電磁場與電磁波（第四版）：第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解

或表示為（3.1.29b）式中稱為電容系數(shù)或感應系數(shù)。下標相同的系數(shù)稱為自電容系數(shù)或自感應系數(shù)，下標不同的系數(shù)稱為互電容系數(shù)或互感應系數(shù)。電容系數(shù)具有以下特點：（a）在數(shù)值上等于第j個導體的電位為一個單位、而其余導體接地時，第i個導體上的電量，即（b）只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質(zhì)參數(shù)有關，而與各導體的電位和帶電量無關；（c）具有對稱性，即；互電容系數(shù)，自電容系數(shù)；（d）電容系數(shù)與電位系數(shù)的關系為：式中△是方程組（3.1.28）的電位系數(shù)組成的行列式，是行列式的余子式。（3）部分電容引入符號和，則方程組（3.1.29）可改寫為（3.1.30a）或表示為（3.1.30b）上式表明多導體系統(tǒng)中的任何一個導體的電荷是由N部分電荷組成。例如，導體1的電荷的第一部分與導體1的電位（即導體1與地之間的電壓）成正比，比值是導體與地之間的部分電容；第二部分與導體1、2間的電壓成正比，比值則為導體1、2間的部分電容；……。多導體系統(tǒng)中，每一導體與地之間以及與其它導體之間都存在部分電容。是導體i與地之間的部分電容，稱為導體i的自有部分電容。是導體i與導體j之間的部分電容，稱為導體i與導體j之間互有部分電容。部分電容有以下特點：（a）在數(shù)值上等于全部導體的電位都為一個單位時，第個導體上總電荷量的值；（b）在數(shù)值上等于第個導體上的電位為一個單位、其余導體都接地時，第個導體上感應電荷的大??；（c）所有部分電容都大于零，即；（d）部分電容具有對稱性，即。大地12圖3.1.5大地上空的平行雙導線由個導體構(gòu)成的系統(tǒng)共有個部分電容，這些部分電容形成一個電容網(wǎng)絡。以計及大地影響的平行雙線傳輸線為例，如圖3.1.5所示，有三個部分電容。導線1、2間的等效輸入電容為；導線1和大地間的等效輸入電容為；導線2和大地間的等效輸入電容為；通過實驗測得和，就可計算出各個部分電容。多數(shù)實際的多導體系統(tǒng)的各個部分電容只有通過實驗測量得到。大地12圖3.1.5大地上空的平行雙導線3.1.4靜電場的能量靜電場最基本的性質(zhì)是對靜止電荷有作用力，這表明靜電場有能量。電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外界提供的能量。例如給導體充電時，外電源要對電荷做功，提高電荷的電位能，這就構(gòu)成了電荷系統(tǒng)的能量。本節(jié)要討論的是靜電場的能量，故假設導體和介質(zhì)都是固定的，且介質(zhì)是線性和各向同性的。1.靜電場的能量因為要討論的是系統(tǒng)被充電并達到穩(wěn)定后的電場能量，故應與充電過程無關。我們假設系統(tǒng)從零開始被充電，充電完畢后的最終電荷分布為、電位函數(shù)為。如果在充電過程中使各點的電荷密度按最終值的同一比例因子增加，則各點的電位也將按同一比例因子增加。也就是說，充電過程中某一時刻的電荷分布為，其電位分布就為。令從0到1，把充電過程用無數(shù)次增加微分電位的過程的疊加來表示，則當時，對于某體積元，其電位為，欲送入微分電荷，外電源需要作的功是。因此對整個空間，外電源所作的總功為根據(jù)能量守恒定律，外電源所作的功轉(zhuǎn)換為電場的能量，因此整個空間增加的電場能量為充電過程完成后，系統(tǒng)的總能量為（3.1.31）電場能量的單位是J（焦耳）。如果電荷是以面密度分布在曲面上，則式（3.1.31）變?yōu)椋?.1.32）注意，式（3.1.31）、（3.1.32）中，分別是電荷元、所在點的電位，積分遍及整個有電荷的區(qū)域。對于多導體組成的帶電系統(tǒng)，因為每個導體上的電位為常數(shù)，則式（3.1.32）變?yōu)椋?.1.33）例如，雙導體系統(tǒng)被充電后，導體1帶電荷為+q，導體2帶電荷為-q；電位分別為是和，則電場能量為（3.1.34）2.能量密度電場能量存在于整個電場空間。下面導出用電場矢量表示的計算電場能量的公式。將代入式（3.1.31）得上式中應用了矢量公式和高斯散度定理。在式（3.1.31）中的體積分是對整個空間的積分，因為只有那些存在電荷的空間才對積分有貢獻，故我們把積分區(qū)域無限擴大并不會影響積分的結(jié)果。當積分的體積無限擴大時，包圍該體積的表面積也將無限擴大。只要電荷是分布在有限區(qū)域內(nèi)，當閉合面無限擴大時，有限區(qū)域內(nèi)的電荷就可近似為一個點電荷。這樣，就可利用點電荷產(chǎn)生的電位、電位移矢量D的以下關系，故，而閉合面，故當時，必有則得（3.1.35）對于線性和各向同性介質(zhì)，，故上式可表示為（3.1.36）上式表明電場能量儲存在電場不為零的空間，能量密度為（3.1.37）能量密度的單位是。例3.1.6半徑為a的球形空間均勻分布著體電荷密度為的電荷，試求電場能量。解方法之一：利用公式（3.1.36）計算根據(jù)高斯定律求得電場強度故方法之二：利用公式（3.1.31）計算。先求出電位分布故3.1.5靜電力在靜電場中，各個帶電體都要受到電場力作用。原則上，帶電體之間的靜電力可用庫侖定律來計算，但對于電荷分布形狀較為復雜的帶電體，這種計算往往是很困難的。這里介紹用虛位移法來計算靜電力。采用虛位移法計算靜電力，要用到廣義坐標和廣義力的概念。所謂廣義坐標，是指確定系統(tǒng)中各帶電導體的形狀、尺寸和位置的一組獨立幾何量；而企圖改變某一廣義坐標的力，就稱為對應于該坐標的廣義力。廣義力乘上由它引起的廣義坐標的增量，就等于所作的功。在由N個導體組成的系統(tǒng)中，假設只有第i個帶電導體在電場力的作用下有一個廣義坐標g發(fā)生位移，則電場力做功，系統(tǒng)的靜電能量增加量為，根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關系為（3.1.38）式中的是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。可分為以下兩種情況：1.假設各帶電體的電荷保持不變（恒電荷系統(tǒng)）當?shù)趇個導體發(fā)生虛位移時，所有帶電體都不和外電源連接，此時，則由式（3.1.38）得故得（3.1.39）式中的“－”號表明此時電場力做功是靠減少系統(tǒng)的電場能量來實現(xiàn)，因為系統(tǒng)與外電源斷開，沒有提供能量。2.假設各帶電導體的電位保持不變（恒電位系統(tǒng)）當?shù)趇個導體發(fā)生虛位移時，所有導體應分別與外部電源相連接。此時外部電壓源供給的能量為根據(jù)式（3.1.33）得到系統(tǒng)的靜電能量增量為可見，外電壓源向系統(tǒng)提供給系統(tǒng)的能量只有一半是用于靜電能量的增加，另一半則是用于電場力做功，即電場力做功等于靜電能量的增量故得（3.1.40）以上兩種情況得到的結(jié)果應該是相同的。因為事實上帶電體并沒有發(fā)生位移，電場分布當然也沒有發(fā)生變化，由式（3.1.39）和（3.1.40）求得的是所討論的系統(tǒng)在當時狀態(tài)下的電荷和電位所對應的靜電力。圖3.1.6部分填充介質(zhì)的平行板電容器例3.1.7有一平行板電容器，極板面積為，板間距離為，用一塊介電常數(shù)為的介質(zhì)片填充在兩極板之間（x<l），如圖3.1.6所示。設極板間外加電壓為，求介質(zhì)片所受的靜電力。圖3.1.6部分填充介質(zhì)的平行板電容器解部分填充電介質(zhì)的平行板電容器的電容為（忽略邊緣效應）故電容器儲存的電場能量為當電容器與電源相連接時，保持不變，設位移變量為x，由式（3.1.40），可得介質(zhì)片受到的靜電力為因為，所以介質(zhì)片所受到的力有把介質(zhì)片拉入電容器極板間的趨勢。