CH11差錯控制編碼課件

差錯控制編碼通信工程學院

陳愛萍8171-1@163.com1差錯控制編碼通信工程學院陳愛萍8171-1@163.c基本要求數(shù)字通信糾錯和檢錯編碼的基本原理與分類；幾種常用簡單編碼的編碼規(guī)則及特點；線性分組碼的編碼規(guī)則及特點。2基本要求數(shù)字通信糾錯和檢錯編碼的基本原理與分類；2引言減小接收端發(fā)生碼元錯誤的措施采用無ISI傳輸系統(tǒng)選擇合適的調(diào)制、解調(diào)方法增加信號的發(fā)送功率采用差錯控制編碼差錯控制編碼的概念：又稱為信道編碼目的：克服信息傳輸過程中由于信道噪聲、干擾（加性干擾）引起的誤碼，提高可靠性（信源編碼：提高有效性;）方法：在信息碼元中加入冗余的監(jiān)督碼元來提高抗干擾能力實質(zhì)：有效性換可靠性3引言減小接收端發(fā)生碼元錯誤的措施差錯控制編碼的概念：又稱為錯誤種類信道中常見的錯誤有以下三種：隨機錯誤：錯誤的出現(xiàn)是隨機的，即各個碼元是否發(fā)生錯誤是互相獨立的，通常不是成片地出現(xiàn)錯誤。由信道的加性隨機噪聲引起，故把具有此特性的信道稱為隨機信道

突發(fā)錯誤：錯誤是一連串出現(xiàn)的。通常在一個突發(fā)錯誤持續(xù)時間內(nèi)，開頭和末尾的碼元總是錯的，中間的某些碼元可能錯也可能對，但錯誤的碼元相對較多。如移動通信中信號在某一段時間內(nèi)發(fā)生衰落，造成一串差錯；汽車發(fā)動時電火花干擾造成的錯誤；光盤上的一條劃痕等。這樣的信道稱為突發(fā)信道。混合錯誤：既有突發(fā)錯誤又有隨機錯誤的情況。這種信道稱為混合信道4錯誤種類信道中常見的錯誤有以下三種：隨機錯誤：錯誤的出現(xiàn)是隨差錯控制方式自動重發(fā)請求（ARQ）：發(fā)端發(fā)送能檢錯的碼；收端對收到的碼作判決，若有錯則通知發(fā)端請求重發(fā)，直到正確接收為止。

特點：可具有不同的重發(fā)機制,需要反饋信道.可達到良好的性能，但實時性很差前向糾錯（FEC）：發(fā)端發(fā)送能糾正錯誤的編碼,收端對收到的碼作判決，若有錯則糾之。特點：不需反饋信道,實時性好；譯碼設備復雜應用：大量使用在數(shù)字通信和存儲系統(tǒng)中，原因是：采用專用大規(guī)模集成電路的編譯碼器，體積、成本??；顯著改善誤碼率混合方式(HEC)：結合FEC和ARQ方式,在糾錯能力范圍內(nèi),自行糾錯,否則請求重傳.5差錯控制方式自動重發(fā)請求（ARQ）：發(fā)端發(fā)送能檢錯的碼；收端差錯控制方式圖示6差錯控制方式圖示6差錯控制編碼的分類按信息碼與監(jiān)督碼間關系分：線性碼與非線性碼（函數(shù)關系為現(xiàn)性與非線性）按組內(nèi)各碼元與信息碼之間關系的涉及范圍：分組碼（組內(nèi)各碼元只與本組信息碼元有關）卷積碼（組內(nèi)各碼元不僅與本組信息碼元有關，而且與前面若干組信息碼元有關）按碼編前后信息碼元是否保持原樣：系統(tǒng)碼（保持原樣）與非系統(tǒng)碼（不保持原樣）按碼的功能分：檢錯碼（只能檢錯）與糾錯碼（能檢錯和糾錯）按糾（檢）錯碼的類型：糾正隨機錯誤碼與糾正突發(fā)錯誤碼

