)系，可用殘差的同期相關(guān)矩陣來描述。用ei

表示第i個方程的殘差，i

=1，2，3。其結(jié)果如表9.1所示。

表9.1殘差的同期相關(guān)矩陣

e1e2e3e110.007-0.42e20.00710.21e3-0.420.21121同時，為了檢驗擾動項之間是否存在同期相關(guān)22

從表中可以看到實際利率rr、實際M1的ln(m1)方程和實際GDP的ln(gdp)方程的殘差項之間存在的同期相關(guān)系數(shù)比較高，進(jìn)一步表明實際利率、實際貨幣供給量(M1)和實際GDP之間存在著同期的影響關(guān)系，盡管得到的估計量是一致估計量，但是在本例中卻無法刻畫它們之間的這種同期影響關(guān)系。22從表中可以看到實際利率rr、實際M1的239.1.2結(jié)構(gòu)VAR模型(SVAR)

在式(9.1.1)或式(9.1.3)中，可以看出，VAR模型并沒有給出變量之間當(dāng)期相關(guān)關(guān)系的確切形式，即在模型的右端不含有當(dāng)期的內(nèi)生變量，而這些當(dāng)期相關(guān)關(guān)系隱藏在誤差項的相關(guān)結(jié)構(gòu)之中，是無法解釋的，所以將式(9.1.1)和式(9.1.3)稱為VAR模型的簡化形式。本節(jié)要介紹的結(jié)構(gòu)VAR模型(StructuralVAR，SVAR)，實際是指VAR模型的結(jié)構(gòu)式，即在模型中包含變量之間的當(dāng)期關(guān)系。239.1.2結(jié)構(gòu)VAR模型(SVAR)24

1．兩變量的SVAR模型

為了明確變量間的當(dāng)期關(guān)系，首先來研究兩變量的VAR模型結(jié)構(gòu)式和簡化式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。如含有兩個變量(k=2)、滯后一階(p=1)的VAR模型結(jié)構(gòu)式可以表示為下式(9.1.8)241．兩變量的SVAR模型25

在模型(9.1.8)中假設(shè)：（1）隨機(jī)誤差uxt和uzt

是白噪聲序列，不失一般性，假設(shè)方差x2=z2=1；（2）隨機(jī)誤差uxt和uzt之間不相關(guān)，cov(uxt,uzt)=0。

式(9.1.8)一般稱為一階結(jié)構(gòu)向量自回歸模型(SVAR(1))。

25在模型(9.1.8)中假設(shè)：26

它是一種結(jié)構(gòu)式經(jīng)濟(jì)模型，引入了變量之間的作用與反饋作用，其中系數(shù)

c12表示變量zt的單位變化對變量xt的即時作用，21表示xt-1的單位變化對zt的滯后影響。雖然uxt

和uzt

是單純出現(xiàn)在xt和zt中的隨機(jī)沖擊，但如果c210，則作用在xt上的隨機(jī)沖擊uxt

通過對xt的影響，能夠即時傳到變量zt上，這是一種間接的即時影響；同樣，如果c120，則作用在zt上的隨機(jī)沖擊uzt

也可以對xt產(chǎn)生間接的即時影響。沖擊的交互影響體現(xiàn)了變量作用的雙向和反饋關(guān)系。26它是一種結(jié)構(gòu)式經(jīng)濟(jì)模型，引入了變量之間27

為了導(dǎo)出VAR模型的簡化式方程，將上述模型表示為矩陣形式該模型可以簡單地表示為(9.1.9)27為了導(dǎo)出VAR模型的簡化式方程，將上述模型28假設(shè)C0可逆，可導(dǎo)出簡化式方程為其中(9.1.10)28假設(shè)C0可逆，可導(dǎo)出簡化式方程為(929

從而可以看到，簡化式擾動項t是結(jié)構(gòu)式擾動項ut的線性組合，因此代表一種復(fù)合沖擊。因為uxt

和uzt是不相關(guān)的白噪聲序列，則可以斷定上述1t和

2t

也是白噪聲序列，并且均值和方差為29從而可以看到，簡化式擾動項t是結(jié)構(gòu)30同期的1t和

2t之間的協(xié)方差為

從式(9.1.11)可以看出當(dāng)c12≠0或c21≠0時，VAR模型簡化式中的擾動項不再像結(jié)構(gòu)式中那樣不相關(guān)，正如例9.1中的表9.1所顯示的情況。當(dāng)c12=c21=0時，即變量之間沒有即時影響，上述協(xié)方差為0，相當(dāng)于對C0矩陣施加約束。(9.1.11)30同期的1t和2t之間的協(xié)31

2．多變量的SVAR模型

下面考慮k個變量的情形，p階結(jié)構(gòu)向量自回歸模型SVAR(p)為(9.1.13)其中：,,

312．多變量的SVAR模型32

可以將式(9.1.13)寫成滯后算子形式(9.1.14)其中：C(L)=C01L2L2…

pLp

，C(L)是滯后算子L的

kk

的參數(shù)矩陣，C0

Ik。需要注意的是，本書討論的SVAR模型，C0

矩陣均是主對角線元素為1的矩陣。如果C0是一個下三角矩陣，則SVAR模型稱為遞歸的SVAR模型。32可以將式(9.1.13)寫成滯后算子形式33

不失一般性，在式(9.1.14)假定結(jié)構(gòu)式誤差項(結(jié)構(gòu)沖擊)

ut的方差-協(xié)方差矩陣標(biāo)準(zhǔn)化為單位矩陣Ik。同樣，如果矩陣多項式C(L)可逆，可以表示出SVAR的無窮階的VMA(∞)形式其中：