當電容器被充電后與電源斷開，則極板上的電荷q保持不變，電容器的儲能為則由式（3.1.39）求得介質(zhì)片受到的靜電力為考慮到下面的關系同樣得到3.2導電媒質(zhì)中的恒定電場分析若電流密度矢量不隨時間變化，它僅是空間坐標的函數(shù)，則構(gòu)成一個恒定電流場。要在導電媒質(zhì)中維持恒定電流，必須存在一個恒定電場。本節(jié)將討論恒定電場的基本性質(zhì)，并將它與靜電場比較。3.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件1.基本方程電流密度和電場強度是恒定電場的基本場矢量。我們討論的是恒定電流，要維持電流不隨時間變化，則空間的電場也必須是恒定不變的，這就要求電荷的空間分布也不隨時間變化，所以有。根據(jù)電流連續(xù)性方程，得（3.2.1a）相應的微分形式（3.2.1b）式（3.2.1a）表明從閉合面穿出的電流恒為零，因而閉合面包圍的體積內(nèi)的電量也不隨時間改變。故我們可以得出結(jié)論：盡管電流是電荷的運動，但在恒定電流的狀態(tài)下電荷分布并不隨時間改變。由此我們可以認定恒定電場也是保守場，電場強度沿任一閉合路徑的線積分恒為零，即（3.2.2a）相應的微分形式（3.2.2b）因而，恒定電場也可用電位梯度表示（3.2.3）式（3.2.1a）和（3.2.2a）是恒定電場基本方程的積分形式；式（3.2.1b）和（3.2.2b）則是對應的微分形式。將代入，可以導出均勻?qū)щ娒劫|(zhì)（常數(shù)）中的電位滿足拉普拉斯方程，即（3.2.4）2.邊界條件將恒定電場基本方程的積分形式（3.2.1a）和（3.2.2a）應用到兩種不同導電媒質(zhì)的分界面上，可導出恒定電場的邊界條件為或（3.2.5）或（3.2.6）由于，因此，電位函數(shù)的邊界條件為（3.2.7）（3.2.8）應該注意，由于導體內(nèi)存在恒定電場，根據(jù)邊界條件可知，在導體表面上的電場既有法向分量，又有切向分量，電場矢量E并不垂直于表面，因而此時的導體表面不是等位面。由式（3.2.5）和（3.2.6）可導出場矢量在分界面上的折射關系（3.2.9）3.2.2恒定電場與靜電場的比擬縱觀前面的討論，我們看到均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場（電源外部）和均勻電介質(zhì)中的靜電場（電荷密度的區(qū)域）有很多相似之處，表3.2.1列出兩種場的基本方程和邊界條件。表3.2.1恒定電場與靜電場的比擬均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場（電源外部）均勻電介質(zhì)中的靜電場（的區(qū)域）基本方程本構(gòu)關系位函數(shù)方程邊界條件從表3.2.1可看出，兩種場的各個物理量之間有以下一一對應關系：、、、。因為兩種場的電位都是拉普拉斯方程的解，所以當兩種場用電位表示的邊界條件相同時，則兩種場的解的形式必定是相同的。因此，對于欲求解的恒定電場問題，如果對應的具有相同邊界形狀的靜電場問題的解為已知，則恒定電場的解便可利用上面的對偶關系直接寫出，無需重新求解，這個方法也稱為靜電比擬法。在靜電場中，兩導體間充滿介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)時的電容為（3.2.10）式中的q是帶正電荷的導體1上的電量，U是兩導體間的電壓。在恒定電場中兩個電極間充滿電導率為的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)時的電導為（3.2.11）式中的I是從導體1（電極1）表面流出的電流。注意，電極是由良導體構(gòu)成，電極內(nèi)的電場可視為零，電極表面可視為等位面，從而導出式（3.2.11）。比較式（3.2.10）和（3.2.11）可看出，如果在靜電場中兩導體的電容為已知，則用同樣的兩個導體作電極時，填充均勻?qū)щ娒劫|(zhì)的電導就可直接從電容的表達式中將換成而得到。靜電比擬法也在實驗中得到應用，為了用實驗研究靜電場，常采用恒定電流來模擬靜電場，因為在恒定電場中進行測量要比在靜電場中測量容易得多。例3.2.1同軸線的內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導體之間填充一種非理想介質(zhì)（設其介電常數(shù)為，電導率為）；試計算同軸線單位長度的絕緣電阻。解方法之一：用恒定電場的基本關系式求解假設同軸線的內(nèi)外導體間加恒定電壓，由于填充介質(zhì)的，介質(zhì)中的漏電流沿徑向從內(nèi)導體流到外導體。另外，內(nèi)外導體中有軸向電流，導體中存在很小的軸向電場，因而漏電介質(zhì)中也存在切向電場，但，故可忽略。介質(zhì)中任一點處的漏電流密度為式中的I是通過半徑為的單位長度同軸圓柱面的漏電流。電場強度為而內(nèi)外導體間的電壓為則得同軸線單位長度的絕緣電阻（漏電阻）為方法之二：用靜電比擬法求解arar圖3.2.1半球形接地器I因此，同軸線單位長度的漏電導為則得絕緣電阻為例3.2.2計算半球形接地器的接地電阻。解通常要求電子、電氣設備與大地有良好的連接，將金屬物體埋入地內(nèi)，并將需接地的設備與該物體連接就構(gòu)成接地器。當接地器埋藏不深時可近似用半球形接地器代替，如圖3.2.1所示。接地電阻是指電流由接地器流入大地再向無限遠處擴散所遇到的電阻，主要是接地器附近的大地電阻。設大地的電導率為，流過接地器的電流為I，則大地中的電流密度為故則接地電阻為也可用靜電比擬法求得接地電阻。均勻介質(zhì)中的孤立球的電容為，故均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中孤立球的電導為，半球的電導為，故半球形接地器的接地電阻為3.3恒定磁場分析恒定磁場是由恒定電流激發(fā)的，是電磁場的另一種重要的和特殊的形式。3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件基本方程考慮到恒定磁場的源（恒定電流）和場量（B、H）不隨時間變化這一特征，由麥克斯韋方程組得出恒定磁場的基本方程為積分形式微分形式以及（3.3.5）基本方程表明恒定磁場是無源（無通量源）、有旋場，恒定電流是產(chǎn)生恒定磁場的漩渦源；磁力線是與源電流相交鏈的閉合曲線。2.邊界條件在不同磁介質(zhì)的分界面上一般都存在著磁化面電流，B和H在經(jīng)過分界面時要發(fā)生突變。在分界面上B滿足的關系式為或（3.3.6）表明分界面上B的法向分量是連續(xù)的。在分界面上H滿足的關系式為或（3.3.7）若分界面上不存在自由面電流，則或（3.3.8）表明此時的磁場強度切向分量是連續(xù)的。3.3.2矢量磁位和標量磁位根據(jù)恒定磁場的特征，也可以在磁場中引入位函數(shù)。1.矢量磁位利用磁場的無散度特征，用一矢量的旋度來代替磁感應強度B，這是因為一個矢量的旋度再取散度恒等于零，即，而，故令（3.3.9）式中的A為矢量磁位，或稱磁矢位，單位是（特斯拉米）或（韋伯/米），它是一個輔助量。根據(jù)亥姆霍茲定理，要惟一地確定一個矢量必須同時給出它的旋度和散度。因此，要惟一確定磁矢位A，必須對A的散度作一個規(guī)定。對于恒定磁場，一般規(guī)定（3.3.10）并稱這種規(guī)定為庫侖規(guī)范。在這種規(guī)范下，磁矢位A就被惟一確定。在均勻、線性和各向同性磁介質(zhì)中，將代入，得又利用矢量恒等式和庫侖規(guī)范，得到（3.3.11）上式稱為磁矢位A的泊松方程。在無源區(qū)域，有（3.3.12）上式稱為磁矢位A的拉普拉斯方程。在直角坐標系中，、，故式（3.3.11）可表示為由于、和均為常矢量，故上式可分解為三個分量的泊松方程，即（3.3.13）式（3.3.13）所示的三個分量泊松方程與靜電位的泊松方程形式相同，可以確認它們的求解方法和所得到的解的形式也應相同，故可參照電位的形式直接寫出（3.3.14）將以上三個分量合并即得磁矢位泊松方程的解（3.3.15）上式中的，它的存在不會影響B(tài)。同樣可以寫出（3.3.16）（3.3.17）可見，電流元產(chǎn)生的磁矢位是與電流元矢量平行的矢量，這是引入磁矢位的優(yōu)點之一。