隨著數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)展，可以將信道編碼器和調(diào)制器統(tǒng)一起來綜合設計，這就是所謂的網(wǎng)格編碼調(diào)制。7差錯控制編碼的分類按信息碼與監(jiān)督碼間關系分：線性碼與非線性碼GSM系統(tǒng)的話音和信道編碼組成幀長20ms速率22.8kb/s8GSM系統(tǒng)的話音和信道編碼組成幀長20ms8幾個相關的名詞碼長：一個碼組（碼字、碼矢）中碼元的數(shù)目碼重：一個碼組（碼字、碼矢）中非零位的個數(shù)碼距：兩個等長碼組之間對應位不同的個數(shù)。最小碼距d0是碼組集合中，所有碼距的最小值9幾個相關的名詞碼長：一個碼組（碼字、碼矢）中碼元的數(shù)目9抗干擾能力與最小碼距d0的關系糾錯碼的抗干擾能力完全取決于許用碼字之間的距離，碼的最小距離越大，說明碼字間的最小差別越大，抗干擾能力就越強。要檢測e

個錯誤，則d0≥e+1；要糾正

t

個錯誤，則d0≥2t+1；要糾正t個錯誤，同時檢測e個錯誤（e>t），則d0≥t+e+110抗干擾能力與最小碼距d0的關系糾錯碼的抗干擾能力完全取決例1：已知8個碼組為000000，001110，010101，011011100011，101101，110110，1110001）求該碼組的最小距離；2）若用于檢錯，能檢出幾位錯誤？3）若用于糾錯，能糾正幾位錯誤？3）若同時用于檢錯和糾錯，問糾錯、檢錯的性能如何？解：1）最小碼距為所有碼距中的最小值2）檢錯時，d0e+1，ed0–1=2，能檢出2位錯誤；d0=3；3）糾錯時，d02t+1，t(d0–1)/2=1，能糾1位錯誤；4）檢錯和糾錯：d0e+t+1，且e<t，故不能同時用于檢錯和糾錯11例1：已知8個碼組為解：1）最小碼距為所有碼距中的最小值2幾種簡單的糾錯碼奇偶監(jiān)督碼：只有一位監(jiān)督碼，它使碼組中“1”的數(shù)目為偶數(shù)或奇數(shù)，編碼效率高。a0為監(jiān)督位，其他為信息位偶數(shù)監(jiān)督碼：奇數(shù)監(jiān)督碼：特點：只能發(fā)現(xiàn)單個或奇數(shù)個錯誤，“檢奇不檢偶”。最小碼距為2；適合檢測隨機錯誤，對突發(fā)錯誤無能為力；編碼效率:R=(n-1)/n12幾種簡單的糾錯碼奇偶監(jiān)督碼：只有一位監(jiān)督碼，它使碼組中“1”二維奇偶監(jiān)督碼：又稱為方陣碼，在行編碼的基礎上，再作列編碼。特點：可以發(fā)現(xiàn)某一行或某一列上的所有奇數(shù)個錯誤及長度不大于行數(shù)(或列數(shù))的突發(fā)錯誤（交織）幾種簡單的糾錯碼---二維奇偶監(jiān)督碼對構成矩形四角的錯碼無法檢出13二維奇偶監(jiān)督碼：又稱為方陣碼，在行編碼的基礎上，再作列編碼。恒比碼：恒比碼又稱等重碼，碼組中1和0的位數(shù)保持恒定的比例。數(shù)目不對則錯誤我國電傳通信中普遍采用3:2碼，國際上通用的ARQ電報通信系統(tǒng)中，采用3:4碼，即7中取3碼。正反碼：監(jiān)督位數(shù)目和信息位數(shù)目相同，監(jiān)督碼元與信息碼元相同或者相反（信息碼的重復或信息碼的反碼）幾種簡單的糾錯碼---恒比碼和正反碼14恒比碼：恒比碼又稱等重碼，碼組中1和0的位數(shù)保持恒定的比例。線性分組碼

概念：信息碼元和監(jiān)督碼元用線性方程聯(lián)系起來。是一組固定長度的碼組，可表示為（n,k），用于前向糾錯。編碼時，k個信息位被編為n位碼組長度，而n-k個監(jiān)督位的作用就是實現(xiàn)檢錯與糾錯。編碼效率：R=k/n性質(zhì)：任意兩許用碼組之和（逐位模2加）仍為一許用碼組，即線性碼有封閉性；最小碼距等于非零碼的最小碼重例1：000000，001110，010101，011011100011，101101，110110，11100015線性分組碼概念：信息碼元和監(jiān)督碼元用線性方程聯(lián)系起來。是一例：奇偶監(jiān)督碼是一種簡單的線性碼。一位監(jiān)督碼（an-1an-2…a2

a1

a0

）發(fā)送時：0=an-1an-2…a1

a0

（偶校驗）接收時：S=an-1an-2…a1

a0

S=0，表示無錯；

S=1，表示有錯，但無法指示錯碼的位置。S稱為校正子,又稱伴隨式一般來說，r(r=n-k)個監(jiān)督方程計算得到r個較正子S，對一位錯碼來說，可以表示出(2r-1)個可能的錯碼位置；如r=2，S的可能值有：00,01,10,11,若用其中一種組合表示無措，則其余3種組合可以指示一個錯碼的3種位置；因此對于(n,k)分組碼，若滿足:2r

