北師大版數(shù)學八年級上冊全冊各章知識點總結

北師大版《數(shù)學》（八年級上冊）知識點總結第一章勾股定理1、勾股定理（1）直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即（2）勾股定理的驗證：測量、數(shù)格子、拼圖法、面積法，如青朱出入圖、五巧板、玄圖、總統(tǒng)證法……（通過面積的不同表示方法得到驗證，也叫等面積法或等積法）（3）勾股定理的適用范圍：僅限于直角三角形2、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關系，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……規(guī)律：（1），短直角邊為奇數(shù)，另一條直角邊與斜邊是兩個連續(xù)的自然數(shù)，兩邊之和是短直角邊的平方。即當a為奇數(shù)且a＜b時，如果b+c=a2那么a,b,c就是一組勾股數(shù).如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶數(shù)，2n(n＞1)都可構成一組勾股數(shù)分別是：2n,n2-1,n2+1如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……4、常見題型應用：（1）已知任意兩條邊的長度，求第三邊/斜邊上的高線/周長/面積……（2）已知任意一條的邊長以及另外兩條邊長之間的關系，求各邊的長度找最長邊；b.比較長邊的平方與另外兩條較短邊的平方和之間的大小關系；c.確定形狀（4）構建直角三角形解題例1.已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為10。求直角三角形的兩直角邊。解：設兩直角邊為3x，4x，由題意知：∴x=2，則3x=6，4x=8，故兩直角邊為6，8。中考突破（1）中考典題例.如圖（1）所示，一個梯子AB長米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為米，梯子滑動后停在DE位置上，如圖（2）所示，測得得BD=米，求梯子頂端A下落了多少米思維入門指導：梯子頂端A下落的距離為AE，即求AE的長。已知AB和BC，根據勾股定理可求AC，只要求出EC即可。解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=，∴AC=2∵BD=，∴CD=2∴EC=答：梯子頂端下滑了米。點撥：要考慮梯子的長度不變。例5.如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積。思維入門指導：求面積時一般要把不規(guī)則圖形分割成規(guī)則圖形，若連結BD，似乎不解：連結AC，在Rt△ADC中，在△ABC中，AB2=1521答：這塊地的面積是216平方米。點撥：此題綜合地應用了勾股定理和直角三角形判定條件。第二章實數(shù)基本知識回顧1.無理數(shù)的引入。無理數(shù)的定義無限不循環(huán)小數(shù)。一、實數(shù)的概念及分類1、實數(shù)的分類正有理數(shù)有理數(shù)零有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)實數(shù)負有理數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負無理數(shù)2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如π/3+8等；（3）有一定規(guī)律，但并不循環(huán)的數(shù)，如…等；（4）某些三角函數(shù)值，如sin60o等二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值1、相反數(shù)實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、絕對值在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值。（|a|≥0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。3、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。4、數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時要真正掌握數(shù)形結合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應的，并能靈活運用。5、估算利用非負數(shù)解題的常見類型例1.解：點撥：利用算術平方根，絕對值非負性解題。三、平方根、算數(shù)平方根和立方根1、算術平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術平方根。特別地，0的算術平方根是0。表示方法：記作“”，讀作根號a。性質：正數(shù)和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數(shù)a的平方根記做“”，讀作“正、負根號a”。性質：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。注意的雙重非負性：被開方數(shù)與結果均為非負數(shù)。即a≥0，3、立方根一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3=a那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）。表示方法：記作性質：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。注意：，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。四、實數(shù)大小的比較1、實數(shù)比較大小：正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)；數(shù)軸上的兩個點所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設a、b是實數(shù)，（3）求商比較法：設a、b是兩正實數(shù)，（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數(shù)，則（5）平方法：設a、b是兩負實數(shù)，則。。（6）倒數(shù)法：設a、b是同正,如果1/a＞1/b，則a＜b;同負，如果1/a＞1/b，則a＞b五、算術平方根有關計算（二次根式）1、含有二次根號“2、性質：”；被開方數(shù)a必須是非負數(shù)。（1）（2）（3）（）（4）（）3、運算結果若含有“”形式，必須滿足：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式六、實數(shù)的運算（1）六種運算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實數(shù)的運算順序先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。（3）運算律加法交換律加法結合律乘法交換律乘法結合律乘法對加法的分配律例.計算：通過以上計算，觀察規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示上面規(guī)律的等式___________。解：規(guī)律：第三章圖形的平移與旋轉一、平移1、定義：在平面內，將一個圖形整體沿某方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。2、要素（或條件）：方向，即前后對應點的射線方向；距離，即對應點之間的距離3、性質：平移前后兩個圖形的形狀和大小不變（即全等圖形），對應點連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應線段平行（或在同一條直線上）且相等，對應角相等。4、平移作圖：線段的平移作法：作法1：將線段兩端點分別平移，然后將兩個平移后的點連成線段，即為原線段平移后的線段；作法2：將線段一端點平移，然后過平移后的點作原線段的平行線，在該平行線適當方向截取長度為指定線段長度，則所得線段為所求.二、旋轉1、定義：在平面內，將一個圖形繞某一定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉，這個定點稱為旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。2、要素（或條件）：旋轉中心（定點）、旋轉方向（順時針/逆時針）、旋轉角度（0~3600）3、性質：旋轉前后兩個圖形是全等圖形，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線所成的角等于旋轉角。4、旋轉作圖：（1）作圖步驟：觀察基本圖案（確定關鍵點）——確定旋轉的三要素——找到對應點——連接對應點——作答（2）旋轉作圖的方法：1、把各關鍵點依次與旋轉中心連接2、按要求向順時針/逆時針旋轉相應角度3、截取對應線段4、連接對應點5、作答三、簡單的圖案設計：第四章四邊形性質探索一、四邊形的相關概念1、四邊形：在同一平面內，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。2、四邊形具有不穩(wěn)定性3、四邊形的內角和定理及外角和定理四邊形的內角和定理：四邊形的內角和等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。推論：多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于(n-2)×180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。6、設多邊形的邊數(shù)為n，從n邊形的一個頂點出發(fā)能引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三角形。多邊形的對角線共有二、平行四邊形條。1、平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。常用點：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線之間的距離（平行線間的距離處處相等）兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。5、平行四邊形的面積：S平行四邊形=底邊長×高=ah三、菱形1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質（1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3、菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半四、矩形1、矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質（1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四個角相等，都是直角（3）矩形的對角線相等且互相平分（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。3、矩形的判定（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積：S矩形=長×寬=ab五、正方形（3~10分）1、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質（1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個角都是直角（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。3、正方形的判定判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積設正方形邊長為a，對角線長為bS正方形=例1.菱形的周長為20cm，相鄰兩內角的比為1：2，求菱形的面積解：如圖所示，菱形ABCD，由于周長為20cm，∴AB=5cm過點A作BC的垂線，垂足為E，則∠BAE=30°另一種解法：如圖所示，連結AC、BD，相交于點O?！唷鰽BC是等邊三角形，∴AC=5點撥：菱形的兩種求面積的方法都比較常用，注意根據題中所給的條件靈活選擇。有時要與一些特殊角，比如30°、60°角的特殊性質聯(lián)系起來。六、梯形（一）1、梯形的相關概念一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。2、梯形的判定（1）定義法：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。（2）一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。（二）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分類如下：一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補,不同底的兩個角互補。（3）等腰梯形的對角線相等。（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）（四）梯形的面積（1）如圖，（2）梯形中有關圖形的面積：①；②③；七、有關中點四邊形問題的知識點：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；八、中心對稱圖形1、定義在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉前后的圖形