計數(shù)原理綜合習題(有答案)

計數(shù)原理綜合習題(有答案)計數(shù)原理綜合習題(有答案)計數(shù)原理綜合習題(有答案)資料僅供參考文件編號：2022年4月計數(shù)原理綜合習題(有答案)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：選修2-3第一章計數(shù)原理單元質(zhì)量檢測eq\o(\s\up7(時間：120分鐘總分：150分),\s\do5())第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(每小題5分，共60分)1．小王打算用70元購買面值分別為20元和30元的兩種IC電話卡．若他至少買一張，則不同的買法一共有()A．7種B．8種C．6種 D．9種2．設(shè)某班有男生30人，女生24人，現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，則不同的選法種數(shù)是()A．360B．480C．720 D．2403.設(shè)P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋5(x＋1)4＋(x＋1)5，則P等于()A．x5B．(x＋2)5C．(x－1)5 D．(x＋1)5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))5的展開式中x2y3的系數(shù)是()A．－20B．－5C．5 D．205．20個不同的小球平均分裝在10個格子中，現(xiàn)從中拿出5個球，要求沒有兩個球取自同一個格子中，則不同的拿法一共有()A．Ceq\o\al(5,10)種B．Ceq\o\al(5,20)種C．Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(1,2)種 D．Ceq\o\al(5,10)·25種6．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中，若2a2＋an－5＝0，則n的值是()A．7B．8C．9D．107．7人站成一排照相，甲站在正中間，乙、丙與甲相鄰且站在甲的兩邊的排法共有()A．120種B．240種C．48種D．24種8．(eq\r(2)＋eq\r(3,3))100的展開式中，無理項的個數(shù)是()A．83B．84C．85 D．869．某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72B．120C．144 D．16810．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144B．120C．72D．2411．在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．21012．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝()A．5B．6C．7 D．8第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(每小題5分，共20分)13．某學校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．14．(eq\r(x)＋a)6的展開式中含x2項的系數(shù)為60，則實數(shù)a＝________.15．在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種(用數(shù)字作答)．16.設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))n的展開式為a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若點Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如圖所示，則a＝________.三、解答題(寫出必要的計算步驟，只寫最后結(jié)果不得分，共70分)17．(10分)4位學生與2位教師坐在一起合影留念，根據(jù)下列條件，求各有多少種不同的坐法：(1)教師必須坐在中間；(2)教師不能坐在兩端，但要坐在一起；(3)教師不能坐在兩端，且不能相鄰．18．(12分)從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個數(shù)，使它的和大于100，則不同的取法有多少種19.(12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)i＋\f(1,x2)))n，i是虛數(shù)單位，x>0，n∈N＋.(1)如果展開式的倒數(shù)第三項的系數(shù)是－180，求n的值；(2)對(1)中的n，求展開式中的系數(shù)為正實數(shù)的項．20.(12分)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n的展開式中含x的項為第6項，設(shè)(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，求a1＋a2＋…＋an的值．21.(12分)已知(a2＋1)n的展開式中的各項系數(shù)之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展開式的常數(shù)項，而(a2＋1)n的展開式的系數(shù)最大的項等于54，求a的值．22.(12分)用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字：(1)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)(2)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(3)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比4023大的數(shù)有多少答案1．C要完成“至少買一張IC電話卡”這件事，可分三類：第一類是買1張IC卡；第二類是買2張IC卡；第三類是買3張IC卡．而每一類都能獨立完成“至少買一張IC電話卡”這件事．買1張IC卡有2種方法，買2張IC卡有3種方法，買3張IC卡有1種方法．不同的買法共有2＋3＋1＝6(種)．2．C由分步乘法計數(shù)原理，得N＝30×24＝720(種)．3．BP＝[1＋(x＋1)]5＝(x＋2)5，故選B.4．A由已知，得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))5－r(－2y)r＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5－r·(－2)rx5－ryr(0≤r≤5，r∈Z)，令r＝3，得T4＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2(－2)3x2y3＝－20x2y3.故選A.5．D分兩步：第一步先從10個格子中選中5個格子，有Ceq\o\al(5,10)種方法；第二步從每個格子中選一個球，不同的拿法有2×2×2×2×2＝25(種)．由分步乘法計數(shù)原理共有Ceq\o\al(5,10)·25種不同的拿法．6．BTr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(－1)rxr，則a2＝Ceq\o\al(2,n)，an－5＝(－1)n－5Ceq\o\al(n－5,n)，因為2a2＋an－5＝0，a2>0，所以an－5＝－Ceq\o\al(5,n)，所以2Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(5,n)且n為偶數(shù)，將各選項代入驗證知n＝8，故選B.7．