北京市順義區(qū)2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷

北京市順義區(qū)2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（4分）已知全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，則?UA＝（）A．{1，3} B．{5，7，9} C．{1，3，5，7，9} D．?2．（4分）設(shè)命題P：?x∈R，x+1≥0，則￢P為（）A．?x∈R，x+1≥0 B．?x∈R，x+1＜0 C．?x∈R，x+1＜0 D．?x?R，x+1≥03．（4分）已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A． B．a(chǎn)2＞b2 C．b﹣a＞0 D．|b|a＜|a|b4．（4分）三個(gè)實(shí)數(shù)a＝0.33，b＝20.3，c＝lg0.3的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b5．（4分）函數(shù)f（x）＝lnx+2x﹣3的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）6．（4分）“sinθ＝”是“θ＝”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（4分）單位圓⊙O圓周上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，10分鐘轉(zhuǎn)一圈，24分鐘之后，OP從起始位置OA轉(zhuǎn)過(guò)的角是（）A． B． C． D．8．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，角α，角β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，若，則sinβ＝（）A． B． C． D．9．（4分）中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至10000，則C大約增加了（）A．11% B．22% C．33% D．100%10．（4分）如圖，已知OPQ是半徑為r，圓心角為的扇形，點(diǎn)A，B，C分別是半徑OP，OQ及扇形弧上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不同于O，P，Q三點(diǎn)），則關(guān)于△ABC的周長(zhǎng)說(shuō)法正確的是（）A．有最大值，有最小值 B．有最大值，無(wú)最小值 C．無(wú)最大值，有最小值 D．無(wú)最大值，無(wú)最小值二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上．11．（5分）sin（﹣）＝．12．（5分）函數(shù)f（x）＝ln（x﹣1）+的定義域是．13．（5分）已知α是第三象限角，且cosα＝﹣，sinα＝．14．（5分）若函數(shù)f（x）在其定義域上單調(diào)遞增，且零點(diǎn)為2，則滿足條件的一個(gè)f（x）可能是．（寫出滿足條件的一個(gè)f（x）即可）15．（5分）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示的兩條線段組成，則下列關(guān)于函數(shù)f（x）的說(shuō)法：①f（f（1））＝3；②f（2）＞f（0）；③f（x）＝2|x﹣1|﹣x+1，x∈[0，4]；④?a＞0，不等式f（x）≤a的解集為．其中正確的說(shuō)法有．（寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16．（14分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|0＜x＜a}．（1）求A∪B，A∩B；（2）若A?C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．17．（14分）已知不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M．（1）若1∈M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0的解集．18．（14分）某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）滿足函數(shù)：R＝．（1）將利潤(rùn)P（x）（單位：元）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；（利潤(rùn)＝總收入﹣總成本）（2）若稱g（x）＝為月平均單件利潤(rùn)（單位：元），當(dāng)月產(chǎn)量x為何值時(shí)，公司所獲月平均單件利潤(rùn)最大？最大月平均單件利潤(rùn)為多少元？19．（14分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)x∈R時(shí)，求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求f（x）在上的最大值及最小值，并指出相應(yīng)x的值．20．（15分）已知函數(shù)是定義在（﹣2，2）上的奇函數(shù)．（1）確定f（x）的解析式；（2）用定義證明：f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上是減函數(shù)；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．21．（14分）設(shè)集合S?N*，且S中至少有兩個(gè)元素，若集合T滿足以下三個(gè)條件：①T?N*，且T中至少有兩個(gè)元素；②對(duì)于任意x，y∈S，當(dāng)y≠x，都有x?y∈T；③對(duì)于任意x，y∈T，若y＞x，則；則稱集合T為集合S的“耦合集”．（1）若集合S1＝{1，2，4}，求集合S1的“耦合集”T1；（2）若集合S2存在“耦合集”T2，集合S2＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1，求證：對(duì)于任意1≤i＜j≤4，有；（3）設(shè)集合S＝{p1，p2，p3，p4}，且p4＞p3＞p2＞p1≥2，求集合S的“耦合集”T中元素的個(gè)數(shù)．

答案與解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（4分）已知全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，則?UA＝（）A．{1，3} B．{5，7，9} C．{1，3，5，7，9} D．?【分析】進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可．解：∵U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，3}，∴?UA＝{5，7，9}．故選：B．2．（4分）設(shè)命題P：?x∈R，x+1≥0，則￢P為（）A．?x∈R，x+1≥0 B．?x∈R，x+1＜0 C．?x∈R，x+1＜0 D．?x?R，x+1≥0【分析】直接利用含有一個(gè)量詞的命題的否定方法進(jìn)行否定即可．解：命題P：?x∈R，x+1≥0，則￢P為?x∈R，x+1＜0．故選：C．3．（4分）已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A． B．a(chǎn)2＞b2 C．b﹣a＞0 D．