(9.1.15)33不失一般性，在式(9.1.14)假定結(jié)構(gòu)34

式(9.1.15)通常稱為經(jīng)濟(jì)模型的最終表達(dá)式，因為其中所有內(nèi)生變量都表示為ut的分布滯后形式。而且結(jié)構(gòu)沖擊ut是不可直接觀測得到，需要通過

yt各元素的響應(yīng)才可觀測到?？梢酝ㄟ^估計式(9.1.5)，轉(zhuǎn)變簡化式的誤差項得到結(jié)構(gòu)沖擊ut。從式(9.1.6)和式(9.1.15)，可以得到(9.1.16)34式(9.1.15)通常稱為經(jīng)濟(jì)模型的最終35

上式對于任意的t都是成立的，稱為典型的SVAR模型。由于A0=Ik，可得式(9.1.17)兩端平方取期望，可得

所以我們可以通過對B0施加約束來識別SVAR模型。由式

(9.1.15)，有(9.1.17)(9.1.18)35上式對于任意的t都是成立的，稱為典369.2結(jié)構(gòu)VAR(SVAR)模型的識別條件

前面已經(jīng)提到，在VAR簡化式中變量間的當(dāng)期關(guān)系沒有直接給出，而是隱藏在誤差項的相關(guān)關(guān)系的結(jié)構(gòu)中。自Sims的研究開始，VAR模型在很多研究領(lǐng)域取得了成功，在一些研究課題中，VAR模型取代了傳統(tǒng)的聯(lián)立方程模型，被證實為實用且有效的統(tǒng)計方法。然而，VAR模型存在參數(shù)過多的問題，如式(9.1.1)中，一共有k(kp+d)個參數(shù)，只有所含經(jīng)濟(jì)變量較少的VAR模型才可以通過OLS和極大似然估計得到滿意的估計結(jié)果。369.2結(jié)構(gòu)VAR(SVAR)模型的識別條件37

為了解決這一參數(shù)過多的問題，計量經(jīng)濟(jì)學(xué)家們提出了許多方法。這些方法的出發(fā)點都是通過對參數(shù)空間施加約束條件從而減少所估計的參數(shù)。SVAR模型就是這些方法中較為成功的一種。9.2.1VAR模型的識別條件

在經(jīng)濟(jì)模型的結(jié)構(gòu)式和簡化式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化時，經(jīng)常遇到模型的識別性問題，即能否從簡化式參數(shù)估計得到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)式參數(shù)。37為了解決這一參數(shù)過多的問題，計量經(jīng)濟(jì)學(xué)家38

對于k元p階簡化VAR模型利用極大似然方法，需要估計的參數(shù)個數(shù)為

(9.2.1)(9.2.2)而對于相應(yīng)的k元p階的SVAR模型來說，需要估計的參數(shù)個數(shù)為

(9.2.4)(9.2.3)38對于k元p階簡化VAR模型(9.2.139

要想得到結(jié)構(gòu)式模型惟一的估計參數(shù)，要求識別的階條件和秩條件，即簡化式的未知參數(shù)不比結(jié)構(gòu)式的未知參數(shù)多(識別的階條件和秩條件的詳細(xì)介紹請參見第12章的“12.1.2聯(lián)立方程模型的識別”)。因此，如果不對結(jié)構(gòu)式參數(shù)加以限制，將出現(xiàn)模型不可識別的問題。對于k元p階SVAR模型，需要對結(jié)構(gòu)式施加的限制條件個數(shù)為式(9.2.4)和式(9.2.2)的差，即施加k(k-1)/2個限制條件才能估計出結(jié)構(gòu)式模型的參數(shù)。這些約束條件可以是同期(短期)的，也可以是長期的。39要想得到結(jié)構(gòu)式模型惟一的估計參數(shù)，要求識409.2.2SVAR模型的約束形式

為了詳細(xì)說明SVAR模型的約束形成，從式(9.1.16)和式(9.1.17)出發(fā)，可以得到其中A(L)、B(L)分別是VAR模型和SVAR模型相應(yīng)的VMA(∞)模型的滯后算子式，B0=C0-1，這就隱含著

(9.2.5),i=0，1，2，…(9.2.6)409.2.2SVAR模型的約束形式41

因此，只需要對B0進(jìn)行約束，就可以識別整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。如果B0是已知的，可以通過估計式(9.1.17)和式(9.2.6)非常容易的得到滯后多項式的結(jié)構(gòu)系數(shù)和結(jié)構(gòu)新息ut。在有關(guān)SVAR模型的文獻(xiàn)中，這些約束通常來自于經(jīng)濟(jì)理論，表示經(jīng)濟(jì)變量和結(jié)構(gòu)沖擊之間有意義的長期和短期關(guān)系。41因此，只需要對B0進(jìn)行約束，就可以識別整個結(jié)42

1.短期約束

短期約束通常直接施加在矩陣B0上，表示經(jīng)濟(jì)變量對結(jié)構(gòu)沖擊的同期響應(yīng)，常見的可識別約束是簡單的0約束排除方法。

（1）通過Cholesky-分解建立遞歸形式的短期約束

Sims提出使B0矩陣的上三角為0的約束方法，這是一個簡單的對協(xié)方差矩陣

的Cholesky-分解。下面，首先介紹Cholesky-分解的基本思想

421.短期約束短期約束通常直接施加43

Cholesky(喬利斯基)分解

對于任意實對稱正定矩陣

，存在惟一一個主對角線元素為1的下三角形矩陣G和惟一一個主對角線元素為正的對角矩陣Q使得：利用這一矩陣G可以構(gòu)造一個k維向量ut，構(gòu)造方法為

ut=G-1t，設(shè)

(9.2.7)43Cholesky(喬利斯基)分解(9.2.7)44則

由于Q是對角矩陣，可得ut的元素互不相關(guān)，其（j,j）元素是ujt

的方差。令Q1/2表示其（j,j）元素為ujt

標(biāo)準(zhǔn)差的對角矩陣。注意到式(9.2.7)可寫為(9.2.8)其中P=GQ1/2是一個下三角矩陣。式(9.2.8)被稱為Cholesky(喬利斯基)分解。44則由于Q是對角矩陣，可得ut的元素互不相45