-1≥n,

則有可能構造出指示一位錯碼的n種可能位置。

16例：奇偶監(jiān)督碼是一種簡單的線性碼。一位監(jiān)督碼（an-1a錯碼位置S1S2S3a6111a5110a4101a3011a2100a1010a0001無錯000錯碼圖樣（并非唯一）a6a5

a4

a2

=S1a6a5

a3

a1

=S2a6a4

a3

a0=S3（偶數(shù)監(jiān)督關系）舉例：(7,4)分組碼，又稱漢明碼，n=7,k=4,r=3,最小碼距（漢明距）：d0=3(t=1,e=2)可糾正一個錯誤或檢測2個錯誤設碼組為：a6a5a4a3

a2a1a0定義校正子S與錯碼的關系如表：編碼效率最高的線性分組碼。例如：(7,4)、(15,11)碼。17錯碼位置S1S2S3a6111a5110a4101a3011a2

=

a6a5

a4a1

=

a6a5

a3a0

=a6a4

a3經(jīng)移位后可得到監(jiān)督位：

全部16種許用碼組如表a6a5

a4

a2=0a6a5

a3

a1=0a6a4

a3

a0

=0由：發(fā)端編碼a6a5a4a3

a2a1a0：信息位是隨機的，如何確定a2a1a0？18a2=a6a5a4經(jīng)移位后可得到監(jiān)督例：若接收碼組為：0000011S1=a6a5

a4

a2=0S2=a6a5

a3

a1=1S3=a6a4

a3

a0=1S1S2S3=011，故錯碼在a3位！收端考察S1S2S3是否為零可糾錯1位錯碼位置S1S2S3a6111a5110a4101a3011a2100a1010a0001無錯000錯碼圖樣19例：若接收碼組為：0000011S1=a6監(jiān)督矩陣H據(jù)：線性碼是信息位和監(jiān)督位滿足一線性方程的碼1·a6+1·a5+1·

a4+0·

a3+

1·

a2+0·

a1

+0·

a0

=01·a6+1·a5+0·

a4

+1·

a3+0·

a2+1·

a1

+0·

a0

=01·a6+0·a5

+1·

a4+1·

a3+0·

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+0·

a1

+1·

a0

=0（注：這里“+”=

）a6a5

a4

a2=0a6a5

a3

a1=0a6a4

a3

a0

=0由：20監(jiān)督矩陣H據(jù)：線性碼是信息位和監(jiān)督位滿足一線性方程的碼1·aH為監(jiān)督矩陣，rn階，具有H=PIr的形式，又稱為典型監(jiān)督矩陣；P為rk階矩陣；Ir為rr階方陣A為編碼碼組；O為行向量H的轉(zhuǎn)置矩陣21H為監(jiān)督矩陣，rn階，具有H=PIr的形式，又稱為典型監(jiān)督Q為kr階矩陣，它為P的轉(zhuǎn)置，即：生成矩陣G22Q為kr階矩陣，它為P的轉(zhuǎn)置，即：生成矩陣G22定義生成矩陣G：由此可產(chǎn)生整個碼組G為kn階;生成矩陣的每一行都是一個許用碼組，并有：GHT=O；具有G=IkQ的形式，又稱為典型監(jiān)督矩陣；A中，信息位不變，監(jiān)督位附加在后又稱為系統(tǒng)碼23定義生成矩陣G：由此可產(chǎn)生整個碼組G為kn階;23例224例224校驗子S設發(fā)送組碼A，在傳輸過程中有可能出現(xiàn)誤碼，這時接收到的碼組為B。則收發(fā)碼組之差為：

