高中物理物理-分析物體的平衡問(wèn)題

..怎樣分析物體的平衡問(wèn)題物體的平衡問(wèn)題是力的基本概念及平行四邊形定則的直接應(yīng)用,也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系的基礎(chǔ)．怎樣學(xué)好這部分知識(shí)呢？一、明確分析思路和解題步驟解決物理問(wèn)題必須有明確的分析思路．而分析思路應(yīng)從物理問(wèn)題所遵循的物理規(guī)律本身去探求．物體的平衡遵循的物理規(guī)律是共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件：F合=0,要用該規(guī)律去分析平衡問(wèn)題,首先應(yīng)明確物體所受該力在何處"共點(diǎn)",即明確研究對(duì)象．在分析出各個(gè)力的大小和方向后,還要正確選定研究方法,即合成法或分解法,利用平行四邊形定則建立各力之間的聯(lián)系,借助平衡條件和數(shù)學(xué)方法,確定結(jié)果．由上述分析思路知,解決平衡問(wèn)題的基本解題步驟為：1．明確研究對(duì)象．在平衡問(wèn)題中,研究對(duì)象常有三種情況：①單個(gè)物體,若物體能看成質(zhì)點(diǎn),則物體受到的各個(gè)力的作用點(diǎn)全都畫到物體的幾何中心上；若物體不能看成質(zhì)點(diǎn),則各個(gè)力的作用點(diǎn)不能隨便移動(dòng),應(yīng)畫在實(shí)際作用位置上．②物體的組合,遇到這種問(wèn)題時(shí),應(yīng)采用隔離法,將物體逐個(gè)隔離出去單獨(dú)分析,其關(guān)鍵是找物體之間的聯(lián)系,相互作用力是它們相互聯(lián)系的紐帶．③幾個(gè)物體的的結(jié)點(diǎn),幾根繩、繩和棒之間的結(jié)點(diǎn)常常是平衡問(wèn)題的研究對(duì)象．2．分析研究對(duì)象的受力情況分析研究對(duì)象的受力情況需要做好兩件事：①確定物體受到哪些力的作用,不能添力,也不能漏力．常用的辦法是首先確定重力,其次找接觸面,一個(gè)接觸面通常對(duì)應(yīng)一對(duì)彈力和摩擦力,找到接觸面后,判定這兩個(gè)力是否在；第三是加上其它作用力,如拉力、推力等；②準(zhǔn)確畫出受力示意圖．力的示意圖關(guān)鍵是力的方向的確定,要培養(yǎng)養(yǎng)成準(zhǔn)確畫圖的習(xí)慣．在分析平衡問(wèn)題時(shí),很多同學(xué)常出錯(cuò)誤,其重要原因就是畫圖不重視、不規(guī)范,將力的方向搞錯(cuò),導(dǎo)致全題做錯(cuò)．3．選取研究方法——合成法或分解法合成法或分解法實(shí)際上都是平行四邊形定則,采用這兩種方法的實(shí)質(zhì)是等效替代,即通過(guò)兩個(gè)力的等效合成或某個(gè)力的兩個(gè)等效分力建立已知力與被求力之間的聯(lián)系,為利用平衡條件解問(wèn)題做好鋪墊．在解題中采用合成法還是分解法應(yīng)視問(wèn)題而定,當(dāng)受力較少時(shí),兩種方法求解都很方便．由于高中階段在對(duì)力進(jìn)行合成或分解時(shí)只要求會(huì)用直角三角形討論計(jì)算,因此,對(duì)物體受力進(jìn)行正交分解,利用正交分解法求解的平衡問(wèn)題較為常見(jiàn)．在建立正交坐標(biāo)系時(shí),其基本原則是使盡可能多的力在坐標(biāo)軸上,這樣分解的力個(gè)數(shù)少,求解時(shí)方便．4．利用平衡條件建立方程利用合成法分析問(wèn)題時(shí),其平衡方程為：F合=0利用分解法特別是正交分解法分析平衡問(wèn)題時(shí),其平衡方程為：Fx=0Fy=05．?dāng)?shù)學(xué)方法求解建立平衡方程后,利用數(shù)學(xué)方法即可得到結(jié)果．在平衡問(wèn)題中,常用的數(shù)學(xué)方法有：代數(shù)法、三角函數(shù)法、相似三角形法、極值問(wèn)題等,通過(guò)對(duì)學(xué)生選擇數(shù)學(xué)方法解題過(guò)程的考查,可以鑒別其運(yùn)用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題的能力．例1、圖中重物的質(zhì)量為m,輕細(xì)線AO和BO的A、B端是固定的,平衡時(shí)AD是水平的,BO與水平面的夾角為θ．AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是：A、F1=mgcosθ；B、F1=mgctgθ；C、F2=mgsinθ；D、F2=mg／sinθ．