Sims施加約束的基本過程是：

由于

是正定矩陣，所以可得到Cholesky因子P，即PP=。而且，當(dāng)給定矩陣

時，Cholesky因子P是惟一確定的。

對于VAR模型，其中VWN(0k,)表示均值為0k，協(xié)方差矩陣為

的白噪聲向量，這里0k表示k維零向量。上式兩邊都乘以P1，得到45Sims施加約束的基本過程是：46其中：ut=P-1t。由于

(9.2.9)(9.2.10)

所以ut是協(xié)方差為單位矩陣的白噪聲向量，即ut~

VMN(0k,Ik)。

46其中：ut=P-1t。由于(9.2.9)(9.2.47

在向量t中的各元素可能是當(dāng)期相關(guān)的，而向量

ut中的各元素不存在當(dāng)期相關(guān)關(guān)系，即這些隨機(jī)擾動是相互獨立的。這些相互獨立的隨機(jī)擾動可以被看作是導(dǎo)致內(nèi)生變量向量yt變動的最終因素。由式(9.2.9)還可以得出其中

,,(9.2.11)47在向量t中的各元素可能是當(dāng)期相關(guān)48

很明顯，C0

是下三角矩陣。這意味著變量間的當(dāng)期關(guān)系可以用遞歸的形式表示出來，得到的正交VMA(∞)表示(或Wold表示)形式為其中：Bi=AiP，B0=P。注意到B0=P，所以沖擊

ut對

yt中的元素的當(dāng)期沖擊效應(yīng)是由Cholesky因子P決定的。(9.2.12)48很明顯，C0是下三角矩陣。這意味著變量49

更需要注意的是，由于P是下三角矩陣，由式(9.2.9)可知，這要求向量yt中的y2t，…，ykt的當(dāng)期值對第一個分量y1t沒有影響，因此Cholesky分解因子P的決定和VAR模型中變量的次序有關(guān)，而且在給定變量次序的模型中，Cholesky分解因子矩陣P是惟一的。綜上所述，可知只要式(9.1.13)中的C0是主對角線元素為1的下三角矩陣，則SVAR模型是一種遞歸模型，而且是恰好識別的。49更需要注意的是，由于P是下三角矩陣，50

（2）依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論假設(shè)的短期約束

但是，一般短期約束的施加不必是下三角形式的。只要滿足式(9.1.18)：約束可以施加給B0的任何元素。同時，由式(9.1.15)可知，SVAR模型中的同期表示矩陣C0是B0的逆，即B0=C0-1，因此也可以通過對C0施加限制條件實現(xiàn)短期約束。

50（2）依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論假設(shè)的短期約束51

2.長期約束

關(guān)于長期約束的概念最早是由Blanchard和Quah在1989年提出的，是為了識別模型供給沖擊對產(chǎn)出的長期影響。施加在結(jié)構(gòu)VMA(∞)模型的系數(shù)矩陣Bi(i=1，2，…)上的約束通常稱為長期約束。最常見的長期約束的形式是對i=0

Bi

的第i行第j列元素施加約束，典型的是0約束形式，表示第i個變量對第j個變量的累積乘數(shù)影響為0。

關(guān)于長期約束更詳細(xì)的說明及其經(jīng)濟(jì)含義可參考9.4節(jié)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。512.長期約束關(guān)于長期約束的概52

在EViews中如何估計SVAR模型

在VAR估計窗口中選擇：Procs/EstimateStructuralFactorization

即可。下面對這一操作進(jìn)行詳細(xì)說明：假設(shè)在EViews中SVAR模型為：

(9.8.3)其中et，ut是k維向量，et是簡化式的殘差，相當(dāng)于前文的t，而ut是結(jié)構(gòu)新息(結(jié)構(gòu)式殘差)。A、B是待估計的k

k矩陣。簡化式殘差et的協(xié)方差矩陣為

52在EViews中如何估53例9.2基于SVAR模型的貨幣政策效應(yīng)的實證分析

貨幣政策主要指中央銀行通過調(diào)整利率和貨幣供應(yīng)量，影響投資、社會需求及總支出，進(jìn)而對經(jīng)濟(jì)增長產(chǎn)生作用。凱恩斯學(xué)派和貨幣主義學(xué)派都承認(rèn)貨幣供應(yīng)量對經(jīng)濟(jì)有影響，雖然途徑不一樣，但都是誘發(fā)經(jīng)濟(jì)波動的主要原因。為了驗證利率和貨幣供給的沖擊對經(jīng)濟(jì)波動的影響，例9.1使用了VAR模型，但是其缺點是不能刻畫變量之間的同期相關(guān)關(guān)系，而這種同期相關(guān)關(guān)系隱藏在擾動項變動中，因此可以通過本節(jié)介紹的SVAR模型來識別，這就涉及對模型施加約束的問題。首先，根據(jù)式（9.1.19）建立3變量的SVAR(2)模型，其形式如下：

t=1，2，…，T(9.2.13)53例9.2基于SVAR模型的貨幣政策效應(yīng)的實證分析54其中A、B參數(shù)矩陣及向量分別為，，(9.2.14)

