菱形的性質(zhì)和判定

1.3菱形的性質(zhì)和判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 會(huì)識(shí)別菱形;2、 掌握菱形的概念、性質(zhì)和判定，會(huì)用菱形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問題;3、 會(huì)用菱形的知識(shí)解決有關(guān)問題重點(diǎn)：菱形的性質(zhì)和判定定理難點(diǎn)：菱形性質(zhì)的靈活運(yùn)用【知識(shí)梳理】1菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質(zhì)菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，還具有自己獨(dú)特的性質(zhì):邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且四邊相等.角的性質(zhì)：鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等.對(duì)角線性質(zhì)：對(duì)角線互相垂直平分且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.對(duì)稱性：菱形是中心對(duì)稱圖形，也是軸一對(duì)稱圖一形.菱形的面積等于底乘以高，等于對(duì)角線乘積的一半.點(diǎn)評(píng)：其實(shí)只要四邊形的對(duì)角線互相垂直，其面積就等于對(duì)角線乘積的一半.菱形的判定判定①：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.判定②：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.判定③：四邊相等的四邊形是菱形.三角形的中位線中位線：連結(jié)三角形兩邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中位線.也可以過三角形一邊的中點(diǎn)作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線.以上是中位線的兩種作法，第一種可以直接用中位線的性質(zhì)，第二種需要說明理由為什么是中位線，再用中位線的性質(zhì).中位線的性質(zhì).AA定理：三角形的中位線平行第三邊且長(zhǎng)度等于第三邊的一半.【菱形的性質(zhì)】【例1】如圖，一活動(dòng)菱形衣架中，菱形的邊長(zhǎng)均為16cm若墻上釘子間的距離AB=BC=16cm,則Z1=度.【例2】如圖，在菱形ABCD中，ZA=60。,的邊長(zhǎng)是 .CC囹1圏3A.35。CC囹1圏3A.35。B.45。C.50。D.55。13菱形的性質(zhì)和判定【例3】如圖，E是菱形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，EF丄AC于H，交CB的延長(zhǎng)線于F，交AB于P,證明：AB與EF互相平分.TOC\o"1-5"\h\z【例4】⑴如圖1所示，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0，H為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長(zhǎng)為24，則0H的長(zhǎng)等于 .⑵、菱形周長(zhǎng)為52cm，—條對(duì)角線長(zhǎng)為10cm，則其面積為 .⑶、如圖2,在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，則菱形的邊長(zhǎng)為（）A.5 B.10 C.6 D.8⑷、如圖3,在菱形ABCD中，ZA=110。，E、F分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP丄CD于點(diǎn)P，則ZFPC=（）【例5】如圖4,把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，為了得到一個(gè)銳角為60。的菱形，剪口與折痕所成的角?的度數(shù)應(yīng)為（A.15?；?0。 B.30。或45。 C.45?；?0。 D.30?；?0。【例6】⑴、菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，且AE丄BC，AF丄CD，那么ZEAF等于 ?⑵、已知菱形的一個(gè)內(nèi)角為60。，一條對(duì)角線的長(zhǎng)為2^3，則另一條對(duì)角線的長(zhǎng)為⑶、如圖1,將一個(gè)長(zhǎng)為10cm，寬為8cm的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線（虛線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（ ）A.10cm2 B.20cm2 C.40cm2 D.80cm2⑷、如圖2,菱形花壇ABCD的周長(zhǎng)為20m,ZABC=60。，沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路AC和BD,求兩條小路的長(zhǎng)和花壇的面積.C圏2C圏2【例7】【例7】已知，菱形ABCD中，E、AE=AF=EF=AB，求ZC的度數(shù).F分別是BC、CD上的點(diǎn)，若【例8】已知，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且ZB=ZEAF=60。,上BAE=18【例8】已知，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且ZB=ZEAF=60。,上BAE=18。.求：ZCEF的度數(shù).【菱形的判定】【例9】如圖，如果要使平行四邊形ABCD成為一個(gè)菱形，需要添加一個(gè)條件，那么你添加的條件是【例10】如圖，在AABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD，在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，連結(jié)BE,CE.當(dāng)AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABEC是菱形？并說明理由.【例12】如圖，在梯形紙片ABCD中，AD//BC，AD>CD，將紙片過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)C處，折痕DE交BC于點(diǎn)E，連結(jié)CE.o求證：四邊形CDC'E是菱形.

