2020全國一輪復習數(shù)學(理科)第五章 平面向量

第五章平面向量第26講平面向量的概念與線性運算A應知應會一、選擇題1.下列命題中，真命題的個數(shù)是()①若四邊形ABCD是平行四邊形，則＝；②平面向量a，b共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使b＝λa；③若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；④若a∥b，b∥c，則a∥c.A.0B.1C.2D.32.給出下列四個命題：①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③若向量與向量共線，則A，B，C，D四點共線；④設a0是單位向量，若a∥a0，且|a|＝1，則a＝a0.其中假命題的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.43.設D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋等于()A.B.C.D.(第4題)4.(2017·惠州二模)如圖，在正方形ABCD中，E是DC的中點，F(xiàn)是BC上的靠近點B的一個三等分點，那么等于()A.－B.＋C.＋D.－5.(2018·石家莊一檢)在△ABC中，點D在邊AB上，且于()＝，設＝a,＝b，則等A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b二、解答題6.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，＝，＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，，，，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．(第6題)7.如圖，在△OAB中，C是以A為中心的點B的對稱點，點D是將OB分成2∶1的一個內分點，DC和OA交于點E，設＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，；(2)若＝λ，求λ的值．(第7題)B鞏固提升一、填空題1.(2018·濮陽二模)如圖，有5個全等的小正方形，＝x＋y，則x＋y的值是________．(第1題)2.若O為△ABC所在平面內任一點，且滿足(________．－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為3.(2018·衡水金卷)已知G為△ABC的重心，點P，Q分別在邊AB，AC上，且存在實數(shù)t，使得.若＝λ＝μ＝________．＝t，，則＋4.設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________．二、解答題5.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若＝a，＝b，求(用a，b表示)．(第5題)6.如圖，在△ABC中，O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若＝m，＝n，求m＋n的值．(第6題)7.設a，b是不共線的兩個非零向量．(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝ma，＝a－3b，求證：A，B，＝nb，＝αa＋βC三點共線；(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數(shù)k的值；(3)設b，其中m，n，α，β均為實數(shù)，m≠0，n≠0，若M，P，N三點共線，求證：第27講平面向量的基本定理與坐標表示A應知應會＋＝1.一、選擇題1.已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，則3a＋2b等于()A.(7，2)B.(7，－14)C.(7，－4)D.(7，－8)2.設向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是()A.2B.－2C.±2D.03.已知在平行四邊形ABCD中，等于()＝(2，8)，＝(－3，4)，對角線AC與BD相交于點M，則A.B.C.D.4.(2018·泉州質檢)已知向量a＝(3，2)，b＝(2，3)，則下列結論正確的是()A.a⊥bB.(a－b)⊥(a＋b)C.a∥bD.(a－b)∥(a＋b)5.在平面直角坐標系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C為坐標平面內第一象限內一點且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于()A.2B.C.2D.4二、解答題6.(1)已知A(－1，－4)，B，且A，B，C三點共線，求點C的坐標；(2)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb與a－2b共線，求的值．7.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設＝a，＝b，＝c.(1)求3a－2b＋3c;(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n的值．B鞏固提升一、填空題1.(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________．2.在△ABC中，點P在BC上，且＝________．＝2，點Q是AC的中點，若＝(4，3)，＝(1，5)，則3.(2018·山西大學附中)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，點P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE上變動(如圖所示)．若其中λ，μ∈R，則2λ－μ的取值范圍是________．＝λ＋μ，(第3題)4.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3，1)，B(－1，3)，若點C滿足，其中α，β∈R，且α＋β＝1，則點C的軌跡方程為________________．＝α＋β二、解答題5.如圖，已知點A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC與OB的交點P的坐標．(第5題)6.如圖所示，給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.點C在以O為圓心的圓弧AB上運動．