析：如圖1,三根細(xì)繩在O,點(diǎn)共點(diǎn),取O點(diǎn)〔結(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象,分析O點(diǎn)受力如圖2．O點(diǎn)受到AO繩的拉力F1、BO繩的拉力F2以及重物對(duì)它的拉力T三個(gè)力的作用．圖2〔a選取合成法進(jìn)行研究,將F1、F2合成,得到合力F,由平衡條件知：F=T=mg則：F1=Fctgθ=mgctgθF2=F／sinθ=mg／sinθ圖2〔b選取分解法進(jìn)行研究,將F2分解成互相垂直的兩個(gè)分力Fx、Fy,由平衡條件知：Fy=T=mg,Fx=F1則：F2=Fy/sinθ=mg/sinθF1=Fx=Fyctgθ=mgctgθ二、掌握題型抓關(guān)鍵明確分析思路和解題步驟后,各種各樣的平衡問(wèn)題均可按此步驟分析求解．但在實(shí)際解題過(guò)程中仍感到困難重重．原因何在？原因在于命題者為增加試題難度,在上述解題步驟的某個(gè)環(huán)節(jié)上設(shè)置障礙,造成學(xué)生分析思維受阻．若能找到這些障礙點(diǎn),即關(guān)鍵之處,并加以突破,問(wèn)題便迎刃而解了．1．三力平衡問(wèn)題物體在三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài),要求我們分析三力之間的相互關(guān)系的問(wèn)題叫三力平衡問(wèn)題,這是物體受力平衡中最重要、最典型也最基礎(chǔ)的平衡問(wèn)題．這種類型的問(wèn)題有以下幾種常見(jiàn)題型．〔1三個(gè)力中,有兩個(gè)力互相垂直,第三個(gè)力角度〔方向已知。例1即屬此類情況．這是一種最常見(jiàn)的三力平衡問(wèn)題．通常利用上述解題步驟即可方便求解此類問(wèn)題．若出現(xiàn)解題障礙的話,障礙就出在怎樣確定研究對(duì)象上．例2、如圖3,質(zhì)量為m的物塊放在傾角為θ的斜面上,求：①斜面對(duì)物塊的支持力；②假想把物塊分成質(zhì)量相等的a、b兩部分〔實(shí)際上仍為一整體,哪一部分對(duì)斜面的壓力大？析：求斜面對(duì)物塊的支持力時(shí),取物塊為研究對(duì)象,并將其視為質(zhì)點(diǎn),作出其受力分析圖如圖4〔a,將重力G沿斜面和垂直斜面方向分解,并利用平衡條件不難求出：N=mgcosθ分析a、b兩部分誰(shuí)對(duì)斜面壓力大時(shí),要明確此時(shí)物體不能再看成質(zhì)點(diǎn),因此物體受到的各力的作用點(diǎn)不能隨意移動(dòng),而應(yīng)畫在實(shí)際作用點(diǎn)上．由于彈力和摩擦力的作用點(diǎn)都在接觸面上,利用三力平衡必共點(diǎn)的特點(diǎn)〔即物體在互相不平行的三個(gè)力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí),這三個(gè)力必為共點(diǎn)力,得到物塊的受力如圖4〔b所示,彈力的作用點(diǎn)在a部分,說(shuō)明a部分對(duì)斜面的壓力大．〔2三個(gè)力互相不垂直,但夾角〔方向已知《考試說(shuō)明》中規(guī)定力的合成與分解的計(jì)算只限于兩力之間能構(gòu)成直角的情形．三個(gè)力互相不垂直時(shí),無(wú)論是用合成法還是分解法,三力組成的三角形都不是直角三角形,造成求解困難．因而這種類型問(wèn)題的解題障礙就在于怎樣確定研究方法上．解決的辦法是采用正交分解法,將三個(gè)不同方向的力分解到兩個(gè)互相垂直的方向上,再利用平衡條件求解．〔3三個(gè)力互相不垂直,且?jiàn)A角〔方向未知三力方向未知時(shí),無(wú)論是用合成法還是分解法,都找不到合力與分力之間的定量聯(lián)系,因而單從受力分析圖去求解這類問(wèn)題是很難找到答案的．要求解這類問(wèn)題,必須變換數(shù)學(xué)分析的角度,從我們熟悉的三角函數(shù)法變換到空間幾何關(guān)系上去考慮,因而這種問(wèn)題的障礙點(diǎn)是如何正確選取數(shù)學(xué)分析的方法．解決這種類型的問(wèn)題的對(duì)策是：首先利用合成法或分解法作出三力之間的平行四邊形關(guān)系和三角形關(guān)系,再根據(jù)力的三角形尋找與之相似的空間三角形,利用三角形的相似比求解．例4、如圖7,半徑為R的光滑半球的正上方,離球面頂端距離為h的O點(diǎn),用一根長(zhǎng)為l的細(xì)線懸掛質(zhì)量為m的小球,小球靠在半球面上．