大學(xué)物理：第二章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

亞里仕多德伽利略牛頓洛侖茲愛(ài)因斯坦第2章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)Dynamicsofaparticle1§2.1力的瞬時(shí)效應(yīng)牛頓定律合外力

一.

牛頓三大定律

1.牛頓第一定律（慣性定律）任何物體都要保持其靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài),直到外力迫使它改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為止。

慣性—物體保持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的性質(zhì)。

力——物體之間的相互作用,是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。

2.牛頓第二定律2若m=const，則

牛頓第二定律是：瞬時(shí)關(guān)系、矢量等式。3

Fn沿軌道法向的合外力；

F

沿軌道切向方向的合外力。

自然坐標(biāo)系中的分量式:mrnr4二.

牛頓定律的適用范圍低速、宏觀、實(shí)物。慣性系。

1.彈簧的彈性力f=-kxk彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)；x彈簧的伸長(zhǎng)量。三.

幾種常見(jiàn)的力

3.牛頓第三定律（作用力與反作用力定律）兩物體之間的作用力和反作用力，大小相等、方向相反,且在同一直線上。52.摩擦力滑動(dòng)摩擦力：f=kN

k滑動(dòng)摩擦系數(shù)。靜摩擦力未發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)、但有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)產(chǎn)生。靜摩擦力f是個(gè)變力：

0fsN(最大靜摩擦力）s靜摩擦系數(shù)。k<s。

3.萬(wàn)有引力引力常量：G=6.6710-11Nm2/kg26基本方法：隔離體法+正交分解將每個(gè)物體從系統(tǒng)中分離出來(lái),分別加以研究隔離體法。而物體間的聯(lián)系用力來(lái)表示。沿相互垂直的方向(坐標(biāo)軸方向)應(yīng)用牛頓第二定律,聯(lián)立求解。

四.牛頓定律的應(yīng)用方法7mNmgFs問(wèn)題：若a,N,使N>mg,m是否會(huì)上升呢?am水平:N=ma

豎直:N=mg

解得a=g/例題1.1

要物體m不下滑，至少a=?(斜面與物體m間的摩擦系數(shù)為)。8

例題1.2m=2kg以a=3m/s2下滑,斜面不動(dòng)。求斜面與水平面間的靜摩擦力(=30)。FfN解

m:

平行斜面：mgsin-f=ma

垂直斜面：N=mgcosmamgNf斜面:水平方向：

fcos+F=Nsin解得F=macosNG9

例題1.3M、m，各處光滑。求:(1)M、m的加速度及對(duì)地的壓力；mgN1a'aMmMN1MgN2aaM解:

m:N1sin=maxN1cos-mg=mayx:y:

M:x:y:-N1sin=-MaMN2-Mg-N1cos=0bmMaxyxoy10

m:N1sin=maxN1cos-mg=mayx:y:

M:x:y:-N1sin=-MaMN2-Mg-N1cos=0ax=a'cos-aMam對(duì)地=am對(duì)M+aM對(duì)地

解得ay=-a'sinaaMbmMaxoy11m對(duì)地:aaMbmMaN1N2xoy12(2)m下邊緣滑到水平面時(shí)，M移動(dòng)的距離；dM移動(dòng)的距離:

aaMbmMaxoy13x:Nsinθ=ma

y:Ncos

θ=mg解得a=g.tg

θ(M+m):F=(M+m)a=(M+m)g.tg

θ(3)要m相對(duì)M靜止，F(xiàn)=?

mMFNmgxy對(duì)m:14

解Tm1gm1aom2gTm2m1:m1g-T=m1a1m2：T-m2g=m2

a2

T即為摩擦力m1m2

例題1.4

輕滑輪，柱m2相對(duì)繩以恒定的加速度ao下滑，求m1

、m2相對(duì)地面的加速度及柱與繩間的摩擦力。a柱對(duì)地=a柱對(duì)繩+a繩對(duì)地即：a2=-a0+a1

a1a215a柱對(duì)地=a柱對(duì)繩+a繩對(duì)地

m1:m1g-T=m1a1m2：T-m2g=m2

a2即：a2=-a0+a1

解得Tm1gm1aom2gTm2m1m2a1a216

水平方向：Fcos-fs=ma=0（勻速）豎直方向：Fsin+N-mg=0,fs=μN(yùn)

L=h/sin=2.92m時(shí),最省力。解

F有極值的必要條件是：mhLFfkNmg

例題1.5

木箱與地面：μ=0.6，h=1.5m,若人勻速前進(jìn)，繩長(zhǎng)L為多長(zhǎng)時(shí)最省力?