|b|a＜|a|b【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．解：由實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可知，b＜a＜0，對(duì)于A，由b＜a＜0，可得＞，故A正確，對(duì)于B，由b＜a＜0，可得a2＜b2，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由b＜a，可得b﹣a＜0，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由b＜a＜0，可得|b|a＝|a|b，故D錯(cuò)誤．故選：A．4．（4分）三個(gè)實(shí)數(shù)a＝0.33，b＝20.3，c＝lg0.3的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】可得出0＜0.33＜1，20.3＞1，lg0.3＜0，然后即可得出a，b，c的大小關(guān)系．解：∵20.3＞20＝1，lg0.3＜lg1＝0，0＜0.33＜1，∴b＞a＞c．故選：B．5．（4分）函數(shù)f（x）＝lnx+2x﹣3的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)算法則，可得f（x）＝lnx+2x﹣3在（0，+∞）上是增函數(shù)，再通過(guò)計(jì)算f（1）、f（2）的值，發(fā)現(xiàn)f（1）?f（2）＜0，即可得到零點(diǎn)所在區(qū)間．解：∵f（x）＝lnx+2x﹣3在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2+1＞0，∴f（2）?f（1）＜0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可得函數(shù)f（x）＝lnx+2x﹣3的零點(diǎn)所在區(qū)間為（1，2）．故選：A．6．（4分）“sinθ＝”是“θ＝”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合三角函數(shù)從而得到答案．解：sinθ＝推不出θ＝，不是充分條件，θ＝推出sinθ＝，是必要條件，故選：B．7．（4分）單位圓⊙O圓周上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，10分鐘轉(zhuǎn)一圈，24分鐘之后，OP從起始位置OA轉(zhuǎn)過(guò)的角是（）A． B． C． D．【分析】利用一周為2π，然后求出每分鐘轉(zhuǎn)的弧度數(shù)，再求解24分鐘轉(zhuǎn)的弧度數(shù)即可．解：因?yàn)橐恢転?π，故10分鐘轉(zhuǎn)了2π，所以每分鐘就轉(zhuǎn)了，故24分鐘轉(zhuǎn)了，所以O(shè)P從起始位置OA轉(zhuǎn)過(guò)的角是．故選：D．8．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，角α，角β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，若，則sinβ＝（）A． B． C． D．【分析】設(shè)α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，n），則由題意β的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（n，m），利用任意角的三角函數(shù)的定義即可得解．解：∵在平面直角坐標(biāo)系中，角α，角β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，∴設(shè)α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，n），則β的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（n，m），∵cosα＝＝﹣，∴sinβ＝＝﹣．故選：D．9．（4分）中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至10000，則C大約增加了（）A．11% B．22% C．33% D．100%【分析】根據(jù)題意，信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，只需計(jì)算出信噪比10000比信噪比1000時(shí)提升的多少即可．解：由題意可知，c1＝Wlog2（1+10000）≈Wlog，c2＝Wlog2（1+1000）≈Wlog21000，故提升了＝＝，故選：C．10．（4分）如圖，已知OPQ是半徑為r，圓心角為的扇形，點(diǎn)A，B，C分別是半徑OP，OQ及扇形弧上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不同于O，P，Q三點(diǎn)），則關(guān)于△ABC的周長(zhǎng)說(shuō)法正確的是（）A．有最大值，有最小值 B．有最大值，無(wú)最小值 C．無(wú)最大值，有最小值 D．無(wú)最大值，無(wú)最小值【分析】將AC、BC分別關(guān)于半徑AP，AQ對(duì)稱的線段為AC″，BC′，將△ABC的周長(zhǎng)的最值轉(zhuǎn)化為三條線段BC′+AB+AC″的最值進(jìn)行分析求解即可．解：將AC、BC分別關(guān)于半徑AP，BQ對(duì)稱的線段為AC″，BC′，則△ABC的周長(zhǎng)L＝BC+AB+AC＝BC′+AB+AC″≥C′C″，當(dāng)C′，A，B，C″共線時(shí)取等號(hào)，故△ABC的周長(zhǎng)有最小值，最大值無(wú)限趨近△OPQ，但取不到，故無(wú)最大值．故選：C．二、填空題共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上．11．（5分）sin（﹣）＝﹣．【分析】由題意利用誘導(dǎo)該公式，計(jì)算求得要求式子的值．解：sin（﹣）＝﹣sin＝﹣，故﹣．12．（5分）函數(shù)f（x）＝ln（x﹣1）+的定義域是（1，2）∪（2，+∞）．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及分母不為0，求出函數(shù)f（x）的定義域即可．解：由題意得：，解得：x＞1且x≠2，故函數(shù)f（x）的定義域是（1，2）∪（2，+∞），故（1，2）∪（2，+∞）．13．（5分）已知α是第三象限角，且cosα＝﹣，sinα＝﹣．【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算求解．解：因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，且cosα＝﹣，所以sinα＝﹣＝﹣．故﹣．14．（5分）若函數(shù)f（x）在其定義域上單調(diào)遞增，且零點(diǎn)為2，則滿足條件的一個(gè)f（x）可能是f（x）＝x﹣2．（寫出滿足條件的一個(gè)f（x）即可）【分析】可知，f（x）＝x﹣2在定義域R上單調(diào)遞增，且零點(diǎn)為2，從而得出滿足條件的一個(gè)f（x）可能為：f（x）＝x﹣2．解：根據(jù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增，且f（x）的零點(diǎn)為2，可寫出一個(gè)f（x）＝x﹣2．故f（x）＝x﹣2．15．（5分）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示的兩條線段組成，則下列關(guān)于函數(shù)f（x）的說(shuō)法：①f（f（1））＝3；②f（2）＞f（0）；③f（x）＝2|x﹣1|﹣x+1，x∈[0，4]；④?a＞0，不等式f（x）≤a的解集為．