試求小球?qū)η蛎鎵毫Φ拇笮。觯喝⌒∏驗(yàn)檠芯繉?duì)象,小球受到重力mg,繩的拉力T和半球面的支持力N三個(gè)力的作用,如圖8所示．將T和N合成,得到合力F,由平衡條件知：F=mg．由圖8可以看出,力的三角形ACD與空間三角形OAB相似,則：〔4三力的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題即三個(gè)力中,有一個(gè)力為恒力,另一個(gè)力方向不變,大小可變,第三個(gè)力大小方向均可變,分析第三個(gè)力的方向變化引起的物體受力的動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題．這種類型的問(wèn)題不需要通過(guò)具體的運(yùn)算來(lái)得出結(jié)論,因而障礙常出現(xiàn)在受力分析和畫受力分析圖上．在分析這類問(wèn)題時(shí),要注意物體"變中有不變"的平衡特點(diǎn),在變中尋找不變量．即將兩個(gè)發(fā)生變化的力進(jìn)行合成,利用它們的合力為恒力的特點(diǎn)進(jìn)行分析．在解決這類問(wèn)題時(shí),正確畫出物體在不同狀態(tài)時(shí)的受力圖和平行四邊形關(guān)系尤為重要．例5、如圖9所示,用豎直檔板將小球夾在檔板和光滑斜面之間,若緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)擋板,使其由豎直轉(zhuǎn)至水平的過(guò)程中,分析球?qū)醢宓膲毫蛯?duì)斜面的壓力如何變化．析：取小球?yàn)檠芯繉?duì)象,小球受到重力G,檔板給小球的支持力N1和斜面給小球的支持力N2三個(gè)力作用,如圖10所示,將N1和N2合成,得到合力F,由平衡條件知,F=G為一定值．由于N2總垂直接觸面〔斜面,方向不變,則N1方向改變時(shí),其大小〔箭頭只能沿PQ線變動(dòng),如圖示．顯然在檔板移動(dòng)過(guò)程中,N1先變小后變大,N2一直減小．由牛頓第三定律,小球?qū)n板的壓力先變小后變大,小球?qū)π泵娴膲毫χ饾u減?。?．多力平衡問(wèn)題巧解變動(dòng)中的三力平衡問(wèn)題在中學(xué)階段,力的平衡問(wèn)題,多為三力平衡,按平衡條件,合力必為零,將三力首尾相聯(lián)即圍成一封閉三角形。一般來(lái)說(shuō),只要所給條件能滿足解這個(gè)三角形的條件〔如已知兩邊夾一角或兩角夾一邊就能按解三角形的方法解出這力三角形中要求的物理量。常遇到一類變動(dòng)中的三力平衡問(wèn)題。一般是其中一個(gè)力大小和方向確定；另一個(gè)力的方向確定,大小可變；第三個(gè)力大小和方向均變化。要依據(jù)所給條件,確定后兩力的變化規(guī)律。為了幫助學(xué)生們很好地理解,采用力三角形來(lái)解答,現(xiàn)舉幾例如下：[例題1]一個(gè)光滑的圓球擱在光滑的斜面和豎直的檔板之間〔圖1,斜面和檔板對(duì)圓球的彈力隨斜面傾角α變化而變化的范圍是：A．斜面彈力N1變化范圍是〔mg,＋∞B．斜面彈力N1變化范圍是〔0,＋∞C．檔板的彈力N2變化范圍是〔0,+∞D(zhuǎn)．檔板的彈力N2變化范圍是〔mg,＋∞答：[A、C]解：圓球受三個(gè)力,其中重力的大小和方向均為確定的,檔板對(duì)圓球的彈力N2的方向始終是水平的,亦為確定的。而斜面對(duì)圓球的作用力的大小和方向均在變化中,但不論α如何變動(dòng),只要α取一個(gè)確定的值,圓球就在三力作用下處于平衡狀態(tài),則此三力就組成一個(gè)封閉的三角形,如圖2所示：由于0＜α＜90°,所以mg＜N1＜＋∞,0＜N2＜＋∞解出。[例題2]如圖3所示,用兩根繩子系住一重物,繩OA與天花板夾角θ不變,且θ＞45°,當(dāng)用手拉住繩OB,使繩OB由水平慢慢轉(zhuǎn)向OB′過(guò)程中,OB繩所受拉力將A．始終減少B．始終增大C．先增大后減少D．先減少后增大答：[D]解：重物受三個(gè)力,其中重力大小方向確定,OA方向不變,OB繩受力的大小方向變化。在變化過(guò)程中,重物所受三力平衡,可組成一個(gè)封閉三角形,現(xiàn)圖示如下：從圖中可很直觀地得出結(jié)論。由于θ＞45°,θ+α=90°所以α＜45°,此時(shí)TOB取得最小值。[例題3]如圖4所示,一重球用細(xì)線懸于O點(diǎn),一光滑斜面將重球支持于A點(diǎn),現(xiàn)將斜面沿水平面向右慢慢移動(dòng),那么細(xì)線對(duì)重球的拉力T及斜面對(duì)重球的支持力N的變化情況是：A．T逐漸增大,N逐漸減?。籅．T逐漸減小,N逐漸增大；C．