則接收端利用接收到的碼組B計算校正子：

S=BHT=(A+E)HT=AHT+EHT=EHT

故校正子僅與E有關，即錯誤圖樣與校正子之間有確定的關系。其中：25校驗子S設發(fā)送組碼A，在傳輸過程中有可能出現(xiàn)誤碼，這時接收到例3錯碼位置S1S2S3a6111a5110a4101a3011a2100a1010a0001無錯00026例3錯碼位置S1S2S3a6111a5110a4101a3重要概念差錯控制編碼的目的：提高信息傳輸?shù)目煽啃詫嵸|(zhì)：有效性換可靠性碼長：一個碼組中碼元的數(shù)目碼重：一個碼組中非零位的個數(shù)碼距：兩個等長碼組之間對應位不同的個數(shù)。最小碼距dmin是碼組集合中，所有碼距的最小值分組碼表示符號(n,k)：n是碼組總位數(shù)，k是信息碼位數(shù)，監(jiān)督位的位數(shù)：r=n-k編碼效率：R=k/n漢明碼：可糾正1位錯碼，編碼效率最高的線性分組碼。(7,4)、(15,11)碼。碼長：n=2r

-1

信息位：k=n–r=2r

–r-1

監(jiān)督位：r3最小碼距（漢明距）：dmin=3(t=1或e=2)27重要概念差錯控制編碼的目的：提高信息傳輸?shù)目煽啃?7

如果碼組B無錯，B＝A，則M＝0；如果碼組B有單個（或奇數(shù)個）錯誤，則M＝1。奇偶監(jiān)督碼的編碼可以用軟件實現(xiàn)，也可用硬件電路實現(xiàn)。奇偶監(jiān)督碼的編碼的實現(xiàn)28如果碼組B無錯，B＝A，則M＝0；如果碼組B有單個（或差錯控制編碼通信工程學院

陳愛萍8171-1@163.com29差錯控制編碼通信工程學院陳愛萍8171-1@163.c基本要求數(shù)字通信糾錯和檢錯編碼的基本原理與分類；幾種常用簡單編碼的編碼規(guī)則及特點；線性分組碼的編碼規(guī)則及特點。30基本要求數(shù)字通信糾錯和檢錯編碼的基本原理與分類；2引言減小接收端發(fā)生碼元錯誤的措施采用無ISI傳輸系統(tǒng)選擇合適的調(diào)制、解調(diào)方法增加信號的發(fā)送功率采用差錯控制編碼差錯控制編碼的概念：又稱為信道編碼目的：克服信息傳輸過程中由于信道噪聲、干擾（加性干擾）引起的誤碼，提高可靠性（信源編碼：提高有效性;）方法：在信息碼元中加入冗余的監(jiān)督碼元來提高抗干擾能力實質(zhì)：有效性換可靠性31引言減小接收端發(fā)生碼元錯誤的措施差錯控制編碼的概念：又稱為錯誤種類信道中常見的錯誤有以下三種：隨機錯誤：錯誤的出現(xiàn)是隨機的，即各個碼元是否發(fā)生錯誤是互相獨立的，通常不是成片地出現(xiàn)錯誤。由信道的加性隨機噪聲引起，故把具有此特性的信道稱為隨機信道

突發(fā)錯誤：錯誤是一連串出現(xiàn)的。通常在一個突發(fā)錯誤持續(xù)時間內(nèi)，開頭和末尾的碼元總是錯的，中間的某些碼元可能錯也可能對，但錯誤的碼元相對較多。如移動通信中信號在某一段時間內(nèi)發(fā)生衰落，造成一串差錯；汽車發(fā)動時電火花干擾造成的錯誤；光盤上的一條劃痕等。這樣的信道稱為突發(fā)信道?；旌襄e誤：既有突發(fā)錯誤又有隨機錯誤的情況。這種信道稱為混合信道32錯誤種類信道中常見的錯誤有以下三種：隨機錯誤：錯誤的出現(xiàn)是隨差錯控制方式自動重發(fā)請求（ARQ）：發(fā)端發(fā)送能檢錯的碼；收端對收到的碼作判決，若有錯則通知發(fā)端請求重發(fā)，直到正確接收為止。