其中正確的說(shuō)法有①③．（寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）【分析】直接利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步確定函數(shù)的值，利用函數(shù)關(guān)系式及賦值法的應(yīng)用判定①②③④的結(jié)論．解：根據(jù)函數(shù)的圖象對(duì)于①，f（f（1））＝3由于f（1）＝0，所以f（0）＝3，故①正確；對(duì)于②，根據(jù)函數(shù)的圖象f（2）＜3，且f（0）＝3，故f（2）＜f（0），故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，f（x）＝2|x﹣1|﹣x+1x∈[0，4]與f（x）＝，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)x∈[時(shí)，f（x）∈[0，2]，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）∈[0，1]，f（）＝2≠f（2），故④錯(cuò)誤；故①③．三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16．（14分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|0＜x＜a}．（1）求A∪B，A∩B；（2）若A?C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求A∪B，A∩B；（2）根據(jù)A?C，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|0＜x＜a}．∴A∪B＝{x|1＜x＜3}∪{x|2＜x＜4}＝{x|1＜x＜4}，A∩B＝{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x＜4}＝{x|2＜x＜3}，（2）若A?C，則a≥3．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥3}．17．（14分）已知不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M．（1）若1∈M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0的解集．【分析】（1）根據(jù)不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M，把x＝1代入求出a的取值范圍．（2）由題意知和2是方程ax2﹣5x+2＝0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值，再求不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0的解集．解：（1）不等式ax2﹣5x+2＜0的解集是M，由1∈M，所以a?12﹣5?1+2＜0，解得a＜3；所以a的取值范圍是（﹣∞，3）．（2）若M＝{x|＜x＜2}，則和2是方程ax2﹣5x+2＝0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得a＝2，所以不等式﹣ax2+（2a+3）x﹣6＜0，即為：﹣2x2+7x﹣6＜0，所以2x2﹣7x+6＞0，解得x＜或x＞2，所以不等式的解集為{x|x＜或x＞2}．18．（14分）某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收入R（單位：元）關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）滿足函數(shù)：R＝．（1）將利潤(rùn)P（x）（單位：元）表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；（利潤(rùn)＝總收入﹣總成本）（2）若稱g（x）＝為月平均單件利潤(rùn)（單位：元），當(dāng)月產(chǎn)量x為何值時(shí)，公司所獲月平均單件利潤(rùn)最大？最大月平均單件利潤(rùn)為多少元？【分析】（1）利用利潤(rùn)公式直接解出；（2）將g（x）表示出來(lái)，利用基本不等式，即可求解．解：（1）當(dāng)1≤x≤400時(shí)，P（x）＝400x﹣﹣20000﹣100x＝﹣；當(dāng)x＞400時(shí)，P（x）＝80000﹣100x﹣20000＝60000﹣100x；∴P（x）＝；（2）由（1）知，g（x）＝，當(dāng)1≤x≤400時(shí)，g（x）＝300﹣（）≤300﹣2×＝100，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝200時(shí)取等號(hào)；當(dāng)x＞400時(shí)，g（x）＝＜50，此時(shí)無(wú)最值；故x取200時(shí)，公司所獲月平均單件利潤(rùn)最大，最大為100元．19．（14分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)x∈R時(shí)，求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求f（x）在上的最大值及最小值，并指出相應(yīng)x的值．【分析】（1）直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小正周期和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步求出函數(shù)的最值．解：（1）函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z）．（2）由于，所以，故，當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣，當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)的最大值為．20．（15分）已知函數(shù)是定義在（﹣2，2）上的奇函數(shù)．（1）確定f（x）的解析式；（2）用定義證明：f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上是減函數(shù)；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得，f（0）＝0，代入可求m，進(jìn)而可求函數(shù)解析式；（2）先設(shè)﹣2＜x1＜x2＜2，然后利用作差法比較f（x1）與f（x2）的大小即可判斷；（3）結(jié)合f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上是減函數(shù)且為奇函數(shù)即可直接求解．解：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得，f（0）＝﹣＝0，故m＝0，f（x）＝，證明：（2）設(shè)﹣2＜x1＜x2＜2，則f（x1）﹣f（x2）＝＝＞0，所以f（x1）＞f（x2），故f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上是減函數(shù)；（3）因?yàn)閒（x）在區(qū)間（﹣2，2）上是減函數(shù)且為奇函數(shù)，由f（t﹣1）+f（t）＜0得f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），所以2＞t﹣1＞﹣t＞﹣2，解得，，故不等