T先變小后變大,N逐漸減?。籇．T逐漸增大,N先變大后變小。答：[C]解：重球受三個(gè)力：重力的大小及方向均為確定,在重球由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中,每一個(gè)位置上三力均圍成一個(gè)封閉的三角形〔圖5由于物體在水平面上滑動(dòng),則f=μN(yùn),將f和N合成,得到合力F,由圖知F與f的夾角：不管拉力T方向如何變化,F與水平方向的夾角α不變,即F為一個(gè)方向不發(fā)生改變的變力．這顯然屬于三力平衡中的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題,由前面討論知,當(dāng)T與F互相垂直時(shí),T有最小值,即當(dāng)拉力與水平方向的夾角θ=90°-arcctgμ=arctgμ時(shí),使物體做勻速運(yùn)動(dòng)的拉力T最?。?、一質(zhì)量為50kg的均勻圓柱體,放在臺(tái)階旁,臺(tái)階高度〔r為柱體半徑。柱體最上方A處施一最小的力F,使柱體剛能開(kāi)始以P軸向臺(tái)階上滾,求此最小力．析：圓柱體不能看作質(zhì)點(diǎn),選其為研究對(duì)象,分析其受力如圖13〔a所示．先將圓柱體在P點(diǎn)所受的支持力N和靜摩擦力f合成,得到合力Q,則圓柱體受mg、Q、F三個(gè)力作用,這三個(gè)力必為共點(diǎn)力,且Q、F二力的合力為定值,如圖13〔b所示,顯然當(dāng)F與Q垂直時(shí),F有最小值,由題給條件知,∠OAP=30°,則：Fmin=T·sin30°=mg·sin30°=250N由以上兩例可以發(fā)現(xiàn),將多力問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三力問(wèn)題時(shí),常先將同一接觸面上的彈力和摩擦力合成,在求解時(shí)用的較多的分析思路是三力的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的分析思路,請(qǐng)讀者再進(jìn)一步加以體會(huì)．〔2利用正交分解法分析求解當(dāng)受力較多時(shí),利用合成法需要幾次合成才能得出結(jié)論,分析起來(lái)較繁瑣．最常見(jiàn)的多力平衡問(wèn)題就是直接建立正交坐標(biāo)系,在分析物體受力后,利用正交分析法求解．例8、如圖14為一遵從胡克定律的彈性輕繩,其一端固定于天花板上的O點(diǎn),另一端與靜止在動(dòng)摩擦因數(shù)恒定的水平地面上的滑塊A相連．當(dāng)繩處在豎直位置時(shí),滑塊A對(duì)地面有壓力作用．B為緊挨繩的一光滑水平小釘,它到天花板的距離BO等于彈性繩的自然長(zhǎng)度．現(xiàn)用一水平力F作用于A,使它向右作直線運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,作用于A的摩擦力A、逐漸增大B、逐漸減小C、保持不變D、條件不足,無(wú)法判斷析：取物體A為研究對(duì)象,分析A受力如圖15,并沿水平和豎直方向建立正交坐標(biāo)系．由于物體向右做直線運(yùn)動(dòng),則y軸方向上受力平衡,即：T·sinθ＋N=mg依題意,繩的拉力T=kx,x為彈性繩的形變量,則地面對(duì)物體的支持力與A物體在B正下方時(shí)地面對(duì)物體的支持力相同．也就是說(shuō),在物體向右運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,地面對(duì)物體的支持力不變,由滑動(dòng)摩擦力公式知,正確答案為C．解決物理問(wèn)題的關(guān)鍵在于有正確的分析思路和解題步驟．上面我們雖然分成幾種情況來(lái)討論平衡問(wèn)題,但不難發(fā)現(xiàn),突破障礙后,其解題的思路和步驟是完全一樣的．這就要求我們,在學(xué)習(xí)物理的平衡知識(shí)時(shí),首先要建立一個(gè)解題的基本模式,即解題基本步驟及幾種常見(jiàn)題型的特點(diǎn),則無(wú)論在何處遇到此類問(wèn)題,都能夠迅速喚起基本模式,通過(guò)原型啟發(fā),迅速重視相關(guān)知識(shí),從而順利地解決問(wèn)題．解平衡問(wèn)題是這樣,解決其它問(wèn)題也是這樣,如果我們堅(jiān)持這樣去做,就會(huì)達(dá)到會(huì)學(xué)、要學(xué)、樂(lè)學(xué)的高境界．