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．(第6題)7.(1)如圖，在△ABC中，設＝ma＋nb，求m，n的值．＝a，＝b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點為P，若＝0，過點D的直線l與直線AB，AC分別交于點M，N，(2)已知在△ABC中，點D滿足2＋＝λ，＝μ.若λ＞0，μ＞0，求λ＋μ的最小值．(第7題(1))第28講平面向量的數(shù)量積A應知應會一、選擇題1.(2018·鄭州二檢)已知平面向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，則(a＋c)·(2b－c)的最小值為()A.－2B.－C.－1D.0＝(3，4)，2.在△ABC中，若＝(，－1)，則cosB的值是()A.B.C.D.3.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則·(＋)的最小值是()A.－2B.－C.－D.－14.(2018·全國卷Ⅰ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2，0)且斜率為等于()的直線與C交于M，N兩點，則·A.5B.6C.7D.85.(2018·天津卷)如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，|AB|＝|AD|＝1.若E為邊CD上的動點，則·的最小值為()(第5題)A.B.C.D.3二、解答題6.在平面直角坐標系xOy中，點A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設實數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值．7.已知a，b，c是同一平面內的三個向量，其中a＝(1，2)．(1)若|c|＝2(2)若|b|＝，且c∥a，求c的坐標；，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ的大?。瓸鞏固提升一、填空題1.(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________．(第2題)2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，點M在邊AB上，且AM＝AB，則等于________．·3.(2018·武昌調研)設A，B，C是半徑為1的圓O上的三點，且)的最大值是________．⊥，則(－)·(－4.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得|DE|＝2|EF|，則·的值為________．二、解答題5.在平面直角坐標系中，設向量m＝(cosA，sinA)，n＝(cosB，－sinB)，其中A，B為△ABC的兩個內角．(1)若m⊥n，求證：C為直角；(2)若m∥n，求證：B為銳角．6.在平行四邊形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，A＝，M為DC的中點，N為平面ABCD內一點，若||＝||，求－－·的值．7.在平面四邊形ABCD中，已知|AB|＝1，|BC|＝4，|CD|＝2，|DA|＝3，求·的值．第五章平面向量第26講平面向量的概念與線性運算A應知應會1.A【解析】①注意向量的方向，＝；②注意零向量的特殊性，當a＝0，b≠0時，λ不存在；③模相等的平面向量不一定共線，起點相同時，終點共圓；④當b＝0時，結論不一定成立．2.D【解析】①錯誤．兩個向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點．②錯誤．若a或b是零向量，則a與b的方向不相同，也不相反．③錯誤．向量共線，向量所在的直線可能平行．④錯誤．a(chǎn)＝a0或a＝－a0.(第3題)3.C【解析】如圖，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.4.D【解析】在△CEF中，＝＋，因為E是DC的中點，所以＝，又F是BC的一個三等分點，所以＝，所以＝＋＝＋＝－.5.B【解析】因為＝－＝a－b，＝，所以＝＝a－b，所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b，故選B.(第6題)6.【解答】(1)如圖，延長AD到點G，使連接BG，CG，得到＝，?ABGC，則＝＋＝a＋b，(a＋b),＝＝＝＝(a＋b),b－a.＝＝b,＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a),＝－＝(2)由(1)可知＝，又，有公共點B，所以B，E，F(xiàn)三點共線．7.【解答】(1)由題意知A是BC的中點，則有＝(＋)，且由D是將OB分成2∶1的一個內＝2＝2a－b，分點，得－＝，從而＝＋＝＋－＝＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)由題圖知C，E，D三點共線，則＝μ.又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，從而(2－λ)a－b＝μB鞏固提升，即解得所以λ＝.1.1【解析】以AF，AE為坐標軸建立如圖平面直角坐標系，設小正方形的邊長為1，則B(2，－1)，D(0，2)，E(0，1)，F(xiàn)(1，0)，所以＋y＝1.＝x＋y＝x(0，1)＋y(1，0)＝(y，x)＝(2，－1)，所以x(第1題)2.等腰三角形【解析】因為(－)·(＋－2)＝0，即|＝|·(＋)＝0.因為－＝，所以(－)·(＋)＝0，即||，所以△ABC是等腰三角形．3.3【解析】設(b＋c)，故＝c，＝b，連接AG并延長交BC于點M，此時M為BC的中點，則c＋b，＝＝(b＋c)，故＝－＝＝－＝μb－λc.由＝t，得則＋＝3.4.【解析】因為λa＋b與a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以解得5.【解答】由題易得＝2.＝＋＝＋＋＝＋(－)＝＋×＝＋＝a＋b.6.【解答】因為O是BC的中點，所以＝()．又因為＝m，＝n，所以＝＋.因為M，O，N三點共線，所以＋＝1，則m＋n＝2.7.【解答】(1)因為＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，所以與共線．又因為與有公共端點B，所以A，B，C三點共線．(2)因為8a＋kb與ka＋2b共線，所以存在實數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)＝λka＋2λb，從而解得λ＝±2，故k＝2λ＝±4.