西南大學《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課件-第4章解析函數(shù)的級數(shù)表示的知識

復(fù)變函數(shù)

與積分變換西南大學《復(fù)變函數(shù)與積分變換》2022/12/112

目錄第二章解析函數(shù)第三章復(fù)變函數(shù)的積分第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示第五章留數(shù)及其應(yīng)用第六章傅立葉變換第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)2022/12/113第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示

本章的主要內(nèi)容是：復(fù)數(shù)項級數(shù)和復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的一些基本概念和性質(zhì)；重點介紹復(fù)變函數(shù)項級數(shù)中的冪級數(shù)和由正、負整次冪項所組成的洛朗級數(shù).關(guān)于復(fù)數(shù)項級數(shù)和復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的某些概念和定理都是實數(shù)范圍內(nèi)的相應(yīng)的內(nèi)容在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的直接推廣，因此，在學習中結(jié)合高等數(shù)學中無窮級數(shù)部分的復(fù)習，并在對此中進行學習．2022/12/114第四章解析函數(shù)的級數(shù)表示

4.1復(fù)數(shù)項級數(shù)4.2復(fù)變函數(shù)項級數(shù)4.3泰勒級數(shù)4.4洛朗級數(shù)2022/12/115第一節(jié)復(fù)數(shù)項級數(shù)一、復(fù)數(shù)列極限

定義：

定理1：2022/12/116證明：必要性

充分性

2022/12/117例1．解：2022/12/1182022/12/119定義：

例2．解：二、復(fù)數(shù)項級數(shù)的概念

2022/12/1110定理2：證明：定理3：2022/12/1111定理3：證明：2022/12/1112說明：例3．下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？

解：2022/12/1113第二節(jié)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)一、復(fù)變函數(shù)項級數(shù)

定義：

稱表達式：稱為級數(shù)的部分和．2022/12/1114二、冪級數(shù)

1．冪級數(shù)概念定義：形如2022/12/1115定理1：（阿貝爾定理）阿貝爾定理告訴我們:2022/12/1116證明：充分性用反證可以證明．（略）

必要性2022/12/11172．收斂圓與收斂半徑定義：

注意：

2022/12/1118例1．解：冪級數(shù)的部分和故級數(shù)發(fā)散.2022/12/11193．收斂半徑的求法定理2：（比值法）證明：2022/12/1120定理3：（根值法）例2．求下列冪級數(shù)的收斂半徑解：2022/12/1121所以不能直接用公式．

用比較審斂法:2022/12/11224．冪級數(shù)的運算和性質(zhì)（1）冪級數(shù)的代數(shù)運算

2022/12/11232022/12/1124（2）復(fù)合運算這個運算具有廣泛的應(yīng)用，常用來將函數(shù)展為冪級數(shù)．

例3．解：2022/12/1125（3）冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)定理4：逐項求導、逐項積分

2022/12/1126例4．試求給定冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的和函數(shù)解：2022/12/1127第三節(jié)泰勒級數(shù)前面已討論了已知冪級數(shù)，如何求收斂圓、和函數(shù)，并且知道和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)是一個解析函數(shù)，下面研究與此相反的問題：即任何一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表示？

2022/12/1128

2022/12/11292022/12/1130定理5：2022/12/1131說明：由此可見解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)，即展開式是唯一的．

2022/12/1132一、利用直接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)

例1．解：2022/12/1133二、利用間接展開法將函數(shù)展開成冪級數(shù)

借助于已知函數(shù)的展開式，利用冪級數(shù)的運算性質(zhì)和分析性質(zhì)，以唯一性為理論依據(jù)得到函數(shù)的泰勒展開式．

2022/12/1134例2．解：例3．解：2022/12/1135例4．解：例4．2022/12/1136三、將函數(shù)展成的冪級數(shù)

例5．解：2022/12/1137例6．解：2022/12/1138例7．解：2022/12/1139第四節(jié)洛朗級數(shù)2022/12/11402022/12/11412022/12/11422022/12/1143一、直接展開法

定理6（洛朗定理）證明：證明：2022/12/11442022/12/11452022/12/11462022/12/11472022/12/1148例1．解：---------直接展開法2022/12/1149證明：2022/12/1150二、間接展開法

根據(jù)由正、負整次冪項組成的級數(shù)的唯一性，可通過代數(shù)運算、變量代換、函數(shù)求導、積分等方法將函數(shù)展開，