靜力學(xué)中四類極值問(wèn)題的求解最〔大或小值問(wèn)題是中學(xué)物理習(xí)題中常見(jiàn)的題型之一,這類題型滲透在中學(xué)物理的各個(gè)部分,技巧性強(qiáng),解法頗多。深入探究最值問(wèn)題的解答,能有效地提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,培養(yǎng)靈活性和敏捷性。1．不等式法：例1無(wú)限長(zhǎng)直電桿立于地面,與地面之間的摩擦力足夠大。如圖1示,用長(zhǎng)為L(zhǎng)的繩拉電桿,若所用拉力T恒定時(shí),繩栓在電線桿的何處最容易拉倒？分析與解：設(shè)繩線栓在離地h高處,則拉力T的力矩最大時(shí),最容易拉倒電桿,如圖1,cosθ=h/L,則T的力矩觀察此式,T、L一定,因h2+〔L2-h2=L2是一常數(shù),故當(dāng)h2=L2-h2評(píng)點(diǎn)：解此類問(wèn)題,首先根據(jù)力的平衡列出方程,然后觀察方程特征,發(fā)掘其隱含條件,若a＞0,b＞0,a＋b=常數(shù),則當(dāng)a=b時(shí),ab積最大。這里運(yùn)用了不等式的一個(gè)重要性質(zhì)〔a＋b/22.三角函數(shù)法：例2重量為G的物體在水平而上作勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)物體與地面之間如圖2示。分析與解：物體受共點(diǎn)力作用而平衡,由平衡條件得：水平方向：Fcosθ=μN(yùn)豎直方向：N＋Fsinθ=G解得F=μG／〔cosθ＋μsinθ為使F最小,只需cosθ＋μsinθ最大,因?yàn)椤瞔osθ+μsinθ=〔cosθsinφ+cosφsinθ/sinφ=sin〔θ+φ/sinφ而φ=ctg-1,故當(dāng)θ=30°時(shí),F最小,最小值為Fmin=μGsinφ＝G／2。評(píng)點(diǎn)：求解此類問(wèn)題的一般思路是先根據(jù)物理規(guī)律求出待求量的表達(dá)式,再根據(jù)三角函數(shù)的有界性：|sinθ|≤1或|cosθ|≤1求最值。3．極限推理法：例3如圖3,用力F推質(zhì)量為M的物體,物體與地面間的摩擦因數(shù)為μ,求外力F與水平方向交角θ最小為多大時(shí),無(wú)論外力F多么大均不能使物體前進(jìn)？分析與解：物體受共點(diǎn)力作用,當(dāng)不動(dòng)時(shí)必滿足：Fcosθ≤μ〔Mg＋Fsinθ化簡(jiǎn)得：F〔csoθ-μsinθ≤μMg。因?yàn)闊o(wú)論F多大,上式均成立,則當(dāng)F→∞時(shí),不等式也成立,此時(shí)θ取最小值θ0因此最小角滿足方程cosθ0-μsinθ0=0,tgθ0=1/μ,θ0=arctg1/μ。評(píng)點(diǎn)：此類題通過(guò)對(duì)關(guān)系式的推理分析、θ=θ0時(shí)F無(wú)論多大物體都不能被推動(dòng),因而F→∞時(shí)所滿足的θ角便是最小值。這是一種極限推理分析的方法。4．矢量三角圖示法例5一重為G的光滑球放在傾角為θ的斜面上,被一擋板PQ擋住,Q處為固定轉(zhuǎn)軸,如圖4示,擋板可以逐漸放平,何時(shí)球?qū)醢宓膲毫ψ钚　７治雠c解：小球受重力、斜面的支持力和擋板支持力三個(gè)共點(diǎn)力作用而平衡。由擋板對(duì)球支持力的動(dòng)態(tài)變化,可作力矢量三角形。如圖5所示,由圖知當(dāng)擋板逐漸放平的過(guò)程中,斜面對(duì)球的支持力N1一直逐漸減小,而擋板對(duì)球的支持力N2將先減小后增大,故當(dāng)擋板與斜面垂直時(shí)球?qū)醢鍓毫ψ钚?。評(píng)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)在三個(gè)共點(diǎn)力作用下而平衡,各力之間的動(dòng)態(tài)變化的規(guī)律,由力矢量三角形可直觀地作出判斷。這是處理此類平衡問(wèn)題常用的一種方法。共點(diǎn)力作用下物體的平衡典型例題[例1]質(zhì)量為m的物體,用水平細(xì)繩AB拉住,靜止在傾角為θ的固定斜面上,求物體對(duì)斜面壓力的大小,如圖1〔甲。[分析]本題主要考察,物體受力分析與平衡條件,物體在斜面上受力如圖1乙,以作用點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,據(jù)平衡條件∑F＝0,即找準(zhǔn)邊角關(guān)系,列方程求解。