2019高考數學轉化與化歸思想典型運用

2019高考數學轉化與化歸思想典型運用所謂化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。在解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉化為一個新問題(相對來說，對自己較熟悉的)，通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這就是轉化的思想方法。轉化思想方法的特點是實現問題的規(guī)范化、模式化，以便應用已知的理論，方法和技巧達到問題的解決，其思維過程的形式如下圖：轉化具有多向性、層次性和重復性的特點。為了實施有效的轉化，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結論；既可以變換問題的內部結構，又可以變換問題的外部形式，這就是多向性，轉化原則既可應用于溝通數學各分支學科的聯(lián)系，從宏觀上實現學科間的轉化，又能調動各種方法與技術，從微觀上解決多種具體問題，這是轉化的層次性，而解決問題中可以多次地使用轉化，使問題逐次達到規(guī)范化，這是轉化原則應用的重復性。轉化思想方法包含三個基本要素：1、把什么東西轉化，即轉化的對象；2、轉化到何處去，即轉化的目標；3、如何進行轉化，即轉化的方法。轉化思想方法應遵循以下五條原則：1、熟悉化原則，將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解。2、簡單化原則，將復雜問題轉化為簡單的問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據。3、和諧化原則，轉化問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內部所表示和諧統(tǒng)一的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或符合人們的思維規(guī)律。4、直觀化原則，將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決。5、正難側反原則，當問題正面討論遇到困難時，應想到考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲得解決，或證明問題的可能性。轉化思想的典例剖析1.數與形的轉化例1.若動直線x二a與函數f(x)二sinx和g(x)二cosx的圖像分別交于M，N兩點，則|MN|的最大值為()A.1B.弋'2C.富3D.2分析：動直線x二a與函數f(x)二sinx和g(x)二cosx的圖像分別交于M,N兩點，橫坐標相同，那么MN就是縱坐標之差，即|MN|=|sinx-cosx|求最值。

解：MN=曲x-cosX?「-討最大值為血評注:審題要審準，讀懂題意，將問題學會轉化。2．新定義（運算）轉化為常規(guī)知識解決例3.如圖所示的韋恩圖中，A、B是非空集合，定義集合A#B為陰影部分表示的集合.若x,ygR,A=kIy=\2x一x2<B=｛yIy=3x（x〉0）｝，則A#B為（A.{xI0<x<2}b.{xI1<x<2}分析:根據圖形語言可知定義的A#B轉化為原有的運算應該是表示為&第4淞）（AQB），所以需要求出AUB和A1AQB，借助數軸求出并集與交集。解：A=xIy=2x-x22x一x2>0}={x|0<x<2}(x〉0)分析:根據圖形語言可知定義的A#B轉化為原有的運算應該是表示為&第4淞）（AQB），所以需要求出AUB和A1AQB，借助數軸求出并集與交集。解：A=xIy=2x-x22x一x2>0}={x|0<x<2}(x〉0)}={*y〉1},則AjB={x|x>0},Ap|B={x|1<x<2}B-Zy-3012，根據新運算，得A#B=(AQB)={x|0<x<1或X〉2}故選D答案：D評注：本題是集合中的新定義運算題，綜合考查了圖形語言、集合的描述法表示，函數的定義域和值域，以及集合的交并補的運算。解題的關鍵是由圖形語言把新定義運算轉化為原有的普通運算解出。例4.若數列｛a｝滿足」一-丄=d（ngN*,d為常數），則稱數列｛a｝為調和數列。已知數列<naann-1n調和數列，且x+x+???+x=200，則x+x1220516分析：根據調和數列的定義，可以看出其倒數數列符合等差數列的定義，由此可以轉化，利用等差數列的定義求出前項和。解:根據調和數列的定義知:數列｛a｝為調和數列，則丄-丄=d（ngN*,d為常數），也就是數列」丄>naanan-1為等差數列，現在數列V丄>為調和數列，則數列｛x｝為等差數列，那么由xnx+x+???+x=10(x+x)=200，x+x=201220516516答案：20x+x+???+x=200，得1220評注：本題為新定義題，但也不要被表象所迷惑，通過現象看本質，轉化為我們熟悉的特殊數列等差數列進一步解答，此題中注意角色的變化，數列]丄I為調和數列，數列｛x｝為等差數列是解題的關鍵。Ixnn3．函數、方程、不等式之間的轉化例4.若函數f(X)二X3-3X+a有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是A.(―2,2)B.[―2,2]°(—?—1)D.(1,+Q分析:本題為三次函數有三個不同的零點，則函數應該有兩個極值點，一個極值為正，一個極值為負，所以要先求出其導數，再求其極值。解：由函數f(x)二X3-3x+a有三個不同的零點，則函數f(x)有兩個極值點，且有f'()=32v-3=(3x+(1xL1，二得xi=1,x2=-1,所以函數f(x)的兩個極值為f(1)=a-2和f(-1)=a+2,結合圖象,應該有$+2>°.?.-2<a<2,故選A|a一2<0答案:A評注：一般地對于高次函數來說，要轉化為導函數研究問題，特別是在研究函數的單調性、最值等性質時要用導數解決。4.空間問題轉化為平面問題例5.如圖，有一圓柱形的開口容器(下表面密封)，其軸截面是邊長為2的正方形，P是BC中點，現有一只螞蟻位于外壁A處，內壁P處有一米粒，則這只螞蟻取得米粒所需經過的最短路程為.分析：研究最短距離，需要把立體圖展為平面圖，由兩點間的線段最短，求線段的長。B'PC解：把圓柱側面展開，并把里面也展開，如圖所示，則這只螞蟻取得米粒所需經過的B'PC最短路程為展開圖中的線段AP，則AB二兀,BP二3,AP=52+9答案：*兀答案：*兀2+9評注：研究立體問題常常以平面為基準，把立體問題A轉化為平面問題，把曲線問題轉化為直線問題，這是解決問5.向量轉化函數問題例6.已知M是AABC內一點，且AB-AC二2朽,ABAC二30,若AMBC、AMAB、AMAC的面積分別

114為二、X、y,貝|J+的最小值是（）2xyA．9B.16C.18D.20分析：已知條件為向量的數量積與夾角，可以得到兩邊之積，再由兩邊與夾角求得AABC的面積，另一方面,AABC的面積又為AMBC、AMAB、AMAC的面積之和斗+x+y,從而實現了由向量向代數式的轉解:?.?解:?.?AB-AC=2羽,ABAC=30,.?.AB-AC-?AB-AC-sin30。=1,又因為AABC的面積為BC、AMAB、AMAC的面積