根據(jù)恒定磁場在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，以及，可得到不同媒質(zhì)分界面上磁矢位A的邊界條件為（3.3.18）（3.3.19）例3.3.1求小圓環(huán)電流的矢量磁位和磁場。解如圖3.3.1所示，小圓環(huán)的半徑為a，通過的電流為I。取小圓環(huán)位于xy平面內(nèi)，圓心與球坐標系的原點重合。由于場具有對稱性，我們?nèi)z平面內(nèi)的一點作為場點將不失一般性。圖中圖圖3.3.1小圓環(huán)電流故得對于遠離小圓環(huán)的區(qū)域，有，所以將以上關系式代入式（3.3.17），得由于在面上，故上式可寫為（3.3.20）式中是小圓環(huán)的面積。利用球面坐標系中旋度的計算公式，可得到小圓環(huán)電流的遠區(qū)磁感應強度為（3.3.21）可見，小圓環(huán)電流的遠區(qū)磁場分布與電偶極子的遠區(qū)電場分布相似，于是將小圓環(huán)電流稱為磁偶極子，并把稱為磁偶極子的磁矩，簡稱磁偶極矩，表示為（3.3.22）這樣，式（3.3.20）又可寫成（3.3.23）或（3.3.24）xz圖3.3.2直線電流的矢量磁位例3.3.2xz圖3.3.2直線電流的矢量磁位解先計算如圖3.3.2所示的長度為的直線電流的矢量磁位。電流元產(chǎn)生的矢量磁位對直線l積分，得當時（3.3.25）可見，當時，A為無限大，即無限長直線電流的矢量磁位為無限大。為了解決這一困難，我們將的點（即矢量磁位的參考點）選取在處，即令故有這樣做是允許的，因為在A的表示式中附加一個常矢量C，并不會影響B(tài)的計算。因此，式（3.3.25）可表示為（3.3.26）相應的磁感應強度為（3.3.27）2.標量磁位若所研究的空間不存在自由電流，即，則此空間內(nèi)有。因此，也可以將H表示為一個標量函數(shù)的梯度，即（3.3.28）式中的稱為標量磁位，或磁標位。在均勻、線性和各向同性媒質(zhì)中，將、代入中，得即（3.3.29）此即標量磁位所滿足的拉普拉斯方程。在沒有自由電流的兩種不同媒質(zhì)的分界面上，由邊界條件和可導出標量磁位的邊界條件為（3.3.30）（3.3.31）3.3.3電感在線性和各向同性媒質(zhì)中，電流回路在空間產(chǎn)生的磁場與回路中的電流成正比。因此，穿過回路的磁通量（或磁鏈）也與回路中的電流成正比。在恒定磁場中，把穿過回路的磁通量（或磁鏈）與回路中的電流的比值稱為電感系數(shù)，簡稱電感。與靜電場中定義的電容C、恒定電場中定義的電阻相似，電感只與導體系統(tǒng)的幾何參數(shù)和周圍媒質(zhì)有關，與電流、磁通量無關。電感可分為自感和互感，本節(jié)討論自感和互感的計算。1.自感設回路中的電流為I，它所產(chǎn)生的磁場與回路交鏈的自感磁鏈為，則磁鏈與回路中的電流I成正比關系，其比值（3.3.32）稱為回路的自感系數(shù)，簡稱自感。自感的單位是H（亨利）。在計算粗導體回路的自感時，通常將自感表示為內(nèi)自感與外自感之和。導體內(nèi)部的磁場僅與部分電流相交鏈，相應的磁鏈稱為內(nèi)磁鏈，用表示，則內(nèi)自感為（3.3.33）全部在導體外部的閉合的磁鏈稱為外磁鏈，用表示，則外自感為（3.3.34）回路的總自感為（3.3.35）圖3.3.3同軸電纜的橫截面圖3.3.3同軸電纜的橫截面例3.3.3計算同軸線單位長度的電感。解設同軸線的內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)半徑為b，外導體的厚度可忽略不計。內(nèi)、外導體之間是空氣，或聚乙烯等電介質(zhì)，磁導率為；內(nèi)、外導體材料一般是金屬銅，磁導率也是。同軸線的橫截面如圖3.3.3所示。設同軸線中的電流為，根據(jù)安培環(huán)路定律求得內(nèi)導體中任一點的磁感應強度為穿過由軸向為單位長度、寬為構(gòu)成的矩形面積元的磁通為因為與這一部分磁通相交鏈的電流不是導體中的全部電流，而只是的一部分，兩者的關系為所以，與相應的磁鏈為內(nèi)導體中單位長度的自感磁鏈總量為由此得到單位長度的內(nèi)自感（3.3.36）在內(nèi)、外導體之間，由安培環(huán)路定律可得到任一點磁感應強度為故由此得到單位長度的外自感同軸線單位長度的自感為圖3.3.4平行雙線傳輸線1=1例3.3.4圖3.3.4平行雙線傳輸線1=1解設導線的半徑為a，兩導線的軸線相距為D，且D>>a。導線及其周圍媒質(zhì)的磁導率皆為，兩導線中通過的電流為。如圖3.3.4所示。由于，故在計算導線外部的磁場時，可近似地認為電流集中于導線的幾何軸線上。根據(jù)安培環(huán)路定理和疊加原理，可求得雙兩導線之間的平面上任一點的磁感應強度為穿過兩導線之間軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為由此得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感為（3.3.37）而兩根導線單位長度的內(nèi)自感為故得平行雙線傳輸線單位長度的電感為2.互感如圖3.3.5所示的兩個彼此靠近的導線回路和，回路中的電流產(chǎn)生的磁場除了與回路本身交鏈外，還與回路相交鏈。由回路的電流產(chǎn)生的磁場與回路相交鏈的磁鏈，稱為回路與回路間的互感磁鏈，用表示。比值（3.3.38）稱為回路對回路間的互感系數(shù)，簡稱互感。互感的單位是H（亨利）。同理，回路對回路間的互感為（3.3.39）OO圖3.3.5兩回路間的互感圖3.3.5兩回路間的互感利用矢量磁位可導出計算互感的一般公式。圖3.3.5中，回路中的電流在回路上的任一點產(chǎn)生的矢量磁位為則由電流產(chǎn)生磁場與回路相交鏈的磁鏈為故（3.3.40）同樣，可導出回路對回路電流的互感為（3.3.41）式（3.3.40）和（3.3.41）稱為紐曼公式，這是計算互感的一般公式。比較該兩式可看出，即兩個導線回路之間只有一個互感值。例3.3.5如圖3.3.6所示，長直導線與三角形導線回路共面，試計算它們之間的互感。解設長直導線中通過電流I，根據(jù)安培環(huán)路定理，得圖3.3.6長直導線與三角形回路o圖3.3.6長直導線與三角形回路o穿過三角形回路面積的磁通為式中的，故則得長直導線與三角形導線回路間的互感為例3.3.6兩個互相平行且共軸的圓線圈，半徑分別為和，中心相距為，設（或），求兩線圈之間的互感。圖3.3.7圖3.3.7兩個平行且共軸的線圈解如圖3.3.7所示,，與之間的夾角，，，以及由紐曼公式得一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若時，可進行近似于是本題還可以在時的條件下，利用例3.3.1的結(jié)果來求得互感M。半徑為的小圓線圈中由電流時，它在遠區(qū)的矢量磁位為在半徑為的線圈上，的值為常數(shù)，故式中的，故3.3.4恒定磁場的能量1.磁場能量電流回路在恒定磁場中要受到磁場力的作用而發(fā)生運動，表明恒定磁場儲存著能量。磁場能量就是在建立電流的過程中由電源供給的，因為當電流從零開始增加時，回路中感應電動勢要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應電動勢。假設所有的電流回路都固定不動，即沒有機械功，同時假定導線中流過電流時產(chǎn)生的焦耳熱損耗可以忽略。這樣，外電源所做的功將全部轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的磁場能量。此時，回路上的外加電壓和回路中的感應電動勢是大小相等而方向相反的。法拉第電磁感應定律指出，回路中的感應電動勢等于與回路交鏈的磁鏈的時間變化率，即回路j中的感應電動勢為而外加電壓等于時間內(nèi)與回路j相連接的電源所做的功為如果系統(tǒng)包括N個回路，增加的磁能就為（3.3.42）回路j的磁鏈為（3.3.43）式中的是互感系數(shù)。當時，是回路j的自感系數(shù)。