[解]解法一：以物體m為研究對(duì)象建立圖1乙所示坐標(biāo)系,由平衡條件得：Tcosθ-mgsinθ＝0〔1N-Tsinθ-mgcooθ＝0〔2聯(lián)立式〔1〔2解得N＝mg／cosθ據(jù)牛頓第三定律可知,物體對(duì)斜面壓力的大小為N′＝mg／cosθ解法二：以物體為研究對(duì)象,建立如圖2所示坐標(biāo)系,據(jù)物體受共點(diǎn)力的平衡條件知：Ncosθ-mg=0∴N＝mg／cocθ同理N′=mg／cosθ[說(shuō)明]〔1由上面解法可知：雖然兩種情況下建立坐標(biāo)系的方法不同,但結(jié)果相同,因此,如何建立坐標(biāo)系與解答的結(jié)果無(wú)關(guān),從兩種解法繁簡(jiǎn)不同,可以得到啟示：處理物體受力,巧建坐標(biāo)系可簡(jiǎn)化運(yùn)算,而巧建坐標(biāo)系的原則是在坐標(biāo)系上分解的力越少越佳?！?用正交分解法解共點(diǎn)力平衡時(shí)解題步驟：選好研究對(duì)象→正確受力分析→合理巧建坐標(biāo)系→根據(jù)平衡條件〔3不管用哪種解法,找準(zhǔn)力線之間的角度關(guān)系是正確解題的前提,角度一錯(cuò)全盤皆錯(cuò),這是非常可惜的?！?由本題我們還可得到共點(diǎn)力作用平衡時(shí)的力圖特點(diǎn),題目中物體受重力G,斜面支持N,水平細(xì)繩拉力T三個(gè)共點(diǎn)力作用而平衡,這三個(gè)力必然構(gòu)成如圖3所示的封閉三角形力圖。這一點(diǎn)在解物理題時(shí)有時(shí)很方便。［例2]如圖1所示,擋板AB和豎直墻之間夾有小球,球的質(zhì)量為m,問(wèn)當(dāng)擋板與豎直墻壁之間夾角θ緩慢增加時(shí),AB板及墻對(duì)球壓力如何變化。[分析]本題考察當(dāng)θ角連續(xù)變化時(shí),小球平衡問(wèn)題,此題可以用正交分解法。選定某特定狀態(tài),然后,通過(guò)θ角變化情況,分析壓力變化,我們用上題中第四條結(jié)論解答此題。[解]由圖2知,G,N2〔擋板對(duì)球作用力,N1墻壁對(duì)球作用力,構(gòu)成一個(gè)封閉三角形,且θ↑封閉三角形在變化,當(dāng)增加到θ’時(shí),由三角形邊角關(guān)系知N1↓,N2↓。[說(shuō)明]封閉三角形解法對(duì)平面共點(diǎn)三力平衡的定性討論,簡(jiǎn)捷直觀。本題是一種動(dòng)態(tài)變化題目,這種題目在求解時(shí),還可用一種極限法判斷,如把AB板與豎直墻壁夾角θ增到90°時(shí),可知N1=0,過(guò)程中N1一直減小,N2=mg,N2也一直在減小。[例3]如圖1所示,用一個(gè)三角支架懸掛重物,已知AB桿所受的最大壓力為2000N,AC繩所受最大拉力為1000N,∠α=30°,為不使支架斷裂,求懸掛物的重力應(yīng)滿足的條件？[分析]懸繩A點(diǎn)受到豎直向下的拉力F＝G,這個(gè)拉力將壓緊水平桿AB并拉引繩索AC,所以應(yīng)把拉力F沿AB、CA兩方向分解,設(shè)兩分力為F1、F2,畫出的平行四邊形如圖2所示。[解]由圖2可知：因?yàn)锳B、AC能承受的最大作用力之比為當(dāng)懸掛物重力增加時(shí),對(duì)AC繩的拉力將先達(dá)到最大值,所以為不使三角架斷裂,計(jì)算中應(yīng)以AC繩中拉力達(dá)最大值為依據(jù),即取F2=F2m=1000N,于是得懸掛物的重力應(yīng)滿足的條件為Gm≤F2sin30°＝500N,[說(shuō)明]也可取A點(diǎn)為研究對(duì)象,由A點(diǎn)受力,用共點(diǎn)平衡條件求解。A點(diǎn)受三個(gè)力：懸掛物的拉力F=G,桿的推力FB,繩的拉力FC,如圖4所示。根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件,由FCsinα=G,FCcosα=FB,即得共點(diǎn)力平衡條件可以適用于多個(gè)力同時(shí)作用的情況,具有更普遍的意義。[例4]如圖1所示,細(xì)繩CO與豎直方向成30°角,A、B兩物體用跨過(guò)滑輪的細(xì)繩相連,已知物體B所受到的重力為100N,地面對(duì)物體B的支持力為80N,試求〔1物體A所受到的重力；〔2物體B與地面間的摩擦力；〔3細(xì)繩CO受到的拉力。[分析]此題是在共點(diǎn)力作用下的物體平衡問(wèn)題,據(jù)平衡條件∑Fx=0,∑Fy=0,分別取物體B和定滑輪為研究對(duì)象,進(jìn)行受力情況分析,建立方程。[解]如圖2所示,選取直角坐標(biāo)系。據(jù)平衡條件得f-T1sinα=0,N＋T1cosα-mBg=0。對(duì)于定滑輪的軸心O點(diǎn)有T1sinα-T2sin30°=0,T2cos30°-T1cosα-mAg=0。