17Rh解

由fn=man,f=ma有Nmg法向:Nsin=m2Rsin豎直:Ncos=mgN=m2R解得

例題1.6

半球形碗，R，當(dāng)碗以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),小鋼球離碗底有多高?

18切向：mgsin=ma=m(2)法向：N-mgcos=man=m(1)解

RoANmg得：a=gsin

例題1.7

鋼球m由靜止從A點(diǎn)沿光滑半圓形槽下滑。求滑到圖示位置時(shí)鋼球?qū)Σ鄣膲毫σ约颁撉虻腶n、a。

19得：N=3mgcosN-mgcos=m由RoANmg20五.

慣性參考系和非慣性參考系

1.慣性參考系從運(yùn)動(dòng)的描述來(lái)說(shuō)，參考系的選擇是任意的。但應(yīng)用牛頓定律時(shí)，就只能選取慣性參考系。光滑桌面，車(chē)廂A在地面上以加速度a向右運(yùn)動(dòng)。

地上甲看，小球m:

F=kx=ma，符合牛頓定律。車(chē)內(nèi)乙看，小球m:F=kx(因?yàn)閺椈纱_實(shí)已伸長(zhǎng))，但a=0。違背牛頓定律。甲乙aAmk21而牛頓定律不成立的參考系稱作非慣性系。一個(gè)參考系是不是慣性系，只能由實(shí)驗(yàn)確定。甲乙aAmk這個(gè)例子說(shuō)明：相對(duì)地面以加速度a運(yùn)動(dòng)的車(chē)廂A為參考系，牛頓定律是不成立的。

牛頓定律成立的參考系稱作慣性參考系。22慣性系有一個(gè)重要性質(zhì)：一切相對(duì)于慣性系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系也是慣性系。研究大氣層和遠(yuǎn)程導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)取地心參考系。

研究天體的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)取日心參考系。研究地球表面附近(距離不太遠(yuǎn))物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，地面(或固定在地面上的物體)就是近似程度相當(dāng)好的慣性系。232.加速平動(dòng)參考系中的慣性力

設(shè)非慣性系S相對(duì)慣性系S以加速度a作直線運(yùn)動(dòng)，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)有

假想:

-ma=Fi

慣性力-ma不遵從牛頓第三定律。慣性力則在非慣性系S中有：真實(shí)合外力24

解以升降機(jī)為參考系(非慣性系)，物體m受三個(gè)力作用：真實(shí)力mg，N；ama沿斜面方向，有

m(g+a)sin=ma解得：a=(g+a)sin

例題1.8

升降機(jī)相對(duì)地面以加速度a升，求m相對(duì)于升降機(jī)的加速度。(斜面光滑)慣性力ma。mgNma253.勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中的慣性力假定質(zhì)點(diǎn)m和盤(pán)一起以轉(zhuǎn)動(dòng)(m相對(duì)盤(pán)靜止)。在慣性系(地面)看，m受向心力作用在非慣性系(盤(pán))看:m靜止,受兩個(gè)力作用:“真實(shí)外力”(繩的拉力)：

(方向沿半徑指向圓心)

(方向沿半徑指向外)mr慣性(離心)力的作用:

(方向沿半徑指向圓心)26如果質(zhì)點(diǎn)相對(duì)非慣性系(盤(pán))運(yùn)動(dòng)，除了受到慣性(離心)力的作用外，還受到一種叫科里奧利力的慣性力?？梢宰C明，科里奧利力的計(jì)算公式為式中為轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度，為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的速度。m北半球的河床右岸為什么受到較厲害的沖刷？赤道的信風(fēng)是怎樣形成的？這些都是科里奧利力作用的結(jié)果。27上式表明:質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。這一結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理。一.