將式（3.3.43）代入式（3.3.42）得我們假設各回路中的電流同時從零開始以相同的百分比上升，即，則,于是（3.3.44）例如，當N=1時，；當N=2時，、、，故將式（3.3.43）代入式（3.3.44）得（3.3.45）式中的A是N個回路在上的合成矢量磁位。上面的結(jié)果適用于細導線回路的情況，對于分布電流的情形，在式（3.3.45）中代入得（3.3.46）上式中的積分是對所有的空間進行的。當然，我們可以把積分區(qū)域擴大到整個空間，也不會影響到積分的值。2.能量密度前面導出的計算磁場能量的公式（3.3.45）、（3.3.46）似乎會使人們認為磁場能量只存在于有電流的導體內(nèi)。實際上，磁場能量儲存在整個磁場存在的空間。下面導出用磁場矢量表示磁能的公式。將代入式（3.3.46）中得注意，當令體積趨于無限大時，上式右邊第二項積分變?yōu)榱?。因為、、，故被積函數(shù)至少按反比變化，而面積按變化，故時，積分變?yōu)榱恪Ｓ谑堑玫剑?.3.47）上式的積分是對整個空間取的，當然只有磁場不等于零的那部分空間才對積分有貢獻。此結(jié)果表明磁場能量儲存于場空間，被積函數(shù)可視為磁場能量密度，表示為（3.3.48）圖3.3.8同軸線橫截面圖c能量密度的單位。圖3.3.8同軸線橫截面圖c例3.3.7求同軸線單位長度內(nèi)儲存的磁場能量。解如圖3.3.8所示，同軸線的內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)半徑為b，外導體的外半徑為c。內(nèi)、外導體之間填充的介質(zhì)以及導體的磁導率均為。設電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定律求出磁場分布由此即可求出三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為同軸線單位長度儲存的總磁場能量為3.3.5磁場力兩個載流回路間的磁場力可由安培力公式計算。但是我們常常希望與靜電力的計算類似，用磁場能量的空間變化率來計算磁場力。為簡化討論，我們僅考慮兩個回路的情況，所得到的結(jié)果可推廣到一般情況。設回路在磁場力作用下發(fā)生了一個小的位移（這里的是一個廣義坐標），回路保持不動。下面分別考慮當回路位移時，兩回路磁鏈不變和電流不變這兩種情形。（1）兩回路的磁鏈不變，即常數(shù)、常數(shù)。由于回路發(fā)生位移，兩回路中的電流必定發(fā)生改變，這樣才能維持兩回路的磁鏈不變。由于和等于常數(shù)，兩回路中都沒有感應電動勢，故與回路相連接的電源不對回路輸入能量(假定導線的焦耳熱損耗可以忽略)，所以回路發(fā)生位移所需的機械功只有靠磁場釋放能量來提供，即故得（3.3.49）（2）兩回路中電流不改變，即常數(shù)、常數(shù)。由于回路發(fā)生位移，兩回路中的磁鏈必定發(fā)生改變，因此兩個回路都有感應電動勢。此時，外接電源必然要做功來克服感應電動勢以保持和不變。電源所做的功為，即外接電源輸入能量的一半用于增加磁場能量，另一半則用于使回路位移所需要的機械功，即故得（3.3.50）因兩個電流回路的磁場能量為將其代入式(3.3.50)中，得（3.3.51）上式表明，在和不變的情況下，磁場能量的改變（即磁力）僅是由于互感M的改變引起的。圖3.3.9電磁鐵的力應該指出，上面假設的不變和不變是在一個回路發(fā)生位移下的兩種假定情形，無論是假定不變還是不變，求出的磁場力應該是相同的。而且，對于不止兩個回路的情形，其中任一個回路的受力都同樣可以按式（3.3.50）。圖3.3.9電磁鐵的力例3.3.8如圖3.3.9所示的一個電磁鐵，由鐵軛（繞有匝線圈的鐵芯）和銜鐵構(gòu)成。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為，平均長度分別為和。鐵軛與銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長度為。設線圈中的電流為，鐵軛和銜鐵的磁導率為，若忽略漏磁和邊緣效應，求鐵軛對銜鐵的吸引力。解作用在銜鐵上的磁場力有減小空氣隙的趨勢，可通過式（3.3.49）或式（3.3.50）計算。在忽略漏磁和邊緣效應的情況下，若保持磁通不變，則和不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化。于是作用在銜鐵上的磁場力為式中是空氣隙中的磁場強度。根據(jù)安培環(huán)路定律，有由于和，考慮到，由上式可得到故得到鐵軛對銜鐵的吸引力若采用式（3.3.54）計算，則儲存在系統(tǒng)中的磁場能量同樣得到鐵軛對銜鐵的吸引力為圖3.3.10共軸的圓形線圈例3.3.8兩個互相平行且共軸的圓形線圈，相距為，半徑分別為和，其中。兩線圈中分別載有電流和，如圖3.3.10所示。求兩線圈間的磁場力。圖3.3.10共軸的圓形線圈解利用例3.3.6的結(jié)果，當時，兩線圈的互感為據(jù)式（3.3.51）得兩線圈間的磁場力為式中的負號表示當與的方向相同時，為吸引力；當與方向相反時，為排斥力。3.4靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場問題通常分為兩大類：分布型問題和邊值型問題。由已知場源（電荷、電流）分布，直接從場的積分公式求空間各點的場分布，稱為分布型問題。如果已知場量在場域邊界上的值，求場域內(nèi)的場分布，就屬于邊值型問題。我們已在前幾節(jié)介紹了一些簡單的分布型問題的解法，本章將介紹一些靜態(tài)場邊值問題的解法靜態(tài)場邊值問題的解法可分為解析法和數(shù)值法。解析法給出的結(jié)果是場量的解析表示式，本章只介紹鏡像法和分離變量法。數(shù)值法則是通過數(shù)值計算，給出場量的一組離散數(shù)據(jù)，本章只介紹有限差分法。由于電子計算機技術(shù)的發(fā)展和廣泛應用，數(shù)值法獲得極大的發(fā)展，應用前景廣闊。3.4.1邊值問題的類型靜態(tài)場的基本方程表明，在靜態(tài)場情況下，電場可用一個標量電位來描述，磁場可用一個矢量磁位來描述，在無源（）的區(qū)域內(nèi)，磁場也可用一個標量磁位來描述。在均勻媒質(zhì)中，位函數(shù)滿足泊松方程或拉普拉斯方程。同時，在場域的邊界面上位函數(shù)還應滿足一定的邊界條件。位函數(shù)方程和位函數(shù)的邊界條件一起構(gòu)成位函數(shù)的邊值問題。因此，靜態(tài)場問題的求解，都可歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程。位函數(shù)方程是偏微分方程，位函數(shù)的邊界條件保證了方程的解是惟一的。從數(shù)學本質(zhì)上看，位函數(shù)的邊值問題就是偏微分方程的定解問題。在場域V的邊界面S上給定的邊界條件有以下三種類型，相應地把邊值問題分為三類：（1）第一類邊界條件是已知位函數(shù)在場域邊界面上各點的值，即給定（3.4.1）這類問題稱為第一類邊值問題或狄里赫利問題；（2）第二類邊界條件是已知位函數(shù)在場域邊界面上各點的法向?qū)?shù)值，即給定（3.4.2）這類問題稱為第二類邊值問題或紐曼問題；（3）第三類邊界條件是已知一部分邊界面上位函數(shù)的值，而在另一部分邊界面上已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即給定和（3.4.3）這里。這類問題稱為第三類邊值問題或混合邊值問題。如果場域延伸到無限遠處，還必須給出無限遠處的邊界條件。對于源分布在有限區(qū)域的情況，在無限遠處的位函數(shù)應為有限值，即給出有限值（3.4.4）稱為自然邊界條件。此外，若整個場域內(nèi)，同時存在幾種不同的均勻介質(zhì)，則位函數(shù)還應滿足不同介質(zhì)分界面上的邊界條件。3.4.2惟一性定理惟一性定理是邊值問題的一個重要定理，表述為：在場域的邊界面上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域內(nèi)具有惟一解。下面采用反證法對惟一性定理做出證明。