特點：可具有不同的重發(fā)機制,需要反饋信道.可達到良好的性能，但實時性很差前向糾錯（FEC）：發(fā)端發(fā)送能糾正錯誤的編碼,收端對收到的碼作判決，若有錯則糾之。特點：不需反饋信道,實時性好；譯碼設備復雜應用：大量使用在數(shù)字通信和存儲系統(tǒng)中，原因是：采用專用大規(guī)模集成電路的編譯碼器，體積、成本??；顯著改善誤碼率混合方式(HEC)：結合FEC和ARQ方式,在糾錯能力范圍內(nèi),自行糾錯,否則請求重傳.33差錯控制方式自動重發(fā)請求（ARQ）：發(fā)端發(fā)送能檢錯的碼；收端差錯控制方式圖示34差錯控制方式圖示6差錯控制編碼的分類按信息碼與監(jiān)督碼間關系分：線性碼與非線性碼（函數(shù)關系為現(xiàn)性與非線性）按組內(nèi)各碼元與信息碼之間關系的涉及范圍：分組碼（組內(nèi)各碼元只與本組信息碼元有關）卷積碼（組內(nèi)各碼元不僅與本組信息碼元有關，而且與前面若干組信息碼元有關）按碼編前后信息碼元是否保持原樣：系統(tǒng)碼（保持原樣）與非系統(tǒng)碼（不保持原樣）按碼的功能分：檢錯碼（只能檢錯）與糾錯碼（能檢錯和糾錯）按糾（檢）錯碼的類型：糾正隨機錯誤碼與糾正突發(fā)錯誤碼

隨著數(shù)字通信系統(tǒng)的發(fā)展，可以將信道編碼器和調(diào)制器統(tǒng)一起來綜合設計，這就是所謂的網(wǎng)格編碼調(diào)制。35差錯控制編碼的分類按信息碼與監(jiān)督碼間關系分：線性碼與非線性碼GSM系統(tǒng)的話音和信道編碼組成幀長20ms速率22.8kb/s36GSM系統(tǒng)的話音和信道編碼組成幀長20ms8幾個相關的名詞碼長：一個碼組（碼字、碼矢）中碼元的數(shù)目碼重：一個碼組（碼字、碼矢）中非零位的個數(shù)碼距：兩個等長碼組之間對應位不同的個數(shù)。最小碼距d0是碼組集合中，所有碼距的最小值37幾個相關的名詞碼長：一個碼組（碼字、碼矢）中碼元的數(shù)目9抗干擾能力與最小碼距d0的關系糾錯碼的抗干擾能力完全取決于許用碼字之間的距離，碼的最小距離越大，說明碼字間的最小差別越大，抗干擾能力就越強。要檢測e

個錯誤，則d0≥e+1；要糾正

t

個錯誤，則d0≥2t+1；要糾正t個錯誤，同時檢測e個錯誤（e>t），則d0≥t+e+138抗干擾能力與最小碼距d0的關系糾錯碼的抗干擾能力完全取決例1：已知8個碼組為000000，001110，010101，011011100011，101101，110110，1110001）求該碼組的最小距離；2）若用于檢錯，能檢出幾位錯誤？3）若用于糾錯，能糾正幾位錯誤？3）若同時用于檢錯和糾錯，問糾錯、檢錯的性能如何？解：1）最小碼距為所有碼距中的最小值2）檢錯時，d0e+1，ed0–1=2，能檢出2位錯誤；d0=3；3）糾錯時，d02t+1，t(d0–1)/2=1，能糾1位錯誤；4）檢錯和糾錯：d0e+t+1，且e<t，故不能同時用于檢錯和糾錯39例1：已知8個碼組為解：1）最小碼距為所有碼距中的最小值2幾種簡單的糾錯碼奇偶監(jiān)督碼：只有一位監(jiān)督碼，它使碼組中“1”的數(shù)目為偶數(shù)或奇數(shù)，編碼效率高。a0為監(jiān)督位，其他為信息位偶數(shù)監(jiān)督碼：奇數(shù)監(jiān)督碼：特點：只能發(fā)現(xiàn)單個或奇數(shù)個錯誤，“檢奇不檢偶”。最小碼距為2；適合檢測隨機錯誤，對突發(fā)錯誤無能為力；編碼效率:R=(n-1)/n40幾種簡單的糾錯碼奇偶監(jiān)督碼：只有一位監(jiān)督碼，它使碼組中“1”二維奇偶監(jiān)督碼：又稱為方陣碼，在行編碼的基礎上，再作列編碼。特點：可以發(fā)現(xiàn)某一行或某一列上的所有奇數(shù)個錯誤及長度不大于行數(shù)(或列數(shù))的突發(fā)錯誤（交織）幾種簡單的糾錯碼---二維奇偶監(jiān)督碼對構成矩形四角的錯碼無法檢出41二維奇偶監(jiān)督碼：又稱為方陣碼，在行編碼的基礎上，再作列編碼。恒比碼：恒比碼又稱等重碼，碼組中1和0的位數(shù)保持恒定的比例。數(shù)目不對則錯誤我國電傳通信中普遍采用3:2碼，國際上通用的ARQ電報通信系統(tǒng)中，采用3:4碼，即7中取3碼。正反碼：監(jiān)督位數(shù)目和信息位數(shù)目相同，監(jiān)督碼元與信息碼元相同或者相反（信息碼的重復或信息碼的反碼）幾種簡單的糾錯碼---恒比碼和正反碼42恒比碼：恒比碼又稱等重碼，碼組中1和0的位數(shù)保持恒定的比例。線性分組碼

