暑假?gòu)?qiáng)化高數(shù)講義

考研我絕不認(rèn)為了理想，我們把愛(ài)情放----不到最后，我絕不認(rèn)20167月于極限的概念定

—極限①概 ②計(jì) ③應(yīng)limn

a0 0nN時(shí),

xn

xx

fx)A00，當(dāng)0

xx

時(shí),

f(x)

考點(diǎn)歸納xx0,的理 【例1】I=limln(1ex)

xxx

arctan

Ikx0ln(1ex

π x 1sin(x2sin1【例2】求極限 x fx),A,①局部保2n【例3】設(shè)limnn

a,且a0n充分大時(shí)有（Aan

Bana2a

Ca2a

a1n

D

a1n②局部有4】函數(shù)fx

xsin(x2

在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界（x(x1)(x2A1,0 B0,1 C1,2 D2,3函數(shù)極限的計(jì)算【例5】x0arctansin2xln1x2是比ex1tanxn1xn1cossin 1是比ln2esin2x 1xn1cos【例6】求極限x

tan(tanx)sin(sinx)x(cosxcos2xx t2(et1)td【例7】求極限 1 x x2ln(11x【例8】lim4x4x3sinx

lnxex3x33x3x2x lim

xsin2x231【例】求極 31x2 21【例10】求極 lnxlimxx 1 【例10】求極 【例11設(shè) axsin limfx1fx,其中函數(shù)fx可導(dǎo)且limfxc xln1t3 求abc的值數(shù)列極限的計(jì)算利用函數(shù)極限求數(shù)列極限 x, n

f(xn)xx

f(x 【例12】求極限lim12n3nnsinnn利用定理求數(shù)列極限gxfxhxlimgx

hxA，有

xxxxx xx

xxxxynxnznlimynlimzna，有l(wèi)imxn 【例13】求極限lim

. ni1nindd d【例14（I）求解微分方程

xxyxexy

fx為上述方程的解，證明： fxdx n0n2x2 若xn單調(diào)有界，數(shù)列xn必有極限15】設(shè)數(shù)列xn滿(mǎn)足0x1πxn1sinxnn12

證明limx存在，并求該極限；（II）計(jì)算 xn

n

n

xn【例16（I）xnxn1x1（n為大于1的整數(shù)）在區(qū)間1,1 記（I）x，證明 n

xn存在，并求此極限極限的應(yīng)用連續(xù)性與間斷點(diǎn)連續(xù)limy0limfxfx0 x間斷——第一類(lèi)間斷點(diǎn)（跳躍、可去、第二類(lèi)間斷點(diǎn)（無(wú)窮、振蕩 x3 sinπx

x 【例17】設(shè)f(x)=x22x x0 x x漸近線——x18】y=1ln1ex的漸近線的條數(shù)為（xA0 B1 C2 D3【例19】x3y33axy0的斜漸近線導(dǎo)數(shù)與微分定義導(dǎo)數(shù)定義：

二一元函數(shù)微分學(xué)①定 ②計(jì) ③應(yīng)fx0 fx0xfx0令xx0x fxfx0xfx0存在

fx0fx0

xx xx11】已知函數(shù)fx1

x x1n1,2則（ n Ax0是fx的第一類(lèi)間斷點(diǎn) Bx0是fx的第二類(lèi)間斷點(diǎn)C

fx在x0處連續(xù)但不可導(dǎo) D

fxx0處可導(dǎo)【例2】fx

，則f(x)在,內(nèi) n1xnx2n 2An1xnx2n 2C恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) D至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)【例3fx在x,yfxyexfyeyfx且f01fx微分定義若fx0xfx0Axx，則y fx在xx0處可微，微分dyAxfx0【例4】設(shè)函數(shù)f(u)可導(dǎo)，yfx2當(dāng)自變量x在x1處取得增量x0.1時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量y的線性主部為0.1,則f(1) 導(dǎo)數(shù)計(jì)算與應(yīng)用導(dǎo)數(shù)計(jì)算【例5】設(shè)函

