三維設(shè)計(jì)空間向量的基本定理 Word版含答案

3.1.2空間向量的基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解共線向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.2.理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論，并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)).3.理解基底、基向量及向量的線性組合的概念．[自主預(yù)習(xí)·探新知]1．共線向量定理與共面向量定理(1)共線向量定理兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)x，使a＝xb.(2)向量共面的條件①向量a平行于平面α的定義已知向量a，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，如果a的基線OA平行于平面α或在α內(nèi)，則就說(shuō)向量a平行于平面α，記作a∥α.②共面向量的定義平行于同一平面的向量，叫做共面向量．③共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使c＝xa＋yb.2．空間向量分解定理(1)空間向量分解定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.(2)基底如果三個(gè)向量a，b，c是三個(gè)不共面的向量，則a，b，c的線性組合xa＋yb＋zc能生成所有的空間向量，這時(shí)a，b，c叫做空間的一個(gè)基底，記作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．表達(dá)式xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的線性表示式或線性組合．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．思考辨析(1)向量a，b，c共面，即表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面．()(2)若向量e1，e2不共線，則空間任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)．()[提示](1)×表示這三個(gè)向量的有向線段平行于同一平面．(2)×與e1，e2共面的任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)．2．給出的下列幾個(gè)命題：①向量a，b，c共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使c＝xa＋yb；②零向量的方向是任意的；③若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3B[只有②為真命題．]3．若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z滿足的條件是________．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242244】x＝y(tǒng)＝z＝0[若x≠0，則a＝－eq\f(y,x)b＋eq\f(z,x)c，即a與b，c共面．由{a，b，c}是空間向量的一個(gè)基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.][合作探究·攻重難]向量共線問(wèn)題如圖3-1-11所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→)).求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．圖3-1-11[證明]設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c.∵eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→))，∴eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up8(→))，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up8(→)).∴eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(A1F,\s\up8(→))－eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up8(→))＝eq\o(EA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up8(→)).∴E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．[規(guī)律方法]判定兩向量共線就是尋找x使a＝xb(b≠0)成立，為此可結(jié)合空間圖形并運(yùn)用空間向量運(yùn)算法則化簡(jiǎn)出a＝xb，從而得a∥b.[跟蹤訓(xùn)練]1．如圖3-1-12所示，已知空間四邊形ABCD，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD上的點(diǎn)，且eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up8(→)).利用向量法求證四邊形EFGH是梯形．圖3-1-12[證明]∵E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，∴eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AH,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(EH,\s\up8(→))＝eq\o(AH,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up8(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up8(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up8(→))－eq\o(CF,\s\up8(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up8(→))，∴eq\o(EH,\s\up8(→))∥eq\o(FG,\s\up8(→))且|eq\o(EH,\s\up8(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up8(→))|≠|(zhì)eq\o(FG,\s\up8(→))|，又F不在EH上，∴四邊形EFGH是梯形.共面向量定理及應(yīng)用對(duì)于任意空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．試證：eq\o(EF,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))、eq\o(AD,\s\up8(→))共面.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242245】[思路探究]eq\x(分析題意)→eq\x(\a\al(利用向量的運(yùn),算法則表示\o(EF,\s\up8(→))))→eq\x(\a\al(利用中點(diǎn)關(guān)系尋求,\o(EF,\s\up8(→))、\o(BC,\s\up8(→))、\o(AD,\s\up8(→))的關(guān)系))→eq\x(\a\al(應(yīng)用向量共面,的充要條件))→eq\x(得出結(jié)論)[解]空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EA,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DF,\s\up8(→))，eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→)). ①又E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，故有eq\o(EA,\s\up8(→))＝－eq\o(EB,\s\up8(→))，eq\o(DF,\s\up8(→))＝－eq\o(CF,\s\up8(→))， ②將②代入①中，兩式相加得2eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)).所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))，即eq\o(EF,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))、eq\o(AD,\s\up8(→))共面．[規(guī)律方法]利用向量法證明四點(diǎn)共面，實(shí)質(zhì)上是證明的向量共面問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過(guò)程中要注意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系.[跟蹤訓(xùn)練]2．如圖3-1-13所示，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分別延長(zhǎng)PE，PF，PG，PH，交對(duì)邊于M，N，Q，R，并順次連接MN，NQ，QR，RM.應(yīng)用向量共面定理證明：E、F、G、H四點(diǎn)共面．圖3-1-13[證明]∵E、F、G、H分別是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R為所在邊的中點(diǎn)，順次連接M、N、Q、R，所得四邊形為平行四邊形，且有eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up8(→))，eq\o(PF,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up8(→))，eq\o(PG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up8(→))，eq\o(PH,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up8(→)).