因?yàn)門1=mAg,得α=60°,解方程組得〔1T1=40N,物體A所受到的重力為40N；〔2物體B與地面間的摩擦力f＝T1sinα=40sin60°≈34.6N；〔3細(xì)繩CO受到的拉力[說(shuō)明]在本題中,我們選取定滑輪的軸心為研究對(duì)象,并認(rèn)定T1與mAg作用在這點(diǎn)上,即構(gòu)成共點(diǎn)力,使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。例5]如圖1所示,在質(zhì)量為1kg的重物上系著一條長(zhǎng)30cm的細(xì)繩,細(xì)繩的另一端連著圓環(huán),圓環(huán)套在水平的棒上可以滑動(dòng),環(huán)與棒間的靜摩擦因數(shù)為0.75,另有一條細(xì)繩,在其一端跨過(guò)定滑輪,定滑輪固定在距離圓環(huán)0.5m的地方。當(dāng)細(xì)繩的端點(diǎn)掛上重物G,而圓環(huán)將要開(kāi)始滑動(dòng)時(shí),試問(wèn)〔1長(zhǎng)為30cm的細(xì)繩的張力是多少？〔2圓環(huán)將要開(kāi)始滑動(dòng)時(shí),重物G的質(zhì)量是多少？〔3角φ多大？[分析]選取圓環(huán)作為研究對(duì)象,分析圓環(huán)的受力情況：圓環(huán)受到重力、細(xì)繩的張力T、桿對(duì)圓環(huán)的支持力N、摩擦力f的作用。[解]因?yàn)閳A環(huán)將要開(kāi)始滑動(dòng),所以,可以判定本題是在共點(diǎn)力作用下物體的平衡問(wèn)題。由牛頓第二定律給出的平衡條件∑Fx=0,∑Fy=0,建立方程有μN(yùn)-Tcosθ=0,N-Tsinθ＝0。設(shè)想：過(guò)O作OA的垂線與桿交于B′點(diǎn),由AO=30cm,tgθ=,得B′O的長(zhǎng)為40cm。在直角三角形中,由三角形的邊長(zhǎng)條件得AB′=50cm,但據(jù)題述條件AB=50cm,故B′點(diǎn)與滑輪的固定處B點(diǎn)重合,即得φ=90°?！?如圖2所示選取坐標(biāo)軸,根據(jù)平衡條件有Gcosθ+Tsinθ-mg=0,Tcosθ-Gsinθ=0。解得T≈8N,〔2圓環(huán)將要滑動(dòng)時(shí),得mGg＝Tctgθ,mG=0.6kg。〔3前已證明φ為直角。例6]如圖1所示,質(zhì)量為m＝5kg的物體放在水平面上,物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)求當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),牽引力F的最小值和方向角θ。[分析]本題考察物體受力分析：由于求摩擦力f時(shí),N受F制約,而求F最小值,即轉(zhuǎn)化為在物理問(wèn)題中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決的實(shí)際問(wèn)題。我們可以先通過(guò)物體受力分析。據(jù)平衡條件,找出F與θ關(guān)系。進(jìn)一步應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解極值。[解]作出物體m受力分析如圖2,由平衡條件。∑Fx=Fcosθ-μN(yùn)=0〔1∑Fy=Fsinθ+N-G=0〔2由cos〔θ-Ф=1即θ—Ф=0時(shí)∴Ф=30°,θ=30°[說(shuō)明]本題中我們應(yīng)用了數(shù)學(xué)上極值方法,來(lái)求解物理實(shí)際問(wèn)題,這是在高考中考察的一項(xiàng)重要能力。在以后解題中我們還會(huì)遇到用如：幾何法、三角形法等數(shù)學(xué)方法解物理問(wèn)題,所以,在我們學(xué)習(xí)物理時(shí),逐步滲透數(shù)學(xué)思想,對(duì)解決物理問(wèn)題是很方便的。但要注意,求解結(jié)果和物理事實(shí)的統(tǒng)一性。[例7]如圖1,A、B兩物體質(zhì)量相等,B用細(xì)繩拉著,繩與傾角θ的斜面平行。A與B,A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同,若A沿斜面勻速下滑,求動(dòng)摩擦因數(shù)的值。[分析]本題主要考察受力分析及物體平衡條件。選擇A為研究對(duì)象,分析物體A受力,應(yīng)用正交分解法。據(jù)平衡條件求解。[解]取A為研究對(duì)象,畫出A受力如圖2,建立如圖所示坐標(biāo)系。