橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程江蘇省金湖中學(xué) 潘秀明蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書：數(shù)學(xué)選修2—1教學(xué)目標(biāo)：.知識(shí)目標(biāo)：了解橢圓方程的推導(dǎo)；理解橢圓的兩種表示：圖形與方程及它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系（焦點(diǎn)的位置與橢圓方程的形式）；會(huì)根據(jù)條件判斷橢圓并會(huì)求出相應(yīng)的橢圓方程。.能力目標(biāo)：通過(guò)觀察、聯(lián)想、類比等思想方法的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題探索的能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用建模的意識(shí)。.情感目標(biāo)：通過(guò)個(gè)人獨(dú)立探索和團(tuán)隊(duì)合作討論，培養(yǎng)學(xué)生良好的相互協(xié)作意識(shí)；通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題研究與史料的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的科研意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)，橢圓的判斷及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。教學(xué)方法與教學(xué)手段：教學(xué)方法：教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置一系列問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考、歸納、總結(jié)、反思運(yùn)用，直至學(xué)生對(duì)該知識(shí)理解并掌握。電教手段：多媒體實(shí)驗(yàn)教具：直尺、圖片教學(xué)過(guò)程：2m【創(chuàng)設(shè)情境】2m一客戶向木器加工廠訂購(gòu)一批橢圓形的木模：木模要求：長(zhǎng)4米，寬2米。木工制作演示：方案一、選取兩個(gè)相距為2J3米的定點(diǎn)，一根長(zhǎng)為4米的不可伸長(zhǎng)的細(xì)線，用墨筆繃緊細(xì)線畫圖（如圖2）；方案二、畫半徑為2的圓，把圓上的每一點(diǎn)沿垂直某一直徑的方向縮短為原來(lái)的1/2倍（如圖3）。（投影flash動(dòng)畫）

【學(xué)生活動(dòng)】問(wèn)題1:兩方案所畫圖形是客戶所要的橢圓嗎？能否說(shuō)出其中的科學(xué)的依據(jù)？（不要求學(xué)生真正理解，目的是為了激起學(xué)生探知的欲望，加深定義與圖形的聯(lián)系，提高學(xué)生識(shí)圖的能力，但通過(guò)一節(jié)課的學(xué)習(xí)必須讓學(xué)生知曉其中科學(xué)的道理）解決這個(gè)問(wèn)題之前讓我們共同回顧以下我們對(duì)橢圓最初的認(rèn)識(shí)：一圖形：有具體的圖象但不精確；二定義：幾何描述不便于交流（粗略介紹以下圓錐曲線幾何大師一一阿波羅里奧斯，但流傳下來(lái)資料很少，一個(gè)重要的原因幾何描述不便于交流）。方案一：對(duì)比定義我們知道該圖是橢圓，而方案二：我們只能從形上得出該圖可能是橢圓，無(wú)法用目前的橢圓定義作出確切的判斷。上述木工制作：橢圓呈現(xiàn)是幾何形態(tài)的，故我們是否能把橢圓的形轉(zhuǎn)化為數(shù)即我們所熟知數(shù)形結(jié)合，用更為簡(jiǎn)潔明了數(shù)學(xué)表示方式一一方程來(lái)表示橢圓，這樣便于記錄，流傳。事實(shí)上許多小到溫馨的生活的物件如：橢圓形的木桶、鏡子、紐扣、裝飾；大到精確的科學(xué)儀器和科學(xué)實(shí)驗(yàn)如:放映機(jī)的聚光燈泡的反射鏡、結(jié)石碎石機(jī)的工作原理、地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道（投影圖片）。從溫馨的生活場(chǎng)所到科技重地到處充斥著橢圓。為更好地研究創(chuàng)造這些我們就必須了解、掌握這些必要的數(shù)學(xué)知識(shí)一一橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（板書課題：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）。只有熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們才能更好地設(shè)計(jì)、更好研究橢圓的性質(zhì)。【問(wèn)題建構(gòu)】問(wèn)題2：形如何向數(shù)轉(zhuǎn)化呢？（讓學(xué)生討論形數(shù)結(jié)合的感受，感受形數(shù)結(jié)合的必要性）方法：坐標(biāo)化原則：簡(jiǎn)潔對(duì)稱步驟：建系、取點(diǎn)；列式（幾何、代數(shù)）；代換；化簡(jiǎn)；證明（可?。┮髼l理清晰）分析：從定義（幾何性質(zhì)）入手突出： y1、如何建系：（讓學(xué)生從美的原則出 一弓七2發(fā)感受軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的完美 ^f^q^^F'x性，處理問(wèn)題時(shí)要保持完美性協(xié) 2cjx調(diào)，忌破壞。）