,其中t是VAR模型的擾動項，u1t

、u2t

和u3t

分別表示作用在實際利率rr、Δln(m1)和Δln(gdp)上的結(jié)構(gòu)式?jīng)_擊，即結(jié)構(gòu)式擾動項，ut

～VMN(0k,Ik)。一般而言，簡化式擾動項t

是結(jié)構(gòu)式擾動項

ut的線性組合，因此代表一種復(fù)合沖擊。54其中A、B參數(shù)矩陣及向量分別為55

模型中有3個內(nèi)生變量，因此至少需要施加2k2k(k+1)/2=12個約束才能使得SVAR模型滿足可識別條件。本例中約束B矩陣（即B0矩陣）是單位矩陣，A矩陣（即A0矩陣）對角線元素為1，相當(dāng)于施加了k2+k個約束條件。根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，本例再施加如下兩個約束條件：(1)實際利率對當(dāng)期貨幣供給量的變化沒有反應(yīng)，即a12=0；(2)實際利率對當(dāng)期GDP的變化沒有反應(yīng)，即a13=0。55模型中有3個內(nèi)生變量，因此至少56

1.用矩陣模式表示的短期約束

在許多問題中，對于A、B矩陣的可識別約束是簡單的排除0約束。在這種情況下，可以通過創(chuàng)建矩陣指定A、B的約束，矩陣中想估計的未知元素定義為缺省值NA，在矩陣中所有非缺省的值被固定為某一指定的值。

例如：對于例9.2，(9.2.14)的簡化式擾動項和結(jié)構(gòu)式擾動項的關(guān)系為At=ut

，對于k

=

3個變量的SVAR模型，其矩陣模式可定義為：561.用矩陣模式表示的短期57

一旦創(chuàng)建了矩陣，從VAR對象窗口的菜單中選擇Procs/EstimateStructuralFactorization，在下圖所示的SVAROptions的對話框中，擊中Matrix按鈕和Short-RunPattern按鈕，并在相應(yīng)的編輯框中填入模版矩陣的名字。

57一旦創(chuàng)建了矩陣，從VAR對象窗口的菜單中58

2.用文本形式表示的短期約束

對于更一般的約束，可用文本形式指定可識別的約束。在文本形式中，以一系列的方程表示關(guān)系：Aet=

But

并用特殊的記號識別et和ut向量中的每一個元素。A、B矩陣中被估計的元素必須是系數(shù)向量中被指定的元素。

例如：像上例所假定的一樣，對于有3個變量的SVAR模型，約束A矩陣為C0矩陣，B矩陣是一對角矩陣。在這些約束條件下，Aet=ut

的關(guān)系式可以寫為下面的形式。582.用文本形式表示的短期約束59為了以文本形式指定這些約束，從VAR對象窗口選擇Procs/EstimateStructureFactorization…，并單擊Text按鈕，在編輯框中，應(yīng)鍵入下面的方程：@e1t

=@

u1t

@

e2t

=c(1)@

e1t+

@u2t+c(4)

@

e3t

@e3t

=c(2)@

e1t+

c(3)

@

e2t+

@u3t

59為了以文本形式指定這些約束，從VAR對象窗606061

特殊的關(guān)鍵符“@e1”，“@e2”，“@e3”分別代表et(即t)向量中的第一、第二、第三個元素，而“@u1”，“@u2”，“@u3”分別代表ut向量中的第一、第二、第三個元素。在這個例子中，A、B矩陣中的未知元素以系數(shù)向量c中的元素來代替。并且對A、B矩陣的約束不必是下三角形式，可以依據(jù)具體的經(jīng)濟(jì)理論來建立約束。61特殊的關(guān)鍵符“@e1”，“@e2”，62

4.A、B矩陣的估計

一旦提供了上述所描述的任何一種形式的可識別約束，單擊SVAROptions對話框的OK按鈕，就可以估計A、B矩陣。為了使用脈沖響應(yīng)和方差分解的結(jié)構(gòu)選項，必須先估計這兩個矩陣。假定擾動項是多元正態(tài)的，EViews使用極大似然估計法估計A、B矩陣。使用不受限制的參數(shù)代替受限制的參數(shù)計算似然值。對數(shù)似然值通過得分方法最大化，在這兒梯度和期望信息矩陣使用解析法計算。624.A、B矩陣的估計63

①最優(yōu)化控制(OptimizationControl)最優(yōu)化過程控制的選項在SVAROptions對話框的OptimizationControl欄下提供?？梢灾付ǔ跏贾?、迭代的最大數(shù)和收斂標(biāo)準(zhǔn)。63①最優(yōu)化控制(Optimization64②估計的輸出一旦估計收斂，EViews會在VAR對象窗口中顯示估計的結(jié)果，包括：估計值、標(biāo)準(zhǔn)誤差和被估計無約束參數(shù)的Z統(tǒng)計量及對數(shù)似然的最大值?；诒还烙嫷男畔⒕仃嚨哪妫℉essian的負(fù)的期望值）所估計的標(biāo)準(zhǔn)誤差在最后的估計中計算。64②估計的輸出656566在模型(9.2.13)滿足可識別條件的情況下，我們可以使用完全信息極大似然方法（FIML）估計得到SVAR模型的所有未知參數(shù)，從而可得矩陣A及t

和ut的線性組合的估計結(jié)果如下（設(shè)VAR模型的估計殘差=et）：或者可以表示為本章將在例9.5中，利用脈沖響應(yīng)函數(shù)討論實際利率和貨幣供給量的變動對產(chǎn)出的影響。66在模型(9.2.13)滿足可識別條件的情67

無論建立什么模型，都要對其進(jìn)行識別和檢驗，以判別其是否符合模型最初的假定和經(jīng)濟(jì)意義。本節(jié)簡單介紹關(guān)于VAR模型的各種檢驗。這些檢驗對于后面將要介紹的向量誤差修正模型（VEC）也適用。

9.3.1Granger因果檢驗

VAR模型的另一個重要的應(yīng)用是分析經(jīng)濟(jì)時間序列變量之間的因果關(guān)系。本節(jié)討論由Granger(1969)提出，Sims(1972)推廣的如何檢驗變量之間因果關(guān)系的方法。9.3VAR模型的檢驗和過程