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理沖量,

對(duì)恒力F,

學(xué)習(xí)要求：要學(xué)會(huì)計(jì)算變力的沖量，掌握在一個(gè)平面內(nèi)應(yīng)用動(dòng)量定理求解力學(xué)問(wèn)題的方法。

§2.2力的時(shí)間累積效應(yīng)動(dòng)量守恒定律28解由動(dòng)量定理：得

=2i+5j(m/s)例題2.1

一物體質(zhì)量m=2kg,受合外力F=(3+2t)i

(SI)的作用，初速度0=5j(m/s)；求第1秒末物體的速度。又29例題2.2斜面:h=3m、l=5m，摩擦系數(shù)=0.3。m由靜止開(kāi)始下滑，求在水平面上滑行的距離S=？（取g=10m/s2）解1.斜面上:shlmmmgsin-mgcos=maa=gsin-gcos=6m/s21y:xyx:=3.72m/s2.303.在水平面上滑行:shlmm21xy2=3.72m/sa=-g=2.3m=0.3，取g=10m/s231

例題2.3m經(jīng)時(shí)間t、以不變的速率越過(guò)一水平光滑軌道60o的彎角，求軌道作用于質(zhì)點(diǎn)的平均沖力的大小。解平均沖力可視為恒力，由動(dòng)量定理有

求解(2-1

)的方法有兩個(gè)：三角形法單位矢量法m1230o30o平均沖力32于是平均沖力的大小為（1）三角形法

畫(huà)出

=2-1的

矢量三角形，再解此三角形;由圖可求得||=|2-1

|=2

cos30o=

F(即

)的方向與軌道成30o(豎直向上),如圖所示。30o30oo21m1230o30o33

建立直角坐標(biāo)系(如圖)，把每個(gè)矢量用單位矢量表示出來(lái):（2）單位矢量法30o30oo2xy1m1230o30o大小:,方向:j(y軸正方向)。F34

例題2.4

煤粉自高h(yuǎn)=0.8m高自由落下,流量為qm=40kg/s,

傳送帶A的速度=3m/s。求卸煤的過(guò)程中，煤粉對(duì)傳送帶A的平均作用力。(不計(jì)相對(duì)傳送帶靜止的煤粉質(zhì)量，取g=10m/s2）

取在時(shí)間dt內(nèi)落下的煤粉dm=qmdt為研究對(duì)象,由動(dòng)量定理有解煤粉下落h時(shí)的速度Ah035(1)單位矢量法xyo

根據(jù)牛頓第三定律，煤粉對(duì)傳送帶A的平均作用力與此力大小相等而方向相反。F=40(-o)=3,o=4=53.1o

大小:F=200N,與x軸正方向的夾角:Ah0-(-4j)]=40[3i=40(3i+4j)36由圖可求得煤粉對(duì)傳送帶A的平均作用力的大小:畫(huà)出

=-0的

矢量三角形如右圖所示。(2)三角形法方向與圖中的方向相反。oFAh0=3,o=4=53.1o37

例題2.5

均勻柔繩鉛直地懸掛，下端剛好觸到水平桌面。如果把繩的上端放開(kāi)，試證明：在繩下落的過(guò)程中，任意時(shí)刻作用于桌面的壓力，等于已落到桌面上的繩重量的三倍。

此時(shí)落在桌面上的繩m=h受力:

證設(shè)繩的線密度為。任意時(shí)刻t(下落h時(shí)),繩的速度為重力mg、桌面的支持力N、落下繩的沖力F。

由右下圖可知:N=mg+F。mNFmgm38取時(shí)間t~t+dt內(nèi)落下的繩dm=.dt為研究對(duì)象，由動(dòng)量定理得

F.dt=dm.=.2dt所以F=.2

N=mg+F所以F=.2=.2gh=2mg最后得:N=mg+F=3mg即:作用于桌面的壓力是重量的三倍。已知NFmgmmFdmdmg39

質(zhì)點(diǎn)系(系統(tǒng))—作為研究對(duì)象的質(zhì)點(diǎn)的集合。

內(nèi)力—系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。

外力—系統(tǒng)以外的物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的作用力。處理質(zhì)點(diǎn)系問(wèn)題的思路是：把質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)系中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn),

設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)物體,其內(nèi)力:f12,f21,…,fn1;外力:F1,F2,…Fn。二.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理然后將這些方程相加，就得到用于整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量定理。f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn40

這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理,它表明系統(tǒng)所受的合外力的沖量等于系統(tǒng)總動(dòng)量的增量。式中i=1,2,…..。對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和，就得:

根據(jù)牛頓第三定律,內(nèi)力之和fij=0,

mi:(fij+Fi)dt=mii

-mi

io(fij

+Fi)dt=mii

-miio

f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn41

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí),這一質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量矢量就保持不變動(dòng)量守恒定律。幾點(diǎn)說(shuō)明:(1)一個(gè)系統(tǒng)總動(dòng)量的改變完全由合外力來(lái)確定，與內(nèi)力無(wú)關(guān)。內(nèi)力能引起動(dòng)量在系統(tǒng)內(nèi)的物體間傳遞，而不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。

如果F外=0,則

mii=常矢量三.動(dòng)量守恒定律42

(2)系統(tǒng)動(dòng)量守恒的條件是合外力為零,即

由此可見(jiàn),如果質(zhì)點(diǎn)系沿某坐標(biāo)方向所受的合外力為零,則沿此坐標(biāo)方向的總動(dòng)量守恒。

(4)動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。

(3)動(dòng)量守恒表示式是矢量關(guān)系式。在實(shí)際問(wèn)題中,常應(yīng)用其沿坐標(biāo)軸的分量式:

系統(tǒng)不受外力

Fi=0

系統(tǒng)受外力，但矢量和為零

內(nèi)力?外力(如爆炸、短時(shí)間內(nèi)的碰撞）

Fx

=0,則miix=常量

Fy=0,則miiy=常量

Fz=0,則miiz=常量

43

例題2.6子彈m=20g以o=400m/s的速率射入靜止的擺球M=980g中，擺線長(zhǎng)度不可伸縮。求

子彈射入后與擺球剛一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速率。30mM

解

(M+m):=4m/sT(M+m)g水平方向不受外力，動(dòng)量守恒：

mocos60=(M+m)44

例題2.7大炮(含炮彈)質(zhì)量為M,由靜止沿光滑固定斜面下滑L距離時(shí)，從炮內(nèi)沿水平方向射出一發(fā)質(zhì)量為m的炮彈。欲使炮車(chē)在發(fā)射炮彈后的瞬間停止，炮彈的初速o應(yīng)是多少？

解(1)炮車(chē)M沿斜面下滑L:勻加速直線運(yùn)動(dòng)

(2)發(fā)炮(車(chē)+彈):斜面方向動(dòng)量守恒：MmLoN45

例題2.8地面光滑，小車(chē)M靜止。小物體m以o滑向車(chē)頂。設(shè)物體與車(chē)頂之間的摩擦系數(shù)為，求:(1)從物體滑上車(chē)頂?shù)较鄬?duì)車(chē)頂靜止需多少時(shí)間？(2)要物體不滑下車(chē)頂，車(chē)長(zhǎng)至少應(yīng)為多少？

M0m

解

(M+m):水平方向不受外力，故動(dòng)量守恒：

mo=(M+m)式中是相對(duì)靜止時(shí)的速度。

(1)對(duì)物體m應(yīng)用動(dòng)量定理，有

-mg.t=m-mo解得46

m相對(duì)地面的加速度：

a=-gm相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的距離：

S1=(2-02)/2a

M相對(duì)地面的加速度：

a0=mg/MM相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的距離：

S2=2/2a0=mo/(M+m)故車(chē)的最小長(zhǎng)度為M0m(2)要物體不滑下車(chē)頂，車(chē)長(zhǎng)至少應(yīng)為多少？47

例題2.9兩三棱柱體M和m靜止，各處光滑。求當(dāng)m的下邊緣滑到水平面時(shí)，M在水平面上移動(dòng)的距離。

解系統(tǒng)(M和m):水平方向不受外力，故水平方向動(dòng)量守恒。設(shè)M與m相對(duì)地面的速度分別是V和，m相對(duì)于M的速度為,則

mx-MVx=0(1)由相對(duì)運(yùn)動(dòng)公式有

x=abmMxoVx-Vx

(2)48

(M+m)Vx=mx

將上式對(duì)時(shí)間t積分，有:最后求得M在水平面上移動(dòng)的距離：是m相對(duì)于M在水平方向移動(dòng)的距離。

=S

是M相對(duì)水平地面移動(dòng)的距離；將

x=x-Vx代入mx-MVx=0得：abmMxoV49四.