xff(x)=

1,xx 0,0，討論,滿(mǎn)足何種關(guān) x①fx)x0處連續(xù)；②fx)x0處可導(dǎo)；③fxx0處連續(xù)x【例6fx)x

etdtfx)xf1yy0dx dyy0

d2dd2dy

7】yln1x2xsin2xynxn28】fxx21nfn1導(dǎo)數(shù)應(yīng)用①單調(diào)性與極值1單調(diào)性的判別及極值定義取極值的必要【例9yfx由方y(tǒng)3xy2x2y60fx的極值【例10】已知函數(shù)fx的二階導(dǎo)數(shù)fx如圖所示，已知f02，則fx的極值點(diǎn)個(gè)數(shù) ②凹凸性與拐點(diǎn)1凹凸性的判別及拐點(diǎn)【例11】yx1x22x33x44的拐點(diǎn)是（A1,0 B2,0 C3,0 D4,0③切線與1【例12】x1,3時(shí)，有kxblnxI3kxblnxdx取最小值的kb1④曲率與曲率半徑（數(shù)一、數(shù)二【例13】曲線L的極坐標(biāo)方程是r,則L在點(diǎn)r,,處的曲率半徑 【例14】設(shè)某商品的最大需求量為1200件，該商品的需求函數(shù)QQ 120

0，p為單價(jià)（萬(wàn)元p100萬(wàn)元時(shí)的邊際收益，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義概念不定積分（1）定xI,Fx

三一元函數(shù)積分①概 ②計(jì) ③應(yīng)fx,則稱(chēng)FxfxI上的原函fx的全體原函數(shù)稱(chēng)fxI上的不定積分，記作fxdx=FxC①區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)②區(qū)間上含第一類(lèi)間斷點(diǎn)、無(wú)窮間斷點(diǎn)的函數(shù)必沒(méi)有原函數(shù)1】求lnxdx定積分 定義afxdxlimfiximaxxi

bfxdxlim

f(abai)b ni 1 【例2】設(shè)x n2i2n，求limx

i

b幾何意義：定積分b

fxdxyfx,xa,xb和，它僅僅表示一個(gè)數(shù)【例3】I

kex2sinxdxk1,2,3則有 0AI1I2I3 BI3I2I1 CI2I3I1 DI2I1I30①充分條件：

fx在ab連續(xù)fx在ab可積fx在ab上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則fx在ab可積②必要條件：fx在ab可積，則fx在ab有界x變限積分xF1x

ftdt，

x

tdt， 2xb b

tdaafx在ab上連續(xù)，則它fx在aba即fxdxa

ftdtC微積分基本定理：①若fx連續(xù)Fx可導(dǎo)（考過(guò)證明fx可積Fx連續(xù)xftdt

fxx

2xf

tdtfxx fxx②

1

x ③xgxftd gx ftd agxxftdtgxfxxa反常積分 定義： fxdx（無(wú)限區(qū)間；afxdx 函數(shù)①通過(guò)計(jì)算 收 發(fā) fxdxFx 不發(fā) afxdxFxa 發(fā)②通過(guò)比較審斂法1 xp p1 0xp 發(fā)散 p 1 發(fā)散1dx1 xp p1 0xp 發(fā)散 p 1 發(fā)散 【例4】下列反常積分收斂的個(gè)數(shù) 1 d 2 dx

ln

1x21x13 dx 4 d 0q1,p111sin xpx【例5】yxy2yky0，其中0k

yxdx收斂0綜合概念?函數(shù)fx在a,b上有原函數(shù) fx在a,b上可?Fxfx的一個(gè)原函Fx是偶函數(shù)fx是奇函?Fx是奇函數(shù)fx????Fx是周期函數(shù)fx是周期函數(shù)Fx是單調(diào)函數(shù)fx是單調(diào)函數(shù)Fx是有界函數(shù)fx是有界函數(shù)???6】

xx0x0是其第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則xftdt0A在x0處連續(xù)但不可導(dǎo)的偶函數(shù) B在x0處可導(dǎo)的偶函數(shù)C在x0處間斷的奇函數(shù) D在x0處可導(dǎo)的奇函數(shù)計(jì)算型ex【例7】求【例8】

dxex1arctanxdx01xx【例9】計(jì)算x

fx

dxfx

xln1t

dt x22【例10】求x22 x1πxsinxarctane【例11】求 1cos2 dx1【例12】1

e2

ddcos(ln )ddx

dxn為正整數(shù)x【例13】設(shè)

x

x2x2

sintdfxπfx的值域 【例14（I）證明定積分公式In 2sinnxdx( 2cosnxdx n1n331 n為正偶數(shù)n n （II）求極限lim2sinnn