67無論建立什么模型，都要對其進(jìn)行識別和檢驗，以判別68

1.Granger因果關(guān)系的定義

Granger解決了x是否引起y的問題，主要看現(xiàn)在的y能夠在多大程度上被過去的x解釋，加入x的滯后值是否使解釋程度提高。如果x在y的預(yù)測中有幫助，或者x與y的相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計上顯著時，就可以說“y是由xGranger引起的”。

考慮對yt進(jìn)行s期預(yù)測的均方誤差（MSE）：

(9.3.1)681.Granger因果關(guān)69

這樣可以更正式地用如下的數(shù)學(xué)語言來描述。Granger因果定義：如果關(guān)于所有的s>0，基于(yt，yt-1，…)預(yù)測yt+s得到的均方誤差，與基于(yt，yt-1，…)和(xt，xt-1，…)兩者得到的yt+s的均方誤差相同，則y不是由xGranger引起的。對于線性函數(shù)，若有可以得出結(jié)論：x

不能Granger引起y。等價的，如果(9.3.2)式成立，則稱x對于y是外生的。這個意思相同的第三種表達(dá)方式是x關(guān)于未來的y無線性影響信息。

(9.3.2)69這樣可以更正式地用如下的數(shù)學(xué)語言來描述。70

可以將上述結(jié)果推廣到k個變量的VAR(p)模型中去，考慮對模型(9.1.5)，利用從(t1)至(tp)期的所有信息，得到y(tǒng)t的最優(yōu)預(yù)測如下：

(9.3.3)VAR(p)模型中Granger因果關(guān)系如同兩變量的情形，可以判斷是否存在過去的影響。作為兩變量情形的推廣，對多個變量的組合給出如下的系數(shù)約束條件：在多變量VAR(p)模型中不存在yjt到y(tǒng)it的Granger意義下的因果關(guān)系的必要條件是(9.3.4)其中是的第i行第j列的元素。70可以將上述結(jié)果推廣到k個變量的VAR71

2.Granger因果關(guān)系檢驗

Granger因果關(guān)系檢驗實質(zhì)上是檢驗一個變量的滯后變量是否可以引入到其他變量方程中。一個變量如果受到其他變量的滯后影響，則稱它們具有Granger因果關(guān)系。712.Granger因果關(guān)系檢驗72在一個二元p階的VAR模型中

(9.3.5)

當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣中的系數(shù)全部為0時，變量x不能Granger引起y，等價于變量x外生于變量y。72在一個二元p階的VAR模型中(9.3.573這時，判斷Granger原因的直接方法是利用F-檢驗來檢驗下述聯(lián)合檢驗：

H0:

H1:至少存在一個q使得

其統(tǒng)計量為

(9.3.6)如果S1大于F的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)：x不能Granger引起

y。

73這時，判斷Granger原因的直接方法是74其中：RSS1是式(9.3.5)中y方程的殘差平方和：(9.3.7)RSS0是不含x的滯后變量，即如下方程的殘差平方和：

(9.3.8)則有

(9.3.9)74其中：RSS1是式(9.3.5)中y方程的殘差平方和75

在滿足高斯分布的假定下，檢驗統(tǒng)計量式(9.3.6)具有精確的F分布。如果回歸模型形式是如式(9.3.5)的VAR模型，一個漸近等價檢驗可由下式給出：(9.3.10)

注意，S2服從自由度為p的2分布。如果S2大于2的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)：x不能Granger引起y。

而且Granger因果檢驗的任何一種檢驗結(jié)果都和滯后長度p的選擇有關(guān)。

75在滿足高斯分布的假定下，檢驗統(tǒng)計量式(9.76在EViews中Granger因果檢驗的操作

選擇View/LagStructure/GrangerCausalityTests，即可進(jìn)行Granger因果檢驗。

76在EViews77

輸出結(jié)果對于VAR模型中的每一個方程，將輸出每一個其他內(nèi)生變量的滯后項(不包括它本身的滯后項)聯(lián)合顯著的2(Wald)統(tǒng)計量，在表的最后一行(ALL)列出了檢驗所有滯后內(nèi)生變量聯(lián)合顯著的2統(tǒng)計量。對例9.1進(jìn)行檢驗，其結(jié)果如下：77輸出結(jié)果對于VAR模型中的每一個方程，將輸78

同時在組(Group)的View菜單里也可以實現(xiàn)Granger因果檢驗，但是需要先確定滯后階數(shù)，具體統(tǒng)計量的構(gòu)造可依據(jù)9.3節(jié)的介紹，將例9.1的3個時間序列構(gòu)造成組，在組中進(jìn)行檢驗可得如下結(jié)果：78同時在組(Group)的View菜單里也79

為了使兩個結(jié)果具有可比性，選擇了相同的滯后階數(shù)。兩個輸出結(jié)果的形式和統(tǒng)計量都不一樣，在VAR中用的是

2統(tǒng)計量，而在Group中使用的是F統(tǒng)計量。但是含義是一樣的。

79為了使兩個結(jié)果具有可比性，選擇了相同的滯后80

例9.3Granger因果檢驗早期研究發(fā)現(xiàn)，在產(chǎn)出和貨幣的單方程中，貨幣對于產(chǎn)出具有顯著Granger影響(Granger，1969)，這同F(xiàn)riedman等人(1963)“實際產(chǎn)出和貨幣供給當(dāng)中的擾動成分正相關(guān)”的結(jié)論相符。但是，Sims(1980)對于“貨幣沖擊能夠產(chǎn)生實際效果”的觀點提出了質(zhì)疑，他通過使用結(jié)構(gòu)變量之間的因果關(guān)系檢驗，得到的主要結(jié)論是：如果在實際產(chǎn)出和貨幣的關(guān)系方程當(dāng)中引入利率變量，那么貨幣供給對實際產(chǎn)出的作用程度將出現(xiàn)顯著降低。因此，動態(tài)的利率變量將比貨幣存量具有更強(qiáng)的解釋產(chǎn)出變化的能力，這樣的結(jié)論同凱恩斯經(jīng)濟(jì)學(xué)中的LM曲線機(jī)制更為接近。80例9.81

