二面角的平面角求法綜合

關于二面角的平面角求法綜合第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.O復習：第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日(1)定義法——直接在二面角的棱上取一點（特殊點）分別在兩個半平面內作棱的垂線，得到平面角.二面角的求法二面角的求法第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日(2)三垂線法——利用三垂線定理或逆定理作出平面角，通過解直角三角形求角的大小.第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日(3)垂面法——通過做二面角的棱的垂面，兩條交線所成的角即為平面角.第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日ABDO(4)射影面積法——若多邊形的面積是S，它在一個平面上的射影圖形面積是S’，則二面角的大小為COS＝S’÷SCE第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日2、兩個平面的法向量的夾角與這兩個平面所成的二面角的平面角有怎樣的關系？探究準備：答：相等或互補αβm互補αβ相等m第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日1、如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點，則二面角P-BC-A的平面角為:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是

練習2、已知P為二面角內一點，且P到兩個半平面的距離都等于P到棱的距離的一半，則這個二面角的度數(shù)是多少？pαβιABOABCP60o二面角第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日例1.如圖，已知P是二面角α-AB-β棱上一點，過P分別在α、β內引射線PM、PN，且∠MPN=60o

∠BPM=∠BPN=45o

，求此二面角的度數(shù)。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一點O，在α內過O作OC⊥AB交PM于C，在β內作OD⊥AB交PN于D，連CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角設PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45o∴CO=a，

DO=a，

PCa，

PDa又∵∠MPN=60o

∴CD=PCa∴∠COD=90o因此，二面角的度數(shù)為90oaOPC二面角第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日例2．如圖P為二面角α–ι–β內一點，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求這二面角的度數(shù)。

過PA、PB的平面PAB與棱ι

交于O點∵PA⊥α∴PA⊥ι

∵PB⊥β∴PB⊥ι

∴ι⊥平面PAB∴∠AOB為二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60o∴∠AOB=120o

∴這二面角的度數(shù)為120o解：βαABPιO二面角第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日OABPC取AB的中點為E，連PE，OE∵O為AC中點，∠ABC=90o∴OE∥BC且

OEBC在Rt△POE中，OE

，PO∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值為例3．如圖，三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜邊AC的中點O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值?！唷螾EO為二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP二面角第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日練習1：已知Rt△ABC在平面α內，斜邊AB在30o的二面角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求點C到平面β的距離CO。βαACBOD練習2：在平面四邊形ABCD中，AB=BC=2，AD=CD=,∠B=120o；將三角形ABC沿四邊形ABCD的對角線AC折起來，使DB′=，求△AB′C所在平面與△ADC所在平面所成二面角的平面角的度數(shù)。ABCB’DO二面角第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日探究一：試一試：例1、如圖：在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分別交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日分析：1、根據(jù)已知條件提供的數(shù)量關系通過計算證明有關線線垂直；2、利用已得的垂直關系找出二面角的平面角。解：如圖：

∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD;于是SB==a又BC=a，∴SB=BC;∵E為SC的中點，∴BE⊥SC

又DE⊥SC故SC⊥平面BDE可得BD⊥SC又BD⊥SA∴BD⊥平面SAC∴∠CDE為平面BDE和平面BDC所成二面角的平面角?！逜B⊥BC，∴AC==

=a

在直角三角形SAC中，tan∠SCA==∴∠SCA=300

，∴∠CDE=900--∠SCA=600

解畢。議一議：剛才的證明過程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？請各小組討論交流一下。SECABD第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日探究二：試一試例二：如圖：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F為棱AA1的中點。求：平面BFD1與平面ABCD所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF要求：1、各人思考；2、小組討論；

3、小組交流展示；4、總結。第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日A1D1C1CB1BDAPF如圖：延長D1F交DA的延長線于點P，連接PB，則直線PB就是平面BFD1與平面ABCD的交線。

∵

F是AA1的中點，∴可得A也是PD的中點，∴AP=AB,

又∵∠

DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三角形ABD,故∠DBA=600,∵∠P=∠ABP=300,∴∠DBP=900,即PB⊥DB；又因為是直棱柱，∴DD1⊥

PB,∴PB⊥面DD1B,

故∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。顯然BD=AD=DD1,∴∠DBD1=450。即為所求.

解畢。解法一：第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日A1D1C1B1FADCBPE解法二：如圖：延長D1F交DA的延長線于點P，連接PB，則直線PB就是平面BFD1與平面ABCD的交線；因為是直棱柱，所以AA1⊥

底面ABCD,過A做AE⊥PB,垂足為E,連接EF,由三垂線定理可知，EF⊥PB,∴∠AEF即為二面角D1-PB-D的平面角；同解法一可知，等腰△APB,∠P=300，Rt△APB中，可求得AE=1，（設四棱柱的棱長為2）又AF=1,∴∠AEF=450，即為所求。思考：這種解法同解法一有什么異同？第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日解法三：法向量法：建系如圖：設這個四棱柱各棱長均為2.則D(0，0，0）D1（0，0，2）B（1，，0）F（-1，，1）∴=（-2，0，1）=（1，，-2）顯然，就是平面ABCD的法向量，再設平面BDD1的一個法向量為向量=(x0,y0,z0)。則⊥且⊥

∴2x0+0y0-z0=0且x0+

y0-2z0=0令x0=1可得z0=2,

y0=

,即=（1，，2）設所求二面角的平面角為θ，則COSθ==,所以所求二面角大小為450解畢A1D1C1B1ABCDxyzF第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日解法四：A1D1C1B1FCBDA如圖：由題意可知，這是一個直四棱柱，△

BFD1在底面上的射影三角形就是△ABD,故由射影面積關系可得COSθ=ＳABD／ＳBＦＤ1

（θ是所求二面角的平面角）以下求面積略。點評：這種解法叫做“射影面積法”在選擇和填空題中有時候用起來會很好第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日河堤斜面三垂線法第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日NMAP三垂線法BACDP第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日點O在二面角內—垂面法第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日ABCDA1B1C1D1MABCDA1B1C1D1M第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日例題選講M例1.（06年江西卷）如圖，在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形，求二面角B－AC－D的大小.ABCDN第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日

第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日PEDACBD1A1C1B1F例2.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，P是AD的中點,求二面角A－BD1－P的大小.第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日例3、(高考題)⊿ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，又SA＝AB＝ａ，SB＝BC,（1）求證：SC⊥平面BDE,（2）求二面角E－BD－C的大小?SABCED第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日SABCED第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日ABDCA1B1D1C1在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角D1—AC—D的大??？O練習第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日總一總：求二面角的方法你都學會了哪些？每一種方法在使用上要注意什么問題？請同學們先自己思考，然后小組內交流學習一下。第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日二面角的幾種主要常用的求法：1、垂面法。見例一和例二的解法一；2、三垂線法。見例二的解法二；3、射影面積法。見例二的解法三；4、法向量夾角法。見例二的解法四。

其中垂面法和三垂線法也是直接找平面角的方法，也稱為直接法；射影面積法和法向量法是沒有找出平面角而求之的方法，也稱之為間接法。第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日這幾種方法是現(xiàn)在求二面角的常用的方法，在高考中經常被考查；尤其是向量法，更有著廣泛的被考查性，在應用的時候主要注意以下兩點：1、合理建系。本著“左右對稱就地取材”的建系原則。2、視圖取角。由于法向量的取定有人為的因素，其夾角不一定正好是二面角的平面交的大小，我們要視原圖形的情況和題意條件進行正確的選擇大小，即要么是這個角，要么是它的補角。點評第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日試一試