1n n為大于1的正奇數(shù) n 應(yīng)用型幾何應(yīng)用——平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積、函數(shù)平均值、平面曲線弧長(zhǎng)（數(shù)一、數(shù)二旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積（數(shù)一、數(shù)二、已知平行截面面積的體積（數(shù)一、數(shù)二D的面ADxe旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V物理應(yīng)用（數(shù)一、數(shù)二a變力做功：WbFxaFkrx2y22y(y1x22

y21(y1)連接而成2（長(zhǎng)度單位為mg，水的密度為103kg/m3一階微分方程

四微分方程①概 ②計(jì) ③應(yīng)可分離變量方 dyfxgy fx gy齊次方 dy

yfxf【分析】令uy,則yuxdyduxuduxufu fuu

x

fu

lnx一階線性方程

ypxyq【分析】湊積分因子epxdxepxdxypxyepxdxqxyepxdxepxdxqx yepxdxepxdxqxdxC 伯努利方程（數(shù)一

dypxyqxynn0,n

【分析】zy1n

1nyn

1npxz1nq 全微分方程（數(shù)一 Px,ydxQx,ydy0PQ 可降階方程（數(shù)一、數(shù)二（1）yfx,y（不顯y【分析】yppfx,（2）yfy,y（不顯x【分析】ypypdppdpfy,p 【例1】求解下列微分1ysinxysinxy2xyylnxlny0

xx3ydxx3y2dy0

x14yyy20滿(mǎn)足 1,y x

x 高階線性微分方程二階常系數(shù)線性齊次方程二階常系數(shù)線性非齊次方

ypyqyypyqy

fx【例2】設(shè)yex, exe12x, exex是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特 求該微分方程的通解及方程【例3】y3y2yexcosx2xex的通解其他方程歐拉方程（數(shù)一 xnyna1xn1yn1an1xyanyfx【分析】xettlnxxyDy,x2yDD1y,x3yDD1D2yxnynDD1D2Dn1yPnDyfet--y關(guān)于t的n階常系數(shù)線性微分方程2d2y4xd【例4】求歐拉方程

dx

6yxx0的通解d差分方程（數(shù)三 yt1aytft特征方程a0ayCatC為任意常數(shù)（2）yt1aytftyyt t m Qt q特征根t t m 若f q,設(shè)非齊次特解為y tQt q特征根 【例5】yt1ytt2t的通解微分方程應(yīng)用體和介質(zhì)的溫差成正比.現(xiàn)將一初始溫度為120C20C30min30C21C五中值定理①中值定 ②方程 ③不等中值定理的證明閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)——微分中值定理——積分中值定理——【例1】fx在11上具有二階導(dǎo)數(shù)f11，證（I）存在01,f（II）存在1,1,使得 f1【例2】設(shè)函數(shù)fx在0,2上連續(xù)，在0,2內(nèi)二階可導(dǎo)，證（I）當(dāng)fxf0f20f0f20，存在0,2，使ff （IIfx滿(mǎn)足lim1cosx0和21fxdxf2時(shí)，存在0,2使得fx 【例3】fx在區(qū)間aaa0上具有二階f0fx證明在a,a上至少存在一點(diǎn),使a3 3

fxdx方程根的討論存在性——零點(diǎn)定理唯一性——單調(diào)性個(gè)數(shù)判斷——函數(shù)性【例4】karctanxx0k為參數(shù) f0 2 2 2x （I）求fx在區(qū)間0,3上的平均（II）證明fx在區(qū)間0,3存在唯一零點(diǎn) 2 2 不等式的證明函數(shù)不等式證明——單調(diào)性【例6】fx,gx在區(qū)間ab上連續(xù)fx單調(diào)增0gxa證明：（I）0xgtdtxaxaba （II）aagtdtfxdx bfxgxdx 積分不等式證明——定積分幾何法【例7（I）ln1n111