以焦點(diǎn)F1,F2所在直線為x軸，線段FR的中垂線為y軸，則F1（-c,0）,F2（c,0）設(shè)橢圓上一點(diǎn)P（x,y）。2、如何求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（暫且不提標(biāo)準(zhǔn)二字，純粹從求方程開(kāi)始）1）明確幾何關(guān)系：|PF1|+|PF2|=2a2）幾何關(guān)系代數(shù)化：\：'（x+c>+y2+*；（x一c>+y2=2a分析方程的結(jié)構(gòu)及所顯示的幾何意義（揭示出|\甲>22原因），強(qiáng)調(diào)為什么要化簡(jiǎn)一美化，讓學(xué)生感受化簡(jiǎn)的必要性。3）化簡(jiǎn)關(guān)系：（讓學(xué)生討論如何化簡(jiǎn)，突出化簡(jiǎn)的目的一去根號(hào)）常規(guī)方法：平方法（x+c）2+y2=4a2-4a（（x-c）2+y2+（x-c）2+y2a2-cx=a（（x-c）2+y2（a2-C2）X2+a2y2=a2（a2-C2）X2 y2——+———=1a2a2-c2注：在化簡(jiǎn)的過(guò)程中，時(shí)時(shí)注意拓展學(xué)生思維，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)科學(xué)地思考?；?jiǎn)可以從其它兩個(gè)方面思考：一、分子有理化（有理化的意識(shí)）；二、等差中項(xiàng)（數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)意識(shí)）注：①若2a=2c時(shí)，化簡(jiǎn)所得方程與其圖形的對(duì)比②平方法后得：a--x=（Xx-c）2+y2能說(shuō)明什么？a,（x-c）2+y2=c（叱-x）_\（x-:）2+y2=c* ac a2 a-xc4）標(biāo)準(zhǔn)方程（分析為什么標(biāo)準(zhǔn)化，它的必要性）x2+2=1（a>b>0）a2b2結(jié)合橢圓的圖形分析b的引入的科學(xué)性【數(shù)學(xué)理論】1）啟發(fā)兩個(gè)問(wèn)題：（突出a,b,c的幾何意義及相互關(guān)系幾何表示）①橢圓在坐標(biāo)軸上的截距是（土a,0）,（0,± =）嗎？②a,b,c的幾何聯(lián)想是Rt△（變動(dòng)P的位置使其落在y軸上）嗎？2）標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：①焦點(diǎn)在x軸上：■=l(a>b>0)②焦點(diǎn)在y軸上：（即焦點(diǎn)在x軸的橢圓關(guān)于y=x對(duì)稱。在問(wèn)題方法上注意與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程類比，同時(shí)注意圖形與方程相互聯(lián)系提高學(xué)生的應(yīng)變能力）T; a2?刊3）總結(jié):①a,b,c哪一個(gè)大？它們的幾何意義？②焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是；焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是。③根式方程是\：'（x+c?+y2+Jx-c?+y2=2a、:'x2+（y+c]+§；x2+（y-c]=2a\；（xc）2+y2=ca2 ac④一般方程：mx2+ny2=1（m,n￡R+,mWn）目的：培養(yǎng)學(xué)生的分析歸納、類比推廣的能力，在處理方程方面主要有兩層目的，一層是讓學(xué)生感受橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的簡(jiǎn)潔性及字母的幾何含義，提升學(xué)生

的歸納能力；另一層主要是讓學(xué)生透過(guò)根式的幾何意義進(jìn)一步理解橢圓的定義，提升學(xué)生的對(duì)橢圓的判斷能力。【數(shù)學(xué)運(yùn)用】1、判斷下列方程是否為橢圓方程。若是，請(qǐng)確定a,b,c值并求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。x2yx2y2+ =110064目的：讓學(xué)生重新認(rèn)識(shí)橢圓另一種表示形個(gè)+M=1 25x2+9y2=225 式—方程；掌握橢圓方程的結(jié)構(gòu)及方程4 4- 1-標(biāo)準(zhǔn)化的意識(shí),區(qū)別圓與線段的方程形式。7(x-l)2+y2+7(x+l)2+y2=62、回答下列問(wèn)題。1)橢圓3x2+ky2=3的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,1)，則k=變:把“焦點(diǎn)(0,1)”改成“焦距為2”2)若方程ax2+by2=c表示橢圓，則有[]A.abc>0 B.ac>0且bc>0C.abc<0 D.ab>0且bc<03)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是y2/(3-k)-X2/(k-5)=1,且焦點(diǎn)在x軸上的則k的范圍是[]A.k>3 B.3<k<5 C.k<3 D.k>5目的：訓(xùn)練學(xué)生的橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)化意識(shí)。3、已知一個(gè)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓，它的焦距為2.4m,外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和為3m,求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：一建標(biāo)；二根據(jù)焦點(diǎn)建模；三根據(jù)條件和定義定a,b,c變1：變：已知4ABC的周長(zhǎng)為定值，其中A(-3,0),B(3,0),且頂點(diǎn)C的軌跡過(guò)點(diǎn)P(0,4),求頂點(diǎn)C的軌跡方程.