據(jù)物體平衡條件∑Fx=mgsinθ-f1-f2=0〔1∑Fy＝N1-NB-mgcosθ=0〔2其中f1=μN(yùn)1〔3f2=μN(yùn)B〔4由B受力知NB＝mgcosθ〔5聯(lián)立上面式〔1〔2〔3〔4〔5得[說(shuō)明]〔1本題在進(jìn)行受力分析時(shí),要注意A與斜面C的接觸力N1和f1,A與物體B的接觸力N2和f2,一定注意,N1和N2的取值?！?本題可以變化為若A沿斜面加速下滑,或沿斜面減速下滑。μ應(yīng)滿足關(guān)系？則加速時(shí)mgsinθ＞μN(yùn)1+μN(yùn)B〔3摩擦力公式f＝μN(yùn),有時(shí)因物體只受水平作用力,f=μN(yùn)=μmg,但當(dāng)物體受力變化以后,N就不一定等于mg了,如圖3的兩個(gè)情形。所以切記：公式一定要寫成μN(yùn)。對(duì)N求解不要想當(dāng)然,應(yīng)據(jù)題設(shè)進(jìn)行實(shí)際分析而得。[例8]如圖1所示,支桿BC一端用鉸鏈固定于B,另一端連接滑輪C,重物P上系一輕繩經(jīng)C固定于墻上A點(diǎn)。若桿BC、滑輪C及繩子的質(zhì)量、摩擦均不計(jì),將繩端A點(diǎn)沿墻稍向下移,再使之平衡時(shí),繩的拉力和BC桿受到的壓力如何變化？[誤解一]滑輪C點(diǎn)受桿BC的支持力F、繩AC的拉力T和繩CP的拉力Q〔其中Q大小等于G,如圖2所示。由平衡條件可得F＝G·sinα,T＝G·cosα當(dāng)繩的A點(diǎn)下移后,α增大,所以F增大,而T減小。[誤解二]滑輪C點(diǎn)受到桿BC支持力F,繩AC的拉力T和繩CP的拉力Q〔其中Q的大小等于G,如圖3,T與F的合力與Q等值反向。當(dāng)A點(diǎn)下移后,T與豎直方向的夾角要增大,滑輪C也要下降,使BC與墻間的夾角θ增大,但因這兩力的合力始終與Q等值反向,所以這兩個(gè)分力均要增大。[正確解答]滑輪C點(diǎn)受到F、T、Q三力作用而平衡,三力組成封閉三角形,如圖4,注意到同一條繩上各處張力都相同,則有T=Q=G,以桿受到壓力增大,而繩子拉力仍不變,大小為G。[錯(cuò)因分析與解題指導(dǎo)]當(dāng)不計(jì)繩子的質(zhì)量時(shí),繩子各處張力都相等,兩個(gè)[誤解]都未認(rèn)識(shí)這個(gè)事實(shí)。另外,[誤解一]自設(shè)T與F垂直作為討論依據(jù)并將它擴(kuò)展到一般情況,是毫無(wú)道理的。[誤解二]則臆斷A點(diǎn)下移時(shí),滑輪C也要下降,BC與墻間的夾角θ增大,與事實(shí)不符。值得一提的是：本題BC桿對(duì)滑輪C點(diǎn)的作用力是沿著桿子的,而這是有條件的,僅當(dāng)BC桿重力不計(jì)且只受兩個(gè)力作用而平衡時(shí),上述結(jié)論才成立。1．明確研究對(duì)象,對(duì)它進(jìn)行受力分析,畫出受力圖；2．根據(jù)平衡條件列方程；3．統(tǒng)一單位,代入數(shù)字、解方程、求答案。由題講話由題講話,促使學(xué)生積極思維,獲得更加全面的知識(shí),加深對(duì)物理現(xiàn)象和規(guī)律的理解。現(xiàn)舉一、二例加以說(shuō)明。如圖1,OA是一根橫梁,一端安在軸O上,另一端用鋼索AB拉著,在B處安裝一小滑輪,可以改變鋼索的長(zhǎng)度,OB＝OA,在A端掛一重物G。〔橫梁重不計(jì)試求鋼索BA的拉力？學(xué)生不感到困難。根據(jù)∑M=0,解得：這時(shí)教師向?qū)W生發(fā)問(wèn)：若將鋼索BA加長(zhǎng)〔即緩慢下放,鋼索的拉力F如何變化？學(xué)生根據(jù)上面的結(jié)果自然會(huì)想到,θ角將逐漸變小,力F必將逐漸增大。當(dāng)θ角趨近于零時(shí),F將變得無(wú)限大！？F逐漸變大,與感性認(rèn)識(shí)不太相符；無(wú)限大,顯然不符合實(shí)際情況,感到疑惑不解。毛病出在哪里呢？讓學(xué)生去思索結(jié)癥在哪里。教師可以啟發(fā)學(xué)生,在緩慢下放的過(guò)程中,θ角變小,但F的力臂也隨著變小,〔注意表達(dá)式Lsinθ不變,尤其G的力臂也在變小,不再是OA的長(zhǎng),顯然圖1不能反映一般的情況,應(yīng)該重新作圖分析,如圖2。為說(shuō)明解題的方法是多種的,可以用共點(diǎn)力平衡法去解。根據(jù)正弦定理：可見(jiàn),下放時(shí),θ角逐漸變小,力F1逐漸變大。這個(gè)結(jié)果與上面的"一致"。應(yīng)該指出表達(dá)式〔2在形式上與表達(dá)式〔1顯然不同,但〔2卻包括了〔1式的結(jié)果。