1ln1nn 1（II）求極限lim n 1.n n概念型極限存在y

六多元函數(shù)微分學(xué)①概 ②計(jì) ③應(yīng)x y2200fxyAx y2200fx,yA①估計(jì)（準(zhǔn)則

求法：正面肯定②轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)極限(無(wú)窮小有界變量=無(wú)窮??；等價(jià)無(wú)窮小替③連 xy

fx,yfx0,y0偏導(dǎo)數(shù)存在

fx,ylimfx0x,y0fx0,y0limfx,y0fx0,y00 xx x0 fx,ylimfx0,y0yfx0,y0limfx0,yfx0,y0yx0,y0

x2y

yy yxy ,x,y0,0【例1】fxy

x20

y f0,0,f0,0 x,y0,0 可若全增量zfx0xy0yfx0y0AxBylimzAxBy0fx,y在x,

x2x2yx2yAfxyBfx2y x0,

fxx0,y0dxfyx0,y0【例2】fx,y在0,0處連續(xù)，那么下列命題正確的是（A若極限

fx,0f0,00,

0,fx,y在00處可微f0,yff0,yf0,0B若極限limfx0f00limf0yf00fx,y在00處可微x0 fx,y

C若極限x

0fx,y在00處可微x2fx2D若極xy

2

fx,y在00處可微E若極限limfxyfx,y在00處可微xy

x

fx,y Ffx,y在00 xy

x

存在 xG若fx,y在0,0處可微，則極限 fx,y xxy偏導(dǎo)數(shù)連 xy

fxx,yfxx0,y0，xxy

fyx,yfyx0,y0計(jì)算與應(yīng)用型復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則zfux,vy,wx,yzzduz u w極值與最值0極值A(chǔ)0fxy fx0y A0充分條件： ,記fxxx,y0B,則=ACB2 fx,y fx,y

0 0方法失效必要條fxx0y00fyx0y0條件極值：作函數(shù)Fx,yz,fx,yzxyzx,yz得駐點(diǎn)FxFyFzFF0，即求得所有可能極值點(diǎn)最 最大值:max區(qū)域內(nèi)可能極值,邊界上最值最小值:min區(qū)域內(nèi)可能極值,邊界上最值【例3】已知函數(shù)fx,y在點(diǎn)0,0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且

fx,y

1，則（A點(diǎn)00fx,y的極值點(diǎn)

x

x

y2B點(diǎn)00C點(diǎn)00是

x,y的極大值點(diǎn)x,y的極小值點(diǎn)D根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)00是否fx,y的極值點(diǎn)【例4】fx,y具有二階連續(xù)偏gx,yfexyx2y2x12y且fx,y1x12y證明：gx,y在點(diǎn)00處取得極值，判定其是極大值還是極小值，并算出此極值【例5zfx,y的全微分dz2xdx2ydyf112fx,y y 橢圓域Dx,y 1上的最大值和最小值 二重積分基本概念

七二重積分①概 ②計(jì)

fx,ydlimfn,max 0iD幾何意義：二重積分fx,yd表示以區(qū)D為底，曲zD

fx,y的代數(shù)和1】設(shè)區(qū)D1x,y

x2y

1，D2x,y

x2y22D3x,y 2 2， x,y2 y2 44記 (1x21y2)dxdyk1,2,3,4，則maxI,I,I,I 2 2

【例2】設(shè)D是xOy平面上以1,1,1,1和1,1為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，則xycosxsinydxdy等于（ DA2cosx

ydxdy B2xydxdyDC4xycosx

ydxdy D0【例3】fx單調(diào)增加,f01,f12,f1xfx互為反2f1xdx22 求（I）0fxdx （II）0dxxfxfydy二重積分計(jì)算定限：2x直角坐標(biāo) fx,ydb fx,ydyxyx,ax2x1 1Dyfx,ydd fx,ydxyxy,cyy121 D

r極坐標(biāo) fx,ydD

frcos,rdfx,ydd

frcos,r Dfx,yddr2frcos,rsin D【例4】二次積分

dy

2 e2 e2

)dx 【例5】交換二次積分的

2

frcos,rsinrdr x2y6】設(shè)平面Dxy1x2y24x0x2yD計(jì)算D

xsinx

dxdy

rd，其11r2cosD r,0rsec,0 4級(jí)數(shù)概念級(jí)數(shù)定義

八無(wú)窮級(jí)數(shù)①數(shù)項(xiàng)級(jí) ②冪級(jí) ③傅里葉級(jí)數(shù)（數(shù)一u1u2u3unun，稱(chēng)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)斂散性nSnuiu1u2u3uni若limSS存在，則級(jí)數(shù)收斂，反之發(fā)散 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)——重要級(jí) ①