設在邊界面包圍的場域內(nèi)有兩個位函數(shù)和都滿足泊松方程，即和令，則在場域內(nèi)由于將上式在整個場域上積分并利用散度定理，有（3.4.5）對于第一類邊值問題，在整個邊界面上；對于第二類邊值問題，在整個邊界面上；對于第三類邊值問題，在邊界面的部分上，在邊界面的部分上。因此，無論是哪一類邊值問題，由式（3.4.5）都將得到由于是非負的，要使上式成立，必須在場域內(nèi)處處有。這表明在整個場域內(nèi)恒為常數(shù)，即對于第一類邊值問題，由于在邊界面上，所以。故在整個場域內(nèi)有，即。對于第二類邊值問題，若與取同一個參考點，則在參考點處，所以，故在整個場域內(nèi)也有。對于第三類邊值問題，由于，所以，故在整個場域內(nèi)也有。惟一性定理具有非常重要的意義，首先它指出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件，在邊界面上的任一點只須給定或的值，而不能同時給定兩者的值。其次惟一性定理也為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)，為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)。根據(jù)惟一性定理，在求解邊值問題時，無論采用什么方法，只要求出的位函數(shù)既滿足相應的泊松方程(或拉普拉斯方程)，又滿足給定的邊界條件，則此函數(shù)就是所求出的惟一正確解。3.5鏡像法在靜電場中，如果遇到電荷（稱為原電荷）附近存在一定形狀的導體，此時導體表面會出現(xiàn)感應電荷。這樣，導體外部空間的總電場就等于原電荷產(chǎn)生的電場與感應電荷產(chǎn)生的電場的疊加。在一般情況下，直接求解這類問題是困難的，這是因為導體表面上的感應電荷也是未知量，它也取決于總電場。但是，如果原電荷是點電荷、線電荷，且導體形狀是平面、球、圓柱等簡單形狀，就可采用鏡像法來求解這類問題。鏡像法的基本思想，是在所研究的場域以外的某些適當?shù)奈恢蒙?，用一些虛設的電荷（稱為鏡像電荷）等效替代導體表面的感應電荷或介質(zhì)分界面上的極化電荷。這樣就把原來的邊值問題的求解轉(zhuǎn)換為均勻無界空間中的問題來求解。根據(jù)惟一性定理，只要虛設電荷與場域內(nèi)原有的實際電荷一起所產(chǎn)生的電場滿足原問題所給定的邊界條件，所得結(jié)果就是原問題的解。應用鏡像法求解的關鍵在于如何確定像電荷。根據(jù)惟一性定理，鏡像電荷的確定應遵循的兩條原則：（1）所有鏡像電荷必須位于所求的場域以外的空間中；（2）鏡像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足場域邊界面上的邊界條件來確定。鏡像法可用于不同介質(zhì)分界面的情形，也可用于恒定磁場問題。本節(jié)對典型的導體平面、球面、圓柱面以及不同介質(zhì)分界面的鏡像問題進行討論。3.5.1接地導體平面的鏡像1.點電荷對無限大接地導體平面的鏡像如圖3.5.1所示，有一個點電荷，位于無限大接地導體平面上方，與導體平面相距為。圖3.5.2點電荷與無限大接地導體平面的鏡像圖3.5.1點電荷與無限大接地導體平面在的上半空間，總電場是由原電荷和導體平面上的感應電荷共同產(chǎn)生的。除點電荷q所在點外，電位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。又由于導體平面接地，因此，在處，電位函數(shù)。圖3.5.2點電荷與無限大接地導體平面的鏡像圖3.5.1點電荷與無限大接地導體平面設想將導體平面抽去，使整個空間變?yōu)槌錆M介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)，并在于點電荷q的對稱點上放置鏡像電荷，如圖3.5.2所示。此時，的空間中任一點的電位函數(shù)就等于原電荷q與鏡像電荷-q所產(chǎn)生的電位之和。選無限遠點為電位參考點，該電位函數(shù)為（3.5.1）容易證明，電位函數(shù)在處滿足；在的空間，滿足（除點電荷q所在點之處）。根據(jù)惟一性定理，式（3.5.1）就是位于無限大接地導體平面上方的點電荷q產(chǎn)生的電位函數(shù)。根據(jù)導體與介質(zhì)分界面上的邊界條件可求出導體平面上的感應電荷密度（3.5.2）導體平面上的總感應電荷為（3.5.3）可見，導體平面上的總感應電荷恰好與所設置的像電荷相等。接地導體平面好像一面鏡子，電荷-q就是原電荷q的鏡像，故稱之為鏡像電荷。2.線電荷對無限大接地導體平面的鏡像如圖3.5.3所示，沿y軸方向的無限長直線電荷位于無限大接地導體平面上方，相距為，單位長度帶電量為，與點電荷對無限大接地導體平面的鏡像類似分析，可知其鏡像電荷仍是無限長線電荷，如圖3.5.4所示。鏡像電荷的密度和位置分別為（3.5.4）在的上半空間中，電位函數(shù)為圖3.5.3線電荷與無限大接地導體平面圖3.5.4線電荷與無限大接地導體平面的鏡像圖3.5.3線電荷與無限大接地導體平面圖3.5.4線電荷與無限大接地導體平面的鏡像3.點電荷對相交半無限大接地導體平面的鏡像圖圖3.5.5點電荷與正交導體平面圖3.5.6點電荷與正交導體平面的鏡像如圖3.5.5表示相互垂直的兩塊半無限大接地導體平面，點電荷與兩導體平面的距離分別為和。需要求解的是第一象限內(nèi)的場分布。用鏡像法來求解這類問題時，設想把兩導體板抽去，在第二象限內(nèi)的位置“1”（點電荷關于導體平面的對稱點）處放置一個鏡像電荷，這將使導體平面的電位為零，但此時的導體平面的電位不為零。類似地，在第四象限內(nèi)的位置“2”（點電荷關于導體平面的對稱點）處放置一個鏡像電荷，這將使導體平面的電位為零，但此時的導體平面的電位不為零。如果在第三象限內(nèi)的位置“3”（恰好是鏡像電荷和分別關于導體平面和的對稱點）處再放置一個鏡像電荷，根據(jù)對稱性，這三個鏡像電荷將與原電荷一起使得導體平面和的電位都為零。從而保證滿足給定邊界條件。這說明，點電荷q對相互垂直的兩塊接地半無限大導體平面有三個鏡像電荷，如圖3.5.6所示。如果兩導體平面不是相互垂直，而是相交成角，只要，這里的n為整數(shù)，就能用鏡像法求解，其鏡像電荷數(shù)為有限的（2n-1）個。例3.5.1真空中，電量為的點電荷位于點處，平面是一個無限大的接地導體板。（1）求軸上電位為的點的坐標；（2）計算該點的電場強度。解：（1）根據(jù)鏡像法可知上半空間的電位由可解得即在z軸上的兩個點的電位皆為。（2）當時，軸上的電場強度將代入上式，得當時，軸上任一點的電場強度將代入上式，得例3.5.2線電荷密度為的無限長直導線位于無限大導體平板的上方z=3m處，沿y軸方向，如圖3.5.7所示。試求該導體板上的點處的感應電荷密度。解去掉導體平板，在z=-3m處放置線電荷密度為的鏡像線電荷替代其作用，如圖3.5.8所示。這樣,點P的電場強度為式中故點P處的感應電荷面密度則為(0,0,3)(0,0,3)(0,0,-3)zyxo圖3.5.8線電荷對導體平板的鏡像(0,0,3)(0,0,3)yzxo圖3.5.7導體平板上方的線電荷3.5.2導體球面的鏡像1.點電荷對接地導體球面的鏡像圖3.5.10點電荷與接地導體球面的鏡像圖3.5.9點電荷與接地導體球面如圖3.5.9所示,點電荷位于一個半徑為的接地導體球外，距球心為圖3.5.10點電荷與接地導體球面的鏡像圖3.5.9點電荷與接地導體球面把導體球面移去，用一個鏡像電荷來等效球面上的感應電荷。為了不改變球外的電荷分布，鏡像電荷必須放置在導體球面內(nèi)。又由于對稱性，鏡像電荷應位于球心與點電荷的連線上，如圖3.5.10所示。設鏡像電荷為，與球心相距為，則由和產(chǎn)生的電位函數(shù)為由于導體球接地，在球面處，。于是有由此得因上式對任意的都成立，所以由此解得（3.5.6）和（無意義，舍去）根據(jù)惟一性定理，得到球外的電位函數(shù)為（3.5.7）球面上的感應電荷面密度為（3.5.8）導體球面上的總感應電荷為（3.5.9）從式（3.5.8）看出，接地導體球面上的感應電荷的分布是不均勻的，靠近點電荷q的一側(cè)密度大些；從式（3.5.9）看出，球面上的總感應電荷等于所設置的鏡像電荷。