分析：法1求一般曲線方程法2利用橢圓的定義變2:已知4ABC的周長(zhǎng)為定值，其中A,B為定點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而動(dòng)點(diǎn)C的軌跡過(guò)點(diǎn)P(5,0),Q(0,4),求頂點(diǎn)C的軌跡方程。強(qiáng)調(diào)：方法的選擇：一方程組解系數(shù)；二定義確定系數(shù)【回顧反思】（重申橢圓判斷方法：形、定義、方程）1）圖形1:定義解釋圖形2（突出圓的壓縮變換：演示動(dòng)化）：方程解釋（PJ列2）解決問(wèn)題的方法：轉(zhuǎn)移法（利用已有的曲線通過(guò)某種關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N曲線）解題的步驟：1）設(shè)點(diǎn)（所求曲線的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)已知曲線上的點(diǎn)）2）找關(guān)系3）帶入已知方程化簡(jiǎn)4）判斷曲線2）情境變題主要圍繞橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用展開(kāi)：圖形的方程：X2/4+y2=1變1：若該橢圓上的點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是3,則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離是.變2：若該橢圓上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)1，則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離是.變3：橢圓上一點(diǎn)P，F(xiàn)「F2分別是左右焦點(diǎn)，則△PF￡的周長(zhǎng).Q是橢圓上另一點(diǎn)，且PQ過(guò)F,則APf^F的周長(zhǎng)__.1 2目的：主要訓(xùn)練學(xué)生認(rèn)識(shí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的定義的等價(jià)關(guān)系，及相互轉(zhuǎn)化關(guān)系?！颈菊n小結(jié)】1）你可以從那幾個(gè)方面來(lái)判斷某曲線是否為橢圓？提示：一形似；二定義（根本）；三方程（標(biāo)準(zhǔn)與根式）2）你認(rèn)為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些優(yōu)越性？（數(shù)形結(jié)合）3）你認(rèn)為求橢圓方程主要把握那幾個(gè)方面？提示：焦點(diǎn)定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；橢圓的定義的量與a,b,c的關(guān)系4）解決問(wèn)題重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)兩個(gè)方面：提示：一確認(rèn)解決問(wèn)題的知識(shí)；二確認(rèn)解決問(wèn)題的方法【課后作業(yè)】1、練習(xí)P281（2）（4）、2（2）、習(xí)題2（3）（4）、3、42、閱讀2.2.2結(jié)合橢圓方程閱讀橢圓的幾何性質(zhì)【板書設(shè)計(jì)】一回顧：橢圓的定義：二新授：橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的判斷方法解決問(wèn)題兩個(gè)方面課題:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)例題、習(xí)題評(píng)析區(qū)投影區(qū)課堂小結(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明：數(shù)學(xué)新知的傳授無(wú)論情境如何新穎，教法如何創(chuàng)新，形式如何火熱，我認(rèn)為教學(xué)的第一要義必須建立在把基本知識(shí)和基本方法平實(shí)地傳授給學(xué)生的基礎(chǔ)之上，同時(shí)更要時(shí)時(shí)關(guān)注學(xué)生應(yīng)用建模的意識(shí)，有了這種意識(shí)學(xué)生才能從思想上解決如何學(xué)好數(shù)學(xué)，才能體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)目的。故本課從生活制作橢圓木桶入手，從形到數(shù)，從具體到抽象平實(shí)地介紹生活中所隱藏的數(shù)學(xué)知識(shí)，以期激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓的興趣，潛意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)研究橢圓方程的必要性。為鞏固這種探究的“火花”，設(shè)計(jì)從古到今，從細(xì)小生活物件到科技重地衛(wèi)星和行星軌道的定位再次強(qiáng)調(diào)研究橢圓方程的必要性。而在橢圓方程的推導(dǎo)過(guò)程中始終強(qiáng)調(diào)兩種意識(shí)：一是如何形數(shù)互化，這里的重點(diǎn)是等價(jià)意識(shí)，著力培養(yǎng)學(xué)生善于思考問(wèn)題的習(xí)慣，處理問(wèn)題的科學(xué)方法；二是結(jié)果的簡(jiǎn)潔實(shí)用，這里重點(diǎn)是美化意識(shí)，提升學(xué)生對(duì)生活的審美情趣。同時(shí)在這一過(guò)程中時(shí)時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)想的能力，加速前后知識(shí)的融合。在對(duì)知識(shí)理解應(yīng)用方面著重從兩個(gè)方面入手