概念：信息碼元和監(jiān)督碼元用線性方程聯(lián)系起來。是一組固定長度的碼組，可表示為（n,k），用于前向糾錯。編碼時，k個信息位被編為n位碼組長度，而n-k個監(jiān)督位的作用就是實現(xiàn)檢錯與糾錯。編碼效率：R=k/n性質(zhì)：任意兩許用碼組之和（逐位模2加）仍為一許用碼組，即線性碼有封閉性；最小碼距等于非零碼的最小碼重例1：000000，001110，010101，011011100011，101101，110110，11100043線性分組碼概念：信息碼元和監(jiān)督碼元用線性方程聯(lián)系起來。是一例：奇偶監(jiān)督碼是一種簡單的線性碼。一位監(jiān)督碼（an-1an-2…a2

a1

a0

）發(fā)送時：0=an-1an-2…a1

a0

（偶校驗）接收時：S=an-1an-2…a1

a0

S=0，表示無錯；

S=1，表示有錯，但無法指示錯碼的位置。S稱為校正子,又稱伴隨式一般來說，r(r=n-k)個監(jiān)督方程計算得到r個較正子S，對一位錯碼來說，可以表示出(2r-1)個可能的錯碼位置；如r=2，S的可能值有：00,01,10,11,若用其中一種組合表示無措，則其余3種組合可以指示一個錯碼的3種位置；因此對于(n,k)分組碼，若滿足:2r

-1≥n,

則有可能構造出指示一位錯碼的n種可能位置。

44例：奇偶監(jiān)督碼是一種簡單的線性碼。一位監(jiān)督碼（an-1a錯碼位置S1S2S3a6111a5110a4101a3011a2100a1010a0001無錯000錯碼圖樣（并非唯一）a6a5

a4

a2

=S1a6a5

a3

a1

=S2a6a4

a3

a0=S3（偶數(shù)監(jiān)督關系）舉例：(7,4)分組碼，又稱漢明碼，n=7,k=4,r=3,最小碼距（漢明距）：d0=3(t=1,e=2)可糾正一個錯誤或檢測2個錯誤設碼組為：a6a5a4a3

a2a1a0定義校正子S與錯碼的關系如表：編碼效率最高的線性分組碼。例如：(7,4)、(15,11)碼。45錯碼位置S1S2S3a6111a5110a4101a3011a2

=

a6a5

a4a1

=

a6a5

a3a0

=a6a4

a3經(jīng)移位后可得到監(jiān)督位：

全部16種許用碼組如表a6a5

a4

a2=0a6a5

a3

a1=0a6a4

a3

a0

=0由：發(fā)端編碼a6a5a4a3

a2a1a0：信息位是隨機的，如何確定a2a1a0？46a2=a6a5a4經(jīng)移位后可得到監(jiān)督例：若接收碼組為：0000011S1=a6a5

a4

a2=0S2=a6a5

a3

a1=1S3=a6a4

a3

a0=1S1S2S3=011，故錯碼在a3位！收端考察S1S2S3是否為零可糾錯1位錯碼位置S1S2S3a6111a5110a4101a3011a2100a1010a0001無錯000錯碼圖樣47例：若接收碼組為：0000011S1=a6監(jiān)督矩陣H據(jù)：線性碼是信息位和監(jiān)督位滿足一線性方程的碼1·a6+1·a5+1·

a4+0·

a3+

1·

a2+0·

a1

+0·

a0

=01·a6+1·a5+0·

a4

+1·

a3+0·

a2+1·

a1

+0·

a0

=01·a6+0·a5

+1·

a4+1·

a3+0·

a2

+0·

a1

+1·

a0

=0（注：這里“+”=

）a6a5

a4

a2=0a6a5

a3

a1=0a6