如果點電荷位于半徑為的接地導體球殼內(nèi)，距球心為，欲求球殼內(nèi)的電位分布，也可用鏡像法求解。此時的鏡像電荷應放置在球外，且在球心與點電荷q的連接線大延長線上。設鏡像電荷為，距球心為。仿照上面的做法，可得到（3.5.10）由于，所以必有。也就是說，這種情況下，鏡像電荷的電荷量大于點電荷的電荷量。當點電荷位于接地導體球殼內(nèi)時，球殼外的電位，球殼內(nèi)的電位函數(shù)表達式與式（3.5.7）相同,感應電荷分布在導體球殼的內(nèi)表面上，其電荷面密度為（3.5.11）導體球殼上的總感應電荷為（3.5.12）圖圖3.5.11點電荷與不接地導體球面的鏡像2.點電荷對不接地導體球面的鏡像設點電荷位于一個半徑為的不接地導體球外，距球心為。此時只要注意到：（1）導體球面是一個電位不為零的等位面；（2）由于導體球未接地，在點電荷的作用下，球上總的感應電荷為零。就可用鏡像法計算球外的電位函數(shù)。先設想導體球是接地的，此時導體球面上只有總電荷量為的感應電荷分布，其鏡像電荷大小和位置由式（3.5.6）確定。在這種情況下，點電荷q和鏡像電荷使得導體球的電位為零，不滿足上述的電位條件，且球上的總感應電荷也不為零。再斷開接地線，并將電荷加于導體球上，從而保證了球上的總感應電荷為零。為使導體球面為等位面，所加的電荷應均勻分布在導體球面上，這樣可以用一個位于球心的鏡像電荷來替代，如圖3.5.11所示。這樣，球外任一點P的電位函數(shù)就為（3.5.13）式中（3.5.14）3.5.3導體圓柱面的鏡像1.線電荷對導體圓柱面的鏡像圖3.5.13線電荷與導體圓柱的鏡像圖3.5.12線電荷與接地導體圓柱一根電荷線密度為的無限長線電荷位于半徑為圖3.5.13線電荷與導體圓柱的鏡像圖3.5.12線電荷與接地導體圓柱在用鏡像法解此問題時，為使導體圓柱面成為電位為零的等位面，鏡像電荷應是位于圓柱面內(nèi)部且與軸線平行的無限長線電荷，設其線密度為，由于對稱性，鏡像電荷必定位于線電荷與圓柱軸線所決定的平面上，設鏡像電荷距圓柱的軸線為，如圖3.5.13所示。這樣，空間任一點P的電位函數(shù)應為和在該點產(chǎn)生的電位之和。即由于導體圓柱接地，所以當時，電位應為零，即上式對任意的都成立，因此將上式對求導，可得到所以有（3.5.15）由式（3.5.15）可求得關于鏡像電荷的兩組解（3.5.16）和（無意義，舍去）根據(jù)惟一性定理，導體圓柱面外的電位函數(shù)為由時，可得到，故（3.5.17）導體圓柱面上的感應電荷面密度為（3.5.18）導體圓柱面上單位長度的感應電荷為（3.5.19）可見，導體圓柱面上單位長度的感應電荷也與所設置的鏡像電荷相等。如果遇到的問題是在一半徑為a的無限長接地圓柱形導體殼內(nèi)有一條與之平行的無限長線電荷，該線電荷與圓柱軸的距離為d，同樣可以用鏡像法求解圓柱殼內(nèi)的電位函數(shù)。此時的鏡像電荷置于圓柱殼外，其電荷密度和位置為（3.5.20）2.兩平行圓柱導體的電軸圖3.5.15電軸法圖示圖3.5.14圖3.5.15電軸法圖示圖3.5.14兩平行圓柱導體圖3.5.14表示半徑都為的兩個平行導體圓柱的橫截面，它們的軸線間距為，單位長度分別帶電荷和。由于兩圓柱帶電導體的電場互相影響，使導體表面上的電荷分布不均勻，相對的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。根據(jù)線電荷對導體圓柱的鏡像法，可以設想將兩導體圓柱撤去，其表面上的電荷用線密度分別為和、且相距為的兩根無限長帶電細線來等效替代，如圖3.5.15所示。實際上是將和看成是互為鏡像。帶電細導線所在的位置稱為帶電圓柱導體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。電軸的位置由式（3.5.16）確定。在此d’=h-b，d=h+b，故有由此解得（3.5.21）這樣，導體圓柱外空間任一點的電位函數(shù)就等于線電荷密度分別為和的兩平行雙線產(chǎn)生的電位疊加，即圖3.5.16平行于地面的圓柱導線圖3.5.16平行于地面的圓柱導線最后指出，電軸法的基本原理也可應用到兩個帶有等量異號電荷，但不同半徑的平行無限長圓柱導體間的電位函數(shù)求解問題。例3.5.3一根與地面平行架設的圓柱導體，半徑為，懸掛高度為。如圖3.5.16所示。（1）證明：單位長度上圓柱導線與地面間的電容為；（2）若導線與地面間的電壓為，證明：地面對單位長度導線的作用力。解:（1）設地面為理想導體，地面的的影響可用一個鏡像圓柱來等效。設圓柱導線單位長度帶電荷為，則鏡像圓柱單位長度帶電荷為。根據(jù)電軸法，電荷和可用位于電軸上的線電荷來等效代替，如圖3.5.17所示。圖中的。因此，圓柱導線與地面間的電位差為因時，有，故上式可改寫為圖3.5.17平行于地面的圓柱導線的鏡像圖3.5.17平行于地面的圓柱導線的鏡像則單位長度圓柱導線與地面間的電容為（2）導線單位長度上的電場能量為利用虛位移法，可得地面對導線單位長度的作用力為3.5.4介質(zhì)平面的鏡像含有無限大介質(zhì)分界平面的問題，也可采用鏡像法求解。1.點電荷對電介質(zhì)分界平面的鏡像如圖3.5.18所示，介電常數(shù)分別為和的兩種不同介質(zhì)，各均勻充滿上、下無限大空間，其分界面是無限大平面；在電介質(zhì)1中有一個點電荷，距分界平面為。圖3.5.18點電荷與電介質(zhì)分界平面圖3.5.20介質(zhì)2的鏡像電荷圖3.5.19介質(zhì)1的鏡像電荷在點電荷的電場作用下，電介質(zhì)被極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時，空間中任一點的電場由點電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。依據(jù)鏡像法的基本思想，在計算電介質(zhì)1中的電位時，用置于介質(zhì)2中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3.5.19所示。在計算電介質(zhì)2中的電位時，用置于介質(zhì)1中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3.5.20所示。于是，介質(zhì)1和介質(zhì)2中任一點P的電位函數(shù)分別為圖3.5.18點電荷與電介質(zhì)分界平面圖3.5.20介質(zhì)2的鏡像電荷圖3.5.19介質(zhì)1的鏡像電荷（3.5.22）（3.5.23）所設置的鏡像和的量值，需通過介質(zhì)分界面上的邊界條件來確定。，在介質(zhì)分界平面處，電位應滿足邊界條件將式（3.5.22）和（3.5.23）代入上式，得由此解得鏡像電荷和分別為，（3.5.24）將式（3.5.24）分別代入式（3.5.22）和（3.5.23），得到（3.5.25）（3.5.26）以上分析方法可推廣應用到線電荷對無限大電介質(zhì)分界平面的鏡像，計算鏡像電荷的公式可類似地導出。2.線電流對磁介質(zhì)分界平面的鏡像與靜電問題類似，當線電流位于兩種不同磁介質(zhì)分界平面附近時，也可用鏡像法求解磁場分布問題。如圖3.5.21所示，磁導率分別為和的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，在介質(zhì)1中有一根無限長直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為。此時，在直線電流I產(chǎn)生的磁場作用下，磁介質(zhì)被磁化，在不同磁介質(zhì)的分界面上有磁化電流分布。這樣空間中的磁場由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。依據(jù)鏡像法的基本思想，在計算磁介質(zhì)1中的磁場時，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導率為的均勻介質(zhì)，如圖3.5.22所示。在計算磁介質(zhì)2中的磁場時，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導率為的均勻介質(zhì)，如圖3.5.23所示。