根據(jù)實際情況，利用例9.1的數(shù)據(jù)，基于VAR(3)模型檢驗實際利率RR、實際貨幣供給M1和實際GDP之間是否有顯著的Granger關(guān)系，其結(jié)果如表9.2所示。原假設(shè)2統(tǒng)計量自由度P值rr方程實際M1不能Granger引起實際利率4.16

20.1252

實際GDP不能Granger引起實際利率4.20

20.1224

實際M1、實際GDP不能同時Granger引起實際利率6.87

40.1428

Δln(m1)方程實際利率不能Granger引起實際M18.21

20.0165

實際GDP不能Granger引起實際M16.62

20.0366

實際利率、實際GDP不能同時Granger引起實際M115.15

40.0044

Δln(gdp)方程實際利率不能Granger引起實際GDP1.17

20.5584實際M1不能Granger引起實際GDP2.42

20.2982

實際利率、實際M1不能同時Granger引起實際GDP3.53

40.4734

81根據(jù)實際情況，利用例9.1的數(shù)據(jù)，基于VA82從表9.2的結(jié)果可以看到：在實際利率方程中，不能拒絕實際M1、實際GDP不是實際利率的Granger原因的原假設(shè)，而且兩者的聯(lián)合檢驗也不能拒絕原假設(shè)，表明實際利率外生于系統(tǒng)，這與我國實行固定利率制度是相吻合的。而在實際M1的方程中，無論單個變量的Granger因果檢驗，還是聯(lián)合檢驗在5%的顯著性水平下都不能接受原假設(shè)。在第三個方程(即實際GDP方程)中，實際M1外生于實際GDP的概率為0.2982，這可能是因為我國內(nèi)需不足，大部分商品處于供大于求，因此當(dāng)對貨幣的需求擴(kuò)張時，會由于價格調(diào)整而抵消，并不會形成對貨幣供給的數(shù)量調(diào)整，因此對產(chǎn)出的影響比較微弱。另外，在樣本區(qū)間內(nèi)，貨幣政策發(fā)生了方向性的改變，導(dǎo)致其影響作用出現(xiàn)了抵消和中和，因此實際M1對實際GDP沒有顯著的影響。

82從表9.2的結(jié)果可以看到：在實際利率方83

VAR模型中一個重要的問題就是滯后階數(shù)的確定。在選擇滯后階數(shù)p時，一方面想使滯后階數(shù)足夠大，以便能完整反映所構(gòu)造模型的動態(tài)特征。但是另一方面，滯后階數(shù)越大，需要估計的參數(shù)也就越多，模型的自由度就減少。所以通常進(jìn)行選擇時，需要綜合考慮，既要有足夠數(shù)目的滯后項，又要有足夠數(shù)目的自由度。事實上，這是VAR模型的一個缺陷，在實際中常常會發(fā)現(xiàn)，將不得不限制滯后項的數(shù)目，使它少于反映模型動態(tài)特征性所應(yīng)有的理想數(shù)目。

9.3.2滯后階數(shù)p的確定

83VAR模型中一個重要的問題就是滯后階數(shù)的84

1.確定滯后階數(shù)的LR(似然比)檢驗

(9.3.11)

LR(LikelihoodRatio)檢驗方法，從最大的滯后階數(shù)開始，檢驗原假設(shè)：在滯后階數(shù)為j時，系數(shù)矩陣j的元素均為0；備擇假設(shè)為：系數(shù)矩陣j中至少有一個元素顯著不為0。2(Wald)統(tǒng)計量如下：

其中m是可選擇的其中一個方程中的參數(shù)個數(shù)：m=d+kj，d是外生變量的個數(shù)，k是內(nèi)生變量個數(shù)，和

分別表示滯后階數(shù)為(j–1)和j的VAR模型的殘差協(xié)方差矩陣的估計。841.確定滯后階數(shù)的LR(似然比)85

從最大滯后階數(shù)開始，比較LR統(tǒng)計量和5%水平下的臨界值，如果LR

時，拒絕原假設(shè)，表示統(tǒng)計量顯著，此時表示增加滯后值能夠顯著增大極大似然的估計值；否則，接受原假設(shè)。每次減少一個滯后階數(shù)，直到拒絕原假設(shè)。

2．AIC信息準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則

實際研究中，大家比較常用的方法還有AIC信息準(zhǔn)則和SC信息準(zhǔn)則，其計算方法可由下式給出：85從最大滯后階數(shù)開始，比較LR統(tǒng)計量和5%水86其中在VAR模型(9.1.1)中n

=k(d

+

pk)是被估計的參數(shù)的總數(shù)，k是內(nèi)生變量個數(shù)，T是樣本長度，d是外生變量的個數(shù)，p是滯后階數(shù)，l是由下式確定的(9.3.12)(9.3.13)(9.3.14)86其中在VAR模型(9.1.1)中n=k(d+p87

在EViews軟件中滯后階數(shù)p的確定

一旦完成VAR模型的估計，在窗口中選擇View/LagStructure/LagLengthCriteria，87在EVie88需要指定較大的滯后階數(shù)，表中將顯示出直至最大滯后數(shù)的各種信息標(biāo)準(zhǔn)（如果在VAR模型中沒有外生變量，滯后從1開始，否則從0開始）。表中用“*”表示從每一列標(biāo)準(zhǔn)中選的滯后數(shù)。在4～7列中，是在標(biāo)準(zhǔn)值最小的情況下所選的滯后數(shù)。