質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理將三角板(質(zhì)點(diǎn)系)拋出，三角板(質(zhì)點(diǎn)系)中有一點(diǎn)c始終按拋物線運(yùn)動(dòng),就像三角板(質(zhì)點(diǎn)系)的全部質(zhì)量都集中在c點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)那樣,這個(gè)幾何點(diǎn)c就稱為三角板(質(zhì)點(diǎn)系)的質(zhì)量中心,簡(jiǎn)稱質(zhì)心。

.....ccccc質(zhì)心和重心的概念是有區(qū)別的。但在地面上，質(zhì)心與重心重合。對(duì)質(zhì)量均勻分布的物體，質(zhì)心也就是它的幾何中心。如一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)棒，質(zhì)心就在它的二分之一處。1.質(zhì)心50可以證明,質(zhì)心坐標(biāo)為:質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量或51例題2.11計(jì)算半徑為R的均勻半圓薄片的質(zhì)心位置

解：如圖建立坐標(biāo)系。因?yàn)榘雸A薄片很薄，可認(rèn)為厚度z=0；

由均勻薄片的對(duì)稱性，可以判斷質(zhì)心的y方向坐標(biāo)yc=0

設(shè)半圓薄片的面質(zhì)量密度為，取寬度為dx的質(zhì)量微元因

質(zhì)心坐標(biāo)為：(4R/3π，0)522.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心速度:質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量即質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量53f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn(i=1,2,3……)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理54質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理系統(tǒng)所受合外力=系統(tǒng)的總質(zhì)量×質(zhì)心的加速度。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理表明：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就像質(zhì)點(diǎn)系的全部質(zhì)量、全部外力都集中在質(zhì)心上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一樣。

(1)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全由合外力確定,與內(nèi)力無(wú)關(guān)。

(2)系統(tǒng)所受合外力為零，這表明，質(zhì)心原來(lái)靜止就靜止；質(zhì)心原來(lái)運(yùn)動(dòng)就作勻速直線運(yùn)動(dòng)。55(3)系統(tǒng)所受合外力為零，(系統(tǒng)動(dòng)量守恒)*2.2.5

火箭飛行原理(自學(xué))56

例題2.10

開(kāi)始時(shí)人和船都靜止,當(dāng)人從船的一端走到另一端時(shí),船移動(dòng)的距離。(設(shè)船的質(zhì)量為M,人的質(zhì)量為m,船長(zhǎng)為l,并忽略水的阻力)。

解(M+m):系統(tǒng)所受合外力為零,質(zhì)心不動(dòng):syxo57一.功質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理§2.3力的空間累積效應(yīng)能量守恒定律

質(zhì)點(diǎn)受恒力F,作直線運(yùn)動(dòng),位移S,則力F的功為從a到b，力f

的總功:力f的元功為

質(zhì)點(diǎn)受變力f,從a到b,abfLdr1.功—力與力作用點(diǎn)位移的標(biāo)積582.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理hm質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理說(shuō)明:合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。

(1)功是標(biāo)量,且有正負(fù)。

(2)功是相對(duì)量,其大小隨所選參考系的不同而不同。功率

例：

重力對(duì)m的功:地面參考系：A=mgh

物體m參考系：A=0dA=f.dr59

(3)在直角坐標(biāo)系中

功是沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道進(jìn)行積分計(jì)算的。一般地說(shuō),功的值既與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的始末位置有關(guān),也與運(yùn)動(dòng)路徑的形狀有關(guān)。(4)應(yīng)當(dāng)明白,動(dòng)能定理只在慣性系中成立,相應(yīng)的功也只能在同一慣性系中計(jì)算。

學(xué)習(xí)要點(diǎn)：變力的功。60

解將彈簧緩慢地提起的過(guò)程中，需要用多大的外力？x(原長(zhǎng))xomF

fx=kx

。物體m脫離地面的條件是什么？

kxomg

例題3.1

開(kāi)始，彈簧原長(zhǎng)，物體m觸地。將彈簧緩慢提起，到物體m剛能脫離地面時(shí)止，求此過(guò)程中外力作的功。

61完成積分得：

=10(m/s)。

解

例題3.2

質(zhì)點(diǎn)(m=4kg)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng),fx=(2x+5)