圖3.5.23磁介質(zhì)2的鏡像線電流圖3.5.23磁介質(zhì)2的鏡像線電流圖3.5.21線電流與磁介質(zhì)分界平面圖3.5.22磁介質(zhì)1的鏡像線電流因為設定電流沿軸方向流動，所以矢量磁位只有分量，即。則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點的矢量磁位分別為（3.5.27）（3.5.28）所設置的鏡像線電流和的量值，需通過磁介質(zhì)分界面上的邊界條件來確定。在磁介質(zhì)分界平面處，矢量磁位應滿足邊界條件將式（3.5.27）和（3.5.28）代入上式，得由此解得鏡像電流和分別為（3.5.29）將式（3.5.29）分別代入式（3.5.27）和（3.5.28），得（3.5.30）（3.5.31）相應的磁場可由求得。例3.5.4空氣中有一根通有電流I的直導線平行于鐵板平面，與鐵表面距離為h，如圖3.5.24所示。求空氣中任一點的磁場。解設鐵板的磁導率，則鐵板內(nèi)的磁場由，說明磁感應線垂直于鐵板平面。根據(jù)鏡像法的基本思想，原場問題可以用直線電流I和它的鏡像電流I’來求得。將代入式（3.5.29）求得鏡像電流I’=I，如圖3.5.25所示。這樣，上半空間任一點)的磁場可以直接將兩根直線電流的磁場相加求得；也可以通過矢量磁位來計算，但需注意y=0的平面不是等矢位面。xxyxyhhhoo圖3.5.24直線電流與鐵板平面圖3.5.25直線電流對無限大鐵板平面的鏡像利用例3.3.2得出的一根無限長直線電流的矢量磁位計算公式（3.3.29）得到任一點)的矢量磁位為式中因此，點的磁感應強度為3.6分離變量法分離變量法是求解邊值問題的一種經(jīng)典的方法，其基本思想是：把待求的位函數(shù)表示為幾個未知函數(shù)的乘積，其中每一個未知函數(shù)僅是一個坐標變量的函數(shù)，代入偏微分方程進行變量分離，將原偏微分方程分離為幾個常微分方程，然后分別求解這些常微分方程并利用邊界條件確定其中的待定常數(shù)，從而得到位函數(shù)的解。惟一性定理保證了這種方法求出的解是惟一的解。應用分離變量法求解時，所求場域的邊界面應與某一正交曲面坐標系的坐標面重合。本節(jié)主要介紹在直角坐標系、圓柱面坐標系和球面坐標系中，應用分離變量法求解二維拉普拉斯方程的邊值問題。3.6.1直角坐標系中的分離變量法設位函數(shù)只是、的函數(shù)，而沿坐標方向沒有變化，則拉普拉斯方程為（3.6.1）將表示為兩個一維函數(shù)和的乘積，即（3.6.2）將其代入式（3.6.1），有用除上式各項，得上式中，左端僅為的函數(shù)，右端僅為的函數(shù)，而對、取任意值時，它們又是恒等的。所以，式中的每一項都須等于常數(shù)。將此常數(shù)寫成，即（3.6.3）由此得（3.6.4）（3.6.5）這樣就把二維拉普拉斯方程（3.6.1）分離成了兩個常微分方程。稱為分離常數(shù)，它的取值不同時，方程（3.6.4）和方程（3.6.5）的解也有不同的形式。當時，方程（3.6.4）和方程（3.6.5）的解為于是（3.6.6）當時，方程（3.6.4）和方程（3.6.5）的解為于是（3.6.7）由于拉普拉斯方程（3.6.1）是線性的，所以式（3.6.6）和（3.6.7）的線性組合也是方程（3.6.1）的解。在求解邊值問題時，為了滿足給定的邊界條件，分離常數(shù)通常取一系列特定的值，而待求位函數(shù)則由所有可能的解的線性組合構(gòu)成，稱為位函數(shù)的通解，即（3.6.8）若將式（3.6.3）中的換為，則可得到另一形式的通解（3.6.9）圖圖3.6.1接地矩形槽例3.6.1橫截面為矩形的無限長接地金屬導體槽,上部有電位為的金屬蓋板；導體槽的側(cè)壁與蓋板間有非常小的間隙以保證相互絕緣，如圖3.6.1所示。試求此導體槽內(nèi)的電位分布。解：因矩形導體槽在方向為無限長，所以槽內(nèi)電位函數(shù)滿足直角坐標系中的二維拉普拉斯方程，電位函數(shù)必須滿足的邊界條件是：（3.6.10）（3.6.11）（3.6.12）（3.6.13）因槽內(nèi)的電位必須滿足和處為零值，所以應選擇式（3.6.8）作為其通解。將式（3.6.10）代入式（3.6.8），有為使上式對在范圍內(nèi)取任何值時都成立，則應有，于是有（3.6.14）再將式（3.6.11）代入式（3.6.14），有同樣為使上式對y在0~b范圍內(nèi)取任何值時都成立，則應有和。但不能等于零，否則，故有。由此得到代入式（3.6.14），有（3.6.15）又將式（3.6.12）代入式（3.6.15），有為使上式對在范圍內(nèi)取任何值時都成立，并且，則應有于是，式（3.6.15）變?yōu)椋?.6.16）式中為待定常數(shù)。最后將式（3.6.13）代入式（3.6.16），有（3.6.17）為了確定常數(shù)，將在區(qū)間上按展開為傅立葉級數(shù)，即（3.6.18）式中系數(shù)按如下計算比較式（3.6.17）和式（3.6.18）中的系數(shù)，可得到將代入式（3.6.16），即得到接地金屬槽內(nèi)的電位分布為圖圖3.6.2例3.6.2由四塊沿z軸方向放置的金屬板圍成的矩形長槽，四條棱線處有無限小間隙以保持相互絕緣，如圖3.6.2所示。試求槽內(nèi)空間的電位分布。解：設金屬板沿z方向為無限長，所以槽內(nèi)空間的電位函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程。圖3.6.2所示的邊界條件為（3.6.19）（3.6.20）（3.6.21）（3.6.22）考慮到電位函數(shù)必須滿足和處為零值，所以應選擇式（3.6.9）作為通解。將式（3.6.9）代入式（3.6.19），得為使上式對x在0～a范圍內(nèi)取任何值時都成立，必須取。這樣，式（3.6.9）就變?yōu)椋?.6.23）再將式（3.6.20）代入式（3.6.23），得為使上式對x在0～a范圍內(nèi)取任何值時都成立，則必須，且。由于，故有，則得這樣，式（3.6.23）就變?yōu)椋?.6.24）又將式（3.6.21）代入式（3.6.24），得為使上式對y在0～b范圍內(nèi)取任何值時都成立，應取。于是，式（3.6.24）又變?yōu)椋?.6.25）式中的為待定常數(shù)。為了確定常數(shù)，將在區(qū)間上按展開為傅立葉級數(shù)，即式中故將代入式（3.6.25），即得到所求的電位函數(shù)3.6.2圓柱面坐標系中的分離變量法具有圓柱面邊界的問題，適宜用圓柱面坐標系中的分離變量法求解。在這里，設電位函數(shù)只是坐標變量的函數(shù)，而沿z坐標方向沒有變化。在這種情況下，位函數(shù)滿足的拉普拉斯方程為（3.6.26）令位函數(shù)，代入上式，有將上式各項乘以，可得到由于此式對和取任意值時都成立，所以式中的每一項都等于常數(shù)，即由此將拉普拉斯方程（3.6.26）分離成為兩個常微分方程（3.6.27）（3.6.28）式中為分離常數(shù)。當時，方程（3.6.27）和方程（3.6.28）的解為于是（3.6.29）當時，方程（3.6.27）和方程（3.6.28）的解為于是（3.6.30）對于許多具有圓柱面邊界的問題，位函數(shù)是變量的周期函數(shù)，其周期為，即。此時，分離常數(shù)應取整數(shù)值，即，且。由此得到，圓柱形區(qū)域中二維拉普拉斯方程（3.6.26）的通解為（3.6.31）圖圖3.6.3均勻外電場中的無限長介質(zhì)圓柱體例3.6.3在均勻外電場中，有一半徑為、介電常數(shù)為的無限長均勻介質(zhì)圓柱體，其軸線與外電場垂直，圓柱外為空氣。如圖3.6.3所示。試求介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位函數(shù)和電場強度。解：在外電場作用下，介質(zhì)圓柱要極化，空間任一點的電位是均勻外電場的電位與極化電荷產(chǎn)生的電位之和。因介質(zhì)圓柱內(nèi)外均不存在自由電荷的體密度，所以介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位函數(shù)都滿足拉普拉斯方程。