2020屆浙江省寧波市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

第第頁共19頁本題考查不等式成立問題，構(gòu)造不等式解不等式是關(guān)鍵，“將軍飲馬”模型的使用，對(duì)稱問題，兩點(diǎn)之間，線段最短，點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，屬于難題.三、解答題18.已知函數(shù)f18.已知函數(shù)f(x)=sin(砒+Q)(0<p<兀)圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為J(1)若y=/(x)的圖象過f0,11，且部分圖象如圖所示，求函數(shù)f(x)的解析式;I2丿(2)若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，將y=/(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到6y=g(x)的圖象，求函數(shù)y=2答案】(1)fy=g(x)的圖象，求函數(shù)y=2答案】(1)f(x)=sinI2x+6丿x12)+g(x)在0,2f(x)=max52'上的最大值與最小值.f(x)=1-\3.min1由題意得?=2，再由f(0)=，進(jìn)而可得解析式；由y=f(x)是偶函數(shù)，得^=|，從而/(x)=cos2x,經(jīng)過平移得g(x)，再表示出y=22表示出y=22丿2+g(x)利用余弦型函數(shù)即可得最值.c兀又c兀又0<9<兀，所以9=-f(x)==cos2x【詳解】解析：由題意得，T==兀，所以?=由于y=f(x)=sin(2x+9由于y=f(x)=sin(2x+9)是偶函數(shù)，則f(0)=sin9=±1,11由于f(o)=—，則sin9=2，又0<9<兀，225兀n#()?fcQ兀1則申=丁或9=7(舍去)，故f匕丿=sin2x+三.66v6丿

將y二f(x)=cos2x的圖象向左平移乎個(gè)單位長度,將y二f(x)=cos2x的圖象向左平移乎個(gè)單位長度,6得到y(tǒng)=g(x)=cos(2x+片］的圖象，I3丿+g(x)=2cos/兀、2x+cos2x+—I3丿=1+cos2x+2cos2x號(hào)sin2x=1+2cos2x—弓sin2x二1+、；'3因?yàn)閤e0,—所以f(x)二f(0)=,f(x).=max2min/兀、cos2x+—I6丿-112丿本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖象的平移問題，余弦型函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AD=2,AB=1,PA丄平面PCD,且PC=PD=1，設(shè)E，F(xiàn)分別為pb，AC的中點(diǎn).(1)求證：EF//平面PAD；(2)求直線DE與平面PAC所成角的正弦值.31【答案】(1)證明見解析(2)利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；方法一：利用幾何法求線面角，一作，二證，三求解；方法二：利用空間直角坐標(biāo)系，線面角的向量關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】(1)解析：因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，所以F是BD中點(diǎn)，所1以EF//PD，EF@平面PAD，PDu平面PAD，所以EF//平面PAD.22)解析1：(幾何法)

因?yàn)镈Eu平面pbd，平面PBDI平面PAC=PF,所以直線DE與平面PAC的交點(diǎn)即為DE與PF的交點(diǎn)，設(shè)為G,PC=PD=CD=1，所以APCD為等邊三角形，取PC中點(diǎn)O,則DO丄PC，因?yàn)镻A丄平面PCD，所以平面PAC丄平面PCD,平面PACI平面PCD=PC，DO丄PC，所以DO丄平面PAC,所以ZDGO是直線DE與平面PAC所成角，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為pb，AC的中點(diǎn)，所以G是APBD的重心，14'在RtAPAD中，PA=朽，所以PB=AC=2，在平行四邊形ABCD中，BD=，在APBD中，cosZBPD=4+1~14'<10

~T~2x2<10

~T~在APED中，DE2=1+1-2xlxlxcosZEPD=?在APED中，2所以DG=-DE=^9，又因?yàn)镺D=空，332所以sinZDGO==30，即直線DE與平面PAC所成角的正弦值為DG2020-解析2：(向量法)1取PC中點(diǎn)O,則OF//PA，因?yàn)镻A丄平面PCD，2所以O(shè)F丄平面PCD，因?yàn)镻C=PD=CD=1，所以APCD為等邊三角形,所以O(shè)D丄PC，此時(shí)OD，OF，OP兩兩垂直,I2，0，0(I2，0，0I2丿所以cosuuuruuurDE-ODmrI1?DE?OD3一2T30，所以sin0二cos3即直線de與平面PAC所成角的正弦值為20p3O.本題考查線面平行，線面角，應(yīng)用幾何法求線面角，向量法求線面角，屬于基礎(chǔ)題.a+a=9，45S為等比數(shù)列｛b｝a+a=9，45S為等比數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和,nnn212S二S+2n+1n(1)求｛a｛b｝的通項(xiàng)公式;nnnn6ab,n為奇數(shù)4nn1，證明一,n為偶數(shù)a2n

13c+c+c+?.?.?+cV1231【答案】(1)a=n,b=-nn2n-1(1)由基本量思想的等差數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式，由b與Snn2)證明見解析的關(guān)系即可得到結(jié)論；2)利用放縮法和數(shù)列求和即可得到不等式.詳解】(1)由題意得＜a+d=2aIa=11，解得.51，a+3d+a+4d=9'解得：Id二1，II???a=n，即數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a=n,nnn由由2S二S+2,n+1n2S=S+221，2S=S+2，32兩式相減整理得：2b二b,32???q=2,b1二1*，1，即數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式為b

n2n-1,_1n2n-12）解析1：（應(yīng)用放縮和錯(cuò)位相減求和證明不等式）解：C_c+c+c+???+c，A_c+c+???+c，

n123nk132k-1B_c+c+???+c,

k242k3(1352k-1)-—+—+—+???+4k-1丿兩式相減整理得AkAk+14J404142(1352k+1)——+—+—+???+J4o41424k丿1102k+5卩<巴,3丿4k6又因?yàn)椋?k》>（2k-1）（2k+1）,B_丄+丄+???+k22421<一1(1111