(SI),初速o

=5i(m/s);求從x=0運(yùn)到x=10(m)力的沖量。=20(N.m)I的方向:x軸正方向。62

解

例題3.3

質(zhì)點(diǎn)(m=0.4kg)靜止,受力f=2ti(N),求前2s內(nèi)合外力的功。=20J63

解

因:x=acost,y=bsint

當(dāng)t=0時(shí)，x=a,

y=0;

當(dāng)t=/(2)時(shí)，x=0,y=b。

合外力的功為合外力:=-m2(xi+yj)分力：Fx=-m2x,Fy=-m2y

例題3.4質(zhì)點(diǎn)m位矢

(SI),式中a、b、是正值常數(shù)，且a>b。求：t=0到t=/(2)合外力的功及分力Fx、Fy的功。64

分力Fx、Fy的功為

(1)顯然合外力的功等于分力的功之和：

(2)合外力的功也可由動(dòng)能定理直接求出。Fx=-m2xFy=-m2y65由動(dòng)能定理得合外力的功為當(dāng)t=0時(shí)，o=bj,大小:o=b;當(dāng)t=/(2)時(shí),=-ai,大小=a

。66

解

法向：(1)

切向：(2)

ooNfr

例題3.5

光滑水平面上有一粗糙的固定半圓形屏障?；瑝Km以o進(jìn)入屏障，求滑塊滑過(guò)屏障過(guò)程中，摩擦力的功。(滑塊與屏障摩擦系數(shù)為μ)

N不作功，只有摩擦力作功。67得：d=-μd摩擦力的功為ooNfr68

質(zhì)點(diǎn)m沿曲線L從a到b(高度分別為ha和hb)，重力對(duì)m作的功為

重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān),而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的實(shí)際路徑形狀無(wú)關(guān)。C重力的功

Labmghbhaoyx-1.保守力作功的特點(diǎn)二.保守力場(chǎng)中的勢(shì)能69小球ab，彈性力的功為

彈性力的功只與運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與其經(jīng)過(guò)的實(shí)際路徑形狀無(wú)關(guān)。彈性力的功xa

(原長(zhǎng))oxbabx70

質(zhì)點(diǎn)m在M的引力場(chǎng)中,由a點(diǎn)到b點(diǎn),萬(wàn)有引力對(duì)質(zhì)點(diǎn)m所作的功為萬(wàn)有引力的功也只與質(zhì)點(diǎn)始末位置有關(guān),而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的實(shí)際路徑形狀無(wú)關(guān)。萬(wàn)有引力的功注意：dscos(-)=dr。mrarbabMrfdrds71保守力F保沿任意閉合路徑L所作的功總為零,亦即上式表明：保守力的環(huán)流(沿任意閉合路徑L的線積分)為零。2.保守力和非保守力

如果一個(gè)力的功只與與運(yùn)到的始末位置有關(guān),而與路徑形狀無(wú)關(guān)，這種力稱為保守力。

相應(yīng)的力場(chǎng)稱為保守力場(chǎng)。否則叫做非保守力。顯然重力、彈性力、萬(wàn)有引力都是保守力。72重力的功彈性力的功引力的功

定義：Epa是系統(tǒng)在位置a的勢(shì)能;

Epb是系統(tǒng)在位置b的勢(shì)能。3.勢(shì)能的定義73表示:系統(tǒng)在位置a的勢(shì)能等于系統(tǒng)從該位置移到勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)保守力作的功。

原則上講，勢(shì)能的零點(diǎn)是可以任意選擇的，因此勢(shì)能僅具有相對(duì)的意義。即:保守力的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值。

若取b點(diǎn)為零勢(shì)點(diǎn)，則系統(tǒng)在位置a的勢(shì)能為

74關(guān)于勢(shì)能：1.只有保守力才能引入勢(shì)能2.勢(shì)能屬于系統(tǒng)，能量?jī)?chǔ)存于力場(chǎng)中3.勢(shì)能是相對(duì)量，勢(shì)能差是絕對(duì)量4.力和勢(shì)能的關(guān)系：（垂直于等勢(shì)面）75重力勢(shì)能