為了確定例9.1中模型的合適滯后長度p，默認(rèn)的滯后階數(shù)為4，得到如下的結(jié)果：

88需要指定較大的滯后階數(shù)，表中898990

在EViews軟件關(guān)于VAR模型的其他檢驗

一旦完成VAR模型的估計，EViews會提供關(guān)于被估計的VAR模型的各種視圖。將主要介紹View/LagStructure和View/ResidualTests菜單下提供的檢驗。90在EViews軟件關(guān)91

1.AR根的圖表

如果被估計的VAR模型所有根的模的倒數(shù)小于1，即位于單位圓內(nèi)，則其是穩(wěn)定的。如果模型不穩(wěn)定，某些結(jié)果將不是有效的（如脈沖響應(yīng)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差）。共有kp個根，其中k是內(nèi)生變量的個數(shù)，p是最大滯后階數(shù)。如果估計一個有r個協(xié)整關(guān)系的VEC模型，則應(yīng)有k

r個根等于1。

對于例9.1，可以得到如下的結(jié)果：9192所有的單位根的模大于1，因此例9.1的模型滿足穩(wěn)定性條件。92所有的單位根的模大于1，因此例9.1的模93下面給出單位根的圖形表示的結(jié)果：93下面給出單位根的圖形表示的結(jié)果：94

2．VAR殘差檢驗

(1)相關(guān)圖(Correlogram)顯示VAR模型在指定的滯后階數(shù)的條件下得到的殘差的交叉相關(guān)圖（樣本自相關(guān)）。(2)混合的自相關(guān)檢驗(PortmanteauAutocorrelationTest)

計算與指定階數(shù)所產(chǎn)生的殘差序列相關(guān)的多變量Box-Pierce/Ljung-BoxQ統(tǒng)計量。(3)自相關(guān)LM檢驗(AutocorrelationLMTest)計算與直到指定階數(shù)所產(chǎn)生的殘差序列相關(guān)的多變量LM檢驗統(tǒng)計量。(4)正態(tài)性檢驗(NormalityTest)(5)White異方差檢驗(WhiteHeteroskedasticityTest)

942．VAR殘差檢驗95

9.3.3VAR模型的過程

VAR對象的過程(Procs)中多數(shù)的過程和系統(tǒng)對象(System)的過程一樣在這里僅就對VAR模型特有的過程進(jìn)行討論。建立系統(tǒng)

(MakeSystem)這個菜單產(chǎn)生一個與VAR對象設(shè)定等價的系統(tǒng)對象。如果要估計一個非標(biāo)準(zhǔn)的VAR模型，可以通過這個過程盡快的在系統(tǒng)對象中設(shè)定一個VAR模型，并可以根據(jù)模型的需要進(jìn)行修改。例如，VAR對象要求每一個方程有相同的滯后結(jié)構(gòu)，但也可以放寬這個條件。為了估計一個非平衡滯后結(jié)構(gòu)的VAR模型，用MakeSystem可以產(chǎn)生一個具有平衡滯后結(jié)構(gòu)的VAR系統(tǒng)，然后編輯系統(tǒng)以滿足所需要的滯后要求。959.3.396①按變量次序(ByVariable)：該選項產(chǎn)生一個系統(tǒng)，其詳細(xì)的說明和系數(shù)的顯示是以變量的次序來顯示。如果想排除系統(tǒng)某些方程中特定變量的滯后，可以選用這個選項。96①按變量次序(ByVariable)97

②按滯后階數(shù)(ByLag)：產(chǎn)生一個以滯后階數(shù)的次序來顯示其詳細(xì)的說明和系數(shù)的系統(tǒng)。如果想排除系統(tǒng)某些方程中特定的滯后階數(shù)來進(jìn)行編輯，可以用這個選項。注意：標(biāo)準(zhǔn)VAR模型可以用單方程OLS方法來有效地估計，對于調(diào)整后的系統(tǒng)一般不能使用OLS。當(dāng)用系統(tǒng)對象估計非標(biāo)準(zhǔn)的VAR模型時，可以使用更復(fù)雜的系統(tǒng)估計方法（如：SUR方法）。97②按滯后階數(shù)(ByLag)：產(chǎn)生一98

在實際應(yīng)用中，由于VAR模型是一種非理論性的模型，因此在分析VAR模型時，往往不分析一個變量的變化對另一個變量的影響如何，而是分析當(dāng)一個誤差項發(fā)生變化，或者說模型受到某種沖擊時對系統(tǒng)的動態(tài)影響，這種分析方法稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)方法(impulseresponsefunction，IRF)。9.4脈沖響應(yīng)函數(shù)

98在實際應(yīng)用中，由于VAR模型是一種非理論99

用時間序列模型來分析影響關(guān)系的一種思路，是考慮擾動項的影響是如何傳播到各變量的。下面先根據(jù)兩變量的VAR(2)模型來說明脈沖響應(yīng)函數(shù)的基本思想。

9.4.1脈沖響應(yīng)函數(shù)的基本思想

(9.4.1)其中，ai，bi，ci，di是參數(shù)，t=(1t,2t)

是擾動項，假定是具有下面這樣性質(zhì)的白噪聲向量：

99用時間序列模型來分析影響關(guān)系的一種思路，是考慮擾100(9.4.2)

假定上述系統(tǒng)從０期開始活動，且設(shè)x-1=x-2=

z-1=z-2=

0，又設(shè)于第０期給定了擾動項10=1，20=0，并且其后均為０，即

1t=2t=0(t＝1，2，…)，稱此為第０期給x以脈沖。100(9.4.2)假定上述系統(tǒng)從０期開始活101下面討論xt

與zt的響應(yīng)，t

=0時：

將其結(jié)果代入式(9.4.1)，當(dāng)t

=1時再把此結(jié)果代入式(9.4.1)，當(dāng)t

=2時

繼續(xù)這樣計算下去，設(shè)求得結(jié)果為稱為由x的脈沖引起的x的響應(yīng)函數(shù)。同時所求得101下面討論xt與zt的響應(yīng)，t=0102稱為由x的脈沖引起的z的響應(yīng)函數(shù)。