【例13】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，將AABE沿BC方向平移，使點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，得NGFC.若ZB=60。，當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFG是菱形？證明你的結(jié)論.【例14】如圖，在AABC中，AB=AC，M是BC的中點(diǎn).分別作MD丄AB于D，ME丄AC于E,DF丄AC于F，EG丄AB于G.DF、EG相交于點(diǎn)P.求證：四邊形DMEP是菱形.【例15】如圖，AABC中，ZACB=90。，AD是ZBAC的平分線，交BC于D，CH是AB邊上的高，交AD于F，DE丄AB于E，求證：四邊形CDEF是菱形.【例16】已知，如圖【例16】已知，如圖AABC中，ZBAC=90。，AD丄BC于D，Z1=Z2，EF丄BC于F，BE、AD交于M.求證：四邊形AEFM是菱形.【例17】如圖，AACD、AABE、ABCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.已知AB=AC.⑴、順次連結(jié)A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.⑵、當(dāng)ZBAC為 度時(shí)，四邊形ADFE為正方形.

【例18】如圖，M是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，將AMAB沿AD方向平移，使AB與DC重合，點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)M'的位置⑴、畫出平移后的三角形；⑵、連結(jié)MD,MC,MM'，試說明四邊形MDM'C的對(duì)角線互相垂直，且長(zhǎng)度分別等于AB,AD的長(zhǎng)；CB⑶、當(dāng)M在矩形內(nèi)的什么位置時(shí)，在上述變換下，四邊形MDM'C是菱形？為什么？CB【例19】已知等腰厶ABC中，AB=AC，AD平分ABAC交BC于D點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)P（A點(diǎn)除外），過P點(diǎn)作EF〃AB，分別交AC、BC于E、F點(diǎn)，作PM〃AC，交AB于M點(diǎn)，連結(jié)ME.⑴、求證四邊形AEPM為菱形⑵、當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半？【課后練習(xí)】1、 菱形周長(zhǎng)為52cm，—條對(duì)角線長(zhǎng)為10cm，則其面積為2、 如圖，在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上,BE=2a,ABAD=120。,P點(diǎn)在BD上，則PE+PC的最小值為A DA D3、已知菱形的一個(gè)內(nèi)角為60。，一條對(duì)角線的長(zhǎng)為2/3，則另一條對(duì)角線的長(zhǎng)為 .4、 已知，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且AB=AEAF=60。，ABAE=18。.求：ACEF的度數(shù).5、如圖，已知BE、CF分別為AABC中AB、AC的平分線，AM丄BE于M，AN丄CF于N，求證：MN〃BC.

【挑戰(zhàn)極限】雙基訓(xùn)練**1.在菱形ABCD中，AE丄BC于點(diǎn)E,AF丄CD于點(diǎn)F,且E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，則ZEAF= **2.若菱形ABCD的周長(zhǎng)為12cm，相鄰兩角的比為5:1,那么菱形對(duì)邊間的距離為TOC\o"1-5"\h\z**3.已知菱形有一個(gè)銳角為600,一條對(duì)角線長(zhǎng)為6cm,則它的面積為 .**4.已知菱形的一邊與兩條對(duì)角線的夾角之差是18o,則菱形的各個(gè)內(nèi)角分別 .**5.已知菱形的周長(zhǎng)為2p,對(duì)角線之和為q,則菱形的面積等于 .縱向應(yīng)用**1.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5,兩條對(duì)角線交于點(diǎn)0,且AO、BO的長(zhǎng)是方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根,圖15-61D圖15-62圖15-61D圖15-62**3.如圖**3.如圖15-62,等邊△AEF與菱形ABCD有一公共頂點(diǎn)A,且AB=AE,△AEF的頂點(diǎn)E、F分別在菱形的BC、CD兩**4.如F圖15-63圖15-64邊上，求菱形CD兩**4.如F圖15-63圖15-64邊上，求菱形ABCD相鄰的個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。圖15-63,在ABCD中，則m的值為()。(A)-3(B)5 (C)5或-5(D)-5或3**2.如圖15-61,在菱形ABCD中，對(duì)角線BD、AC交于O點(diǎn)，AE丄BC,且AE=0B，則ZCAE=AB=2BC，點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上，AE=AD，點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上，DF=AD,CE交AB于點(diǎn)G,BF交CD于點(diǎn)M,GNBF交于點(diǎn)H,求證：ZE+ZF=90。。