(1)零勢(shì)面可任意選擇。

(2)重力勢(shì)能為

Ep=±m(xù)gh

(3)彈性勢(shì)能總是正值。彈性勢(shì)能

(1)規(guī)定彈簧無(wú)形變時(shí)的勢(shì)能為零。

(2)彈簧伸長(zhǎng)(或壓縮)x時(shí)的彈性勢(shì)能為xx

(原長(zhǎng))aok4.勢(shì)能零點(diǎn)的選擇76xo

(原長(zhǎng))oxabx如選x=xo處為勢(shì)能零點(diǎn)，則彈性勢(shì)能77

(1)取無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)。

(3)引力勢(shì)能總是負(fù)值。應(yīng)當(dāng)注意：勢(shì)能是屬于系統(tǒng)的。引力勢(shì)能

(2)M、m相距r時(shí)的引力勢(shì)能:Ep=±m(xù)ghrfMdrm78

對(duì)mi：系統(tǒng)動(dòng)能定理：外力的功與內(nèi)力的功之和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。寫(xiě)成：A內(nèi)

+

A外=

Ek

—

Ek0三.系統(tǒng)動(dòng)能定理f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn79系統(tǒng)動(dòng)能定理：

A內(nèi)+A外=

Ek-

Ek0四.功能原理A內(nèi)=A保守內(nèi)力+A非保守內(nèi)力

E=Ek+Ep是系統(tǒng)的機(jī)械能。系統(tǒng)外力和非保守內(nèi)力的功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。功能原理A外+A非保守內(nèi)力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)80五.機(jī)械能守恒定律

A外+A非保守內(nèi)力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)

如果外力的功與非保守內(nèi)力的功之和為零(即A外+A非保守內(nèi)力=0)時(shí),則Ep+Ek=恒量這一結(jié)論稱為機(jī)械能守恒定律。

1.機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系。

2.在某一慣性系中機(jī)械能守恒，并不能保證在另一慣性系中機(jī)械能也守恒。因?yàn)锳非保守內(nèi)力雖然與參考系的選擇無(wú)關(guān)，但A外卻取決定于參考系的選擇。

81

名稱碰撞前后相碰物體有無(wú)動(dòng)能損失形變能否恢復(fù)彈性碰撞無(wú)動(dòng)能損失形變能完全恢復(fù)非彈性碰撞有部分動(dòng)能損失形變能部分恢復(fù)物體碰后分離完全非彈性碰撞有部分動(dòng)能損失形變完全不能恢物體碰后不分離復(fù)六.

碰撞的分類(lèi)82

例題3.6

鏈條(長(zhǎng)L、質(zhì)量m)靜止，下垂長(zhǎng)度a。鏈條與桌面：μ，求鏈條末端離開(kāi)桌面時(shí)的速率。

解摩擦力(變力)的功：A外+A非保守內(nèi)力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)

有一定形狀大小的物體，計(jì)算重力勢(shì)能和重力的力矩時(shí)可將其質(zhì)量集中在質(zhì)心，從而當(dāng)作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)處理。aL-aox83

取桌面為零勢(shì)面，由功能原理:解得L-aaox84

例題3.7

光滑地面,靜止小車(chē)M，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩將小球m懸掛于o點(diǎn)。把繩拉直，將小球由水平位置靜止釋放，求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速率。

解小球受兩個(gè)力：繩的張力T，重力mg。解得：這個(gè)解法對(duì)嗎？oLmMTmg因?yàn)樾∏蚶@o點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)，張力T與運(yùn)動(dòng)方向垂直，因此它不作功，只有重力(保守力)作功，所以機(jī)械能守恒：錯(cuò)!85一是小車(chē)是非慣性系(有加速度)，機(jī)械能守恒定律是不成立！系統(tǒng)(小車(chē)、小球和地球):一對(duì)內(nèi)力(張力T)作功之和為零，只有保守內(nèi)力—重力作功，則該系統(tǒng)機(jī)械能守恒。VoLmMTmg(1)這里有兩個(gè)錯(cuò)誤:二是機(jī)械能守恒條件中的功，應(yīng)該在慣性系中計(jì)算。在慣性系(地面)上看,張力T要作功,小球的機(jī)械能是不守恒的。86(1)系統(tǒng)動(dòng)量守恒嗎？豎直方向的動(dòng)量顯然不守恒，只有在水平方向(根本不受外力)動(dòng)量守恒

0=MV-m

(2)

解得小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速率為VoLmMTmg87

例題3.8

半球面(R

、M),球面和地光滑，m、M靜止，若在角處m開(kāi)始脫離球面，試求：