當(dāng)然，第０期的脈沖反過來，從10=0，20=1出發(fā)，可以求出由z的脈沖引起的x的響應(yīng)函數(shù)和z的響應(yīng)函數(shù)。因為以上這樣的脈沖響應(yīng)函數(shù)明顯地捕捉對沖擊的效果，所以同用于計量經(jīng)濟(jì)模型的沖擊乘數(shù)分析是類似的。

102稱為由x的脈沖引起的z的響應(yīng)函數(shù)。103

將上述討論推廣到多變量的VAR(p)模型上去，由式(9.1.5)可得

9.4.2VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)

(9.4.3)

VMA(∞)表達(dá)式的系數(shù)可按下面的方式給出，由于VAR(p)的系數(shù)矩陣i

和VMA(∞)的系數(shù)矩陣Ai必須滿足下面關(guān)系：103將上述討論推廣到多變量的VAR(p)104(9.4.4)(9.4.5)其中：K1=K2=…=0。關(guān)于Kq的條件遞歸定義了MA系數(shù)：

(9.4.6)104(9.4.4)(9.4.5)其中：K1=K2=105考慮VMA(∞)的表達(dá)式y(tǒng)t的第i個變量yit可以寫成：其中k是變量個數(shù)。(9.4.7)(9.4.8)105考慮VMA(∞)的表達(dá)式(9.4.7106

僅考慮兩個變量的情形：，

q=0,1,2,…，i

,j=1,2

現(xiàn)在假定在基期給y1一個單位的脈沖，即：

(9.4.9)106僅考慮兩個變量的情形：107–2–1012345………t則由

y1的脈沖引起的y2的響應(yīng)函數(shù)為107–2–101234108

因此，一般地，由yj的脈沖引起的yi的響應(yīng)函數(shù)可以求出如下：

且由yj的脈沖引起的yi的累積(accumulate)響應(yīng)函數(shù)可表示為108因此，一般地，由yj的脈沖引起的109Aq的第i行、第j列元素還可以表示為：(9.4.10)作為q的函數(shù)，它描述了在時期t，其他變量和早期變量不變的情況下yi,t+q對yjt的一個沖擊的反應(yīng)(對應(yīng)于經(jīng)濟(jì)學(xué)中的乘數(shù)效應(yīng))，我們把它稱作脈沖—響應(yīng)函數(shù)。也可以用矩陣的形式表示為(9.4.11)即Aq的第i行第j列元素等于時期t第j個變量的擾動項增加一個單位，而其他時期的擾動為常數(shù)時，對時期t+q的第i個變量值的影響。

109Aq的第i行、第j列元素還可110一般地，如果沖擊不是一單位，假定t的第一個元素變化1，第二個元素變化2，…，第k個元素變化k，則時期t沖擊為

(1,2,…,k)

，而t到t+q的其他時期沒有沖擊，向量yt+q的響應(yīng)表示為

q=0，1，…(9.4.12)其中t-1表示t-1期的信息集合。但是對于上述脈沖響應(yīng)函數(shù)的結(jié)果的解釋卻存在一個問題：前面我們假設(shè)協(xié)方差矩陣

是非對角矩陣，這意味著擾動項向量t中的其他元素隨著第j個元素jt的變化而變化，這與計算脈沖響應(yīng)函數(shù)時假定jt變化，而t中其他元素不變化相矛盾。這就需要利用一個正交化的脈沖響應(yīng)函數(shù)來解決這個問題。110一般地，如果沖擊不是一單位，假定t的第111常用的正交化方法是Cholesky分解，由式（9.2.12）和式（9.4.11）可知，在時期t，其他變量和早期變量不變的情況下yt+q對yjt的一個單位沖擊的反應(yīng)為

(9.4.13)其中Pj表示式(9.2.8)中Cholesky分解得到的P矩陣的第j列元素。由前面的討論可知矩陣P的選擇與變量次序有關(guān)。111常用的正交化方法是Cholesky分1129.4.3廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)VAR模型的動態(tài)分析一般采用“正交”脈沖響應(yīng)函數(shù)來實現(xiàn)，而正交化通常采用式（9.4.13）形式的Cholesky分解完成，但是Cholesky分解的結(jié)果嚴(yán)格的依賴于模型中變量的次序。本節(jié)介紹的由Koop等（1996）年提出的廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)克服了上述缺點?？紤]式(9.4.3)形式的VAR模型，其中擾動項滿足式(9.4.2)的假定，且其方差協(xié)方差矩陣Σ是正定矩陣，擾動項之間可以存在同期相關(guān)關(guān)系，即Σ不一定是對角矩陣，則式（9.4.12）不能成立。1129.4.3廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)113在式（9.4.12）中假定沖擊不是發(fā)生在所有的變量上，只是發(fā)生在第j個變量上，則有

q=0，1，…(9.4.14)其中t-1表示t-1期的信息集合。由于不是對角矩陣，意味著t各元素之間存在同期相關(guān)關(guān)系，則給jt一個沖擊，t中的其它元素同期也會發(fā)生變化，因此，為了得到式（9.4.14）的結(jié)果，需要首先計算由于jt的變化而引起的t中其他元素同期發(fā)生的變化，此時，假定t服從多元正態(tài)分布，則

(9.4.15)其中，表示t協(xié)方差矩陣的第j列元素，113在式（9.4.12）中假定沖擊不是發(fā)生114變量j的沖擊引起的向量yt+q的響應(yīng)為：

(9.4.16)若設(shè)