***5.如圖15-64,在***6菱形。如圖15-65，在上邊形ABCD中***5.如圖15-64,在***6菱形。如圖15-65，在上邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90。，M是AC的中點(diǎn)，MN丄BD,BN〃MD,ABC中，乙C=90o,BD平ZABC交AC于D,CH丄AB交于點(diǎn)F,DE丄于點(diǎn)E,求證:邊形CDEF是BN與MN交于點(diǎn)N,MN交BD于點(diǎn)N,MN交BD于點(diǎn)0,求證：四邊形BNDM是菱形。***7.如圖15-66,D是等腰RtAABC的直角邊上的一點(diǎn)，AD的垂直平分線EF分別交AC、AD、AB于E、0、F三點(diǎn)，且BC=2。（1）當(dāng)CD=P2時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)CD=2（P2-1）時(shí)，證明：四邊形AEDF是菱形。***8.如圖15-67,在ABC中，AD丄BC于點(diǎn)D,E、F分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DE、EF、卩。，當(dāng)4ABC滿圖15-69件 時(shí)，四邊AEDF是菱形（填個(gè)你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)募纯桑?。圖15-69件 時(shí)，四邊AEDF是菱形（填個(gè)你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)募纯桑?**9.如圖15-68,在ABCD中，兩對(duì)角線AC.BD交于點(diǎn)O,EF過點(diǎn)O且垂直于AC并交AB于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,求證：四邊形AECF是菱形。橫向拓展***1.如圖15-69，在菱形ABCD的邊上依次截取E、F、G、H,使AE=AH=CF=CG，若菱形邊長(zhǎng)是1,ZA=120。，求證：（1）四邊形EFGH是矩形；（2）設(shè)AE=x，四邊形EFGH的面積為y,求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形EFGH面積最大？此時(shí)矩形兩鄰邊長(zhǎng)度有何關(guān)系？（4）當(dāng)x為何值時(shí),四邊形EFGH是正方形？***2.如圖15-70,已知在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=4cm，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。（1）證明：順次連結(jié)E、F、G、H所成的四邊形是菱形；（2）求菱形EFGH的周長(zhǎng)；（3）求菱形EFGH的面積。

****3.(1)如圖15-71,以ABC三邊向外分別作等邊△DAC、△ABE、△BCF,判斷四邊形ADFE的形狀；在(1)中，是否存在平行四邊形ADFE?若存在，寫出△ABC應(yīng)滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由；AABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADFE是矩形？AABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADFE是菱形？AABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADFE是正方形？【挑戰(zhàn)極限】參考答案雙基訓(xùn)練1.6002.1.5cm3.18「3或6^34.108。，720,108。，7205. (q2-p2)4縱向應(yīng)用1.A.提示：先確定m的范圍，再用A02+B02=25解之2.3003.800,10004?提示：連結(jié)MG,證四邊形MGBC3為菱形5?略6?提示：由MD=MB=；；AC，證MDBN7.(1) (2)略&AB=AC.提示：根據(jù)菱形的判=2定定理解之9?提示：