一一+—一31???52k-12k+1丿所以B_—+—+???+k22423(2k)26,?Cn2）解析2：（應(yīng)用放縮和裂項(xiàng)求和證明不等式）13_26.10313+__-666'_(an+b)—!—,2n-14n-14n-1_d-d化簡整理得：n+1n(84)一一n+—J39丿4n-1_d-dk+111102k+3丿4<石'11_+++???+122232n21T_丄+丄+???+224222n所以Bk11_++???+224213麗V6，?Cn_Ak+BkV10313+_666'本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列求和，考查放縮法，屬于中檔題.21.已知拋物線E:y2_2px（p>0）過點(diǎn)Q（1,2）,F為其焦點(diǎn)，過F且不垂直于x軸的直線l交拋物線E于A,b兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足APAB的垂心為原點(diǎn)O.（1）求拋物線E的方程；

S（2）求證：動(dòng)點(diǎn)P在定直線m上，并求的最小值.AQAB【答案】（1）y2二4x（2）證明見解析，SAPA^的最小值為2J3AQAB（I）直接將Q（1,2）代入拋物線方程即可得到答案；S（2）設(shè)直線方程為ty=X-1，聯(lián)立方程，表示出S*，運(yùn)用基本不等式即可得到結(jié)AQAB論.【詳解】（1）由題意，將點(diǎn)Q（1,2）代入y2=2px，即22二2p，解得p二2，所以，拋物線E的方程為y2二4x.（2）解析1：（巧設(shè)直線）證明：設(shè)l:ty=x-1A（X1證明：設(shè)l:ty=x-1A（X1，yi），B（x2,y2），聯(lián)立y2二4x，y2可得忑-砂-1=0,則有y+y二4t<12yy=-412，可設(shè)APy-y1(x-xy2x+3y，同理bpy3y=氣x+4y2，解得P（-3,3t），即動(dòng)點(diǎn)P在定直線m:x=-3上.SAPABsAQAB1SAPABsAQAB1|AB|d1|AB|d3t2+-2t>當(dāng)且僅當(dāng)t=±竿時(shí)取等號(hào)其中d1，d2分別為點(diǎn)P和點(diǎn)Q到直線AB的距離.2）解析2：（利用向量以及同構(gòu)式）證明：設(shè)l:x二my+1(m豐0)，A(x,y)，B(x,y)，聯(lián)立y2二4x,可得y2一4my一4y2一4my一4二0，則有y+y二4m<12yy=-412uur(PA二x-字y04、uur，OB二丿字y142丿0-y1uuuruuurx又O為APAB的垂心，從而PA-OB=0，代入化簡得：y2+yy+3=0,同理:42020y2+yy+3=0,從而可知，y，y是方程嚴(yán)x2+yx+3—0的兩根，所以41011240

y+y=-^0y+y=-^0=4m12x]012/yy=—=—4I12x00n]0q，所以動(dòng)點(diǎn)P在定直線m:Ix=—30Iy二-mx?0Ix=—Iy二-mx?0Ix=—30SAPABSAQABABd1|AB|dd=—1=

d223m2+4|

12m3m2+——2mn2朽，當(dāng)且僅當(dāng)m=±冒時(shí)取等號(hào)?其中di，d2分別為點(diǎn)P和點(diǎn)Q到直線AB的距離.本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，考查基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.22.已知函數(shù)f(x)二aInx-x+b，其中a,beR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;2)使不等式f(x)nkx-xlnx-a對(duì)任意aell,2]，xetl,』恒成立時(shí)最大的k記為c，求當(dāng)bell,2]時(shí)，b+c的取值范圍.14【答案】(1)14【答案】(1)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)單調(diào)遞減(2)e+-，2+-(3)eeb+ce2,—+2e求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；分離變量k得不等式，由恒成立把a(bǔ)ek,2],xeke〕放縮程一個(gè)新不等式，再構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，討論出c的范圍，即可得到結(jié)論.【詳解】(1)因f(x)的定義域?yàn)?0,+8x當(dāng)a<0時(shí)，f'(x)v0,.??f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)在(0,0)上單調(diào)遞減，f'(a)=0，???f(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)單調(diào)遞減；2)f(x)n2)f(x)nkx-xlnx-ank<f(x)+xlnx+a(1+lnx)-x+xlnx+bae11,2],ae11,2],xe[1,e],(1+Inx)-x+xInx+b1+Inx-x+xInx+b1+lnx-x+xlnx+b-lnx+x-bx2令g(x丿-—g(x丿x2由(1)np(x)=—Inx+x一b在(1,+x)上遞增;(1)當(dāng)p(1)>0，即b—1時(shí)xell,e],p(x)>0—g'(x)>0g(x)在Q,e]上遞增；.c—g(x)—g(1)—bnb+c—2b—2.min(2)當(dāng)p(e)<0，即be[e—1,2]時(shí)xe[1,e],p(x)<0—g'(x)<0,g(x)在Q,e]上遞減；c—g(x)—g(e)=—b+c—minee3)當(dāng)p(1)p(e)<0時(shí)，p(x)=-Inx+x一b在上遞增存在唯一實(shí)數(shù)x0e(1,e)，使得p(x)=0,則當(dāng)xe(1,)時(shí)—p(x)<0—g'(x)<0.當(dāng)xe(x°,e)時(shí)np(x)>0ng'(x)>0.1+lnx—