C由題意知，甲的位置確定，而乙、丙的位置有2種排法，再排其他4人，有Aeq\o\al(4,4)種不同的排法，故不同的排法總數(shù)為Aeq\o\al(4,4)·2＝48(種)．8．B先求展開式中的有理項．∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,100)(eq\r(2))100－r·(eq\r(3,3))r＝Ceq\o\al(r,100)·2eq\f(100－r,2)·3eq\f(r,3)，∴要使展開式中的項為有理項，r必為6的倍數(shù)．又∵0≤r≤100，且r∈N，∴r的取值為0,6,12，…，96，它構(gòu)成了以0為首項，6為公差，96為末項的等差數(shù)列，設(shè)它有n項，則96＝6(n－1)．∴n＝17.∵展開式中共有101項，其中有17項是有理項，∴無理項有84項．9．B解決該問題分為兩類：第一類分兩步，先排歌舞類Aeq\o\al(3,3)，然后利用插空法將剩余3個節(jié)目排入左邊或右邊3個空，故不同排法有Aeq\o\al(3,3)·2Aeq\o\al(3,3)＝72.第二類也分兩步，先排歌舞類Aeq\o\al(3,3)，然后將剩余3個節(jié)目放入中間兩空排法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)，故不同的排法有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝48，故共有120種不同排法，故選B.10．D插空法．在已排好的三把椅子產(chǎn)生的4個空當中選出3個插入3人即可．故排法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝24.故選D.11．C因為(1＋x)6展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)xr，(1＋y)4展開式的通項公式為Th＋1＝Ceq\o\al(h,4)yh，所以(1＋x)6(1＋y)4展開式的通項可以為Ceq\o\al(r,6)Ceq\o\al(h,4)xryh.所以f(m，n)＝Ceq\o\al(m,6)Ceq\o\al(n,4).所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＝20＋60＋36＋4＝120.故選C.12．B由題意可知，a＝Ceq\o\al(m,2m)，b＝Ceq\o\al(m,2m＋1)，又因為13a＝7b，所以13·eq\f(2m！,m！m！)＝7·eq\f(2m＋1！,m！m＋1！)，即eq\f(13,7)＝eq\f(2m＋1,m＋1).解得m＝6.故選B.13．30解析：方法1：可分以下兩種情況：(1)A類選修課選1門，B類選修課選2門，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)種不同的選法；(2)A類選修課選2門，B類選修課選1門，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)種不同的選法．所以不同的選法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝18＋12＝30(種)．方法2：Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(3,4)＝30(種)．14．±2解析：通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(eq\r(x))6－rar＝arCeq\o\al(r,6)x3－eq\f(r,2)，令3－eq\f(r,2)＝2，得r＝2.故a2Ceq\o\al(2,6)＝60，解得a＝±2.15．60解析：不同的獲獎情況分為兩種，一是一人獲兩張獎券一人獲一張獎券，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝36(種)；二是有三人各獲得一張獎券，共有Aeq\o\al(3,4)＝24(種)．因此不同的獲獎情況有36＋24＝60(種)．解析：由題意得a1＝eq\f(1,a)·Ceq\o\al(1,n)＝eq\f(n,a)＝3，所以n＝3a；a2＝eq\f(1,a2)Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(nn－1,2a2)＝4，所以n2－n＝8a2.將n＝3a代入n2－n＝8a2得9a2－3a＝8a2，即a2－3a＝0，解得a＝3或a＝0(舍去)．所以a＝3.17．解：(1)分步完成：教師先坐中間，有Aeq\o\al(2,2)種方法，學生再坐其余位置，有Aeq\o\al(4,4)種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的坐法共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝48(種)．(2)將2名教師看作一個元素，問題變?yōu)?個元素排列的問題．先將教師排好，有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)種方法，再排學生，有Aeq\o\al(4,4)種方法，故不同的坐法共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)．(3)插空法：先排學生，有Aeq\o\al(4,4)種方法，教師從4名學生之間的3個空位選2個進行排列，有Aeq\o\al(2,3)種方法，故不同的坐法共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,3)＝144(種)．18．解：若從1,2,3，…，97,98,99,100中取出1，有1＋100>100，有1種取法；若取出2，有2＋100>100,2＋99>100，有2種取法；取出3，有3種取法；…；若取出50，有50＋51>100,50＋52>100，…，50＋100>100，有50種取法；所以取出數(shù)字1至50，共有不同的取法N1＝1＋2＋3＋…＋50＝1275(種)．若取出51，有51＋52>100,51＋53>100，…，51＋100>100，有49種取法；若取出52，則有48種取法；…；若取出99，只有1種取法．所以取出數(shù)字51至100(N1中取過的不再取)，有不同取法N2＝49＋48＋…＋2＋1＝1225(種)．故總的取法共有N＝N1＋N2＝2500(種)．19.解：(1)由已知，得Ceq\o\al(n－2,n)(2i)2＝－180，即4Ceq\o\al(2,n)＝180，化簡得n2－n－90＝0，又n∈N＋，解得n＝10.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)i＋\f(1,x2)))10展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(2eq\r(x)i)10－rx－2r＝Ceq\o\al(r,10)(2i)10－rxeq\f(10－5r,2)，∵展開式中的系數(shù)為正實數(shù)，且r∈{0,1,2，…，10}，∴r的取值為10,6,2，故所求的項為T11＝x－20，T7＝3360x－10，T3＝11520.20．解：T6＝Ceq\o\al(5,n)(x2)n－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－Ceq\o\al(5,n)x2n－15，令2n－15＝1，則n＝8，令x＝1，則a0＋a1＋…＋an＝(－2)8＝256，令x＝0，則a0＝1，所以a1＋a2＋…＋an＝255.21.解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展開式的通項是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2))