(3)因為M，P，N三點共線，所以存在實數(shù)λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，所以＝＝a＋b.因為a，b不共線，所以所以＋＝＋＝1.第27講平面向量的基本定理與坐標表示A應知應會1.B【解析】因為a∥b，所以m＋4＝0，所以m＝－4，所以b＝(2，－4)，所以3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2.B【解析】因為a與b方向相反，所以b＝ma，m<0，則有(4，x)＝m(x，1)，所以＝－2，則x＝－2.解得m3.B【解析】因為在平行四邊形ABCD中，有)＝[(－3，4)＋(2，8)]＝＝＋，＝，所以＝(＋，故選B.4.B【解析】因為a＝(3，2)，b＝(2，3)，所以a－b＝(1，－1)，a＋b＝(5，5)，所以(a－b)·(a＋b)＝5－5＝0，所以(a－b)⊥(a＋b)．故選B.5.A【解析】因為||＝2，∠AOC＝，所以C(，)．又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.6.【解答】(1)設C(x，y)，＝－(－1，－4)＝，＝(x，y)－＝，＝(x，y)－(－1，－4)＝(x＋1，y＋4)．因為A，B，C三點共線，所以與，三個向量共線，所以即x－2y－7＝0，故滿足x－2y－7＝0的點(x，y)即為點C的坐標．(2)ma＋nb＝(2m，3m)＋(－n，2n)＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1)．由ma＋nb與a－2b共線，知－2m＋n＝12m＋8n，所以14m＝－7n，所以7.【解答】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．＝＝－.(1)3a－2b＋3c＝3(5，－5)－2(－6，－3)＋3(1，8)＝(15＋12＋3，－15＋6＋24)＝(30，15)．(2)因為mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，所以B鞏固提升解得1.【解析】由已知得2a＋b＝(4，2)，由c∥(2a＋b)，得＝，所以λ＝.2.(－6，21)【解析】＝－＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，所以＝2＝2(－3，2)＝3(－2，7)＝(－6，＝(－6，4)，21)．＝＋＝(4，3)＋(－6，4)＝(－2，7)，所以＝33.[－1，1]【解析】以A為坐標原點，AB，AD分別為x，y軸建立平面直角坐標系，依題意得D(0，1)，E(1，0)，C(1，1)，B(2，0)，F(xiàn)，＝(－1，1)，＝.設P(cosθ，sinθ)，θ∈，依題意＝λ＋μ，即(cosθ，sinθ)＝，兩式相減得2λ－μ＝sinθ－cosθ＝∈[－1，1]．sin.又∈，所以sin4.x＋2y－5＝0【解析】設C(x，y)，則(x，y)＝α(3，1)＋β(－1，3)，即所以x＋2y－5＝0.又α＋β＝1，5.【解答】設＝t＝t(4，4)＝(4t，4t)，則＝－＝(4t，4t)－(4，0)＝(4t－4，4t)，＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6)．由，共線的充要條件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝，所以＝(4t，4t)＝(3，3)，所以點P的坐標為(3，3)．6.【解答】以O為坐標原點，.設∠AOC＝α，α∈所在的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(1，0)，B，則C(cosα，sinα)．由＝x＋y，得所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin.又α∈，則α＋∈，所以當α＋＝，即α＝時，x＋y取得最大值2.(第6題)7.【解答】(1)連接AR，由P為CR的中點可得.由Q為AP的中點可得a＋b，所以m＝，n＝＝b＋，由R為BQ的中點可得＝a＋＝，所以＝b＋，整理可得＝.(第7題)(2)由題意作出示意圖，如圖所示，連接AD.因為2＋＝0，所以＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＝xλ＋.因為D，M，N三點共線，所以，所以xλ＋(1－x)·μ存在x∈R，使＝x＋(1－x)，則＋(1－x)μ＝＋，根據(jù)平面向量基本定理，得xλ＝，(1－x)μ＝，所以x＝，1－x＝，所以＋＝1，所以λ＋μ＝(λ＋μ)＝≥，當且僅當λ＝μ時等號成立，所以λ＋μ的最小值為.第28講平面向量的數(shù)量積A應知應會1.B【解析】由a·b＝，可得a，b的夾角為，不妨設a＝(1，0)，b＝，c＝(cosθ，sinθ)，則原式＝2a·b－a·c＋2b·c－c2＝1－cosθ＋cosθ＋，故選B.sinθ－1＝sinθ，所以最小值為－2.B【解析】設向量與所成的角為θ，則cosθ＝＝＝，cosB＝cos(π－θ)＝－cosθ＝.3.B【解析】如圖所示，取BC的中點D，連接AD，取AD的中點E，由＋＝2，則·(＋)＝22)＝2，故選B.·＝2(＋)·(＋)＝2(2－2)＝2(2－2－，當且僅當2＝0，即點P與點E重合時，取得最小值為－(第3題)4.D【解析】過點(－2，0)且斜率為的直線方程為y＝(x＋2)，由解得或不妨記M(1，2)，N(4，4)，拋物線的焦點為F(1，0)，所以·＝(0，2)·(3，4)＝8.5.A【解析】連接DB.根據(jù)余弦定理可得|DB|＝.由題易知△BCD為正三角形，所以|DC|＝.設＝λ，0≤λ≤1，則＝(＝＋＝＋λ，＝－＝＋λ＋λ2－，所以·＋λ)·(＋λ－)＝2－·2－λ·，其中2＝1，·＝－，2＝3，·＝1×cos30°＝，所以·＝3λ2－λ＋＝3＋，當λ＝時取得最小值，且最小值為.6.【解答】(1)由題設知＝(3，5)，＝(－1，1)，＝(4，4)，則＋＝(2，6)，|＝2－所以|＋，|－|＝4，故所求的兩條對角線的長分別為4(2)由題設知＝(－2，－1)，，2－t.＝(3＋2t，5＋t)，由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，從而5t＝－11，所以t＝－.7.【解答】(1)設c＝(x，y)，因為|c|＝2，所以＝2，即x2＋y2＝20.①因為c∥a，a＝(1，2)，所以2x－y＝0，即y＝2x.②聯(lián)立①②，得或所以c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．(2)因為(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0.①因為|a|2＝5，|b|2＝，代入①式得a·b＝－，所以cosθ＝＝＝－1.又因為θ∈[0，π]，所以θ＝π.B鞏固提升1.2【解析】