∵M(jìn)NQR為平行四邊形，∴eq\o(EG,\s\up8(→))＝eq\o(PG,\s\up8(→))－eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MQ,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(MR,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)(eq\o(PN,\s\up8(→))－eq\o(PM,\s\up8(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(PR,\s\up8(→))－eq\o(PM,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PF,\s\up8(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up8(→))))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PH,\s\up8(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up8(→))))＝eq\o(EF,\s\up8(→))＋eq\o(EH,\s\up8(→)).∴由共面向量定理得eq\o(EG,\s\up8(→))，eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(EH,\s\up8(→))共面，所以E、F、G、H四點(diǎn)共面.基底的判斷及應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．構(gòu)成空間向量的基底唯一嗎？是否共面？[提示]不唯一，不共面．2．怎樣理解空間向量基本定理？[提示](1)空間向量基本定理表明，用空間三個(gè)不共面已知向量組{a，b，c}可以線性表示出空間任意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是唯一的．(2)空間中的基底是不唯一的，空間中任意三個(gè)不共面向量均可作為空間向量的基底．(3)拓展：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))，當(dāng)且僅當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P、A、B、C四點(diǎn)共面．(1)若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，試判斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為該空間的一個(gè)基底．圖3-1-14(2)如圖3-1-14，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up8(→))＝a，eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，eq\o(AC,\s\up8(→))＝c，點(diǎn)M，N分別是BC′，B′C′的中點(diǎn)，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(AN,\s\up8(→)).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242246】[思路探究](1)判斷a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，則可作為一個(gè)基底，否則，不能作為一個(gè)基底．(2)借助圖形尋找待求向量與a，b，c的關(guān)系，利用向量運(yùn)算進(jìn)行分析，直至向量用a，b，c表示出來(lái)．[解](1)假設(shè)a＋b，b＋c，c＋a共面．則存在實(shí)數(shù)λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}為基底，∴a，b，c不共面．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ.))此方程組無(wú)解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作為空間的一個(gè)基底．(2)eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝b＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(c－b)＝b＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\o(A′B′,\s\up8(→))＋eq\o(B′N,\s\up8(→))＝eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\o(A′B′,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up8(→))＝a＋b＋eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up8(→))－eq\o(A′B′,\s\up8(→)))＝a＋b＋eq\f(1,2)(c－b)＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.母題探究：1.(變換條件)若把本例3(2)中的eq\o(AA′,\s\up8(→))＝a改為eq\o(AC′,\s\up8(→))＝a，其他條件不變，則結(jié)果又是什么？[解]eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝b＋eq\f(1,2)(a－b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(AC′,\s\up8(→))＋eq\o(C′N,\s\up8(→))＝eq\o(AC′,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(C′B′,\s\up8(→))＝eq\o(AC′,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up8(→))＝eq\o(AC′,\s\up8(→))－eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up8(→))－eq\o(A′B′,\s\up8(→)))＝a－eq\f(1,2)(c－b)＝a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.2.(變換條件、改變問(wèn)法)如圖3-1-15所示，本例3(2)中增加條件“P在線段AA′上，且AP＝2PA′”，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(MP,\s\up8(→)).圖3-1-15[解]eq\o(MP,\s\up8(→))＝eq\o(MC′,\s\up8(→))＋eq\o(C′A′,\s\up8(→))＋eq\o(A′P,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up8(→))－eq\o(A′C′,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))－eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)[eq\o(AA′,\s\up8(→))＋(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))]－eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a＋c－b)－c－eq\f(1,3)a＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.[規(guī)律方法]用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果.(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.提醒：利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知基向量表示出來(lái).)[當(dāng)堂達(dá)標(biāo)·固雙基]1．給出下列命題：①若{a，b，c}可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可作為空間的基底；②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量組{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4D[根據(jù)基底的概念，空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底，否則就不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．顯然②正確，③中由eq\o(BA,\s\up8(→))、eq\o(BM,\s\up8(→))、eq\o(BN,\s\up8(→))共面且過(guò)相同點(diǎn)B，故A、B、M、N共面．下面證明①④正確．①假設(shè)d與a、b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使d≠kc，∵d≠0，∴k≠0，從而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c與a、b共面與條件矛盾．∴d與a，b不共面．同理可證④也是正確的．]2．對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，能得到P、A、B、C四點(diǎn)共面的是()A.eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))B.eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))C.eq\o(OP,\s\up8(→))＝－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up8(→))D．以上皆錯(cuò)B[法一：∵eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，∴選B.法二：∵eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))，∴3eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))，∴eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OP,\s\up8(→)))＋(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OP,\s\up8(→)))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＝－eq\o(PB,\s\up8(→))－eq\o(PC,\s\up8(→))，∴P、A、B、C共面．]3．已知正方體ABCD-A′B′C′D′，點(diǎn)E是A′C′的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且AF＝eq\f(1,2)EF，則eq\o(AF,\s\up8(→))等于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242247】A.eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))D[由條件AF＝eq