又由于介質(zhì)圓柱體是均勻無限長的，而且均勻外電場與圓柱的軸線垂直，所以電位函數(shù)與變量無關，因此，電位的通解為式（3.6.31）。設介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位函數(shù)為，介質(zhì)圓柱外的電位函數(shù)為。它們應滿足以下邊界條件：（1）在介質(zhì)圓柱外，當時，極化電荷產(chǎn)生的電場減弱為零，故這些地方的電位函數(shù)應與均勻外電場的電位相同，即（3.6.32）（2）在介質(zhì)圓柱內(nèi)的處，電位應為有限值，即（3.6.33）（3）在介質(zhì)圓柱體的表面（）上，電位函數(shù)應滿足（3.6.34）在介質(zhì)圓柱外，要滿足邊界條件（3.6.32），在通解（3.6.31）中須取，且不含項，即，且于是介質(zhì)圓柱外的電位函數(shù)可寫為（3.6.35）介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位函數(shù)應具有與式（3.6.35）相同的函數(shù)形式，即代入邊界條件（3.6.33），可得，于是（3.6.36）再將式（3.6.35）和式（3.6.36）代入邊界條件（3.6.34），則有由此解得故介質(zhì)圓柱內(nèi)、外的電位函數(shù)分別為介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場強度分別為以上結(jié)果表明，介質(zhì)圓柱體內(nèi)的電場是均勻場，且與外電場的方向相同。但由于，所以，這是因為介質(zhì)圓柱面上的極化電荷在介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生的電場與外電場的方向相反。介質(zhì)圓柱內(nèi)、外的電場分布如圖3.6.4所示。圖圖3.6.5均勻外磁場中的無限長空心磁介質(zhì)圓柱=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③圖3.6.4均勻外電場中介質(zhì)圓柱體內(nèi)外的電場例3.6.4在外加均勻恒定磁場中，有一用磁導率為的磁介質(zhì)構(gòu)成的無限長磁介質(zhì)圓柱形空腔，其內(nèi)、外半徑分別為和，如圖3.6.5所示。試求該圓柱形空腔內(nèi)的磁場分布。解：在均勻外磁場中放置一磁導率為的無限長磁介質(zhì)圓柱體，這是一個與前面的例題完全類似的磁場邊值問題。由于不存在外加傳導電流，故可用標量磁位來求解磁場。又由于磁介質(zhì)圓柱為無限長，故標量磁位與坐標z無關，且滿足二維拉普拉斯方程。按照介質(zhì)的不同特性，將空間劃分為=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③三個區(qū)域，相應的標量磁位分別為、和。它們應滿足的邊界條件為：（1）在介質(zhì)圓柱內(nèi)的處，應為有限值，即（3.6.37）（2）在圓柱腔外，當時，應趨于，即（3.6.38）（3）在圓柱空腔的內(nèi)表面（）上，標量磁位應滿足（3.6.39）在圓柱空腔的外表面（）上，標量磁位應滿足（3.6.40）由此可知將上述表達式代入式（3.6.39）和式（3.6.40），可得到由此解得所以，圓柱空腔內(nèi)的標量磁位為故圓柱空腔內(nèi)的磁場強度為由上式可得到若腔體為鐵磁材料，則因其相對磁導率，上式可近似為可見，愈大，或愈小，則空腔內(nèi)的磁場相對于外部磁場愈小，即磁介質(zhì)材料圓柱起到磁屏蔽作用。例如，采用低碳鋼作磁介質(zhì)材料，，取，則得，即空腔內(nèi)的磁場強度僅為外加磁場的1％。3.6.3球面坐標系中的分離變量法具有球面邊界的邊值問題，宜采用球面坐標系中的分離變量法求解。在球面坐標系中，對于以極軸為對稱軸的問題，位函數(shù)與坐標變量無關，則拉普拉斯方程為（3.6.41）令位函數(shù)，代入上式，得將上式各項乘以，可得到由于此式對和取任意值時恒成立，所以式中的每一項都等于常數(shù)，即由此將拉普拉斯方程（3.6.41）分離成為兩個常微分方程（3.6.42）（3.6.43）方程（3.6.43）稱為勒讓德方程。若分離常數(shù)的取值為則其解為（3.6.44）其中稱為第一類勒讓德函數(shù)，稱為第二類勒讓德函數(shù)。對球形區(qū)域問題，在閉區(qū)間上變化，而在和時是發(fā)散的。所以，當場域包含和的點時，在式（3.6.44）中則應取，即（3.6.45）又稱為勒讓德多項式，其一般表達式為（3.6.46）下面給出前幾個勒讓德多項式的表達式當時，方程（3.6.42）解為于是得到方程（3.6.41）的基本解（3.6.47）由取所有可能數(shù)值時各解的線性組合，即得到球形區(qū)域中二維拉普拉斯方程（3.6.41）的通解為（3.6.48）圖圖3.6.6均勻外電場中的導體球例3.6.5在均勻外電場中，放置一個半徑為導體球，如圖3.6.6所示。設導體球外介質(zhì)為空氣。試求導體球外的電位函數(shù)和電場強度。解：在外電場作用下，導體球面上會出現(xiàn)感應電荷分布，空間任一點的電位是均勻外電場的電位與感應電荷產(chǎn)生的電位之和。因?qū)w外的自由電荷體密度為零，所以電位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。又由于問題是關于極軸對稱的，所以電位函數(shù)與變量無關，通解應為式（3.6.48）所示的形式。在導體球外，感應電荷的電場隨的增加而減弱，當時減弱為零，故這些地方的電位函數(shù)與均勻外電場的電位相同，即（3.6.49）將式（3.6.48）代入式（3.6.49），有所以得到，于是設導體的電位為零，即時，，得由此得到故導體球外的電位函數(shù)為導體球外的電場強度球面上的感應電荷面密度為即球面上感應電荷分布是的函數(shù)，在導體球面的右側(cè)有正的感應電荷；在導體球面的左側(cè)有負的感應電荷。3.7有限差分法前面討論的鏡像法和分離變量法都屬于求解電磁場邊值問題的解析解的方法，稱為解析法。所得到的是電磁場的空間分布函數(shù)的解析表示式，這是一個精確的表示式。但是，許多實際問題往往由于邊界形狀過于復雜，很難用解析法求解，這時則可借助數(shù)值解法來求得電磁場問題的數(shù)值解。數(shù)值法的基本思想是將所要求的整個連續(xù)分布的場域空間的場，轉(zhuǎn)換為所求解的場域空間中各個離散點上的場的集合。顯然，離散點取得越多，對場分布的描述就越精確，但是計算量也越大。常用的數(shù)值法是：基于應用微分形式的電磁場方程的有限差分法、有限元法等；基于應用積分形式的電磁場方程的矩量法、邊界元法等。另外，用于分析時變電磁場問題的時域有限差分法（FDTD），近些年來也得到廣泛應用。本節(jié)只簡要介紹有限差分法。有限差分法的基本思想是將場域劃分成網(wǎng)格，把求解場域內(nèi)連續(xù)的場分布，用求解網(wǎng)格節(jié)點上的離散的數(shù)值解來代替，即用網(wǎng)格節(jié)點的差分方程近似代替場域內(nèi)的偏微分方程來求解。一般說來，只要將網(wǎng)格劃分得充分細，所得結(jié)果就可達到足夠的精確。網(wǎng)格劃分的方式很多，這里只討論二維拉普拉斯方程的正方形網(wǎng)格劃分方法。3.7.1有限差分方程應用有限差分法來計算靜態(tài)場邊值問題，需先將偏微分方程用差分方程來代替。在一個邊界為的二維區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)滿足拉普拉斯方程（3.7.1）在邊界上給定第一類邊界條件，即（3.7.2）圖3.7.1場域的正方形網(wǎng)格劃分圖3.7.1場域的正方形網(wǎng)格劃分如圖3.7.1所示，用分別平行于、軸的兩組直線把場域劃分成許多正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線的交點稱為節(jié)點，兩相鄰平行網(wǎng)格線間的距離稱為步距。用表