收q 發(fā) 收②np

p 發(fā) n11 p 絕對(duì)收③

np0p 條件收1或1, 收 nln

其 發(fā)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性0 u含有n!或關(guān)于n

若1n 含有以n為指數(shù)冪的因子【例1】判斷下列級(jí)數(shù)斂1 21 2cos n nn n1 lnenn2 13n

n2ln 4lnnlnsinn【例2】設(shè)數(shù)列a,b滿(mǎn)足0 π,0bπ cosa cos

且級(jí)數(shù)n

收斂（I）limn

0 an收斂nn1n交錯(cuò)級(jí)數(shù)——萊布尼茨判【例3】判別級(jí)數(shù)n

1

kn1kn1任意項(xiàng)級(jí)數(shù)—— 1n【例4】已知級(jí)數(shù)1 sin 絕對(duì)收斂，級(jí)數(shù) 條件收斂，則的取值范nn

n

n25】已知函數(shù)fx可導(dǎo)f010fx12設(shè)數(shù)列xnxn1fxn(n1證明（I）級(jí)數(shù) x絕對(duì)收斂（II）limx存在，且0limx2 un收斂un1000 un收斂,vn收斂unvn unvn un收斂,vn發(fā)散unvn un發(fā)散,vn發(fā)散unvn unvn un收斂unun1收 un1unu2n1u2nu2n1u2nnlimu存在n

limun0

un收 un發(fā)散un0,vn發(fā)散vn0unvn 已知u0,u收斂 u2收

2

u2nn n u2n1u2nlimn2u0u u ② nn③n

1un收1un存在0使得limnunun

0unn

存在p1使得limnpu存在u 1n1u收斂u0u （）un收斂1un 1nun 2un2unun1收un 1n1

（12）

n收

2n（13）設(shè)pn

,qnununun un絕對(duì)收斂,則pn, un條件收斂,則pn,冪級(jí)數(shù)

收斂 冪級(jí)數(shù)所有收斂點(diǎn)的集合阿貝爾定理當(dāng)冪級(jí)數(shù)axnxxx0x

當(dāng)冪級(jí)數(shù)anxnxx0x00xx0x，冪級(jí)數(shù)發(fā)散收斂域求法.【例6】求出下列冪級(jí)數(shù).x1

2n

xn n2nx1n1

n

n 2n

n

3n

2n1冪級(jí)數(shù)展開(kāi)與求和 1 1n

1xxx 1x 1 11n

1xx1x 1xln1x

n1xnxx2

1n1xn 1x

x2 sinx12n1!x3!5!7!12n1! x nx2 ncosx12n!12!4!6!12n! x x ! !e 1x x 1n11x1x x

x，1x 在端點(diǎn)x1處的收斂性依【例7】將函數(shù)fx 2xx

dex1 d 【例8】 在x0處展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)n1d n

的和9】求冪級(jí)數(shù)n1n3xn的收斂域及和函數(shù)n【例10】求冪級(jí)數(shù)n

1xnn2

的和函數(shù)【例11】已知a nxsinxdxn1,2,，求lima1a2

an

n 2n 傅里葉級(jí)數(shù)（數(shù)一狄利克雷收斂定理設(shè)fx是以2l為周期的可積函數(shù)，如果在l,l上fx滿(mǎn)足fxSx，則 fx x為連續(xù)點(diǎn)Sxa0acos

,且Sxfx0fx0 x為第一類(lèi)間斷點(diǎn) l l n1 fl0fl0

x為端點(diǎn)函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)周2l的周期函數(shù)fx滿(mǎn)足狄利克雷收斂定理的條件，則它的傅里 fxSx2an bn ，其中系數(shù)an,bn分別 n1 1lfxcosnx n0,1,nl b1lfxsinnx n1,2, l （1）,,ll0202l上展開(kāi)奇（偶）函數(shù)的展開(kāi)，展開(kāi)為僅含正（余）弦項(xiàng)的級(jí)數(shù)非對(duì)稱(chēng)區(qū)間的函數(shù)需作奇或偶延拓后，展開(kāi)為正弦或余弦函數(shù)121【例12】設(shè)fxx ，bn20fxsinnπxdx(n1,2,121 9Sxbnsinnπx,